分子量及其分布习题

4.1 高聚物相对分子质量的统计意义 4.1.1 利用定义式计算相对分子质量

例4－1 假定A 与B 两聚合物试样中都含有三个组分，其相对分子质量分别为1万、10万和20万，相应的重量分数分别为：A 是0.3、0.4和0.3，B 是0.1、0.8和0.1，计算此二试样的n M 、w M 和z M ，并求其分布宽度指数2

n σ、2

w σ和多分散系数d 。 解：（1）对于A

281691023.0104.0103.01

15

54=?++==

∑i

i n M W M 103000

1023.0104.0103.0554=??+?+?==∑i i w M W M 155630

103000

1043.0104.0103.0101082

=??+?+?==

∑w

i

i z

M M W M

66.3==n w

M M d

()922

21090.266.3281691?=?=-=d M n n σ ()1022

21088.366.31030001?=?=-=d M w w σ

（2）对于B

54054=n M 101000

=w M 118910=z M 87.1=d 921054.2?=n σ 92

1087.8?=w σ

例4－2 假定某聚合物试样中含有三个组分，其相对分子质量分别为1万、2万和3万，今测得该试样的数均相对分子质量n M 为2万、重均相对分子质量w M 为2.3万，试计算此试样中各组分的摩尔分数和重量分数。

解：（1）221n i i

i i

i i i i w n i i i i i

M N M N M W M N M M n M W M M N ?=??===??

?=?∑∑∑∑∑

?????=++?=?+?+?=?+?+1

106.41091041010210310210321

8

382818

4342414N N N N N N N N N

解得 3.01=N ，4.02=N ，3.03=N

（2）???

?

?

????

====∑∑∑∑111i i i w n i i i i n W M W M M M W M W M 或

????

?????=++?=?+?+?=?+?+1

103.2103102101021103102103

214

3424144

434241

W W W W W W W W W

解得 15.01=W ，4.02=W ，45.03=W

例4－3 假定PMMA 样品由相对分子质量100，000和400，000两个单分散级分以1：2的重量比组成，求它的n M ,w M 和v M ，(假定a ＝0.5)并比较它们的大小． 解：51

101000,1001-?==

N 52105.0000

,4002

-?==N

()()()()

5

55555104105.010101----??+?==∑i i n M n M 5

100.2?=

()()

∑????

??+???? ??=??

? ??=551043210131i i w M W n M 5100.3?=

1a

a i i W Mv M W ????=?? ?????

∑()()5

.01

5.055.0510********??

????????

??+???? ??=5108.2?=

可见 n v w M M M <<

例4－4 一个聚合物样品由相对分子质量为10000、30000和100000三个单分散组份组成，计算下述混合物的W M 和n M (1)每个组份的分子数相等 (2)每个组份的重量相等

(3)只混合其中的10000和100000两个组份，混合的重量比分别为0.145：0.855：0.5：0.5：0.855：0.145，评价d 值.

解：（1）()4666731000003000010000=++=

N N M n

22i i i

w i i i

n M N M M n M N M ==

∑∑∑∑78571140000101.110=?= （2）∑∑

∑∑∑=

=

=

i

i

i

i

i i n M

M

W w

M

w w

M 13120930=

466673

==

=

∑∑∑i

i

i

i

w

M w

M w M

（3）当比例为0.145:0.855时

43384=n M ，86950=w M ，2=d

当比例为0.5:0.5时，

18182=n M ，55000=w M ，3=d

当比例为0.855:0.145时，

11567=n M ，23050=w M ，2=d

可见，组成接近时d 值较大。故用d 值衡量是合理的。

例4-5假定某一聚合物由单分散组分A 和B 组成，A 和B 的相对分子质量分别为100,000和400,000。问分别以（1）A ∶B ＝1∶2（重量比）；（2）A ∶B ＝2∶1混合样品，混合物的n M 和w M 为多少？（3）A ∶B ＝1∶2，a ＝0.72，计算v M ，并比较n M 、w M 、v M 的大小。 解：（1）A n ＝1/100,000＝1×10-5

B n =2/400,000＝0.5×10

-5

5

5

5

5

5

5

(110)10(0.510)(410)1100.510i

i

n

i n M M n

----??+??=

=?+?∑∑=2.0×10-5

5

5

5

12(110)(410)31033i

w

i

W M M W ??

==?+?=? ???

∑

（2）A n ＝2/100,000＝2×10-5

B n =1/400,000＝0.25×10

-5

55555

55

(210)10(0.2510)(410) 1.33102100.2510

n M ----??+??==??+? 55521

(110)(410)21033

w M =?+?=?

（3）110.72

50.7250.72512(110)(410) 2.881033a a x v x W M M W ????==?+?=?????

????

∑

所以，n M

2=d 2=d 3=d

解：i

i

n i

i

W W M N N ≡=∑∑

式中：下标i 代表多分散样品的各组分。对于一个给定的组分，

i i ni

W N M =

n

M （混合物）()

/i i i

ni

i

W

W M =∑∑

x x i x x x i

w i

i

W M W M M W W ??

???≡=

∑∑∑∑

x x x i

wi i

W M M W ?? ???=

∑

w

M （混合物）()

(/)wi

i

i

i

i

wi

i

i

i

i

M W W W M

W ==∑∑∑∑

式中：/i

i i W W ?

?

???

∑是混合物中i 组分的重量分数。 本题若A W ＝1g ，B W ＝1g ，则

n M =

55

11

133,000(/)(/)10210A B A nA B nB W W W M W M ++==++

? 5

511210410300,00022A B w wA wB

A B A B W W M M M W W W W ????=+=??+??= ? ?++????

注意，虽然每种样品的多分散系数均为2，但混合物的多分散系数增大为2.25。

*例4-7 有一个二聚的蛋白质，它是一个有20％解离成单体的平衡体系，当此体系的数均相对分子质量为80，000时，求它的单体相对分子质量(M 0)和平衡体系的重均相对分子质量(w M )各为多少? 解

P

P 2P (二聚体)

(单体M 0)

000,80=n M 由M 0

和2M 0

组成 ，

由

∑∑=

i

i

i

i n N

M N M 即 0

000

0028

.02.0228.02.0000,80M M M M M M +?+?= ∴ M 0 =48,000 由

0200

2002

28.02.0)2(28.02.0M M M M M M M N M N M i i i i i

i w +?+?==∑∑ 400,868.02.0000

,4828.0000,482.0=+??+?= 例4-8 数量分布函数)exp(1)(n

n M M M M N -=时，证明数均相对分子质量n M 和重均相对分子质量W M 间有如下关系：n W M M 2=．

解：()()??

∞∞

=

=0

022MdM

M N dM

M M N M N M

N M i

i i

i w

将()??

?

??-=n n M M M M N exp 1代入 n

M M

n

M dM M e M n ?

∞

-?=

21

?

∞

-

=

?0

21

dM M e

M M M n

M M n

n w

∵ 积分

()0!1

>=

+∞

-?

a a n dx e x n ax n

∴ 31!

21??

?

???=

?n n n w M M M M

即n w M M 2=

例4-9下表为四个相对分子质量不同的聚异丁烯在环己烷中30℃时的溶胀因子α。 以（α5

－α3

）对M 2

1作图，并用公式说明具有线性关系的原因。

M/103

α (g ?mol -1

)

9.5 50.2 558 2720

1.12 1.25 1.46 1.65

解：（图4-2）

根据Flory-Krigbaum 理论，

α

5

－α3

＝2C m ψ1(1-θ/T)M 2

1

式中：C m 为常数，ψ1为熵参数。（α5

－α3

）与M 2

1

成正比。

4.1.2 多分散系数和分布宽度指数

例4-10 (1)10mo1相对分子质量为1000的聚合物和10 mo1相对分子质量为106

的同种聚合物混合，试计算n M 、W M 、d 和n σ，讨论混合

前后d 和n σ的变化.。

（2）1000g 相对分子质量为1000的聚合物和1000g 相对分子质量为106

的同种聚合物混合，d 又成为多少？ 解：（1）()

50050020101000106=+==

∑∑i i

i n

n M

n M

(

)

()

9990010

100010101000106

1222=++==

∑∑i

i

i i w

M

n M n M 00.2==

n

w

M M d 4995002

=-?=n w n n

M M M σ

混合前各样品为单分散 1=d ，0=n σ

说明混合后n d σ和均变大。

（2）

∴

200010

11000

10003

=++=

=-∑∑i i

i n n M n M 59621052000

1010?=+==

∑∑i

i

i i w

M

n M n M

250==n

w

M M d

例4-11 试由定义推导出分布宽度指数??? ?

?-=12

n w n n M M M σ

解：(

)[]()()?∞

-=-≡0

2

2

2dM M N M M M M n

n

n

n

σ

(

)

()?∞

+-=022

2dM M N M M M M n

n

()()()???∞

∞∞

+-=0

20

22dM M N M dM M MN M dM M N M n n

()

222

2n n n M M M +-=

()

2

2

n n

M M -=

∵ ()n

n

i

i

i i

i

i

i

i

i

i

i i

i

i

i

i

i

i i

w

M

M n M n n M n n W n M W M 2

2===∑∑∑∑∑∑∑∑

∴ (

)1

222

-=-=w n n

n

w n n

M M M M M M σ

*例4-12 在25℃辐射引发丙烯酰胺固态聚合，每10秒种有一个单体加到链上．假定是自由基聚合机理，链终止是可忽略不计．如果丙烯酰胺晶体受到辐照500秒之后把聚合物立即分离出去．n

W

M M 将是多少?

解：由于没有链终止，分子总数N 为常数（不变）。如果链节相对分子质量为M 0

002500500

25005020

M M M M NdM

NMdM

M M M n

===

?? 0023500

500

223050220

M M M M NMdM

dM

NM w M M M ===?

? 05032

M ?=

∴

33.13

4

==n w M M 可见此条件下反应周期得长短并不影响聚合物分散性。 *例4-13 两个多分散样品以等重量相混合．样品000,100=n M 和000,200=W M ,样品B 有000,200=n M 和000,400=W M 推导

混合物的n M 和W M 的表达式，并计算它们的值.

