罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第6章 不完全名义调整的微观经济基础)
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第6章 不完全名义调整的微观经济基础
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6.1 考虑在卢卡斯模型中一个个人在/i P P 未知时所面临的问题。个人选择i L 去最大化
i U 的期望值，i U 继续由方程i i
i i P P L L U γγ
=-给定。 （a ）找出i L 的一阶条件，并且将此条件进行整理，以便获得用[]/i E P P 表示的i L 的表达式，给这个表达式取对数，以获得i l 的表达式。
（b ）同（a ）部分推出的最优量相比较，如果个人遵循1
1i i i l E P γγ=
????
-中的确定性等价规则，其怎样地供给劳动量？（揭示：如何把()ln /i E P P ????与()ln /i E P P ????进行比较？）
（c ）设（如在卢卡斯模型那样）()()ln /ln /|i i i i P P E P P P u ????=+，其中，i u 是正态分布的，其均值为零，并且方差不依存于i P 。这意味着(){}
()|ln /l |n /i i i i E P P p E P P P C =+????????——这里C 是一个常数，其值独立于i P 。（提示：注意(){}
()/exp ln /|exp i i i i P P E P P P u =????，并且表明这意味着使期望效用最大化的i l 不同于（6.17）中的确定性等似性规则的i l ，其差别仅是一个常数。）
答：（a ）个人的行为就是在知道价格i P 的情况下，决定劳动供给量i L ，最大化预期效用，如下所示：
()()max 1/i
i i i L E C L P γγ??-??
将/i i i C PQ P =和i i Q L =代入上式得：
1max i
i i i i L PL E L P P γγ????-?? ???????
因为其中只有P 是不确定的，因此上式可以写成：
()()max 1//i
i L i i i E P P L L P γγ??-?? 一阶条件为：
()1/0i i i P L P E P
γ-??-=?? （1） 因此最优的劳动供给为：
{}
()
1/1/i i i L E p P P γ-=????
（2）
将（2）两边取对数并定义ln i i l L ≡得：
()()1/1ln /|i i i l E P P P γ=-???????? （3）
（b ）遵循确定性等价规则，个人供应的劳动数量为（对数形式）：
()()1/1|/i i i l E P P P γ=-???????? （4）
因为()ln /i P P 是()/i P P 的凹函数，根据詹森不等式得：
()()ln /n /|l |i i i i E P P P E P P P >????????
如果个人遵循确定性等价规则，个人供应的劳动数量小于（a ）部分的最优劳动数量。
（c ）证明：由于
()()ln /ln /|
i i i i P P E P P P u =+????，() ~0i u u N V ， （5） 对（5）两边取指数，得：
()()|ln /
/i
i
i
E P P P u i P P e e ????= （6） 在知道i P 的条件下在（6）两边取期望，得：
()()l |n /
|/|i i i E P P P u i i i E P P P e
E e P
????
??=?????? （7） 对（7）两边取自然对数，得：
()()
||ln /ln /ln |i u i i i i i E P P P E P P P E e P
??=+?????????? （8） 注意：ln i
u i E e P
????是不取决于i P 的一个固定值。将（8）代入（3）得到最优劳动供给的对数：
[]()1/1ln /ln ui
i i i i l E P P P E e P γ????=-?
?+?????? 或更简化的形式：
[]()()1/1ln /1/1ln ui i i i i l E P P P E e P γγ??????=-??+-???????????? （9）
（9）式右边的第一项()()1/1ln /|i i E P P P γ-????????是劳动供给（对数）的确定性等价选择，第二项是常数。因此最大化预期效用的劳动i l 不同于确定性等价的值。
6.2 （该题引自迪克西特与斯蒂格利茨1977。）设方程1
i i i U C L γγ
=-，1γ>中消费指
数i C 是()()
/11
1/1/0d i j ij j C Z C j ηηηη
η--=??=????
?，这里ij C 是个人i 对物品j 的消费量，而i Z 是其对物品j
的偏好冲击。假设个人把数量为i Y 的收入花费在产品上，因此其预算约束为1
0d j ij i j P C j Y ==?。
（a ）找出在预算约束限定性使i C 最大化的一阶条件。解出用j Z 、j P 与预算约束的拉
格朗日乘数表示的ij C 。
（b ）利用预算约束找到用j Z 、j P 、j Y 以及Z 与P 表示的ij C 。
（c ）把（b ）部分中的结论代入i C 的表达式，并且证明/i i C Y P =——这里()
()
1/1110
d j j
j P Z P j
ηη--=≡
?
