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全等变换

德州跃华学校数学课堂教学导学案

课题:全等变换课型:单元整体复习主备人:李长宾审核人:崔萍日期

一、学习目标：

1、明确三种全等变换的概念及性质；

2、理解三种全等变换性质之间的联系与区别。

二、学习重点难点：

1.学习重点：三种全等变换的概念及性质；

2.学习难点：三种全等变换性质的区别与联系。

三、学习过程（课件）

四、知识梳理

变换名称要素

性质

变换前、后两个

图形的关系

对应线段

对应点之间的

连线段

平移变换轴对称变换旋转变换

五、探究

探究一：如图，画出△ABC 关于直线a 对称图形△A ′B ′C ′，再画出 △A ′B ′C ′关于直线b 的对称图形△A ′′B ′′C ′′，（直线a 与直线b 相互平行）并探究△ABC 与△A ′′B ′′C ′′又有什么样的位置关系。

我的结论：一个图形经过两次轴对称（两条对称轴互相平行）后，得到的图形与原图形的关系为。

探究二：如图，画出△ABC 关于直线a 对称图形A ′B ′C ′，再画出△A ′B ′C ′关于直线b 的对称图形A ′′B ′′C ′′，（直线a 与直线b 不平行）并探究△ABC 和△A ′′B ′′C ′′又有什么样的位置关系。

我的结论：一个图形经过两次轴对称（两条对称轴不平行）后，得到的图形与原图形的关系为。

a b A B

C A B C a b

探究三：如图，已知△A ′′B ′′C ′′是由△ABC 旋转得到，如何确定旋转中心。

我的结论：。

A B C A " B " C "

五、达标检测

1、一个图形经过两次轴对称（两条对称轴互相平行）后，得到的图形与原图形的关系为。

2、一个图形经过两次轴对称（两条对称轴不平行）后，得到的图形与原图形的关系为。

3、如图，△ACB 绕C 点顺时针旋转40°得到△A ′CB ′，

AB 和A'B'相交于点O ，则∠AOA'= 度。

4、如图,Rt △ABC 向右翻滚，下列说法中正确有( )

（1）① ②是旋转

（2）① ③是平移

（3）① ④是平移

（4）② ③是旋转

A 、1种

B 、2种

C 、3种

D 、4种

5、如图，正方形ABCD 中对角线AC 、BD 相交

于点O ，E 是AC 上一点，F 是BD 上一点，且

OE=OF ，回答下列问题：

（1）在图1，可以通过平移、旋转、翻折的

哪一种方法，使△OAF 变到△OBE 的位置．请

说出其变化过程．

（2）指出图（1）AF 和BE 之间的关系。

（3）若E 、F 分别运动到OB 、OC 的延长线，且OE=OF(如图2)，（2）的结论仍然成立吗？

A B

C A ′ B ′ O

第4题图

第3题图

三角形全等20个经典试题图形变换(供参考)

三角形全等20个经典试题（图形变换）．1.四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：△ABF≌△DAE；（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系（3）①如图2，若点G是CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是____________，线段EF与AF、BF的等量关系是___________ ②如图3，若点G是CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是__________________ (4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE ⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．

2小明、小敏两人一起做数学作业，小敏把题读到如图（1）所示，CD⊥AB，BE⊥AC时，还没把题读完，就说：“这题一定是求证∠B=∠C，也太容易了．”她的证法是：由CD⊥AB，BE⊥AC，得∠ADC=∠AEB=90°，公共角∠DAC=∠BAE，所以△DAC≌△EAB．由全等三角形的对应角相等得∠B=∠C．小明说：“小敏你错了，你未弄清本题的条件和结论，即使有CD⊥AB，BE⊥AC，公共角∠DAC=∠BAE，你的推理也是错误的．看我画的图（2），显然△DAC 与△EAB是不全等的．再说本题不是要证明∠B=∠C，而是要证明BE=CD．”（1）根据小敏所读的题，判断“∠B=∠C”对吗？她的推理对吗？若不对，请做出正确的推理．（2）根据小明说的，要证明BE=CD，必然是小敏丢了题中条件，请你把小敏丢的条件找回来，并根据找出的条件，你做出判断BE=CD的正确推理．（3）要判断三角形全等，从这个问题中你得到了什么启发？

