数学好向量
第五章 向量（一）
1.已知点A(3,1)、B(0,0)、C(3,0),设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E,若CB =λBE ,则λ等于
2 .(2009 陕西卷)在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足
2AP PM =
，则()PA PB PC ?+ 等于 ( )
A ．－49
B ．－43 C.43 D.49
3.在ABC ?中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+?的最小值是_ _。
4.（2005?浙江）已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e
|，则 (A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )
5.设(cos23cos67)a = ，，(cos68cos22)b =
，，()u a tb t R =-∈ ，则u 最小值是
（ ）A ．
22 B ．2
3
C ．21
D ．1
6.已知O 为ABC ?内一点，若对任意k R ∈，恒有|,|||AC BC k OB OA ≥--则ABC ?一 定是（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．不能确定
7.已知(2,1)a =与(1,2)b =，要使a tb +最小，则实数t 的值为
8．对于两个不共线的非零向量,a b
，当a tb + 最小时，则b 与a tb + 的夹角为
9. （2009 全国卷Ⅰ）设a 、b 、c 是单位向量，且0a b ?= ，则()()a c b c -?-
的最小值
为
（A ）2- （B 2 （C ）1- (D)110（2011 辽宁卷）若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b=0，（a-c ）·（b-c ）≤0，则c -b a + 的最大值为( B )
（A ）1-2 （B ）1 （C ）2 （D ）2
11.（2011 全国 ）设向量,,a b c 满足11,,,602
a b a b a c b c ===---=
，则c 的最大值等于（ ）
(A) 2 (B)
(C) (D) 1
12．（2010?浙江）已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为
120°，则α的取值范围是__________________ .
13.已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则? ＝ ； ?=
14. 已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|+|=|-|,其中O 为原点,则实数a 的值为
15.已知向量a =(cos ,sin θθ)，向量b
1-)，则|2a －b |的最大值是
16.设点)1,3(),0,0(Q O ，P 在不等式组??
?
??≥-≤-+≥+-01020
323y y x y x 所确定的平面区域内，那么
OQ OP ?的最小值为 .
17.已知,a b 是两个互相垂直的单位向量, 且1?=c a ,1?=c b
,||=c 则对任意的正实数
t ,1
||t t ++c a b 的最小值是
18.如图，在ABC ?中，AD AB ⊥
，,||1BC AD ==
，则AC AD = ．
19.在四边形ABCD 中，AB =DC
=（1，1），11B A B C B D B A
B C
B D
+= ，则四
边形ABCD 的面积是
20． 经过OAB ?重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,O P m O AO Q n O B
==
，
,m n R ∈，求11
n m
+的值。
向量（二）
1．如图，平面内有三个向量OAOB OC ，，，其中OA 与OB
的夹角为
120°，OA 与OC
的夹角为30°，且1OA OB ==
，OC =
若()OC OA OB λμλμ=+∈R
，，则λμ+的值为 ．
2.（2009 安徽卷）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o
.
如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB
上变动.
若,OC xOA yOB =+
其中,x y R ∈,则x y +
的最大值是________.
【解法一】设AOC α∠=
,,
OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ??=?+????=?+???
，即01cos 2
1cos(120)2
x y x y αα?=-????-=-+??
∴0
2[cos cos(120)]cos 2sin()26
x y π
ααααα+=+-==+≤
【解法二】以上数量积的运算不好想，可以解析坐标化。
【解法三】利用共线几何特征，设OC mOD = ，OD OA OB λμ=+
，且
1,(),x y m m λμλμ+=∴+=+=而OC m OD = ，当OD
最小时，m 最大为2.
3． （1）如图, OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB
围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB =+
,
则x 的取值范围是 ;当1
2
x =-
时,y （2）OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的 延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对（x ,y ）可以是（ ） A ．)43,41( B . )32,32(- C. )43,41(- D . )5
7,51(-
4. (OA OB O 、为原点）是圆22
2x y +=的两条互相垂直的半径，C 为该圆上任一点，且
OC OA OB λμ=+
，则22λμ+= ．
5.已知1,,0,O A O O A O B ==
点C 在AOB ∠内，A O C ∠30o =．设A
O
B
C
(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则m
n
等于
6.在△ABC 中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=
，O 是△ABC 的外心，且AO AB AC λμ=+
，则λμ+=_________.
7.(1)设P 为ABC ?内一点，且2155
AP AB AC =+
，则ABP ?的面积与ABC ?的面积之比
为 ．
(2)设P 为ABC ?内一点，且220AP BP CP ++=
，则ABP ?的面积与ABC ?的面积之比
为 ．
8.已知P 是ABC ?内任一点（不包括边界），y x += R y x ∈,，则y x +2的取值范围是 .
9..平面上有以O 为圆心，以1为半径的圆，圆上有三点A,B,C,向量,,OA OB OC
满足等式mOA nOB OC +=
,这里,,0m n R mn ∈≠.
（1） 若,OA OB ⊥ 证明：22
1m n +=；
（2） 若1,m n ==-证明：ABC ?为正三角形.
10.在ABC ?中，2, 1.BC AC AB ==
(Ⅰ)求AB AC ?
;
(Ⅱ)设ABC ?的外心为O ,若AC mAO nAB =+
,求,m n 的值.
答案: 向量（一）
1.32-
2.A
3.-2
4.C
5.A
6.A
7.45-
8.2π
9.D 10.B 11.A 12.
13.13
;22
--
14.2± 15.4 16.-2 17. 19. 20.3
向量（二）
1.6
2.2
3.13(,0);(,)22-∞
4.1
5.3
6.136
7.11
;55
8.（0,2）
10.（11 （2）1,m n =