【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修1-2)练习：1章 统计案例 单元质量评估]

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单元质量评估 (一)

第一章

(120分钟150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.散点图在回归分析过程中的作用是( )

A.查找个体个数

B.比较个体数据的大小关系

C.探究个体分类

D.粗略判断变量的相关关系

【解析】选D.散点图对相关关系的判断是粗略的,在一定程度上存在着误差.

2.下列关于线性回归的说法,不正确的是( )

A.变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系

B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫散点图

C.线性回归方程最能代表观测值x,y之间的关系

D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程

【解析】选D.根据相关关系及散点图等概念知A,B,C均正确.

3.(2014·广州高二检测)若身高与体重有关系,则下列选项中可以用来分析此关系的是( )

A.残差

B.回归分析

C.等高条形图

D.独立性检验

【解析】选B.身高与体重的关系是相关关系,因此可用回归分析来确定其具体的数值关系,而残差分析是用来分析模型拟合效果的,等高条形图和独立性检验是用来判断两个分类变量是否有关的量.

4.(2014·泰安高二检测)下列说法正确的个数是( )

(1)将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变

(2)设有一个回归方程=3-5x,变量增加一个单位时y平均增加5个单位

(3)在一个2×2列联表中,由计算得K2=13.079,则在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为两个变量有关系

A.0

B.1

C.2

D.3

【解析】选C.(1)方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据加上或减去同一常数后,方差恒不变,(1)正确.(2)变量x增加一个单位时,y平均减少5个单位,故(2)错.(3)对照临界值表可得在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为两个变量有关系,即在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为两个变量有关系是正确的,故(3)正确.

5.(2014·永州高二检测)已知x,y的值如表所示,若y与x呈线性相关且回归直线方程为y=x+,则a=( )

A.4

B.5

C.6

D.7

【解析】选A.由题意可得=×(4+6+8)=6,

=(5+a+6),由于回归直线y=x+过点(,),

故×(5+a+6)=×6+,解得a=4.

【变式训练】已知x与y之间的一组数据如表所示,则y与x的线性回归方程=x+必过点( )

A.(2,2)

B.

C.

D.(1,2)

【解题指南】回归直线过样本点的中心(,).

【解析】选C.由表中数据可计算=(0+1+2+3)=,=(1+3+5+7)=4.因为回归直线过样本中心点(,),所以回归直线过点.

6.(2014·铜陵高二检测)如果某地财政收入x(亿元)与支出y(亿元)满足线性回归方程y=bx+a+e(单位:亿元),其中b=0.8,a=2,|e|≤0.5.如果今年该地区的财政收入为10亿元,则年支出预计不会超过( )

A.9亿元

B.9.5亿元

C.10亿元

D.10.5亿元

【解题指南】将所给数据代入y=bx+a+e,

利用|e|≤0.5,即可求得结论.

【解析】选D.由y=0.8x+2+e知当x=10时,

y=0.8x+2+e=10+e,

因为|e|≤0.5,所以-0.5≤e≤0.5,

所以9.5≤y≤10.5,

所以今年支出预计不会超过10.5亿元.

7.(2014·江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )

表1

表2

表3

表4

A.成绩

B.视力

C.智商

D.阅读量

【解题指南】根据独立性检验公式分别求出相应的K 2,数据大的与性别有关联的可能性大. 【解析】选D.

()2

22

152852(6221410)K ,2032163620321636?-??-?==??????

()2

22

25211252(4201612)K ,2032163620321636

?-??-?==??????

22

2

3

52(824128)52(128)K ,2032163620321636

??-???==??????

22

2

4

52(143062)52(686)K .2032163620321636

??-???==??????

分析判断K 42最大，所以选D.

8.根据如图所示的列联表得到如下四个判断:①在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患肝病与嗜酒有关;②在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患肝病与嗜酒有关;③认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为0.001%;④没有证据显示患肝病与嗜酒有关.

其中正确命题的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选B.由K2=得K2的观测值k≈56.632>10.828>6.635,

①②均正确,故选B.