全等三角形知识点总结

全等三角形一、知识框架：二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上） ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合,一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形的性质和表示性质：（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的判定定理：

⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用于两个直角三角形） 4、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”5、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 6.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 7.角平分线： ⑴画法：（课本48页，必须要掌握） ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. （在做题时，只要满足条件就可以直接运用定理） ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 7.证明命题基本方法： ⑴明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.

全等三角形与旋转问题专题练习

全等三角形与旋转问题专题练习中考要求知识点睛基本知识把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ，得到图形G'，这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．重、难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________．【解析】 A 【例2】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心_____________。 A ．顺时针旋转60°得到 B ．顺时针旋转120°得到 C ．逆时针旋转60° 120°得到【解析】 D 【例3】如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边 △CDE ,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 K G F E D C B A 【解析】 C 【例4】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证： AN BM =． M D N E C B F A 例题精讲

全等三角形知识点归纳总结

第十二章全等三角形一、结构梳理二、知识梳理（一）概念梳理 1．全等图形定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形． 2．全等三角形这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等．（二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等．全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有：（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS．若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等．（5）注意判定三角形全等的基本思路从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有：图 2 '.

全等三角形与旋转问题专题

全等三角形与旋转问题中考要求知识点睛基本知识把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ，得到图形G'，这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．重、难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________．【解析】A 【例2】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心_____________。 A．顺时针旋转60°得到B．顺时针旋转120°得到 C．逆时针旋转60°得到D．逆时针旋转120°得到 G F E D C B A 【解析】D 【例3】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A．1对B．2对C．3对D．4对 K G F E D C B A 【解析】C 【例4】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证：AN BM =． M D N E C B F A 【解析】∵ACM ?、CBN ?是等边三角形， ∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ?? ≌，∴AN BM = 【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形．【例5】如图，B，C，E三点共线，且ABC ?与DCE ?是等边三角形，连结BD，AE分别交AC，DC 例题精讲

全等三角形和图形变换(图形的变换)

课题：全等三角形和图形变换(图形的变换) 课型：复习课(第一课时) 教学目标： 1、通过学生对数学问题的解答体验图形变换，理解全等变换：平移、旋转和轴对称； 2、通过学生对教师提供的数学题的解答，使学生掌握三角形全等的证明； 3、学生在活动、总结中感悟、理解全等与图形变换的关系。教学重点：掌握三角形全等与图形的变换教学难点：三角形全等与图形的变换二者的关系教学方法：“做做议议结结”----自主合作探究教学法教学过程活动的前言（1）三角形全等的判定方法？（2）初二年级学习的图形有哪些变换？第一篇：在简易中看到真理的永恒教学要点：（1）让四位同学上黑板解答下列三个问题；（2）解答完后，请同学们讨论这些问题有哪些相同点。(3)小组内分工解答,每人解两个题. 1、如图示，BPD ∠ = =, , = PA∠ APC PC PD PB 求证：△APB≌△CPD 第1题图

2.如图，等腰直角△ACB中，AC=CB.点D在BC上,E为AC延长线上的一点,且CE=CD,延长AD交BE于点F. （1）求证：AD=BE 3,如图示，分别以△ABC的边AB、AC为一边做两个等边△ABE和△ACF 求证：BF=CE 第3题图 4.（用新观点解释老问题）如图示，分别以△ABC的边AB、AC为一边做两个正方形ABEF和正方形ACDG .(1)求证：BG=CF(2)试判断BG与CF(的位置关系，并说明理由。

