7.2与三角形有关的角

7.2 与三角形有关的角

7.2.1 三角形的内角

【教学目标】

1.理解三角形内角和定理的推导;

2.感受简单的逻辑推理. 【重点，难点】

三角形内角和等于180度

【教学过程】

〖探索1〗

如图,直线DE 经过点A,DE ∥BC,∠B=m o,∠C=n o. (1)∠DAB 等于多少度?为什么? (2)∠EAC 等于多少度?为什么?

A

B E

(3)∠BAC 等于多少度?

〖阅读理解〗

(见P78) 〖试一试〗

如图,按以下格式证明三角形的内角和等于180o:

证明:过A 作DE ∥BC, ∵DE ∥BC(辅助线的作法),

∴∠1=∠B,∠3=∠C(________________). ∵∠1+∠2+∠3=180o (____________________),

∴∠B+∠2+∠C=∠1+∠2+∠3=180o (_____________________).

〖预备题〗

A B E

A

B

C

E

D

如图,AD∥BE,∠EBC=25o,∠EBA=70o,∠DAC=35o.图中哪些角是可求的,请按顺序求出来.

小结

三角形内角和等于180度

〖作业〗

P81.习题1,2,3,4.

各种三角形边长的计算公式

各种三角形边长的计算公式 解三角形 解直角三角形（斜三角形特殊情况）： 勾股定理 ,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2, 其中 a 和 b 分别为直角三角形两直角边,c 为斜边 .勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5. 他们分别是 3,4 和 5 的倍数 .常见的勾股弦数有： 3,4,5 ；6,8,10 ； 5,12,13;10,24,26; 等等 . 解斜三角形： 在三角形ABC a/SinA=b/SinB=中 , 角A,B,C c/SinC=2R 的对边分别为a,b,c. 则有 (R 为三角形外接圆半径 ) （ 1 ）正弦定理 （ 2 ）余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况（.3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法： 已知条件定理应用一般解法 一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出 b 与 c,在有解时有一解. 两边和夹角(如 a、b 、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边 所对的角 ,再由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解. 三边 (如 a、 b、 c) 余弦定理由余弦定理求出角 A 、B,再利用 A+B+C=180˙,求出角 C 在有解时只有一解 .

两边和其中一边的对角( 如 a 、 b 、 A)正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解. 勾股定理（毕达哥拉斯定理） 内容：在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平 方.几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90 °,则 AB2+BC 2=AC 2 勾股定理的逆定理也 成立 ,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方 ,则这个三角形是直角三角形几 何语言：若△ABC 满足 ,则∠ABC=90 °. [3] 射影定理（欧几里得定理） 内容：在任何一个直角三角形中 ,作出斜边上的高 ,则斜边上的高的平方等于高所 在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积 .几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90 °,作 BD ⊥AC,则 BD2 ＝AD ×DC 射影定理的拓展：若△ ABC满足∠ABC=90°,作BD ⊥ AC,(1)AB 2 =BD ·BC(2)AC 2 ;=CD ·BC (3)ABXAC=BCXAD 正弦定理 内容：在任何一个三角形中,每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与 三边边长和的乘积之比几何语言：在△ABC 中,sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三 角形 /abc结合三角形面积公式,可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是 外接圆半径） 余弦定理 内容：在任何一个三角形中,任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边 的 2 倍乘以它们夹角的余弦几何语言：在△ABC中,a2=b 2+c 2-2bc×cosA此定 理可以变形为： cosA= （ b 2+c 2-a 2 ）÷2bc

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π ， 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B )， cos 2 C =sin( 2 A + 2 B )， tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 （a+b+c ） 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ，sinB=2b R ，sinC= 2c R a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列，则B=3 π 三边成等差数列，则0

三角形边长的计算公式

解三角形 解直角三角形（斜三角形特殊情况）： 勾股定理,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a和b 分别为直角三角形两直角边,c为斜边.勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5.他们分别是3,4和5的倍数.常见的勾股弦数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13;10,24,26;等等. 解斜三角形： 在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况.（3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法： 已知条件定理应用一般解法 一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时有一解. 两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解. 三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180˙,求出角C 在有解时只有一解. 两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解.