解：

∑∑=

≡

x

x

x x

n N

W N W M

这里x 代表混合物的每一个多分散组分。 ∵ i W N =

组分 i M

i n

i i M n

2i i M n

1 1000 110001000

= 1000 106

2

10

6

3

6

10

101000-= 1000

10

9

定义

∴ n M （混合物）∑∑??? ??x nx i x

i

M W W

＝

————（1）

∑∑∑∑???

??=≡x

x

x i

i i i i

i w

W x M W W M W M

∵ x

i

i i wx

W x

M W M ???

??=∑ ∴ x wx x

i i i W M M W ?=???

??

∑ ∴ w

M （混合物）()∑

∑=x

x x

x

wx

W W M

w M （混合物）∑∑???

?

?

??=x wx x x x M W W ————（2）

式中????

? ??∑x x x W W 为混合物中组分x 得重量分数

令W A ＝1g ，W B ＝1g

000,133********

155=?++=++=

nB B nA A B A n M W M W W W M

wB B A

B wA B A A w M W W W M W W W M ????

??++???? ??+= ()()000,30010

421102215

5

=??+??=

例4-14 理论上下列各种反应的多分散指数n W M M d =应为多少? a 、缩聚；b 、自由基聚合(双基结合终止)；c 、自由基聚合(双基岐化)；

d 、阴离子聚合(活性聚合物)．

解：2=a ，5.1=b ，2=c ，1=d

4.2 数均相对分子质量的测定 4.2.1 端基分析法

例4-15 用醇酸缩聚法制得的聚酯，每个分子中有一个可分析的羧基，现滴定1.5克的聚酯用去0.1N 的NaOH 溶液0.75毫升，试求聚酯的数均相对分子质量。

解：聚酯的摩尔数为L mol L 1.010

75.03

??-

mol 5

10

5.7-?=

mol g mol

g

M n 45

102105.75.1?=?=

-

例4-16中和10-3

kg 聚酯用去浓度为10-3

mol ／dm 的NaOH0.012dm 3

，如果聚酯是由ω－羟基羧酸制得，计算它的数均相对分子质量． 解：聚酯的摩尔数为mol dm mol dm

3333

10012.010012.0--?=?

mol g mol

g

M n 8333310012.05.13

=?=

- 例4-17 苯乙烯用放射活性偶氮二异丁腈（AZBN ）引发聚合，反应过程中AZBN 分裂成自由基作为活性中心，最终以偶合终止，并假定没有支化．原

AZBN 的放射活性为每摩尔每秒计数器计数2.5×108．如果产生PS0.001kg 具有每秒3.2×103

的放射活性，计算数均相对分子质量．

解：PS 中含有AIBN 的摩尔数为

28.1105.2102.38

3

=?? 因为一个AIBN 分裂成两个自由基，而偶合终止后PS 分子也具有两个AIBN 自由基为端基，所以PS 的摩尔数也是5

1028.1-?。

g

1定义

4.2.2 沸点升高、冰点下降法

例4-18 某沸点升高仪采用热敏电阻测定温差ΔT ，检流计读数Δd 与ΔT 成正比。用苯作溶剂，三硬脂酸甘油酯（M=892克/摩尔）做标准样品，

－3

Δd 的关系如下表： 解：（1）标定时，M

c

K T '

=? 已知 mL g c d

3102.1786-?==?

即M

c

K

d

=? 892=M ∴43

105842610

2.1892

786?=??=??=-c M d K （2）测定时，M K c T c '0=??? ???→ 即 M K c d c =?

??

???→0

以d

?对c 作图，外推到0=c

从图4-3得

301078.36?==?

??

???→M

K c d c ∴ 1622910

3610584263

4

=??=n M

图4-3 Δd/c ～c 关系曲线 4.2.3 膜渗透压法

例4-19某种聚合物溶解于两种溶剂A 和B 中，渗透压π和浓度c 的关系如图4-4所示：

（1）当浓度c →0时，从纵轴上的截距能得到什么？ （2）从曲线A 的初始直线段的斜率能得到什么？ （3）B 是良溶剂还是劣溶剂？ 解：（1）求得M n ， （2）A 2

（3）B 为θ溶剂（劣溶剂）

图4-4渗透压π和浓度c 的关系曲线

例4-20 在25℃的θ溶剂中，测得浓度为7.36×10-3g/mL 的聚氯乙烯溶液的渗透压为0.248g/cm 2

，求此试样的相对分子质量和第二维里系数A 2，并指出所得相对分子质量是怎样的平均值。

解：θ状态下，

02=A

M RT

c 1=π

已知 2248.0g =π， mL g c 3

1036.7-?=， K mol cm g R ????=41048.8， K T ?=298

∴ 534

105.7248

.01036.72981048.8?=????==-M c RT M 结果是数均相对分子质量。

c ×103g/mL c

d ?

mol

g cm g K K mol cm g M c RT c 100001017.12981048.8324

-???????==π

（若R ＝0.0082，mmHg atm 17.21086.23=?=-π

）

21克/毫升，ρ（聚苯乙烯）＝1.087克/毫升。

解：

???

??+=c A M RT c 21π

以c π

对c 作图或用最小二乘法求得

)(103cm c -?π

0.097 0.109 0.113

0.124 0.143 0.174 0.184

（1）截距 3100774.01

?=M

RT 5

3

41026.310

0774.02981048.8?=???=n M （2）斜率 4

21023.1?=RTA

2

344

421087.4298

1048.81023.1--???=???=g mol cm A （3）1χ

22

11221ρχV A -= mol mL mol mL

V 69.1068623

.0921== 439.0087.169.1061087.42

12

41=???-=-χ

图4-5 c c

~π

例4-23 PS 的甲苯溶液，从渗透压测定得到以下结果。温度是K ?298。将下式

+???

? ??+??? ??-????

?

?+=2

13

112

321c V V RT c V V RT M RT c χπ

……

c V V RT M RT c V V RT c ??? ??-???

? ??+=???? ??-112213213χπ

以????

???

????? ??-2133c V V RT c π对c 作图，从截距求M ，从斜率求Flory-Huggins 常数1

χ。 M

c ×103

（g/cm 3）

)

(103cm c -?π

解

：

3.1068

67

.014

.921==

V K mol

cm g R ????=41048.8

从图4-6中得截距36.80=M

RT

5

1014.3?=M

得斜率

41121039.121?=???

??-???

? ??χV V RT ，

44.01=χ

例4-24 从渗透压数据得聚异丁烯(=n M 2.5×105

)环己烷溶液的第二维里系数为

6.31×10-4

．试计算浓度为 1.0×10-5

g ／1的溶液之渗透压

(25℃)．

解：

??

?

??+=c A M RT c 21π

??

?

??+=c A M RTc 21π

()

??

? ?????+??????=---845

384

100.11031.6105.21100.129810

48.8cm g ()

12

61061042527.0--?+??=

Pa cm g 526

109.91001.1--?=?=

可见

c A 2项可以忽略，由c 太小。

例4-25 下面是从聚酯在氯仿中的溶液，于20℃下的渗透压法测得的数据。测得结果用溶剂的高度h 表示，氯仿的密度是1.48g/cm 3

，求数均相对分子质量。

浓度 (g/dl)

0.57 0.28 0.17 0.10 h/cm

2.829

1.008

0.521

0.275

解： h π

ρ=?

c (g/dl)

0.57 0.28 0.17 0.10 π (g/cm 2

)

4.187 1.492 0.771 0.407

作图20 3.410c c M →??

==?

?

?? 44

2

8.48102937.3103.410

n M ??==??

例4-26聚苯乙烯的甲苯溶液，从渗透压测定得到以下结果。温度是298℃。将式232

111

1()()()23RT V V RT c RT c c M V V π

χ=+-++???的右边

c/10-3gcm -3

1.55

2.56 2.93

3.8 5.38 7.8 8.68 π/gcm

-2

0.16

0.28

0.32

0.47

0.77

1.36

1.6

c/10-3

gcm

-3

1.55

2.56 2.93

3.8 5.38 7.8 8.68

????

???

?????

??-2133c V V RT c π

103.1 109.0 108.7 122.8 141.3 170.5 179.6

c

???

????????? ??-213

3c V V RT c π

图4-6????

???

????? ??-2133c V V RT c π～c 关系曲线

111/V M ρ=，1M 、1ρ分别为甲苯的相对分子质量、密度。

c /10-3

gcm -3

1.55

2.56 2.93

3.80 5.38 7.80 8.68

π

/gcm

-2

0.16 0.28 0.32 0.47 0.77 1.36 1.60

解：代入常数值，则232

111

1()()()23RT V V RT c RT c c M V V π

χ=+-++???为

π/c －6.27×104c 2＝RT/M ＋2.03×105

（11

2

χ-）c

如图4-7所示。

从截距＝79，得1χ＝0.443，从斜率＝0.116×105

，得M ＝3.2×105

g/mol 。

图4-7 （π/c －6.27×104

c

2

）～c 关系图

例4-27 一个聚异丁烯样品数均相对分子质量为428,000g ／mol ，25℃在氯苯溶液中测得第二维里系数=Γ2

94.5cm 3

/g ，已知25℃氯苯的密度为

1.119／cm 3

，计算该聚合物的7.0×10-6

mol/dm 3

氯苯溶液的渗透压(g/cm 3

)．假定为理想溶液，渗透压又是多少? 比较这两个值．

解：浓度356

101028.410

0.7???=-c 3

310996.2cm g -?=

??

? ??Γ+??? ??=??? ??c M RT c n 22

12

1211π 2

2211?

?

? ??Γ+=c M RTc n π

2

353410996.25.942111028.410996.22981048.8?

?

? ?????+?????=--

303.1177.0?=

2

231.0cm g =

假定为理想溶液 2177.0cm g M RTc

n

==

π

可见为1.3倍，不可忽略。

例4-28.聚合物溶液的渗透压与溶液浓度有如图4-8的结果，①试比较1、2、3三结果所得相对分子质量的次序；②若1和3是同样的聚合物在不同溶剂中所得的结果，请讨论这两个体系有何不同？③若1和2两线的聚合物具有相同的化学组成，则此两线所用溶剂是否相同？不相同时，哪一线所用的溶剂为较良溶剂？

解：①因为

c

π＝21RT

A c M ??

++???????