第二篇：用新理念重温经典知识 5、回忆下列数学知识，并画出证明图形，用图形变换的观点，总结它们的共同点. (1)等腰三角形的性质; (2)角平分线的性质; (4)线段的垂直平分线的性质. 6、（一碟小菜）：如图，在△ACB中，∠C=90°,AD平分∠ACB,AD=5,AC=4, 则D点到AB 的距离是 .（郑州09预测卷） 7、（考考智力）：如图，点P是∠AOB的角平分线上一点.过点P作PC∥OA交OB于点C.若∠AOB=60°,OC=4,则P到的OA距离PD等于. 8、（测测智商）：如图，AD是等腰Rt ABC的底角的角平分线，作DE⊥AB于点E，若AC=2，则BDE的周长为（）. A. 2 B. 4 C. 22 D. 22 第三篇：过关与检测 9、如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，若∠A+∠C=180. 求证：DA=DC 第6题图第7题图第8题图第9题图

全等三角形知识点及方法归纳.doc

一、知识要点： 1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等． 3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 4．全等三角形的表示：（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．（2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上． 5．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．（2）全等三角形的周长、面积相等． 6．全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换． 7．全等三角形基本图形翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素

平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素 8．两个三角形全等的条件（1）全等三角形的判定1——边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． “边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）．（2）全等三角形的判定2——边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．（3）全等三角形的判定3——角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为“角边角”或“ASA”．（4）全等三角形的判定4——角角边推论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．（5）直角三角形全等的判定——斜边直角边公理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边直角边”或“HL”．判定直角三角形全等的方法： ①一般三角形全等的判定方法都适用； ②斜边-直角边公理

全等三角形教学设计3 人教版〔优秀篇〕

《全等三角形》教案教学目标一、知识与技能 1、了解全等形和全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质。 2、能正确表示两个全等三角形，能找出全等三角形的对应元素。二、过程与方法通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，来感知两个三角形全等，以及全等三角形的性质。三、情感态度与价值观通过全等形和全等三角形的学习，认识和熟悉生活中的全等图形，认识生活和数学的关系，激发学生学习数学的兴趣。教学重点 1、全等三角形的性质。 2、在通过观察、实际操作来感知全等形和全等三角形的基础上，形成理性认识，理解并掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等。教学难点正确寻找全等三角形的对应元素教学关键通过拼图、对三角形进行平移、旋转、翻折等活动，让学生在动手操作的过程中，感知全等三角形图形变换中的对应元素的变化规律，以寻找全等三角形的对应点、对应边、对应角。课前准备: 教师——课件、三角板、一对全等三角形硬纸版学生——白纸一张硬纸三角形一个教学过程设计一、全等形和全等三角形的概念（一）导课：教师----（演示课件）庐山风景，以诗“横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在此山中”指出大自然中庐山的唯一性，但是我们可以通过摄影把庐山的美景拍下来，可以洗出千万张一模一样的庐山相片。（二）全等形的定义象这样的图片，形状和大小都相同。你还能说一说自己身边还有哪些形状和大小都相同

的图形吗？[学生举例，集体评析] 动手操作1 在白纸上任意撕一个图形，观察这个图形和纸上的空心部分的图形有什么关系？你怎么知道的？ [板书：能够完全重合] 命名：给这样的图形起个名称----全等形。[板书：全等形] 刚才大家所举的各种各样的形状大小都相同的图形，放在一起也能够完全重合，这样的图形也都是全等形。（三）全等三角形的定义动手操作2---制作一个和自己手里的三角形能够完全重合的三角形。定义全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫全等三角形。 [板书课题：13.1全等三角形，] （四）出示学习目标 1.知道什么是全等形，什么是全等三角形。 2.能够找出全等三角形的对应元素。 3.会正确表示两个全等三角形。 4.掌握全等三角形的性质。二、全等三角形的对应元素及表示（一）自学课本：91页的内容（时间5分钟）可以在小组内交流。（二）检测： 1.动手操作以课本P91页的思考的操作步骤，抽三个学生上黑板完成（即把三角形平移、翻折、旋转后得到新的三角形）思考：把三角形平移、翻折、旋转后，什么发生了变化，什么没有变？归纳：旋转前后的两个三角形，位置变化了，但形状大小都没有变，它们依然全等。 2.全等三角形中的对应元素（以黑板上的图形为例，图一、图二、三学生独立找，集体交流）（1）对应的顶点（三个——重合的顶点（2）对应边（三条）——重合的边（3）对应角（三个）——重合的角