。
（d ）利用（b ）与（c ）部分的结论证明()
()//ij j j i C Z P P Y P η
-=。
（e ）把结论与正文中的（6.7）与（6.9）进行比较。 答：（a ）个人行为可表示为：
()()
/11
1/1/010
max d ..d i j ij j j ij i
j C Z C j s t P C j Y ηηηη
η--==?? =????
=??
建立拉格朗日方程：
()()
/11
1
1/1/00￡d d j ij i j ij j j Z C j Y P C j ηηηη
ηλ--==????= +-??????
??
?? （1） 关于代表性商品ij C 的一阶条件是：
()()()/111/1/1
1/1/0￡d 0j ij j ij j j ij Z C j Z C P C ηηηηηηηηηηληη----=?????-1??= -= ? ??????-1????
? 因为()()/111/1ηηη--=-????及()1/11/ηηη--=-????，可以简化指数表达式，即：
()()
1/1/11
1/1/1/0d j
ij j j ij j P C Z Z C j η
ηηη
ηηλ---==
??????
? （2）
对式（2）两边取指数η-得到：
()()
()
/111/1/1/0d j j ij j ij j Z Z C j C P ηηηηηηη
λ--=??????=? （3）
（b ）对于单位空间上的每件商品，都有一个像（3）一样的等式。因此对于某些商品ik C ，有：
()()
()
/11
1/1/0d k j ij j ik k Z Z C j C P ηηηη
ηη
λ--=??????=? （4）
用（3）式除以（4）式得：
()()
()()()/111/1/0/111/1/0d d j j ij j ij k
ik j k j ij j Z Z C j C P C P Z Z C j ηηηηηηηηηηηλλ--=--=??????=??????
?? 化简上式得：
()()///ij ik k j j k C C P P Z Z η
= （5）
从而可以得到ij C 的表达式：
()()//ij k j j k ik C P P Z Z C η
= （6）
将方程（6）代入预算约束1
0d j ij i j P C j Y ==?得：
()()1
//j
k
j
j
k ik i j P P P Z
Z C dj Y η
==?
将不带下标j 的项从积分项中提出，得：
1
10
ik k j
j i k
j C P Z P
dj Y Z η
η-==?
可以求出ik C ：
1
10i k
ik k j j j Y Z C p Z P dj ηη-==
????????
? （7）
（7）式对于所有的商品都成立。因此，ij C 可以写为：
110i j
ij j j j j Y Z C p Z P dj η
η-==
????????
? （8）
（c ）将（8）式代入i C 的表达式()()
/11
1/1/0d i j ij j C Z C j ηηηη
η--=??=????
?中，得：
()()()()()
/11/1/1/11/0111/1/0d d j i j
i j j j ij j Z Y Z C j P Z C j ηηηηηη
ηηηηηηη----=--=??
??=??????????????
??
将不带下标j 的项从积分项中提出，得：
()()()()
/11/1/
1/11/1011/1/0d d j j
i i j j j ij j Z Z Y C j P Z C j ηηηη
ηηη
ηη
ηηηη-----=-=??
???? ?=?? ?????
?
??
???????
??
简化为：
()()/11
1
10d i i j j j C Y Z P j ηηη---=??
=????
? （9）
由于()()()/111/11/1ηηηη--=-=--，所以方程（9）还可以写为：
()
()
1/11
10d i
i j j j Y C Z P j ηη--==
??
???
?
? （10）
将价格指数定义如下：
()
1/11
10d j j j P Z P j ηη--=??
≡????