，所以c π～c 作图的截距大小与相对分子质量M 成反比。则1与3所得相对分子质量相同且小于2所

得的相对分子质量。 ②因

c

π

～c 作图所阿直线的斜率大小代表

2A 的大小，同一聚合物不同溶剂，2A 越大，溶剂越优良，当2A ＝0时，此体系为θ

状态，这时的溶剂为θ溶剂，其对应的温度为θ温度。显然，1为良溶剂，大分子在溶液中处于伸展状态，其对应的1χ<21,[]a KM =η中，a>2

1

，χ>1，2

h >2

0h ，

排除体积大于零；3为θ体系，大分子在溶液中处于自然状态，其对应的1χ＝

2

1

, a ＝1，χ＝1，2

h ＝2

0h ，排除体积为零。

③由于2的相对分子质量大于1的相对分子质量，同一聚合物，相对分子质量大的比相对分子质量小的难溶，所以，同一溶剂溶同一聚合物，相对分子质量大的

2A 小于相对分子质量小的2A 。但1与2却有相同的斜率2A ，说明2用的溶剂比1优良。另外，由2A 的相对分子质量依赖性

也可得到解释，见图4-9。

图4-9 在良溶剂中2A 的相对分子质量依赖性

（聚苯乙烯-甲苯体系）

例4-29 为什么膜渗透压法测定聚合物的相对分子质量不能太高，也不能太低？

解：相对分子质量太高时，毛细管液面高度差变小，测量准确性下降。如果在较高的浓度下测量，虽能增加高度差，但测量的点更加远离纵坐标，使外推值变得不可靠。

相对分子质量太低时，小分子可能透过膜而扩散，导致测量误差。 *例4-30 假定某柔顺高分子的相对分子质量72

1007.1?=M ，大分子的形状近似为球形，如图4-10，其半径为14nm ，用Flory-Krigbaum 排

除体积理论，计算此高分子在良溶剂中的第二维里系数。 解：根据Flory-Krigbaum 溶液理论：

22

2A N u A M =

，

其中 ()3

23

48R V u π==

(

)

2

73

823210

07.12101402341002.6???

?

?

????=

πA

()2

3

7

10

42.2--???=g mol cm

*例4-31 根据Flory-Krigbnum 排斥体积理论，试讨论聚合物稀溶液的热力学行为，主要与哪些因素有关？ 解：由Flory-Krigbnum 排斥体积理论可以导出：

???

?

??+-=?=-c A M c RTV 220110111μμ 可见溶液中溶剂的化学位1μ?与下列参数有关：溶质的相对分子质量2M ，溶剂的摩尔体积0

1V ，溶液浓度c ，温度T ，第二维里系数2A ，而

22

2A N u

A M =

，()

2

h

f u =，即与分子尺寸2

h 也有关。

4.2.4 气相渗透法

例4-32 用气相渗透仪测定某聚苯乙烯试样的相对分子质量，溶液浓度(

c )和电桥不平衡讯号(G ?)数据如下：

用已知相对分子质量的标定物质测得仪器常数s

23.25×103

，求此聚苯乙烯的相对分子质量。

排除体积u

球体体积V

图4-10大分子球形示意图

解：

21v s

G

K A c c M ???=+ ?

作

c c

G

~?图4-11，外推到0→c ，得截距＝18 即180==?

??

???n

s M K c G ∴ 33

1029.118

1025.2318?=?==s n K M

图4-11

c c

G

~?曲线

4.4.3 重均与Z 均相对分子质量的测定 4.3.1光散射法

例4-33 从光散射测量的数据可以得到2A ，定性地说明为什么光散射与渗透现象有关，某聚合物的一系列溶液在298K 下通过膜渗透压和光散射

θ在90°下得到的，假定没有内干涉效应。

已知

=θn 1.513,41011.1-?=n d m 3

/kg,m 710358.4-?=λ,2310023.6?=A N mol -1

,

903=ρkg/m 3

,81.9=g m/s 2

,314.8=R J/K·mol

计算W M 和n M ，以及n

W M M 值．

解：（1）求n M

??? ??+=c A M RT c n 21π

c A M c T R h g n

21

+=????ρ

()kg mol c

h

c h c T R h g 573.3298314.881.9903=????=????ρ

()3

m kg c

1.30

2.01

3.01 5.49 ()m h

7.08×10

-3

11.15×10-3

17.10×10-3

33.2×10-3

()kg mol c

T R h

g ????ρ

0.0195 0.0198 0.0203 0.0216

以

c gh

~ρ作图

截距 ()kg mol M n

31079.181

-?= mol g M n 4

1032.5?=

（2）求w M

c A M R Kc w

22212cos 1+=?+θθ

∵ θ＝90° ∴

c A M R Kc w

290212+= 2

20424??

? ???????=c n n N K A λπ

(

)()

54

7

2324

2210125.510358.410023.61011.1513.14---?=??????=

π

()3

m kg c

1.30

2.01

3.01

5.49

6.62

()kg mol R Kc

390102? 8.70 9.23 10.06 11.92 12.80

以90

2R Kc 对c 作图 截距

kg m ol M w

31070.71

-?=， mol g M w 51030.1?= （3）44.2=n

w

M M

例4-34 已知某PS 试样在25℃的丁酮溶液中的分子尺寸小于20

λ，无内干涉效应，用光散射仪测得下列数据：

c ×103

(g/cm 3

) 0.7 1.4 2.2 2.9 I 90 (相对标度) 24 37 46 52

用苯作标准，I 90（苯）＝15，R 90（苯）＝4.85×10－5

cm －1

，n （苯）＝1.4979，n （丁酮）＝1.3761，g

mL

c

n

230.0=??，μλm 436=，计

算此试样的重均相对分子质量和第二维里系数。 解：c A M

c

K

R 221

+=θ

（1）求K 2

24

2~4??

?

?????=c n n N K λπ ()

2

24

7

234

230.03761.11043610023.64?????=

-π 226

1082.1g cm -?=

（2）求R θ ∵ 2

9090

r I R I ?=

∴ 0

2

9090I r I R ?=

通过苯1590=I ，1

5

901085.4--?=cm R ，求出

2

I r

65

021023.315

1085.4--?=?=I r

1

6--

c ×103（g/cm 3

） 0.7 1.4 2.2 2.9 R 90×105

（cm -1

）

7.75

12.0

14.9

16.8

()g mol R Kc

590102? 0.82 1.06 1.34 1.57

根据c A M R Kc 290212+= 以

90

2R Kc

对c 作图4-12

从图4-12得

截距 51059.01

-?=M

5107.1?=M g/mol

斜率()()3

5

2107.02.21082.034.12--?-?-=A

3

1047.3-?=

23321073.1g mol cm A -?=

例4-35 对一系列PS 的苯溶液，在25℃下用光散射仪测得检测器在不同角度θ的4

10?

R (m -1

)值如下:

计算PS 的W M 和均方根末端距()

2

2h

在散射方程中

??? ?

?

'+++=+2sin 1)21(1)cos 1(222θθθh K BC M R c K W

4

2

20

212λ

πA N dc dn K ??? ??=

2

02298n K λπ=

1416.3=π

0n 苯的折射率1.502

41008.1-?=dc n d m 3

/kg λ＝546.1nm

N A ＝6.023×1023mol -1

解：()

(

)

4

923

2

42210

1.54610023.61

1008.1502.11416.32--????

????=K

610696.9-?=

(

)

()132

2

9

2

10637.6502.1101.54691416.38'?=????=

-K 令纵坐标(

)

θ

θR c

K Y 2cos 1+=

Y θ＝30° θ＝60° θ＝90° θ＝120° c ＝2.00 3.116×10

-6 3.385×

10-6

3.645 3.922 c ＝1.50 2.676×10-6 2.877 3.196 3.496 c ＝1.00 2.241×10-6

2.473 2.786

3.061 c ＝0.50

1.932

2.189

2.461

2.730

0000111

1

1

1

1

c ×103（g/cm 3

）

()g m

o

R Kc

590

102? 图4-12 902R Kc

～c 曲线

=c

的直

线是由外推至0

=c

时用下列2

sin 2

θ

值

的点连接而成的。

推至0=θ

时用下列c 110-值

0=θ的直线是由外的点连接而成的。

图4-13 )102

(sin ~)10(12

6c Y -+?θ

关系图

（1）∵()6104.11

-∞

→∞→?==w

c M Y θ

∴15101.7-??=mol g M w

（2）0=c 直线的斜率为

2'1

r K M w

?? ()66

21026.1067.075.01047.133.2'1--?=-?-=??r K M w

14513

621035.1101.710

637.61026.1--?=????=r nm r

1.1162

12

=

例4-36从光散射测量的数据可以得到A 2，定性地说明为什么光散射与渗透现象有关。

解：我们可以认为溶质浓度局部涨落表示一种平衡，此时由于无规分子运动建立了一个浓度梯度，正与渗透压梯度相反，是趋向于恢复体系地均一性。因为对任何给定的浓度梯度，渗透力随溶质分子大小的增加（相应数目就减少）而变小，浓度涨落的程度随溶质相对分子质量增加而增加。因为渗透压和涨落现象间的这一密切相关的关系，使光散射的浓度依赖性可被用于估算A 2。

4.3.2超速离心沉降

例4-37沉降系数的量纲是什么？从沉降速度实验求得的r b 和t 要作什么样的图才能求得沉降系数？ 解：时间或00

0[][]s L M T =对21b b dr s r dt

ω=

积分，{}200ln

()/()()b b r t r t s t t ω=-，因此要{}0ln ()/()b b r t r t 对0()t t -或ln ()b r t 对t

作图。

3

-Sin 2(θ/2)+10-1

c

30° 60° 90° 120° 2.00 0.267

0.45 0.70 0.95 1.50 0.217 0.40 0.65 0.90 1.00 0.167 0.35 0.60 0.85 0.50

0.117 0.30 0.55 0.80

θ

30°

60° 90° 120° 2

sin 2

θ

0.067

0.25

0.5

0.75

c 2.00 1.50 1.00 0.50 c 110-

0.20

0.15

0.10

0.05

（1） 此试样的特性黏数

[]21152cm g η-=，

相对分子质量为多少？已知浮力因子010.401V ρ-=，溶剂黏度411

09.010kgm s η---=?。 表4－4 一种天然多糖的沉降数据

2160 6.3489 2040 6.2667 1980 6.3031 3060 6.4154 2820 6.3297 2700 6.3677 3960 6.4858 3600 6.3942 3420 6.4347 4740 6.5446 4440 6.4644 4140 6.5022 5460

6.6000

5160

6.5348

4860

6.5697

t 为离心时间；b r 为沉降界面与旋转中心的距离

解：（1）2ln b

r s t const ω=+（ω为角速度）

一定浓度下以ln b r 对t 作图求s

()()1011s s s k c -=+

外推到0c

=，得130 6.5010s s -=?，31123s k cm g -=

（2）用（1）所得到的值，得

()

[]()1.5

0.5

4100

025.8101001A N s M gmol V ηηβρ-??????==??? ?-??????