全等三角形的图形变换

全等三角形的图形变换学习目标：（1）掌握全等三角形的概念及性质；（2）掌握和应用全等三角形的判定方法；（3）运用全等三角形的性质和判定方法解决综合问题重点：全等三角形的判定方法难点：运用全等三角形的判定进行证明。一、知识回顾 1. 观察能够完全重合的两个三角形，它们有什么特点？ 2. 你能说出两个全等三角形的对应角和对应边吗？它们之间有什么关系？ 3. 怎样判断两个三角形全等？ 4. 在数学的世界里，几何图形是千变万化的，你能用两个全等的三角形拼出下列这些图形吗？它们分别是两个完全重合的三角形通过怎样的变化得到的？二、合作探究一如上图2， ①ECD ABC ???，你能得到什么结论？ ②如果现在知道ED AC EC AB //,//，你能判断出ECD ABC ???吗？为什么？ ③你能添加一个条件使这两个三角形全等吗？ ④以小组为单位，请选择以上九种图形中任意一种，然后自编一道题目，并解答？

A 三、合作探究二 1.如图所示，连接AE ，①你发现了什么？②你是怎么证明的？ 2.如图所示，若BC AD DC AB //,//，你能得到什么结论？四、合作探究三如上9个图形中，你还有新的发现吗？（隐含条件）把你的结论和小组同学分享一下。图（1）中隐含了__________________及_________________ 图（2）中隐含了__________________ 图（3）中隐含了__________________ 图（4）中隐含了__________________及_________________ 图（5）中隐含了__________________及_________________ 图（6）中隐含了__________________及_________________ 图（7）中隐含了__________________及_________________ 图（8）中隐含了__________________ 图（9）中隐含了__________________及_________________ 五、例题讲解已知，如图所示，C 为AB 上一点，ACD ?和BCE ?为等边三角形，AE 交CD 与点M ，DB 交CE 于点N ，AE 与BD 交于点P （1）试说明：AE=BD; （2）图中有几对全等三角形? （3）求证: CMN ?是等边三角形.

新人教版八年级上册《全等三角形》同步知识点--归纳总结

全等三角形一、知识要点：（一）全等变换：只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括以下三种： 1、平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 2、对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 3、旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。（二）全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。（三）全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。二、题型分析：题型一：考察全等三角形的定义例题：下列说法正确的是（） A、全等三角形是指形状相同的两个三角形 C、全等三角形的周长和面积分别相等 C、全等三角形是指面积相等的两个三角形 D、所有的等边三角形都是全等三角题型二：考察全等三角形之间的关系——传递性: 例题：如果△ABC和△DEF全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______________全等，如果△ABC和△DEF不全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______________全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）题型三：根据三角形全等求角; 例1：△ABC中，∠BAC∶∠ACB∶∠ABC＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝____________．例2：如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，则∠MAC的度数等于（） A、120° B、70° C、60° D、50° 第二节三角形全等的判定一、知识要点：

专题研究全等三角形证明方法归纳及典型例题

全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：

三角形全等个经典测试试题(图形变换)

三角形全等个经典试题(图形变换)

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三角形全等20个经典试题（图形变换）．1.四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：△ABF≌△DAE；（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系（3）①如图2，若点G是CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是____________，线段EF与AF、BF的等量关系是___________ ②如图3，若点G是CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是 __________________ (4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．