练习-与三角形有关的角习题

与三角形有关的角习题 一、填空题 1．等腰三角形的一个内角是30°，那么这个三角形另两角的度数是_______． 2．过△ABC的顶点C作AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为40°和20°两个角，?那么∠A，∠B中较大的角的度数是_______． 3．一个三角形中，最多有_____个锐角，最少有_____个锐角，最多有_____钝角． 4．如图1，∠1=31°，∠2=52°，∠3=60°，则∠4的度数为______． 5．如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是_______． 6．如图3，△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，?BD?的延长线交AC于E，则∠ADE的度数是________． 7．如图4，五角星的五个角∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的度数之和等于________． 8．一个非直角三角形ABC的∠A=55°，三条高所在直线交于点H，则∠BHC?的度数是________． 二、选择题 9．三角形的三个内角中（）

A．至少有一个是钝角B．至少有一个是直角 C．至少有两个是锐角D．至多有两个是锐角 10．具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（） A．∠A+∠B=∠C B．∠B=∠C=1 2 ∠A C．∠A=90°-∠B D．∠A-∠B=90° 11．在锐角三角形中，∠A>∠B>∠C，则下列结论中错误的是（） A．∠A>60°B．∠B>45°C．∠C<60°D．∠B+∠C<90° 12．如图5，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（） A．30°B．36°C．45°D．70° 13．如图6，∠A=50°，BD，CD分别是∠B，∠C的平分线，则∠BDC等于（） A．65°B．100°C．115°D．130° 14．如果三角形三个内角度数的比是1：2：3，则这个三角形一定是（） A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．不能确定 答案：1．75°，75°或0°，120°2．70°3．3214．37°5．360?°?6．45°7．180°8．55°或125°9．C10．D11．D12．B13．C14．B

三角形的边与角试题与答案

三角形的边与角 一、选择题 1. （2016·湖北咸宁）如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论： ①BC DE =21 ； ② S S COB DOE △△=21； ③AB AD =OB OE ； ④ S S ADE ODE △△=31. 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 （第1题） 【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质． 【分析】①DE 是△ABC 的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定． 【解答】解：①∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=21 BC ，即BC DE =21 ； 故①正确； ②∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ∴△DOE ∽△COB ∴ S S COB DOE △△=（BC DE ）2=(21）2=41 , 故②错误； ③∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC ∴AB AD =BC DE △DOE ∽△COB ∴OB OE =BC DE ∴AB AD =OB OE ，

故③正确； ④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O 。 ∴点O 是△ABC 的重心， 根据重心性质，BO=2OE ，△ABC 的高=3△BOC 的高， 且△ABC 与△BOC 同底（BC ） ∴S △ABC =3S △BOC ， 由②和③知， S △ODE =41 S △COB ，S △ADE =41 S △BOC ， ∴ S S ADE ODE △△=31. 故④正确. 综上，①③④正确. 故选C. 【点评】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．要熟知：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边长度的一半；相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2. （2016·四川广安·3分）下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定． 【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题． 【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外．

人教版初二数学与三角形有关的角教案

第十一章三角形 第一节：与三角形有关的角 1．三角形内角和定理 (1)定理：三角形三个内角的和等于180°. (2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC. (3)理解与延伸： 因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等． (4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数． 谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛． 【例1】填空： (1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°； (2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°； (3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，

∠C＝__________°. 2．直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°. 【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()． A．43°B．47°C．30°D．60° (2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．提示：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角之和为180°，如果有两个角的和为90°，那么第三个角自然是直角．由直角三角形定义可知，该三角形为直角三角形． 【例2－2】如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形． 3．三角形的外角 (1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD就是△ABC其中的一个外角．

与三角形有关的角测试题及答案

与三角形有关的角测试题 一、选择题 1、一个三角形的两个内角分别是55°和65°，不可能是这个三角形外角的是（） A．115°B．120° C．125°D．130° 2、如图，已知∠1=20°，∠2=25°∠A=35°，则∠BDC的度数为（） A．50°B．80° C．70°D．60° 3、已知如下图所示，△ABC， （1）如图（1），若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则

（2）如图（2），若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°－∠A；（3）如图（3），若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则 上述说法正确的个数是（） A．0个B．1个 C．2个D．3个 4、如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4=（） A．100°B．200° C．280°D．300° 5、下列语句中，正确的是（） A．三角形的外角大于它的内角 B．三角形的一个外角等于它的两个内角 C．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角 D．三角形的外角和为180° 6、如图所示，住宅小区呈三角形ABC形状，且周长为2000m，现规划沿小区周围铺上宽为3m的草坪，则草坪的面积（精确到1m）是（）