（w M 的实验值为20.9×104gmol －1

）

*例4-39 20℃时水中的血清蛋白的扩散系数D ＝6.1×10－11m 2s －1

。血清蛋白分子移动了与细胞直径相等的距离10μm 所需要的时间t 是多少？ 解：21

2t

x D

=

? 式中：2

x 为各分子移动距离的平方平均值。

()2

611

110100.822 6.110t s --=??=??

*例4-40. 求20℃时摩尔质量M ＝6.45×104

gmol －1

，比容V ＝0.75cm 3g －1

的血红蛋白分子在水中的扩散系数D 。已知血红蛋白分子的形状是球形的，Stokes 定律成立，20℃时水的黏度3111.00510kgm s η---=?。

解：用0D kT

f =

式中：k 为玻兹曼常数，T 为绝对温度，f 0为溶质分子的摩擦系数。 根据Stokes 定律，对于半径r 的刚性球，

06f r πη=（η

为溶剂的黏度）。假定血红蛋白分子的形状为半径r 的球，它的体积为

3

43

v A M r N π= ∵ M ＝64.5kgmol －1

，V ＝0.75×10－3

m 3

kg －1

，N A ＝6.02×1023

∴ 1

3

3

1023364.51026.8104 3.1412 6.0210r m --????==? ??????

从311

1.00510kgm s η---=?，得 06f r πη=

＝6×3.1412×26.8×10－10

×1.005×10－3

＝5.08×10－11kgs －1

又已知k ＝1.38×10－23kgm 2s －2

，T ＝293.2K

∴23112111

0 1.3810293.27.96105.0810

kT D m s f ----??===?? 4.4 黏均相对分子质量的测定

4.4.1 黏度法测相对分子质量

例4-41 用黏度法测定某一PS 试样的相对分子质量，实验是在苯溶液中30℃进行的，步骤是先称取0.1375g 试样，配制成25mL 的PS －苯溶液，用移液管移取10mL 此溶液注入黏度计中，测量出流出时间t 1＝241.6秒，然后依次加入苯5mL 、5mL 、10mL 、10mL 稀释，分别测得流出时间t 2＝

189.7秒，t 3＝166.0秒，t 4＝144.4秒，t 5＝134.2秒。最后测得纯苯的流出时间t 0＝106.8秒。从书中查得PS －苯体系在30℃时得K ＝0.99×10-2

，a ＝0.74，试计算试样的黏均相对分子质量。 解：10

0055.0251375.0-?==

mL g mL

g

c 8.1060''=t

t 241.6 189.7 166 144.4 134.2 ηr =t/t 0 2.262 1.776 1.554 1.352 1.257 ηsp =ηr -1 1.262 0.776 0.554 0.352 0.257 ln ηr /c 0.816 0.862 0.882 0.905 0.915 ηsp /c

1.263

1.164

1.108

1.056

1.028

从图4-14外推得[]95.0='η

∴

[]17.1720055.095.0-?==g ml η ∵ []74.0121099.0M -?=η

5

104.5?=v M

例4-42 PMMA 样品在丙酮中于30℃下测得如下数据：

[]72

.051083.5V

M -?=η 已知PMMA —丙酮体系30℃时计算V M 和Huggins 方程的常数K '． 解：从题中数据计算结果列表如下：

sp η

()/r dl g η

ln r η

[]()/dl g η

0.170

0.215 0.629 0.892

0.618 0.625 0.702 0.744

0.157 0.195 0.488 0.638

0.571 0.567 0.545 0.532

以sp η和ln r η分别对浓度作图，截距为

[]η＝0.577/dl g ，

1 1.39

0.72

55[]0.5775.8310 5.8310v M η--??

??== ?

?????

??

=355,000

利用图中第三点，代入Huggins 方程，

0.702/dl g ＝0.577/dl g ＋k '（0.577/dl g ）2

（0.896/g dl ）

解得k '＝0.42

例4-43 某高分子溶剂体系的K 和a 分别是3.0×10-2

和0.70．假如一试样的浓度为2.5×10-3

g ／m1，在黏度计中的流过时间145.4秒，溶剂的流过时间为100.0秒，试用一点法估计该试样的相对分子质量。 解：一点法

[])

ln (21

r sp c ηηη-=

454.10

.1004.145==r η 454.0=sp η

∴ [

]g mL 7.159=η ∵

[]70.02100.3ηηM -?=

∴ 51010.2?=ηM

例4-44 假如你有一根奥氏黏度计，2

1000.2-?=K cm ，0.11=L cm ，00.4=V cm 3

，0.16=h cm ．在以下测定中由于未进行动能改正会

带来多大的百分误差?

(1)测定氯仿的绝对黏度，在20℃下流出时间170秒． 相对黏度η

r

浓度c ( g/100mL)

1.215 0.344 1.629

0.896 1.892

1.199

1/2 c ′

c sp r '

'ηηln c '与c '关系图

解：（1）考虑动能校正 Lt

V

LV

t

hg R πρρπη884-

=

不考虑动能校正 LV

t

hg R 84ρπη=

'

氯仿绝对黏度的百分误差为

t

V

V hgt R t V

πππηη

η-=-'4

%29.22

2422

=-=V hgt R V π （2）考虑动能校正 0

0t B At t

B At r --=η

225410034.78s cm LV hg

R A ??==

-π

201447.08cm L

V

B ==π

s t

230=，s t 1700=，357.1=r η

不考虑动能校正 353.10=='

t r η

∴ PMMA 溶液相对黏度得百分误差

%3.0-=-'r

r

r ηηη

例4-45 某PS 试样，经过精细分级后，得到七个组分，用渗透压法测定了各级分的相对分子质量，并在30℃的苯溶液中测定了各级分的特性黏度，结果列于下表：

()mol g M n 410-?

43.25 31.77 26.18 23.07 15.89 12.62 4.83 []()g mL η

147

117

101

92

70

59

29

根据上述数据求出黏度公式

[]a KM η=中的两个常数K a 和值。

解：[]ln ln ln K a M η=+ 以[]ηln 对M ln 作图4-15，

[]ηln 4.99 4.76 4.62 4.52 4.25

4.08 3.37 M

ln

12.98

12.67

12.48

12.35

11.98

11.75

10.79

从图4-15上求出斜率 74.0=a

截距 21099.0-?=K

（注意：要外推到0ln =M ）

例4-46 聚苯乙烯－环己烷溶液在35℃时为θ溶液，用黏度法测得此时得特性黏数[]15.37-?=g mL θη，已知5105.2?=v M ，求无扰尺寸、

无扰回转半径和刚性比值σ。 解：

[]()

M

h 2

3

20

φηθ

=

M ln

[]ηln

图4-15[]ηln ～M ln 关系曲线

()[]()

cm M

h 62

1

82

1

20102.310518.1--?=??=θη

()

()

cm h s 62

1

20

2

1

20

103.16

1-?==

理论上计算自由旋转尺寸

()()

cm M nl h r

f 62

8

22

12,105.11054.1104

2

22--?=???

==

()

()

13.25.12.32

1

2,2

1

20===r

f h h σ

（文献值17.2=σ）

例4-47.由相同单位合成的支化高分子与线型高分子具有相同的相对分子质量时，试比较在同样溶剂中支化高分子与线型高分子的特性黏度的大小，并解释原因。

解：具有相同相对分子质量同一聚合物溶在同一溶剂中，支化的特性黏度[]支η<[]线η。因为支化的大分子链无规线团紧密，均方回转半径2

支

h 小，而线型的松散些，2

线h 大，根据Flory 的特性黏度理论，有

[]0

2

3

26M h ）（＝φη

式中，φ为普适常数。由于支化与线型聚合物组成相同，M 相同，2

线h >2

支h ，所以

[]线η>[]支η。

例4-48 乌氏黏度计的支管C 有什么作用，没有它可不可以进行黏度测定？

解：有C 管时，开放C 管，使D 球内液体下降，使毛细管内液体为气承悬液柱，使液体流出毛细管时沿管壁流下，避免产生湍流的可能。同时B 管内的流动压力与A 管中液面高度无关，从而可以改变浓度进行测定，因而乌氏黏度计又可称“稀释黏度计”。此外其倾斜误差也比没有支管C 时要小。

没有支管C 时成为奥氏黏度计，虽可进行黏度测定，但每次测定，溶液体积必须严格相同。 例4-49 与其他测定相对分子质量的方法比较，黏度法有什么有缺点？ 解：优点：

（1）设备简单，只需黏度计，其他都是实验室常用设备。

（2）操作方便，尤其是乌氏黏度计，配制一个溶液就可以测五个点。 （3）精确度较好。ηsp 的准确度为0.2~1%。

（4）适用于1×104～1×107

的较宽范围，适合于高相对分子质量的测定。 缺点：

（1）只是一种相对的方法，只有在已知K 、a 值的情况下才可使用，测定的结果的统计意义与K 、a 值来源有关。 （2）由于黏度对温度依赖性较大，必须在严格的恒温条件下测定。