9.下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部分表示喜欢理科的百分比,从图可以看出( )

A.性别与喜欢理科无关

B.女生中喜欢理科的百分比为80%

C.男生比女生喜欢理科的可能性大些

D.男生不喜欢理科的百分比为60%

【解析】选C.由条形图可知,

女生中喜欢理科的百分比约为1-0.8=0.2=20%,

男生中喜欢理科的百分比约为1-0.4=0.6=60%,

因此男生比女生喜欢理科的可能性大些.

10.(2014·太原高二检测)变量x,y具有线性相关关系,当x取值为16,14,12,8时,通过观测得到y的观测值分别为11,9,8,5,若在实际问题中,y最大取值是10,则x的最大值不能超过( )

A.14

B.15

C.16

D.17

【解析】选B.根据题意y与x呈正相关关系,由最小二乘法或计算器求得回归系数=-0.857,=0.729,所以线性回归方程为=0.729x-0.857,当=10时得x≈15.

11.两个分类变量X和Y可能的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数满足a=10,b=21,c+d=35,若认为X与Y有关系的犯错误的概率不超过0.1,则c的值可能等于( )

A.4

B.5

C.6

D.7

【解题指南】根据条件可知2.706≤k<3.841.再由K2的公式进行估算可得c值. 【解析】选B.若认为X和Y有关系的犯错误的概率不超过0.1,

则K2的观测值k所在的范围为2.706≤k<3.841,

根据计算公式K2=,其中n=a+b+c+d,及a=10,b=21,c+d=35可估算出c的值,选B.

12.有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表:

根据以上数据,用线性回归的方法,求得销售额y与平均气温x之间线性回归方

程=x+的系数=-2.4,则预测平均气温为-8℃时该商品销售额为( )

A.34.6万元

B.35.6万元

C.36.6万元

D.37.6万元

【解题指南】先求出横坐标和纵坐标的平均数,写出样本中心点,根据所给的的值,写出线性回归方程,把样本中心点代入求出的值,再代入数值进行预测.

【解析】选A.==-4,==25,

所以这组数据的样本中心点是(-4,25).

因为=-2.4,

把样本中心点代入线性回归方程得=15.4,

所以线性回归方程是=-2.4x+15.4.

当x=-8时,y=34.6.故选A.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.已知方程=0.85x-82.71是根据女大学生的身高预报体重的回归方程,其中x 的单位是cm,y的单位是kg,那么针对某个体(160,53)的随机误差是. 【解析】因为回归方程为=0.85x-82.71,所以当x=160时,=0.85×

160-82.71=53.29,所以针对某个体(160,53)的随机误差是53-53.29=-0.29.

答案:-0.29

14.为了均衡教育资源,加大对偏远地区的教育投入,调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年教育支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的线性回归方程:=0.15x-0.2.由线性回归方程可知,家庭年收入每增加1万元,年教育支出平

均增加万元.

【解析】因为线性回归方程=0.15x-0.2,

所以

y=0.15(x+1)-0.2,

1

所以

y-=0.15(x+1)-0.2-0.15x+0.2=0.15.

答案:0.15

15.下表是关于男女生喜欢武打剧的调查表:

则列联表中A= ,B= ,C= ,D= .

【解题指南】依据列联表中数据的关系,进行加减运算即可.

【解析】A=105-39=66,B=100-39=61,

C=66+34=100,D=105+95=200.

答案:66 61 100 200

【互动探究】在本题中条件不变的情况下,在犯错误的概率不超过多少时认为性别与喜欢武打剧有关?

【解析】由表中数据可计算得

k=≈14.617>10.828.

因P(K2≥10.828)=0.001,

所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与喜欢武打剧有关.

16.(2014·三明高二检测)某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x(千

元)与居民人均消费水平y(千元)调查,y与x具有相关关系,

回归方程为

=0.66x+1.562,若A城市居民人均消费水平为7.765(千元),估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为.