A ．6000m 2 B ．6016m 2 C ．6028m 2 D ．6036m 2 7、在△ABC 中，AD⊥BC 于D ，且AD 将∠BAC 分成的两个小角度分别为20°和50°，则此三角形一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对 8、如图∠2＋α=180°，则下列式子中值为180°的是（ ） A ．α＋β＋γ B ．α＋β－γ C ．β＋γ－α D ．α－β＋γ 9、如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=（ ） A ．150° B ．180°

三角形边长公式

三角形边长公式 解三角形 解直角三角形（斜三角形特殊情况）： 勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等. 解斜三角形： 在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有（1）正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。（3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法： 已知条件定理应用一般解法 一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。 两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。 三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。 两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B，由 A+B+C=180˙求出角C，在利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。 勾股定理（毕达哥拉斯定理） 内容：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2勾股定理的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形几何语言：若△ABC满足，则∠ABC=90°。 [3]射影定理（欧几里得定理） 内容：在任何一个直角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积。几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，则BD2＝AD×DC 射影定理的拓展：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，(1)AB2=BD·BC (2)AC2;=CD·BC (3)ABXAC=BCXAD 正弦定理 内容：在任何一个三角形中，每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边边长和的乘积之比几何语言：在△ABC中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S

八上数学《与三角形有关的角》练习题

八上《与三角形有关的角》练习题 1．△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________． 2．已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 3．△ABC 中，∠A=∠B+∠C ，则∠A=______度． 4．根据下列条件，能确定三角形形状的是（ ） （1）最小内角是20°； （2）最大内角是100°； （3）最大内角是89°； （4）三个内角都是60°； （5）有两个内角都是80°． A ．（1）、（2）、（3）、（4） B ．（1）、（3）、（4）、（5） C ．（2）、（3）、（4）、（5） D ．（1）、（2）、（4）、（5） 5．如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______度． 6．三角形中最大的内角不能小于_______度， 最小的内角不能大于______度． 7．△ABC 中，∠A 是最小的角，∠B 是最大的角，且∠B=4∠A ，求∠B 的取值范围． 8．如图2，在△ABC 中，∠BAC=4∠ABC=4∠C ，BD ⊥AC 于D ， 求∠ABD 的度数． 综合创新作业 9．（综合题）如图3，在△ABC 中，∠B=66°，∠C=54°，AD 是 ∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，则∠BDE=_________． 10．（应用题）如图是一个大型模板，设计要求∠ADC=130°,现在 已测得∠A=40°，∠B=60°，∠C=100°。该模板是否合格？ 11．（创新题）如图，△ABC 中，AD 是BC 上的高，AE 平分∠BAC ，∠B=75°，?∠C=45°，求∠DAE 与∠AEC 的度数． B A C D

三角形边角关系-第3讲的角与边学

第三讲三角形的角与边 一、基础知识 本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形中的边、角不等关系. 1.边与边的关系 (1)在同一个三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（三边满足什么条件时，三角形必然存在？）； (2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方. 2.角与角的关系 (1)三角形的内角和为180?； (2)直角三角形中两锐角互余; (3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； (4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和. 3.边和角的关系 (1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边; (2)在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么第三边大,则所对的角也大. 4.不等式变形时常用的性质 (1)若a>b,c>d,则a+c>b+d; (2)若a>b,c>d,则a-d>b-c; (3)若a>b,c>0,则ac>bc; 若a>b,c<0,则acb>0,则11 a b < ; (5)总量大于任何一个部分量. 5.三角形中的不等关系根源: (1)两点之间线段最短; (2)垂线段最短. 二、例题 第一部分边的问题 例1. (★★希望杯训练题)将三边长为a,b,c的三角形记作(a,b,c).写出周长为20,各边长为正整数的所有不同的三角形.