（3）当相对分子质量低于5万时，由于偏离直线关系，应用马克－豪温公式误差较大，此时建议采用：

[]M K M K ''+'=2

1

η （Stockmayer,

1963）

式中：K ’即一般文献中的马克－豪温式K 值；K ’’的形式和数值在各个理论中是不同的。

（4）高聚物的支化降低了[η]，从而影响了相对分子质量测定的准确性。例如聚醋酸乙烯酯是支化较大的一种高聚物，测定会受到影响。但反过来，利用支化度不同的聚合物的黏度差别，用黏度法可以测定高聚物长支链的支化度。 支化度的定义为：相对分子质量一定时，[η]支化/[η]线形 例4-50 黏度法测定过程中如何保证浓度准确？ 解：（1）聚合物样品要用分析天平准确称量，过滤时必须注意充分洗涤，保证溶质在滤液内（注：必须用熔砂漏斗过滤，不能用滤纸过滤，以免滤纸毛进入毛细管后影响流速）。更精确的测定必须用失重法测定配好的聚合物溶液的浓度。

（2）必须用移液管准确移入一定体积的溶液。每次稀释溶液时都要使溶液混和均匀（将液体反复压入基准球和上面的贮液球进行洗涤混和）。 （3）测定时要抓紧时间，测定时间太长难免浓度会发生改变。

（4）最好不要用吸气的办法吸上液体，因为压力减小会促使溶剂挥发从而引起浓度的变化。可以采用压气的办法。 例4-51 黏度法测定中，纯溶剂和溶液的流出时间以多少为宜？

解：纯溶剂的流出时间要超过100s ，这样可以忽略动能校正，测量误差也较小。但流出时间太长也不好，会导致整个测定过程时间过长，溶液浓度会发生改变。

溶液的流出时间以ηr ＝1.1～2为佳。太浓的溶液

c c

sp

~η曲线呈现非线性，原因是高分子间相互作用明显；而太稀的溶液，时间测定的差值

小，影响测定精度。

例4-52 一点法计算特性黏数的诸多公式中有一种叫“对折法”，简述其原理。 解：

[]()c

n r

n sp ?-+=

2ln 12ηηη

ηr 对半分，因而n 越大越接近 ln ηr 。该法[η]的误差在1％以内。

ηsp /c ～c 斜一些，而ln ηr /c 平一些，对折次数n 的情况应与高分子的类型相符。

例4-53 如果分子以如下形状表示，特性黏黏度与高分子的相对分子质量将是什么关系？ a 、一个紧密球

b 、在θ溶剂中的自由穿透无规线团

c 、在θ溶剂中的不透性线团

解：a 、对紧密球，特性黏度与M 无关 b 、[η]正比于M

c 、[η]正比于M 1/2

例4-54 描述自由穿透线团和不透性线团这两种极端情况下的摩擦阻力和链长（相对分子质量）的关系？

解：对于自由穿透线团，假定忽略作用于每一链段上的力的互相作用，则线团的摩擦力正比于组成该分子链的链节的数目，因此

M

f ∝。

对于不可穿透线团，链段的相互作用力很大，使得溶剂被有效地捕获在线团内部。因此摩擦阻力正比于线团的一些特征尺寸，如回转半径

2

12

s

2

102

12

0M

const s const f ??=??=ηη （其中const 为常数）

2

1M

f ∝

例4-55 为什么同一聚合物在不同溶剂中

[]η—T 曲线有两种不同的情况?

解：曲线a 是聚合物溶解在良溶剂中，由于良溶剂中分子链比较松散，提高温度分子链趋于卷曲状态，分子链间摩擦力变小，使黏度下降。 曲线b 是聚合物溶解于不良溶剂中，由于此时分子链已相当卷曲，升高温度使链运动增加而成为较为舒展的状态，反而使黏度增加。

例4-56 PS 的丁酮溶液于35℃测得如下数据。乌氏黏度计，溶液浓度1.012g(100cm 3)－1

。求黏均相对分子质量。

丁酮 10cm 3溶液 追加溶剂5ml 5ml 10ml 10ml

15cm 3 20cm 3 30cm 3 40cm 3

时间（s ） 152.99 223.02 197.28 185.14 173.72 167.98

解：

C ×102

/g ﹒cm -3

1.012 0.675 0.506 0.337 0.250 sp

η

0.464 0.295 0.215 0.140 0.102 ∴

，代入，得v 。

4.4.2 黏度法涉及的其他参数

例4-57 假定PS 在30℃的苯溶液中的扩张因子73.1=α，[]147=ηml/g ，已知Mark —Houwink 参数21099.0-?=K ，a 74.0=，求无扰

尺寸20

和

()

2120

M h )值．(230

1084.2?=?mol

-1

)

解：[]3212

32

0αφηM M

h ???

?

?

?= （1）先求φ

()

2086.263.21εεφφ

+-= 16.03

1

74.02312=-?=-=a ε 1

23-n ＝1）对折一次 n ＝2）对折二次 c [ηr /c ～c 图4-16 c ~][η曲线

抽样分布习题2014

抽样分布习题(11月7-8日交) 班级： 姓名： 学号： 得分 一、单项选择题： 1. 进行抽样推断时，必须遵循的基本原则为 ( ) （A ）准确性原则 （B ）标准化原则 （C ）随机性原则 （D ）可靠性原则 2. 关于样本平均数和总体平均数的说法，下列正确的是 ( ) （A ）前者是一个确定值，后者是随机变量 （B ）前者是随机变量，后者是一个确定值 （C ）两者都是随机变量 （D ）两者都是确定值 3. 当总体内部差异比较大时，比较适用的抽样组织形式为 （ ） （A ）纯随机抽样 （B ）整群抽样 （C ）分层抽样 （D ）简单随机抽样 4. 抽样过程中，无法避免和消除的是 （ ） （A ）登记误差 （B ）系统性误差 （C ）测量工具误差 （D ）随机误差 5. 某工厂连续生产，为了检查产品质量，在24小时中每隔30分钟，取2分钟的产品进行全部检查，这种抽样方式是 （ ） （A ）纯随机抽样 （B ）整群抽样 （C ）两阶段抽样 （D ）分层抽样 6．通常所说的大样本是指样本容量 （ ） （A ）大于30 （B ）小于30 （C ）大于等于10 （D ）小于10 7．从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4，16，36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差将 （ ） （A ）增加 （B ）减小 （C ）不变 （D ）无法确定 8．某班级学生的年龄是右偏的，均值为20岁，标准差为4.45.如果采用重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，那么样本均值的分布为 （ ） （A ）均值为20，标准差为0.445的正态分布（B ）均值为20，标准差为4.45的正态分布 （C ）均值为20，标准差为0.445的右偏分布（D ）均值为20，标准差为4.45的右偏分布 9． 设随机变量2~()(1),1/X t n n Y X >=，则 ( ) （A ）)(~2b x Y （B ）)1(~2-n x Y （C ）)1,(~n F Y （D ）),1(~n F Y 10设n X X X ,,,21 是来自正态总体2,(σμN ）的简单随机样本，X 是样本均值，记 ∑=--=n i i X X n S 1221)(11 ∑=-=n i i X X n S 1222 )(1 ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ ∑=-=n i i X n S 1224 )(1μ 则服从自由度为n -1的t 分布的随机变量是 ( ) （A ）1/1--=n S X t μ （B ）1/2--=n S X t μ（C ）n S X t /3μ-= （D ）n S X t /4μ-= 11.设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( ) （A ）X+Y 服从正态分布。 （B ）X 2+Y 2服从x 2分布。 （C ）X 2和Y 2都服从x 2分布。 （D ）X 2 / Y 2服从F 分布。

样本及抽样分布知识讲解

第六章 样本及抽样分布 【内容提要】 一、简单随机样本与统计量 1. 总体 用来表征某一随机试验的数量指标X ，其概率分布称为总体的分布。 2. 简单随机样本 在相同条件下，对总体X 进行n 次独立的重复观察，将所得结果12,,...,n X X X 称为从总体X 中抽取的容量为n 的简单随机样本，试验结束后，可得一组数值12,,...,n x x x ，称其为 12,,...,n X X X 的观察值。 注:若12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，则12,,...,n X X X 相互独立，且与总体X 同分布。 3. 统计量 设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12(,,...,)n T g X X X =为样本12,,...,n X X X 的实值函数，且不含任何未知参数，则称12(,,...,)n T g X X X =为一个统计量，将样本值12,,...,n x x x 代入后算出的函数值12(,,...,)n t g x x x =称为该统计量的值。 注:设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12,,...,n x x x 为相应的样本值，则常用的统计量有: 4. 经验分布函数 设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12,,...,n x x x 为相应的样本值，将样本值 按由小到大的顺序重新编号12,1r x x x r n ***<

统计量及其抽样分布练习题

第六章 统计量及其抽样分布 练习题 一、填空题（共10题，每题2分，共计20分） 1．简单随机抽样样本均值X 的方差取决于_________和_________，要使X 的标准差降低到原来的50％，则样本容量需要扩大到原来的_________倍。 2. 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________。 3．若(5)X t ，则2X 服从_______分布。 4．已知0.95(10,5) 4.74F =，则0.05(5,10)F 等于___________。 5．中心极限定理是说：如果总体存在有限的方差，那么，随着_________的增加，不论这个总体变量的分布如何，抽样平均数的分布趋近于_____________。 6. 总体分布已知时，样本均值的分布为_________抽样分布；总体分布未知，大样本情况下，样本均值的分布为_________抽样分布。 7. 简单随机样本的性质满足_________和_________。 8.若(2,4)X N ，查分布表，计算概率(X 3)P ≥=_________。若(X )0.9115P a ≤=，计算a =_________。 9. 若12~(0,2),~(0,2),X N X N 1X 与2X 独立，则2212X X +（）/2服从______分布。 10. 若~(16,4)X N ，则5X 服从___________分布。 二、选择题（共10题，每题1分，共计10分）

1．中心极限定理可保证在大量观察下 ( ) A ． 样本平均数趋近于总体平均数的趋势 B ． 样本方差趋近于总体方差的趋势 C ． 样本平均数分布趋近于正态分布的趋势 D. 样本比例趋近于总体比例的趋势 2．设随机变量()(1)X t n n >，则21/Y X =服从 ( ) 。 A. 正态分布 B.卡方分布 C. t 分布 D. F 分布 3．某品牌袋装糖果重量的标准是（500±5）克。为了检验该产品的重量是否符合标准，现从某日生产的这种糖果中随机抽查10袋，测得平均每袋重量为498克。下列说法中错误的是（ ） A. 样本容量为10 B .抽样误差为2 C. 样本平均每袋重量是统计量 D. 498是估计值 4．设总体均值为100，总体方差为25，在大样本情况下，无论总体的分布形式如何，样本平均数的分布都是服从或近似服从( ) A. (100/,25)N n B. N C. (100,25/)N n D. (100,N 5、设2(0,1),(5),X N Y χ且X 与Y 独立，则随机变量_________服从自由度为5的t 分布。 （ ） A. /X Y B. 5/Y X C. /X /