【解析】因为y与x具有线性相关关系,满足回归方程=0.66x+1.562, A城市居民人均消费水平为y=7.765,所以可以估计该城市的职工人均工资水平x满足7.765=0.66x+1.562,所以x≈9.4,所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈83%.

答案:83%

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1月至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:

该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.

(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率.

(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预报当温差为9℃时的种子发芽数.

【解题指南】(1)根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况,每种情况都是等可能出现的,满足条件的事件包括的基本事件有6种,根据等可能事件的概率得出结果.

(2)根据所给的数据,先得出x,y的平均数,即得出本组数据的样本中心点,根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程并进行预报.

【解析】(1)设抽到不相邻的两组数据为事件A,从5组数据中选取2组数据共有10种情况:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),其中数据为12月份的日期数,每种情况都是等可能出现的,事件A包括的基本事件有6种,

所以P(A)=,所以选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是.

(2)由数据,求得=12,=27,

由公式,求得=,=-=-3,

所以y关于x的线性回归方程为=x-3.

由此可以预报当温差为9℃时的种子发芽数为19或20颗.

18.(12分)一项关于A、B两国失业情况的抽样调查结果如下:1512个A国人中有130人曾经被解雇过,其余人未曾被解雇过;而2900个B国人中有87人曾经被解雇过,其余人未曾被解雇过.

(1)根据以上数据,建立一个2×2列联表.

(2)根据表中数据,你能得到什么结论?

【解析】(1)列联表如下:

(2)K2的观测值k=≈66.595>10.828,P(K2≥10.828)≈0.001,故在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否解雇与国家有关.

19.(12分)(2013·吉林高二检测)调查某桑场采桑员桑毛虫皮炎发病情况结果如下表:利用2×2列联表的独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关?认为两者有关系会犯错误的概率是多少?

K2=

【解析】由题意知,a=18,b=12,c=5,d=78,

所以a+b=30,c+d=83,a+c=23,b+d=90,n=113.

所以K2=

=≈39.6>10.828.

所以患桑毛虫皮炎病与采桑有关系.认为两者有关系会犯错误的概率是0.1%. 【变式训练】巴西医生马廷思收集各种犯有贪污、受贿罪的官员和廉洁官员寿

命的调查资料:500名贪官中有348人的寿命小于平均寿命,152人的寿命大于或等于平均寿命;590名廉洁官员中有93人的寿命小于平均寿命,497人的寿命大于或等于平均寿命.这里,平均寿命是指“当地人均寿命”.试分析官员在经济上是否清廉与他们寿命的长短之间是否有关系?

【解析】根据题意列2×2列联表:

由公式计算K2的观测值:

k=

≈325.635.

因为325.635>10.828,所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为官员在经济上是否清廉与他们的寿命长短有密切关系.

20.(12分)想象一下一个人从出生到死亡,在每个生日都测量身高,并作出这些数据的散点图,这些点将不会落在一条直线上,但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析.下表是一位母亲给儿子作的成长记录:

(1)年龄(解释变量)和身高(预报变量)之间具有怎样的相关关系?

(2)若年龄相差5岁,则身高有多大差异?(年龄在3～16岁之间)

(3)如果身高相差20cm,其年龄相差多少?

【解析】(1)散点图如图所示.

由散点图可知样本点落在一条直线附近.设年龄x(岁)与身高y(cm)之间的回归

直线方程是=x+,由公式计算得=≈6.314,

=-≈72.003,

所以=6.314x+72.003.

(2)若年龄相差5岁,则预报变量变化6.314×5=31.57.

(3)如果身高相差20cm,年龄相差Δx=≈3.168≈3(岁).

21.(12分)某运动员训练次数与训练成绩之间的数据关系如下:

(1)在图1坐标系中作出散点图.

(2)求出回归方程.

(3)在图2中作出残差图.

(4)计算相关指数R2.

(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩.

【解析】(1)作出运动员训练次数x与成绩y的散点图,如图所示,由散点图可知,它们之间具有相关关系.