例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题）一个三角形的三条边的长分别是a,b,c（a,b,c都是质数），且a+b+c=16，则这个三角形是（） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.直角三角形或等腰三角形 例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中,如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( ) A.3 1 4 k << B. 1 1 3 k << C.12 k << D. 1 1 2 k << 例4. (★★★1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( ) A.17cm B.5cm C.17cm或5cm D.无法确定 例5. (★★★)如图3-1,已知P为三角形ABC内一点, 求证: 1 () 2 AB AC BC PA PB PC AB AC BC ++<++<++. 例6. (★★★第三十二届美国邀请赛试题)不等边三角形ABC的两条高长度为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.

与三角形有关的角

第2讲与三角形有关的角 一、知识重点 1．三角形内角和定理 (1)定理：三角形三个内角的和等于180°. (2)证明方法： (3)理解与延伸： 因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等． (4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数． 谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛． 【例1】填空： (1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°； (2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°； (3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°. 2．直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°. 【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()． A．43°B．47°C．30°D．60° .

答案：B (2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形． 【例2－2】如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形． ． 3．三角形的外角 (1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就是△ABC其中的一个外角． (2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带． ②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示． 破疑点三角形外角的理解外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意． 【例3】在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________. 4.三角形外角性质 (1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或

三角形的边与角的认识

三角形三大专题 知识互联网 题型一：整数边三角形 思路导航 1、边长都是整数的三角形，称为整数边三角形． 2、若三角形三边的长为a ，b ，c 且a b c ≤≤，则 ⑴ 三角形的最小的边a 满足：03 a b c a ++<≤，当且仅当a b c ==时，等号成立； ⑵ 三角形的最大的边c 满足：32 a b c a b c c ++++< ≤，当且仅当a b c ==时，等号成立． 方程（特别是不定方程）和不等式是解决整数边三角形或内角是整数的三角形的常用工具．运用这一工具时，枚举法（树状图）则是常用的方法，但要注意对求得的结果进行检验． 例题精讲 【引例】 已知等腰三角形的周长是8，边长是整数，则腰长是多少？ 典题精练 【例1】 ⑴若三角形的周长为60，求最大边的范围. ⑵设m 、n 、p 均为自然数，且m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长 的三角形共有多少个？ 【例2】 ⑴三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <<，若7b =，则有 个满足题意的 三角形. ⑵三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形． ⑶三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c ≤≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．

题型二：多边形及其内、外角和 思路导航 多边形及其内、外角和 （一）多边形及其内角和 1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ① 多边形的顶点、边、内角、外角、对角线 内角：A ∠、ABC ∠、C ∠、CDE ∠、E ∠…… 外角：α∠ 对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如BD . n 边形对角线条数： (3) 2 n n -条 ② 凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图） 图（a ）为凸多边形 图（b ）为凹多边形 （ a ） （b ） ③ 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （如图正六边形） AB=BC=CD=DE=EF=AF A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 2．多边形内角和：n 边形内角和等于(2)180n -?° ① 多边形内角和公式推理方法一： 过n 边形一个顶点，连对角线，可以得(3)n -条对角线，并且将n 边形分成 (2)n -个三角形，这(2)n -个三角形的内角和恰好是多边形的内角和． 将n 边形分成()2n -个三角形 ② 多边形内角和公式推理方法二： 在n 边形边上取一点与各顶点相连，得(1)n -个三角形，n 边形内角和等于这 (1)n -个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即 (1)180180(2)180n n -?-=-?°°° 将n 边形分成()1n -个三角形 F E D C B A

与三角形有关的角 教案

与三角形有关的角 11.2.1三角形的内角 学习目标： 1 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理 2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 学习重点： 三角形内角和定理。 学习难点: 三角形内角和定理的推理的过程 课前预习 预习课本P11-14及课后练习（课前完成） 三角的内角和多少？直角三角形两个锐和为多少？ 课内探究 让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出的度数，可得到 2、剪下，按图（2）拼在一起，从而还可得到 3、把和剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量的度数，会得到什么结果。 4、如果我们不用剪、拼的办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？已知 ，说明，结合图（1）、图（2）、图（3）能不能用图（4）也可以说明这个结论成立。你还有几种方法？ 【拓展延伸】 1、如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BOC=120°，则∠A= .