旋转与全等三角形

A F E D C B A B C 1、旋转的定义：把一个图形绕着________，沿着________，旋转________，如果它能够与自身重合，这个图形叫做旋转对称图形，这个点叫做； 2、旋转的三要素：________________、________________、________________； 3、旋转的特征：①旋转不改变图形的形状和；对应角；对应线段；②对应点到旋转中心的距离；③对应点与旋转中心的连线所成的角（叫做旋转角）彼此。例题精讲例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数. 例2 D 为等腰Rt ABC ?斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。（1）当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。（2）若AB=2，求四边形DECF 的面积。例 3 如图，ABC ?是边长为3的等边三角形，?0120BDC ∠=，以D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ?的周长为；例4、已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF ，如图(1)放置，点B 、D 重合，点F 在BC 上，AB 与EF 交于点G ．∠C=∠EFB =900，∠E=∠ABC= 300，AB= DE =4。

(1)求证：△EGB 是等腰三角形； (2)若纸片DEF 不动，问△ABC 绕点F 逆时针旋转最小________度时，四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形(如图(2》，求此梯形的高．提高训练一、填空题: 1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，4)，将线段O A 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OA ′，则点A ′的坐标是． 2.如图，四边形ABCD 是正方形，△ADE 旋转后能与△ABF 重合．则旋转中心是，旋转角等于度，如果连接EF ，那么△AEF 是三角形。 3．如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，若ＡＦ＝ＡＢ，则可通过（填“平移”、“旋转”、“轴对称”）变换，使三角形ABE 变换到三角形ADF 的位置；且线段BE 、DF 的数量关系是． 4．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且68PA PB ==，，10PC =．若将PAC △ 绕点A 逆时针旋转后，得到P AB '△，则点P 与点P '之间的距离为 . 5．如图，将左边的矩形绕点B 旋转一定角度后，位置如右边的矩形，则∠ABC= ． 6. 如图，一块等边三角形木板ABC 的边长为1，现将木板沿水平线翻转（绕一个点旋转），那么A 点从开始到结束所走的路径长度为． 7. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC ．则 AE 与BF 的关系是____________；若△ABC 的面积为3cm 2，则四边形ABFE 的面积是 ___________；当∠ACB 为______________度时，四边形ABFE 为矩形。 8．如图，边长为2的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?得到正方形

(完整版)初中数学全等三角形的知识点梳理

特征《全等三角形》一、结构梳理二、知识梳理（一）概念梳理 1. 全等图形定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图 1 中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图 2 中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形．图 2 图 1 2. 全等三角形这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等．（二）性质与判定梳理 1. 全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等．全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2. 全等三角形的判定这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有：（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA ；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS ；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS ．若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL ）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等．（5）注意判定三角形全等的基本思路从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别画三角形特例概念

全等三角形经典题型分类

D C B A E D F C B A 全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. E D C B A 4、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 5、已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 6、已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 第 1 题图 A B F D E C

初中数学全等三角形中的旋转

内容基本要求略高要求较高要求全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形和全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用三角形全等的性质和判定解决简单问题会利用全等三角形的知识解释或证明经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．【例 1】如图，等边三角形ABC ?与等边DEC ?共顶点于C 点．求证：AE BD =． D E C B A 【巩固】(2008年全国初中数学联赛武汉CASIO 杯选拔赛)如图，ABD ?和CED ?均为等边三角形，AC BC =， AC BC ⊥．若2BE =，则CD = ．图6 D E C B A 中考要求例题精讲全等三角形中的旋转

【巩固】如图，已知ABC ?和ADE ?都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD +相等的理由． E D C B A 【例 2】如图，D 是等边ABC ?内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由． P D C B A 【例 3】 (1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰Rt ABC ?的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=?，记 AM m =，MN x =，BN n =，则以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．随x 、m 、n 的变化而变化 M N C B A 【例 4】 (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =?∠，AB a =，O 为AC 中点， EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值． O B E C F A 【巩固】在等腰直角ABC ?中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ?的形状和面积将如何变化． A P M C Q B