(2)列表计算如图所示:

由表可知,=39.25,=40.875,=12656,=13731,x i y i=13180,

所以=

=≈1.0415,

=-=-0.00302,

所以回归直线方程为=1.0415x-0.00302.

(3)残差分析:下面的表格列出了运动员训练次数和成绩的原始数据以及相应的残差数据.

残差

作残差图,如图所示,由图可知,残差点比较均匀地分布在水平带状区域内,说明选择的模型比较合适.

(4)计算相关指数R 2=1-8

2

i

i i 182

i

i 1

y y y y ==--∑

∑

（）

（）

=0.9855.

(5)作出预报:由上述分析可知, 回归直线方程=1.0415x-0.00302.

将x=47和x=55分别代入该方程可得=49,=57,故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.

22.(12分)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:

(1)试建立y 与x 之间的回归方程.

(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于平均值的0.8倍

为偏瘦,则这个地区一名身高为175cm、体重为82kg的在校男生的体重是否正常? 【解析】(1)根据表格中的数据画出散点图,如图所示.

从图可以看出,样本点分布在某条指数型函数曲线y=c1的周围,于是令z=lny,得到x与z的数据如表:

根据上表中的数据作出散点图,如图所示.

由表中数据可计算得z与x之间的回归方程为

=0.693+0.020x,则有=e0.693+0.020x.

(2)当x=175时,预测平均体重为=e0.693+0.020×175≈66.22,

因为66.22×1.2≈79.46<82,

所以这名男生偏胖.

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人教版高中数学选修2-1优秀全套教案

高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期： 1.1.1命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．

人教版高中数学选修1-1知识点总结

高中数学选修1-1知识点总结 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ?. 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“ 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示；

特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?； 第二章 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于 12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：

人教版高中数学选修教案全集

人教版高中数学选修2-2教案全集 第一章导数及其应用 §1.1.1变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率 是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0) 0()5.0(s m h h v =--= ； 在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812) 1()2(s m h h v -=--= 探究：计算运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

人教版高中数学选修教案全套

§1.1平面直角坐标系与伸缩变换 一、三维目标 1、知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2、能力与与方法：体会坐标系的作用 3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程， 培养创新意识。 二、学习重点难点 1、教学重点：体会直角坐标系的作用 2、教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 三、学法指导：自主、合作、探究 四、知识链接 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何研究曲线与方程间的关系？ 五、学习过程 一．平面直角坐标系的建立 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已知各观测点到中心的距离是1020m，试确定

巨响发生的位置（假定声音传播的速度是340m/s，各观测点均在同一平面上） 问题1: 思考1：问题1：用什么方法描述发生的位置？ 思考2：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题？ 问题2：还可以怎样描述点P的位置？ B例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。 探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？

小结：选择适当坐标系的一些规则： 如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点 如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴 使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 二.平面直角坐标系中的伸缩变换 思考1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x? 坐标压缩变换： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横 坐标x 缩为原来 1/2，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ?????==y y x x ''21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 思考2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来 3倍，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ???==y y x x 3' '通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。

人教版高二数学选修2-1知识点总结

人教版高二数学选修2－1知识点 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?．全称命题的否定是特称命题． 11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质：