2、如图，AD 、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=58°，∠C=36°，∠EAD= . 3、如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=150°, 则∠EDF=________度. 4、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . 当 堂 检 测 1、⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O。 （1）若∠ABC = 40°，∠ACB = 50°，则∠BOC = 。 （2）若∠ABC +∠ACB =116°，则∠BOC = 。 （3）若∠A = 76°，则∠BOC = 。 （4）若∠BOC = 120°，则∠A = 。 （5）你能找出∠A与∠BOC 之间的数量关系吗？ 2、如图，⊿ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF = 度。 3、如图,已知D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于F交 AC于E,∠A=35°,∠D=42°,求∠ACD的度数. 课后反思 F D C B E A 第3题图 F E D C B A

八年级上册数学《三角形》与三角形有关的角-知识点整

与三角形有关的角 一、本节学习指导 本节知识点比较多要熟练掌握知识点：1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题；４．学会添加辅助线构造基本图形解决问题． 二、知识要点 １、三角形内角 （１）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 表示为：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°． 由三角形内角和定理可得： ①直角三角形的两个锐角互余. ②有两个角互余是三角形是直角三角形. （２）作用： 在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；已经知道了三角形的内角和等于180°，但要注意的是在解决实际问题时，这一点是不会在已知中说出，往往要把它作为隐含的条件来用． 三角形内角和定理证明方法很多，定理的证明需要添加辅助线，通过辅助线将角转移和集中，把隐含的条件显现出来． 如几种常见的证明思路： 思路1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．

因为AB∥CD（已知）， 所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）． 思路2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F． 因为DF∥AC（已作）， 所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）． 因为DE∥AB（已作）． 所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）． 所以∠A=∠2（等量代换）． 又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），

三角形中边与角之间的不等关系

三角形中边与角之间的不等关系 《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计教学目标： 1. 通过 实验探究发现：在一个三角形中边与角之间的不等关系； 2. 通过实验探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过探索、总结形成利用图形的翻折等变换是解决几何问题常见的策略； 3. 提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣。教学重点：三角形中边与角之间的不等关 系及其探究过程。教学难点：如何从实验操作中得到启示，写成几 何证明的表达。教具准备：三角形纸片数张、剪刀、圆规、三角板等。教学过程一、知识回顾 1. 等腰三角形具有什么性质？ 2. 如何判定一个三角形是等腰三角形？从这两条结论来看，今后要在同 一个三角形中证明两个角相等，可以先证明它们所对的边相等；同样要证明两条边相等可以先证明它们所对的角相等。二、引入新课问题：在三角形中不相等的边所对的角之间又有怎样的大小关系呢？或者不相等的角所对的边之间大小关系又怎样？方法回顾：在探究 “等边对等角”时，我们采用将三角形对折的方式，发现了“在三角形中相等的边所对的角相等”，从而利用三角形的全等证明了这些性质。现在请大家拿出三角形的纸片用类似的方法探究今天的问题。三．探究新知实验与探究1：在△ABC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC沿∠BAC的平分线AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，即AE=AC，这样得到∠AED=∠C，再利用∠AED是△BDE的外角的关系得到∠AED>∠B，从而得到∠C>∠B。由上面的操作过程得到启示， 请写出证明过程。（提示：作∠BAC的平分线AD，在AB边上取点E，使AE=AC，连结DE。）形成结论1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。思考：是否还 有不同的方法来证明这个结论？ 实验与探究2：在△ABC中，如果∠C>∠B，那么我们可以将△ABC沿BC的垂直平分线MN折叠，使点B落在点C上，即∠MCN=∠B,于是MB=MC，这样AB=AM+MB=AM+MC>AC. 由上面的操作过程得到启示，请写出证明过程。 形成结论2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边

与三角形有关的角知识点归纳

6x Ｂ Ｄ Ａ 第(3)题 第(4) 与三角形有关的角知识点归纳 知识点篇: 知识点一：三角形的内角和定理:三角形内角和为180° 知识点二:三角形外角的性质:1.三角形的一个外角与相邻的内角互补;2.三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;3. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角. 基础篇: (1)在△ABC 中，若7836A '∠=o ，5724B '∠=o ，则C ∠= ． (2) 在ABC △中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，A ∠越来越小，B C ∠∠，越来越大．若A ∠减少α度，B ∠增加β度，C ∠增加γ度，则αβγ，，三者之间的等量关系是 ． (3)如图，在Rt ADB △中，90D ∠=o ，C 为AD 上一点，则x 可能是 （ ） Ａ.10o Ｂ20o Ｃ.30o Ｄ40o (4)如图， 在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，? 且CD 、BE 交于一点P ， 若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ） （A ）150° （B ）130°（C ）120°（D ）100° (5)四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是（ ） （A ）80° （B ）90°（C ）170°（D ）20° (6)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6 方法篇: A.注意方程思想的应用 例题1．已知△ABC 中, (1)∠A=20°,∠B －∠C=40°,则∠B=____°; (2)∠A=120°,2∠B+∠C=80°,则∠B=___°; (3)∠B=∠A+40°,∠C=∠B-50°,则∠B=_____°; (4)∠A:∠B:∠C=1:3:5,则∠B=_____°. B β 2β 3β