样本及抽样分布

第六章样本及抽样分布 【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念； 2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算； 3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论； 4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。 【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布， F分布；分位数的理解和计算。 【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。 【学时分配】4学时 【授课内容】 §6.0 前言 前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。其研究方法是归纳法（部分到整体）。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。 §6.1 随机样本 1

一、总体与样本 1.总体、个体 在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。 例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。 但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标X可能取值的全体组成的集合等同起来。 定义1：把研究对象的全体（通常为数量指标X可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。 我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指标X的分布，因此，X的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体X。根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体和无限总体。 例1：考察一块试验田中小麦穗的重量： X=所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体——每个麦穗重x 2

抽样分布习题与答案

第 4 章抽样分布自测题选择题 1.抽样分布是指（） A. 一个样本各观测值的分布C. 样本统计量的分布 B. 总体中各观测值的分布D. 样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（） 2 A. B. x C.2 D. n 3.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（） 2 A. B.x C.2 D. n 4.从均值为，方差为2 n 的样本，则（）的任意一个总体中抽取大小为 A.当 n 充分大时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 B.只有当 n<30 时，样本均值x的分布近似服从正态分布 C.样本均值 x 的分布与n无关 D. 无论 n 多大，样本均值x 的分布都是非正态分布 5.假设总体服从均匀分布，从该总体中抽取容量为 36 的样本，则样本均值的抽样分布（） A. 服从非正态分布 B. 近似正态分布 C. 服从均匀分布 D. 服从 2 分布 6. 从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本，则当样本容量增大时，样 本均值的标准差（） A. 保持不变 B. 增加 C.减小 D.无法确定 7. 某大学的一家快餐店记录了过去 5 年每天的营业额，每天营业额的均值为2500 元，标准差为 400 元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100 天，并计算这100 天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（） A. 正态分布，均值为250 元，标准差为40 元 B. 正态分布，均值为2500 元，标准差为40 元 C.右偏，均值为2500 元，标准差为400 元 D. 正态分布，均值为2500 元，标准差为400 元 8. 在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟。如果从饭店门口随机抽取 81 名顾客并记录他们等待出租车的时间，则样本均值的抽样分布是（） A. 正态分布，均值为12 分钟，标准差为0.33 分钟 B. 正态分布，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟 C. 左偏分布，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟

分子量及分布

分子量及分布 一、DLS(Dynamic Light Scattering ) 动态光散射 1.测试适用于：测量粒径，Zeta电位、大分子的分子量等 2.测试原理： 光通过胶体时，粒子会将光散射，在一定角度下可以检测到光信号，所检测到的信号是多个散射光子叠加后的结果，具有统计意义.瞬间光强不是固定值，在某一平均值下波动，但波动振幅与粒子粒径有关。某一时间的光强与另一时间的光强相比，在极短时间内，可以认识是相同的，我们可以认为相关度为1,在稍长时间后，光强相似度下降，时间无穷长时，光强完全与之前的不同，认为相关度为0。根据光学理论可得出光强相关议程。正在做布朗运动的粒子速度，与粒径（粒子大小）相关（Stokes - Einstein方程）。大颗粒运动缓慢，小粒子运动快速。如果测量大颗粒，那么由于它们运动缓慢，散射光斑的强度也将缓慢波动。类似地，如果测量小粒子，那么由于它们运动快速，散射光斑的密度也将快速波动。附件五显示了大颗粒和小粒子的相关关系函数。可以看到，相关关系函数衰减的速度与粒径相关，小粒子的衰减速度大大快于大颗粒的。最后通过光强波动变化和光强相关函数计算出粒径及其分布。 二、GPC（Gel Permeation Chromatography ） 凝胶渗透色谱 1.测试适用于：分离相对分子质量较小的物质，并且还可以分析

分子体积不同、具有相同化学性质的高分子同系物。 2.测试原理： 让被测量的高聚物溶液通过一根内装不同孔径的色谱柱，柱中可供分子通行的路径有粒子间的间隙（较大）和粒子内的通孔（较小）。当聚合物溶液流经色谱柱时，较大的分子被排除在粒子的小孔 之外，只能从粒子间的间隙通过，速率较快；而较小的分子可以进入粒子中的小孔，通过的速率要慢得多。经过一定长度的色谱柱，分子根据相对分子质量被分开，相对分子质量大的在前面（即淋洗时间短），相对分子质量小的在后面（即淋洗时间长）。自试样进柱到被淋洗出来，所接受到的淋出液总体积称为该试样的淋出体积。当仪器和实 验条件确定后，溶质的淋出体积与其分子量有关，分子量愈大，其淋出体积愈小。 3.测试步骤： 直接法：在测定淋出液浓度的同时测定其粘度或光散射，从而求出其分子量。间接法：用一组分子量不等的、单分散的试样为 标准样品，分别测定它们的淋出体积和分子量，则可确定二者之间的关系. 1).溶剂的选择：能溶解多种聚合物；不能腐蚀仪器部件；与检 测器相匹配。 2).把激光光散射与凝胶色谱仪联用，在得到浓度谱图的同时，还可得到散射光强对淋出体积的谱图，从而计算出分子量分布曲线和整个试样的各种平均分子量

习题六 样本及抽样分布.

习题六样本及抽样分布 一、填空题 1．设来自总体的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =； 2．在总体中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值落在4与6之间的概率 = 0.9332 ； 3．设某厂生产的灯泡的使用寿命 (单位:小时，抽取一容量为9的样本，得到 ，则； 4．设为总体的一个样本，则 0.025 ； 5．设为总体的一个样本，且服从分布，这里， ，则1/3 ； 6．设随机变量相互独立，均服从分布且与分别是来自总体的简单随机样本，则统计量服从参数为 9 的 t 分布。 7．设是取自正态总体的简单随机样本且 ，则 0.05 ， 0.01 时，统计量服从分布，其自由度为 2 ；

8．设总体 X 服从正态分布,而是来自总体的简单随机样 本，则随机变量 服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量则 F(n,1 ； 10．设随机变量且，A为常数，则 0.7 二、选择题 1．设是来自总体的简单随机样本，是样本均值， 记 则服从自由度的分布的随机变量是（ A ）； A． B． C． D． 2．设是经验分布函数，基于来自总体的样本，而是总体的分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的（ B ） A．是分布函数 B．依概率收敛于 C．是一个统计量 D．其数学期望是

3．设总体服从0－1分布，是来自总体的样本，是样本均值，则下列各选项中的量不是统计量的是（ B ） A． B． C． D． 4．设是正态总体的一个样本，其中已知而未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ C ）。 A． B． C． D． 5．设和分别来自两个正态总体和的样本，且相互独立，分别为两个样本的样本方差，则服从的统计量是（ B ） A． B． C． D． 6．设是正态总体的一个样本，和分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有（ D ） A．相互独立； B．与相互独立； C．与相互独立D．与相互独立。

抽样分布习题及答案培训资料

第4章 抽样分布自测题 选择题 1.抽样分布是指（ ） A. 一个样本各观测值的分布 B. 总体中各观测值的分布 C. 样本统计量的分布 D. 样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（ ） A. μ B. x C. 2σ D. n 2 σ 3. 根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ ） A. μ B. x C. 2σ D. n 2σ 4. 从均值为μ，方差为2σ的任意一个总体中抽取大小为n 的样本，则（ ） A. 当n 充分大时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 B. 只有当n<30时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 C. 样本均值x 的分布与n 无关 D. 无论n 多大，样本均值x 的分布都是非正态分布 5. 假设总体服从均匀分布，从该总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（ ） A. 服从非正态分布 B. 近似正态分布 C. 服从均匀分布 D. 服从2χ分布 6. 从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本，则当样本容量增大时，样本均值的标准差（ ） A. 保持不变 B. 增加 C.减小 D.无法确定 7. 某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（ ） A. 正态分布，均值为250元，标准差为40元 B. 正态分布，均值为2500元，标准差为40元 C.右偏，均值为2500元，标准差为400元 D. 正态分布，均值为2500元，标准差为400元 8. 在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12分钟，标准差为3分钟。如果从饭店门口随机抽取81名顾客并记录他们等待出租车的时间，则样本均值的抽样分布是（ ） A. 正态分布，均值为12分钟，标准差为0.33分钟 B. 正态分布，均值为12分钟，标准差为3分钟 C. 左偏分布，均值为12分钟，标准差为3分钟

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第六章样本及抽样分布 【基本要求】 1、理解总体、个体和样本的概念； 2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算； 3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论； 4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。 【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布—— 2 分布，t分布， F分布；分位数的理解和计算。 【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。 【学时分配】 4 学时 【授课内容】 §6.0前言 前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一 门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性； 而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的 一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来 选择、构造数学模型（即研究随机现象）。其研究方法是归纳法（部分到整体）。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理 统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。 § 6.1随机样本 1

一、总体与样本 1.总体、个体 在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。 例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是 个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每 个男大学生就是个体。 但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几 项数量指标 X ( 可以是向量 ) 和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中 X 是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X 的这样或那样的数值，因而这个数量指标X 是一个随机变量（或向量），而 X 的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标 X 可能取值的全体组成的集合等同起来。 定义 1：把研究对象的全体（通常为数量指标X 可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。 我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X 的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指 标 X 的分布，因此， X 的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体 X 。根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体 和无限总体。 例 1：考察一块试验田中小麦穗的重量： X =所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体——每个麦穗重x 2