人教版高中数学必修选修目录..pdf

必修 1必修 2 第一章集合与函数概念第一章空间几何体 1.1集合 1.1空间几何体的结构 阅读与思考集合中元素的个数 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.2函数及其表示阅读与思考画法几何与蒙日 阅读与思考函数概念的发展历程 1.3空间几何体的表面积与体积 1.3函数的基本性质探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球 信息技术应用用计算机绘制函数图象体的体积 实习作业实习作业 小结小结 第二章基本初等函数（Ⅰ）复习参考题 2.1指数函数第二章点、直线、平面之间的位置关系 信息技术应用借助信息技术探究指数 2.1空间点、直线、平面之间的位置关 函数的性质系 2.2对数函数 2.2直线、平面平行的判定及其性质 阅读与思考对数的发明 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 探究也发现互为反函数的两个函数图阅读与思考欧几里得《原本》与公理化象之间的关系方法 2.3幂函数小结 小结复习参考题 复习参考题第三章直线与方程 第三章函数的应用 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1函数与方程探究与发现魔术师的地毯 阅读与思考中外历史上的方程求解 3.2直线的方程 信息技术应用借助信息技术方程的近 3.3直线的交点坐标与距离公式 似解阅读与思考笛卡儿与解析几何 3.2函数模型及其应用小结 信息技术应用收集数据并建立函数模复习参考题 型第四章圆与方程 实习作业 4.1圆的方程 小结阅读与思考坐标法与机器证明 复习参考题 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直角坐标系 信息技术应用用《几何画板》探究点的 轨迹：圆 小结 复习参考题

必修 3必修 4 第一章算法初步第一章三角函数 1． 1算法与程序框图 1 .1任意角和弧度制 1． 2基本算法语句 1.2任意角的三角函数 1． 3算法案例阅读与思考三角学与天文学阅读与思考割圆术 1.3三角函数的诱导公式 小结 1.4三角函数的图像与性质 第二章统计探究与发现函数 y=Asin （ω x+φ）及函2． 1随机抽样数 y=Acos（ωx+φ） 阅读与思考一个著名的案例探究与发现利用单位圆中的三角函数 阅读与思考广告中数据的可靠性线研究正弦函数、余弦函数的性质 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实信息技术应用 反应 1.5函数 y=Asin （ω x+φ）的图像2． 2用样本估计总体阅读与思考振幅、周期、频率、相位阅读与思考生产过程中的质量控制图 1.6三角函数模型的简单应用2． 3变量间的相关关系小结 阅读与思考相关关系的强与弱复习参考题 实习作业第二章平面向量 小结 2.1平面向量的实际背景及基本概念 第三章概率阅读与思考向量及向量符号的由来3． 1随机事件的概率 2.2平面向量的线性运算 阅读与思考天气变化的认识过程 2.3平面向量的基本定理及坐标表示3． 2古典概型 2.4平面向量的数量积 3． 3几何概型 2.5平面向量应用举例 阅读与思考概率与密码阅读与思考向量的运算（运算律）与图小结形性质 复习参考题小结 复习参考题 第三章三角恒等变换 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 信息技术应用利用信息技术制作三角 函数表 3.2简单的三角恒等变换 小结 复习参考题

最新人教版高中数学选修1-1知识点总结

高中数学选修1-1知识点总结 第一章 简单逻辑用语 ● 命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 真命题：判断为真的语句．假命题：判断为假的语句． ● “若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论． ● 原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” ● 四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ● 若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如： 若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件； 若A =B ，则A 是B 的充要条件； ● 逻辑联结词：⑴且：命题形式p q ∧； ⑵或：命题形式p q ∨； ⑶非：命题形式p ?． p q p q ∧ p q ∨ p ? 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ● ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示． 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?． ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示． 特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?．

第二章 圆锥曲线 ● 平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． ● 椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 22 10y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、() 20,F c 焦距 () 222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<<

人教版高中数学选修部分知识点总结(理科)

高二数学选修2－1知识点 第一章常用逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q ?”. ?，则p 四种命题的 真假性之间 的关系： ()1两个命 题互为逆否 命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p、q都是真命题时，p q ∧是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p是真命题，则p ?必是真命题． ?必是假命题；若p是假命题，则p 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．

人教版：高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结

高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 高中数学解题基本方法 一、配方法 二、换元法 三、待定系数法 四、定义法 五、数学归纳法 六、参数法 七、反证法 八、消去法 九、分析与综合法 十、特殊与一般法 十一、类比与归纳法 十二、观察与实验法 高中数学常用的数学思想 一、数形结合思想 二、类讨论思想 三、函数与方程思想 四转化（化归）思想