(完整版)初一数学人教版(下册)与三角形有关的角练习题一(含答案)

与三角形有关的角课时练 第一课时721与三角形有关的内角 4. 如图所示，/ 1 + / 2+ / 3+ / 4的度数为( ) A100 ° B.180 ° C.360 ° 5. 如图所示，AB // CD, AD , BC 交于 0, / A=35 ° , / BOD=76 A. 31 ° B.35 ° C.41 ° D.76. 6. ______________________________________________________ 在△ ABC 中：(1)若/ A=80 °，/ B=60 °，则/ C= _________________________________ (2) 若/ A=50 °，/ B= / C ,则/ C= ____________ (3) 若/ A :/ B :/ C=1 : 2 : 3，则/ A= ____________ / B= ________ / C= _________ (4) 若/ A=80 °，/ B-/ C=40°，则/ C= ____________ 2.在△ ABC 亠卄 1 中，若 Z A= Z B=- 2 Z C ,则Z C 等于（ ) A.45 ° B.60 ° C.90° D.120 ° 3.一个三角形的内角中，至少有（ ) A 一个内角 B.两个内角 C. 一内钝角 D. 一个直角 D.无法确定 ，则/ C 的度数是（ A.75 ° B.60° C.65° D.55° 9.如图所示，AD 、AE 分别是△ ABC 的角平分线和高，若/ 求/ DAC 的度数. 第一课时答案: 1?在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸 片, 把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你 写 出这一定理的结论：三角形的三个内角和等于 _____________ ° B=5 0 °

有关三角形知识点

一、有关角的： 知识点1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180 知识点2：三角形外角性质：1）. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2）. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3）. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4）. 三角形的外角和等于360°。 二、重要的线 1.三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边中点（角平分 线上的点到角两边的距离相等）； 2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段； 3.三角形的高：从三角形的一个顶点向它对边所在的直线做垂线。 4、锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条 直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。 5.线段的垂直平分线： 6、角平分线的的性质： 7、中位线： 8、直角三角形斜边上的中线： 三：重要的三角形的角与线 1、直角三角形： 2、等腰三角形：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 3、等边三角形： 四：重要的定理 1、重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心. 2、外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.

3、垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心. 4、内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心. 5、旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心． 三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点． 6、中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 7、三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 8、三角形面积计算公式S(面积)=a(边长)h(高)/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半 9、勾股定理： 10、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 11、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）

直角三角形的边角关系--知识点

直角三角形的边角关系知识考点 知识讲解: 1.锐角三角函数的概念 如图，在ABC 中，∠C 为直角，则锐角A 的各三角 函数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ， 即sinA ＝a c (2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ， 即cosA ＝b c (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作t an A ， 即t an A ＝a b (4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作c ot A ， 即c ot A ＝b a 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2 (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90° (3)边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝b c t an A ＝c ot B ＝a b ， cot A ＝t an B ＝b a

3.三角函数的关系 (1)同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1 2)倒数关系：t an A·c ot A＝1 3)商的关系：t an A＝sinA cosA ，c ot A＝cosA sinA (2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA t an(90°－A)＝c ot A， cot(90°－A)＝t an A 4．一些特殊角的三角函数值

5．锐角α的三角函数值的符号及变化规律. (1)锐角α的三角函数值都是正值 (2)若0＜α＜90°则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而减小. 6．解直角三角形 (1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角. (2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形. 7．解直角三角形的应用， 解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念： (1)仰角、俯角 视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角 (2)坡度=坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示， 即i=h l (3)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i=h l (4)方位角:从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.