艾森坦斯判别法

艾森斯坦判别法
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艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯定理，这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。

艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式
f(x)=anX

如果存在素数p，使得

p不整除an ，但整除其他ai ；
p2 不整除a0 ，
那么f(x) 是不可约的。

[编辑] 例子
给了多项式g(x) = 3x4 + 15x2 + 10，试确定它能否分解为有理系数多项式之积。

试用艾森斯坦判别法。素数2和3都不适合，考虑素数p = 5。5整除x的系数15和常数项10，但不整除首项3。而且52 = 25不整除10。所以g(x)在有理数域不可约。

有时候不能直接用判别法，或者可以代入y = x + a后再使用。

例如考虑h(x) = x2 + x + 2。这多项式不能直接用判别法，因为没有素数整除x的系数1。但把h(x)代入为h(x + 3) = x2 + 7x + 14，可立刻看出素数7整除x的系数和常数项，但72 = 49不整除常数项。所以有时通过代入便可以用到判别法。

艾森斯坦判别法得出的一个著名结果如下：

对素数p，以下多项式在有理数域不可约。

。
要使用艾森斯坦判别法，先作代换x = y + 1。新的常数项是p，除首项是1外，其他项的系数是二项式系数，k大于0，所以可以被p除尽。

[编辑] 初等证明
对多项式f(x)取模p，也就是把它的系数映射到域上。这样它便化为，其中c为非零常数。因为在域上的多项式有唯一分解，f在模p上会分解为单项式。

如果f是在有理数上可约的，那么会有多项式g, h使得f = g h。从上可知g和h取模p分别为和，满足c = d e。因为g和h模p的常数项为零，这表示g和h的常数项均可被p整除，所以f的常数项a0可以被p2整除，与f系数的假设矛盾。因此得证。

[编辑] 更进一步的解释
依据牛顿图的理论在其p进制数域，我们考虑一系列点的下凸集。




(0,1), (1, v1), (2, v2), ..., (n ? 1, vn-1), (n,0),
其中vi 是ai 关于p的最高次幂。对于一个艾森斯坦多项式，对0 < i < n,vi 至少为1，v0 =1 vn =0,固而它的牛顿图即点列的下凸集应当是一条从(0,1) to (n,0)的线段，其斜率为?1/n。