高中数学必修选修目录 人教版

人教版 高中数学教材目录 必修1 第一章集合与函数概念 1.1集合 阅读与思考集合中元素的个数 1.2函数及其表示 阅读与思考函数概念的发展历程 1.3函数的基本性质 信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业 小结 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2.1指数函数 信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质 2.2对数函数 阅读与思考对数的发明 探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系 2.3幂函数 小结 复习参考题 第三章函数的应用 3.1函数与方程 阅读与思考中外历史上的方程求解 信息技术应用借助信息技术方程的近似解 3.2函数模型及其应用 信息技术应用收集数据并建立函数模型 实习作业 小结 复习参考题 必修2 第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1.2空间几何体的三视图和直观图 阅读与思考画法几何与蒙日 1.3空间几何体的表面积与体积 探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积 实习作业 小结 复习参考题 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法 小结 复习参考题 第三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 探究与发现魔术师的地毯 3.2直线的方程 3.3直线的交点坐标与距离公式 阅读与思考笛卡儿与解析几何 小结 复习参考题 第四章圆与方程 4.1圆的方程 阅读与思考坐标法与机器证明 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直角坐标系 信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆 小结 复习参考题

必修3 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 阅读与思考割圆术 小结 第二章统计 2．1 随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2 用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 实习作业 小结 第三章概率 3．1 随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认识过程 3．2 古典概型 3．3 几何概型 阅读与思考概率与密码 小结 复习参考题 必修4 第一章三角函数 1 .1 任意角和弧度制 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考三角学与天文学 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图像与性质 探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ） 探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质 信息技术应用 1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像 阅读与思考振幅、周期、频率、相位 1.6 三角函数模型的简单应用 小结 复习参考题 第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 阅读与思考向量及向量符号的由来 2.2 平面向量的线性运算 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量应用举例 阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质 小结 复习参考题 第三章三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 信息技术应用利用信息技术制作三角函数表 3.2 简单的三角恒等变换 小结 复习参考题

人教版高中数学目录_必修选修(全)

人教版高中数学目录——必修选修 说明：必修五个模块，选修四个系列，选修一系列为文科必选，选修二系列为理科必选。 必修1 第一章集合与函数概念 1.1集合 阅读与思考集合中元素的个数 1.2函数及其表示 阅读与思考函数概念的发展历程 1.3函数的基本性质 信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业 小结 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2.1指数函数 信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质 2.2对数函数 阅读与思考对数的发明 探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系 2.3幂函数 小结 复习参考题 第三章函数的应用 3.1函数与方程 阅读与思考中外历史上的方程求解 信息技术应用借助信息技术方程的近似解 3.2函数模型及其应用 信息技术应用收集数据并建立函数模型 实习作业 小结 复习参考题 必修2 第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1.2空间几何体的三视图和直观图 阅读与思考画法几何与蒙日 1.3空间几何体的表面积与体积 探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球 体的体积 实习作业 小结 复习参考题 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 阅读与思考欧几里得《原本》与公理化 方法 小结 复习参考题 第三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 探究与发现魔术师的地毯 3.2直线的方程 3.3直线的交点坐标与距离公式 阅读与思考笛卡儿与解析几何 小结 复习参考题 第四章圆与方程 4.1圆的方程 阅读与思考坐标法与机器证明 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直角坐标系 信息技术应用用《几何画板》探究点的 轨迹：圆 小结 复习参考题 必修3 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 阅读与思考割圆术 小结 第二章统计 2．1 随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性

人教版高二数学选修2-1知识点总结(理科)

高二数学选修2－1知识点 第一章 常用逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假

人教版高中数学选修2-2教案全集

人教版高中数学选修2-2教案全集 第一章 导数及其应用 §1.1.1变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-

气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后 的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2 +6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0) 0()5.0(s m h h v =--= ； 在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812) 1()2(s m h h v -=--= 探究：计算运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2 +6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49 65 ( h h =， 所以)/(0049 65)0()4965 ( m s h h v =--= ， 虽然运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并 非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1 212) ()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率