统计学习题答案 第4章 抽样与抽样分布

统计学习题答案第4章抽样与抽样分布

第4章抽样与抽样分布——练习题(全免) 1. 一个具有64 n个观察值的随机样本抽自于均 = 值等于20、标准差等于16的总体。 ⑴给出x的抽样分布（重复抽样）的均值和标 准差 ⑵描述x的抽样分布的形状。你的回答依赖于 样本容量吗？ ⑶计算标准正态z统计量对应于5.15 = x的值。 ⑷计算标准正态z统计量对应于23 x的值。 = 解: 已知n=64，为大样本，μ=20，σ=16， ⑴在重复抽样情况下，x的抽样分布的均值为 a. 20, 2 b. 近似正态 c. -2.25 d. 1.50 2 . 参考练习4.1求概率。 ⑴x<16；⑵x>23；⑶x>25；⑷.x落在16和22之间；⑸x<14。 解: a. 0.0228 b. 0.0668 c. 0.0062 d. 0.8185 e. 0.0013 3. 一个具有100 n个观察值的随机样本选自于 = μ、16=σ的总体。试求下列概率的近似值：30 =

解: a. 0.8944 b. 0.0228 c. 0.1292 d. 0.9699 4. 一个具有900=n 个观察值的随机样本选自于100=μ和10=σ的总体。 ⑴ 你预计x 的最大值和最小值是什么？ ⑵ 你认为x 至多偏离μ多么远？ ⑶ 为了回答b 你必须要知道μ吗？请解释。 解:a. 101, 99 b. 1 c. 不必 5. 考虑一个包含x 的值等于0，1，2，…，97，98，99的总体。假设x 的取值的可能性是相同的。则运用计算机对下面的每一个n 值产生500个随机样本，并对于每一个样本计算x 。对于每一个样本容量，构造x 的500个值的相对频率直方图。当n 值增加时在直方图上会发生什么变化？存在什么相似性？这里30,10,5,2====n n n n 和50=n 。 解:趋向正态 6. 美国汽车联合会（AAA ）是一个拥有90个俱 乐部的非营利联盟，它对其成员提供旅行、

统计学抽样与抽样分布练习题

第6章 抽样与抽样分布 练习题 6.1 从均值为200、标准差为50的总体中，抽取100=n 的简单随机样本，用样本均值x 估计总体均值。 （1） x 的数学期望是多少？ （2） x 的标准差是多少？ （3） x 的抽样分布是什么？ （4） 样本方差2 s 的抽样分布是什么？ 6.2 假定总体共有1000个单位，均值32=μ，标准差5=σ。从中抽取一个样本量为30的简单随机样本用于获得总体信息。 （1）x 的数学期望是多少？ （2）x 的标准差是多少？ 6.3 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。样本均值的抽样标准差x σ等于多少? 6.4 设总体均值17=μ，标准差10=σ。从该总体中抽取一个样本量为25的随机样本，其均值为25x ；同样，抽取一个样本量为100的随机样本，样本均值为100x 。 （1）描述25x 的抽样分布。 （2）描述100x 的抽样分布。 6.5 从10=σ的总体中抽取样本量为50的随机样本，求样本均值的抽样标准差： （1）重复抽样。 （2）不重复抽样，总体单位数分别为50000、5000、500。 6.6 从4.0=π的总体中，抽取一个样本量为100的简单随机样本。 （1）p 的数学期望是多少? （2）p 的标准差是多少? （3）p 的分布是什么？ 6.7 假定总体比例为55.0=π，从该总体中分别抽取样本量为100、200、500和1000的样本。

（1） 分别计算样本比例的标准差p σ。 （2） 当样本量增大时，样本比例的标准差有何变化？ 6.8 假定顾客在超市一次性购物的平均消费是85元，标准差是9元。从中随机抽取40个顾 客，每个顾客消费金额大于87元的概率是多少？ 6.9 在校大学生每月的平均支出是448元，标准差是21元。随机抽取49名学生，样本均值 在441～446之间的概率是多少？ 6.10 假设一个总体共有8个数值：54，55，59，63，64，68，69，70。从该总体中按重复 抽样方式抽取2=n 的随机样本。 （1） 计算出总体的均值和标准差。 （2） 一共有多少个可能的样本？ （3） 抽出所有可能的样本，并计算出每个样本的均值。 （4） 画出样本均值的抽样分布的直方图，说明样本均值分布的特征。 （5） 计算所有样本均值的平均数和标准差，并与总体的均值和标准差进行比较，得 到的结论是什么？ 6.11 从均值为5.4=μ，方差为25.82=σ的总体中，抽取50个由5=n 个观测值组成的 随机样本，结果见Book6.11。 （1） 计算每一个样本的均值。 （2） 构造50个样本均值的相对频数分布，以此代表样本均值x 的抽样分布。 （3） 计算50个样本均值的平均值和标准差x σ。 6.12 来自一个样本的50个观察值见Book6.12。 （1） 用组距为10构建频数分布表，并画出直方图。 （2） 这组数据大概是什么分布？

分子量及分子量分布检测方法

分子量及分子量分布检测方法 1 范围 本标准规定了用高效体积排阻色谱法（HPSEC)测定可溶性聚乳酸平均分子量（Mw）和分子量分布的方法。 本标准适用于外科植入物用，能被三氯甲烷（或其他溶剂）完全溶解的包括聚（L-乳酸）树脂（或缩写PLLA）、聚（D-乳酸）树脂（或缩写PDLA）、任何比率的DL型共聚体以及丙交酯（或缩写PLA）和丙交酯-乙交酯共聚物（或缩写PLGA）的材料。 注1：本方法不是绝对的方法，要求使用市售窄分子量分布聚苯乙烯标准物质进行校正。 注2：由于聚乳酸产品在生产加工及灭菌过程中（特别是辐照灭菌），会影响材料本身的分子量及分子量分布，因此在评价产品时，宜采用成品进行检测。 2 规范性引用文件 下列文件对于本文件的应用是必不可少的。凡是注日期的引用文件，仅注日期的版本适用于本文件。凡是不注日期的引用文件，其最新版本（包括所有的修改单）适用于本文件。 GB/T 2035-2008 塑料术语及定义 3 术语、定义 GB/T 2035-2008界定的以及下列术语和定义适用于本文件 3.1 聚乳酸 polylactic acid,PLA 包括聚（L-乳酸）树脂（或缩写PLLA）、聚（D-乳酸）树脂（或缩写PDLA）。 3.2 丙交酯-乙交脂共聚物 polylactic acid- polyglycolide acid copolymer，PLGA 由丙交酯及乙交脂按一定比例共聚得到的高分子化合物。 4 方法概要 溶解于溶剂的聚乳酸样品注入填有固体基质的色谱柱，按照溶液中聚合物分子大小顺序分离。自进样开始检测器持续监测从柱中出来的洗脱时间，从柱中流出分子按照尺寸分离，并按照其浓度分离的分子量被检测和记录。通过校正曲线，洗脱时间可以转为分子量，样品的各种分子量参数可由分子量/浓度数据计算得出。 5 试剂和材料 5.1 溶剂：本方法推荐使用三氯甲烷（CHCl3）。任何与HPSEC系统组分和柱填料相容的溶剂，并且可溶解聚乳酸样品的溶剂均可以考虑使用。选择溶剂应考虑试剂的纯度和一致性，例如四氢呋喃易与氧气

抽样分布习题

抽样分布习题 1.抽样分布是指（ C ） A 一个样本各观测值的分布 B 总体中各观测值的分布 C 样本统计量的分布 D 样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（ A ）。 A μ B x C 2σ D n 2 σ 3.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ D ）。 A μ B x C 2σ D n 2 σ 4.从一个均值μ=10，标准差σ=0.6的总体中随机选取容量为n=36的样本。假定该总体并不是很偏的，则样本均值x 小于 9.9的近似概率为（ A ）。 A 0.1587 B 0.1268 C 0.2735 D 0.6324 5.假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（ B ） A 服从非正态分布 B 近似正态分布 C 服从均匀分布 D 服从2χ分布 6.从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样

本，当样本容量增大时，样本均值的标准差（ C ）A 保持不变 B 增加 C 减小D 无法确定 7. 总体均值为50，标准差为8，从此总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值的抽样分布的均值和标准误差分布为（ B ）。 A 50，8 B 50，1 C 50，4 D 8，8 8.某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（ B ）。 A 正态分布，均值为250元，标准差为40元 B 正态分布，均值为2500元，标准差为40元 C 右偏分布，均值为2500元，标准差为400元 D 正态分布，均值为2500元，标准差为400元 9. 某班学生的年龄分布是右偏的，均值为22，标准差为4.45，如果采取重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，则样本均值的抽样分布是（ A ） A 正态分布，均值为22，标准差为0.445 B 分布形状未知，均值为22，标准差为4.45

习题六__样本及抽样分布解答

样本及抽样分布 一、填空题 1 ?设来自总体X的一个样本观察值为：2.1, 5.4, 3.2, 9.8, 3.5,则样本均值= 4.8 ,样本方差=2.7161 2； 2. 在总体X ~ N (5,16)中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值X落在4 与6之间的概率=0.9332 ; 3. 设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N(1000,二2)仲位:小时)，抽取一容量为 9 的样本，得到殳=940,s =100 ,则P(X ：：： 940) = ___________ ; 7 4. 设X1,X2,?., X7 为总体X ~ N(0,0.52)的一个样本，则Pr X i24^ 0.025 : i=1 5. 设X1,X2,...,X6为总体X ~ N(0,1)的一个样本，且CY服从2分布，这里， Y =(X1 X2 X3)2(X4 X5 X6)2,则C=血_ ； 6?设随机变量X,Y相互独立，均服从N(0,32)分布且X1,X2,...,X9与Y,Y2,...,Y分 别是来自总体X ,Y的简单随机样本，则统计量U= X1... X9服从参数为—9 H2+...+Y2 的_L_分布。 7. 设X11X21X31X4是取自X ~ N(0,22)正态总体的简单随机样本且 ^a(X^2X2)2b(3X^4X4)2,,则a = 0.05 , 0.01 时，统计量Y 服从 2分布，其自由度为一2_; 1 9. 设随机变量X ~t(n)(n 1),Y 2,则Y~ —; X 1 10. 设随机变量X~F(n,n)且P(X∣>A) = 0.3 , A 为常数，则P(XA—)= 0.7 A

8. 设总体X服从正态分布X ~ N(0,22),而X1,X2,...,X15是来自总体的简单随机 X 2十+X2 样本，则随机变量Y X1 2... 利服从F 分布，参数为10,5 ; 2(X11 +...+X15)