? （11）
可以得到：
/i i C Y P = （12）
（d ）由于()1
110d j j j Z P j P ηη--=≡?，所以方程（8）（个人对i 种物品的需求）还可以写为：
1i j ij j Y Z C P P ηη
-=
（13）
将式（13）整理可得：
()
()//ij j j i C Z P P Y P η
-= （14）
方程（14）给出了个人i 对商品j 的需求作为对j 物品的偏好冲击，对j 物品的相对价格和个人i 的实际收入的函数形式。
（e ）在方程（14）两边同时取自然对数得：
()()ij j j i c z p p y p η=--+- （15）
在（11）式中的价格指数不仅仅是每个价格的平均数。
6.3 观察性的等价物（萨金特1976）。设货币供给由1t t t c z m e -='+决定，这里c 与z 是参数，并且t e 是一个与1t z -不相关的独立且同分布的扰动。t e 是无法预期且不可观察的。因此，t m 的预期部分是1t c z -'，非预期的部分是t e 。在货币供给情形中，联邦储备只对那些对真实活动至关重要的变量作出反应，即：z 的变量直接影响y 。
现在考虑如下的两个模型：（1）唯有非预期的货币至关重要。因此，1t t t t y a z be v -='++；（2）所有货币均重要，因此1t t t t y a z m v β-='++。在每种界定中，扰动是独立且同分布的，并且是与1t z -和t e 不相关的。
（a ）是否有可能区分出这两个理论？即：在模型（1）条件下给定参数值的一个备选集，是否存在一些参数使得在模型（2）条件下获得与模型（1）相同的预期？请解释。
（b ）设联邦储备也对一些并不直接影响产出的变量作出反应。即：设11t t t t m c z e γω--='+'+，并且模型（1）与（2）与前面相同（现在其扰动既不同1t ω-相关，也不同1t z -和t e 相关）。在这个情形中，能否区分出这两个理论？请解释。
答：（a ）模型（1）可表述如下：
1t t t t y a z be v -='++ （1）
上式说明货币供给中只有没有预期到的部分t e 会影响产出。 模型（2）可表述如下：
1 t t t t y z m v αβ-='++ （2）
这个模型说明所有的货币都会影响产出。
将有关货币政策的假设1t t t m c z e -='+代入方程（2）得：
[]11
t t t t t y z c z e v αβ--='+'++ （3） 将式（3）整理得：
()1
t t t t y c z e v αββ-='+'++ （4） 这个模型由（1）和（4）构成。给定a 和b ，a c αβ'''=-和b β=有同样的预测。直观上讲，没有办法区分z 对产出的直接效应和货币政策产生的间接效应。因此只有没有预期到
的货币冲击产生作用，只能观察到z 对产出的直接效应。不过也有可能是货币变化中可以预测到的部分也会产生作用，观察到的z 的作用与直接效应和间接效应相一致。
（b ）将关于货币政策的新假设11t t t t m c z w e γ--='+'+代入（2）得：
[]111t t t t t t y z c z w e v αβγ---='+'+'++ （5）
将式（5）整理得：
()11t t t t t y c z w e v αββγβ--='+'+'++ （6）
在这种情况中可以区分出这种理论。模型（1），只有没有预期到的货币供给变化起作用，可以预测到z 的系数为0。模型（2），所有的货币供给变化都起作用。因为z 并不直接影响产出，如果它与产出相关，必然是通过影响货币供给的间接效应。
6.4 设经济由第6.4节的模型描述。然而，设P 是习题6.2的（c ）部分所描述的价格指数（在此条件下，为了简化，j Z 等于1）。此外，设货币市场的均衡要求经济中总支出等于M 。在这些变动条件下，它是否仍是如下的情形呢？即均衡中，每种产品的产出由
()
1/11Y γηη-??-= ?
??
给定，并且每种商品的价格由()1/11M M P Y γηη-=
=??
- ???
给出。 答：使用恰当的价格指数并不改变对个人行为的分析，即教材中（6.40）定义的单个物
品的最优相对价格为：
1i
P W P P
ηη=?- （1） 本题中，（1）式仍然成立。同理，个人劳动供给的最优选择不受影响。仍然由下式定义：
()
1/1i W L P γ-??
= ?
??
（2）
经济中的总支出等于M ，即：
10
d i
i
i PQ i M ==? （3）
其中i Q 是商品i 的产出。因为生产函数为i i Q L =，商品i 的产出为：
()
1/1i W Q P γ-??= ?
??
（4）
方程（1）两边同乘以P 得：
1
i P W η
η=
- （5） 由习题6.2中的（11）式可知，由于j Z 为0的价格指数为：
()
1/110i i P P di ηη-∞-=??≡??
??
? （6）
将方程（5）代入方程（6）中的价格指数，得：
()
()
1/11/11110011i i P W di W di ηηη
η
ηηηη----∞==????????≡=??
??
? ?--??????????
??
?? （7）
即：
1
P W η
η=
- （8） 整理上式可得均衡的实际工资，即：
1
W P ηη-=
（9） 将式（9）代入式（4）得到个人i 的产出，即：
()
1/11i Q γηη-??-= ?
??
（10）
将i P P =和式（10）代入式（3）得：
()
1/11
1d i i P i M γηη-=??-= ???? （11）
因为在积分号里的各项都没有下标i ，得到：
()1/11
1d i i P i M γηη-=??-= ???