全等图形与几何变换

全等与几何变换中考要求重难点 1．几何变换作图与计算 2．全等三角形与轴对称、旋转、平移变换的综合应用例题精讲模块一全等三角形与轴对称 ?角平分线类 “角”是轴对称图形，对称轴为角平分线所在的直线。因此在遇见与角平分线有关问题的时候，可以有下面几个基本解题思路：①平分角；②角平分线上点到角两边的距离相等；③沿角平分线进行翻折。【例1】如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AD 为BAC ∠的平分线．求证：AC AB BD =+． D C B A E A B C D D C B A F

【难度】3星【解析】辅助线：有两个基本思路，一是将ABD ?沿AD 进行翻折，点B 落在点E ，主要目的：构造AC AE EC AB EC =+=+,因此可将问题顺利转化为证明：“BD EC =” 二是将ADC ?沿AD 进行翻折，基本思路同“思路一” 【答案】思路一、如图，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，可证ABD AED ??≌()SAS ，因此可得AB AE =，BD DE =，B AED ∠=∠， ∵2B C ∠=∠ ∴2AED C ∠=∠ ∴D C ∠=∠ ∴DE EC = ∴BD EC = ∴AC AB BD =+ 思路二、略【巩固】如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=，则:B C ∠∠= ． A B C D C B A E 【难度】2星【解析】根据角平分线的对称性，将ABD ?翻折，如图，则AC AE EC AB EC =+=+，BD DE =,结合已知条件“AB BD AC +=”，可得BD DE EC ==，∴DEC ?为等腰三角形思路二，可将ADC ?进行翻折，分析略【答案】2:1 【例2】在ABC ?中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-． D P C B A E D P C B A 【难度】2星【解析】AD 为角平分线，将APC ?沿AD 翻折，点C 落在点E ，连接PE ，则AE AC =，PE PC =， ∴可以将问题“AB AC PB PC ->-”转化为“AB AE PB PE ->-”，则用PBE ?三边关系很容易能够解决【答案】略【巩固】如图，P 是ABC ?的外角EAC ∠的平分线AD 上的点（不与A 重合）求证：PB PC AB AC +>+

三角形全等20个经典试题(图形变换)

三角形全等20 个经典试题（图形变换）．1. 四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与点B、C 重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：△ ABF≌△ DAE；（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系（3）①如图2，若点G是CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是 ____________ ，线段EF 与AF、BF 的等量关系是 _____________ ②如图3，若点G是CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE ⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是_____________________ （4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG 于点E，请画图、探究线段EF 与AF、BF 的等量关系．

2 小明、小敏两人一起做数学作业，小敏把题读到如图（1）所示，CD⊥ AB，BE ⊥AC时，还没把题读完，就说：“这题一定是求证∠ B=∠ C，也太容易了．”她的证法是：由CD⊥AB，BE⊥AC，得∠ADC=∠AEB=90°，公共角∠ DAC=∠BAE，所以△DAC≌△ EAB．由全等三角形的对应角相等得∠ B=∠C．小明说：“小敏你错了，你未弄清本题的条件和结论，即使有CD⊥AB，BE⊥AC，公共角∠ DAC=∠BAE，你的推理也是错误的．看我画的图（2），显然△ DAC与△ EAB是不全等的．再说本题不是要证明∠ B=∠C，而是要证明BE=CD．” （1）根据小敏所读的题，判断“∠ B=∠C”对吗？她的推理对吗？若不对，请做出正确的推理．（2）根据小明说的，要证明BE=CD，必然是小敏丢了题中条件，请你把小敏丢的条件找回来，并根据找出的条件，你做出判断BE=CD的正确推理．