抽样技术简答题及答案

抽样技术各类简答题参考答案 习题一 1.请列举一些你所了解的以及被接受的抽样调查。 略 2. 抽样调查基础理论及其意义； 答：大数定律，中心极限定理，误差分布理论，概率理论。 大数定律是统计抽样调查的数理基础，也给统计学中的大量观察法提供了理论和数学方面的依据；中心极限定理说明，用样本平均值产生的概率来代替从总体中直接抽出来的样本计算的抽取样本的概率，为抽样推断奠定了科学的理论基础；认识抽样误差及其分布的目的是希望所设计的抽样方案所取得的绝大部分的估计量能较好的集中在总体指标的附近，通过计算抽样误差的极限是抽样误差处于被控制的状态；概率论作为数学的一个分支而引进统计学中，是统计学发展史上的重要事件。 3.抽样调查的特点。 答：1）随机抽样；2）以部分推断总体；3）存在抽样误差，但可计算，控制；4）速度快、周期短、精度高、费用低；5）抽样技术灵活多样；6）应用广泛。 4.样本可能数目及其意义； 答：样本可能数目是在容量为N的总体中抽取容量为n的样本时，所有可能被抽中的不同样本的个数，用A表示。 意义：正确理解样本可能数目的概念，对于准确理解和把握抽样调查误差的计算，样本统计量的抽样分布、抽样估计的优良标准等一系列理论和方法问题都有十分重要的帮助。 5. 影响抽样误差的因素； 答：抽样误差是用样本统计量推断总体参数时的误差，它属于一种代表性误差，在抽样调查中抽样误差是不可避免的，但可以计算，并且可以被控制在任意小的范围内；影响 抽样误差的因素：1)有样本量大小,抽样误差通常会随着样本量的大小而增减，在某 些情形下，抽样误差与样本量大小的平方根成反比关系；2)所研究现象总体变异程度 的大小，一般而言，总体变异程度越大则抽样误差可能越大；3）抽样的方式方法， 如放回抽样的误差大于不放回抽样，各种不同的抽样组织方式也常会有不同的抽样误 差。 在实际工作中，样本量和抽样方式方法的影响是可以控制的，总体变异程度虽不可以 控制，但却可通过设计一些复杂的抽样技术而将其影响加以控制。 习题二 三简答题 1 概率抽样与非概率抽样的区别 答：概率抽样是指在抽取样本单元时，每个总体单元有一个非零的入样概率，并且样本单元的抽取应遵循一定的随机化程序。 2 普查与抽样调查的区别 答：普查是对总体的所有单元进行调查；抽样调查仅对总体中的部分单元进行调查。 3何谓抽样效率，如何评价设计效果？ 答：两个抽样方案的抽样方差之比为抽样效率。当某个估计量的方差比另一估计量的方差小时，则称方差小的估计量效率比较高，因方差的大小与样本容量有直接的关系，因此比

第四章聚合物的分子量和分子量分布

第四章 聚合物的分子量和分子量分布 一、 概念 1、 特性粘度 2、Mark-Houwink 方程 3、 M n 、M w 、M η的定义式 4、普适校正曲线 二、选择答案 1、（ ）可以快速、自动测定聚合物的平均分子量和分子量分布。 A 粘度法， B 滲透压法， C 光散射法， D 凝胶渗透色谱(GPC)法 2、下列四种方法中，（ ）可以测定聚合物的重均分子量。 A 、粘度法， B 、滲透压法， C 、光散射法， D 、沸点升高法 3、特性粘度[η]的表达式正确的是（ ）。 A 、c sp /η B 、c /ln γη C 、 c sp o c /lim η→ D 、c o c /lim γη→ 三、填空题 1、高分子常用的统计平均分子量有数均分子量、重均分子量、Z 均分子量和 ，它们之间的关系M z ≥M w ≥ ≥M n 。 2、测定聚合物分子量的方法很多，如端基分析法可测 分子量，光散射法可测重均分子量，稀溶液粘度法可测 分子量。 3、凝胶渗透色谱GPC 可用来测定聚合物的 和 。溶质分子体积越小，其淋出体积越大。 四、回答下列问题 1、简述GPC 的分级测定原理。 2、测定聚合物平均分子量的方法有哪些？得到的是何种统计平均分子量？ 五、计算题 1、 35℃时，环己烷为聚苯乙烯（无规立构）的θ溶剂。现将300mg 聚苯乙烯（ρ=1.05 g/cm 3，Mn=1.5×105）于35℃溶于150ml 环己烷中，试计算：（1）第二维利系数A 2；（2）溶液的渗透压。 2、粘度法测定PS 试样的分子量，已知25ml 苯溶液溶解PS 为0.2035g ，30℃恒温下测溶液的流出时间为148.5秒，而溶剂苯的流出时间为102.0秒，试计算该试样的粘均分子量。（30℃，k=0.99×10-2ml/g ，α=0.74）

样本与抽样分布

第六章样本与抽样分布 §6.1 数理统计的基本概念 一．数理统计研究的对象 例：有一批灯泡，要从使用寿命这个数量指标来看其质量,设寿命用X表示。 (1)若规定寿命低于1000小时的产品为次品。此问题是求P(X 1000)=F(10000),求F(x)? (2)从平均寿命、使用时数长短差异来看其质量，即求E(x)?、D(x)?。 要解决二个问题

1．试验设计抽样方法。 2．数据处理或统计推断。 方法具有“从局部推断总体”的特点。 二.总体（母体）和个体 1.所研究对象的全体称为总体，把组成总体的每一个对象成员（基本单元）称为个体。 说明： (1)对总体我们关心的是研究对象的某一项或某几项数量指标(或属性指标)以及他们在整体中的分布。所以总体是个体的数量指标的全体。 (2)为研究方便将总体与一个R.V X

对应(等同)。 a.总体中不同的数量指标的全体， 即是R.V.X的全部取值。 b.R.V X的分布即是总体的分布 情况。 例：一批产品是100个灯泡，经测试其寿命是： 1000小时1100小时 1200小时 20个30个50个 X 1000 1100 1200 P 20/100 30/100

50/100 (设X表示灯泡的寿命)可知R.V.X的分布律， 就是总体寿命的分布，反之亦然。 常称总体X，若R.VX～F(x)，有时也用F(x)表示一个总体。 (3)我们对每一个研究对象可能要观测两个或多个数量指标，则可用多维随机向量（X,Y,Z, …）去描述总体。 2.总体的分类 有限总体 无限总体

三．简单随机样本. 1.定义6.1 ：从总体中抽得的一部分个体组成的集合称为子样（样本），取得的个体叫样品，样本中样品的个数称为样本容量（也叫样本量）。每个样品的测试值叫观察值。 取得子样的过程叫抽样。 样本的双重含义： (1)随机性： 用(X 1，X 2, ……X n) n维随机向量表 示。 X i表示第i个被抽到的个体，是随机变量。（i=1,2,…n）

贾俊平《统计学》(第5版)课后习题-第6章 统计量及其抽样分布【圣才出品】

第6章　统计量及其抽样分布一、思考题 1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？ 答：（1）设12n X X X ，， …，是从总体X 中抽取的容量为n 的一个样本，如果由此 样本构造一个函数12()n T X X X ，，…，，不依赖于任何未知参数，则称函数12()n T X X X ，，…，是一个统计量。 （2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。 （3）统计量是样本的一个函数。由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。 2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？ 1121021210310410()/10 min() T X X X T X X X T X T X μ μσ =+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故1T 、2T 是统计量，3T 、4T 不是统计量。

3．什么是次序统计量？ 答：设12n X X X ，， …，是从总体X 中抽取的一个样本，()i X 称为第i 个次序统计量，它是样本 12()n X X X ，，…，满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值12X X ，，…，n X 时，其由小到大的排序 (1)(2)()()i n X X X X ≤≤≤≤≤……中，第i 个值()i X 就作为次序统计量()i X 的观测值，而(1)(2)()n X X X ，，…，称为次序统计量，其中(1)X 和()n X 分别为最小和最大次序统计量。 4．什么是充分统计量？ 答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。 5．什么是自由度？ 答：统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的变量的个数。 6．简述2 χ分布、t 分布、F 分布及正态分布之间的关系。答：（1）随机变量X 1，X 2，… X n 相互独立，且都服从标准正态分布，则它们的平方和21 n i i X =∑服从自由度为n 的2 χ分布。（2）随机变量X 服从标准正态分布，Y 服从自由度为n 的2 χ分布，且X 与Y 独立，

抽样分布习题()

抽样分布习题 1?抽样分布是指（C） A 一个样本各观测值的分布B总体中各观测值的分布 C样本统计量的分布D样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值 的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（ A ）。 2 A 1 B x C c2 D — n 3.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值 的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ D ）。 _ 2 A 1 B x C c2 D — n 4.从一个均值［=10，标准差二=0.6的总体中随机选取容量为 n=36的样本。假定该总体并不是很偏的，则样本均值x小于 9.9的近似概率为（A）o A 0.1587 B 0.1268 C 0.2735 D 0.6324 5.假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（ A服从非正态分布B近似正态分布C服从均匀分布D服从2分布

6.从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样

本，当样本容量增大时，样本均值的标准差（ A 保持不变 B 增加 C 减小 D 无法确定 7. 总体均值为 50，标准差为 8，从此总体中随机抽取容量为 64的样本， 则样本均值的抽样分布的均值和标准误差分布为 （ B ）。 A 50，8 B 50，1 C 50，4 D 8，8 8. 某大学的一家快餐店记录了过去 5 年每天的营业额，每天 营业额的均值为 2500元，标准差为 400 元。由于在某些节日 的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这 5 年中随机抽取 100 天，并计算这 100 天的平均营业额，则 样本均值的抽样分布是（ A 正态分布，均值为 22，标准差为 0.445 B 分布形状未知，均值为 22，标准差为 4.45 样本均值的抽样分布是 B ）。 9. 正态分布， 正态分布， 右偏分布， 正态分布， 均值为 均值为 均值为 均值为 250 元，标准差为 40 元 2500元，标准差为 40 元 2500元，标准差为 400 元 2500 元，标准差为 400 元 某班学生的年龄分布是右偏的， 均值为 22，标准差为 4.45， 如果采取重复抽样的方法从该班抽取容量为 100 的样本，则