? （12）
对（12）式求解P ，得：
()
()()
1/11/111/M P M γγηηηη---??-=?=
?
??
-????
（13）
方程（13）与方程（6.47）式()1/11M M
P Y γηη-=
=??
- ???
是等价的。 由于总需求是/Y M P =，则均衡产出为：
()()
()
1/11/11/1/M
Y M γγηηηη--??
-=
= ???
-????
（14）
式（14）与教材中（6.46）式()
1/11Y γηη-??
-= ?
??
是等价的。因此使用正确的价格指数并不
影响均衡价格和产出的表达式。
6.5 考虑一个由如下厂商组成的经济，其中一些拥有可变价格而另一些拥有刚性价格。设f p 表示由代表性的可变价格厂商确定的价格，而r p 表示由代表性的刚性价格厂商确定的价格。可变价格厂商在m 已知后确定其价格，而刚性价格厂商在m 已知前确定价格。
因此，浮动价格厂商确定()1f i p P p m φφ*
==-+，而刚性价格厂商确定
()1i r p Ep Ep Em φφ*==-+，
其中E 表示当刚性价格厂商确定其价格时其对一个变量的预期。假设比率为q 的厂商拥有刚性价格，使得()1r f p qp q p =+－。
（a ）求出用r p 、m 与模型的参数（φ与q ）表示的f p 。 （b ）求出用Em 与模型的参数表示的r p 。
（c ）（1）m 的预期变化（那便是当刚性价格厂商确定价格时所预期的变化）会影响y 吗？为什么会或为什么不会？
（2）m 的非预期的变化影响y 吗？为什么是或为什么不是？
答：（a ）将()1r f p qp q p +-=代入弹性价格的表达式()1f p p m φφ=-+中，得：
()()11f r f
p qp q p m φφ=-+-??+?? （1）
整理得：
()()()1111f r p q qp m φφφ??=-??---+ （2）
因为()()()1111q q q q φφφφφ---=+-=+-，所以（2）还可写为：
()()11f r p q qp m φφφφ+-=-+???? （3）
进一步可以推出：
()()()()()1111f r r r q p p p p q q m m q
φφφ
φφφφφφ=
+-+---++=-+ （4） （b ）因为刚性价格厂商定价为：()1r p Ep Em φφ=-+，下面求预期的总价格水平Ep 。在式()1r f p qp q p =+-两边取期望得：
()1r f Ep qp q Ep =+- （5）
整理得：
()()11r r f
p qp q Ep Em φφ?+???=--+ （6）
刚性价格的公司知道弹性价格的公司将要制定他们的价格，即弹性价格的公司运用（4）
来定价。因此，弹性价格公司的理性预期的价格为：
()()1f r r p m Ep E p q
φ
φφ+-=+- （7） 将（7）代入（6）得：
()()()()111r r r r q p qp p E m m E p q φφφφφ??=+-+-????
-??+-??+????
???? （8） 化简（8）式得：
()()()()
()1111r r r q p p Em Em p φφ
φφφφ--=-++
-+- （9） 令()()()1/11C q q φφφφ≡--+-????????，上式可变为：
()()11r p C C Em φφ=--+=+???? （10）
即：
()()
r p C C Em φφ+=+ （11） 解得：
r p Em = （12）
刚性价格的公司仅仅令他们的价格等于名义货币冲击的预期值。
（c ）总价格水平为：
()1r f p qp q p =+- （13）
将（4）代入（13）中，得：
()()()()()()1111r r r r r r q p qp q p m p p m p q q φφ
φφφφ??-=+-+-=+-??+-+-????
（14） 由（12）可以知道r p Em =。因此总价格水平为：
()()()11q p Em m Em q
φ
φφ-=+
-++ （15）
由于y m p =-，在表达式的两端同时增加和减少Em ，得：
()y Em m Em p =+-- （16）
将（15）代入（16）得：
()()()()()()()()11111q q q y m Em m Em m Em q q q
φ
φφφφφφ-+---=--
-=-+-+- （17）
化简得：
()()1q
y m Em q
φφ=
-+- （18）
（c ）（1）由方程（15）和（18）知，m 的预期的变化仅仅影响价格。考虑m 的整个分布向上移动，且m Em -保持不变，由（18）可知对实际产出没有影响。在这个例子中，刚性价格厂商知道m 发生变化，因此将其考虑到价格制定的决策中。
（2）未预期到的将影响实际产出。在既定的分布下（即Em ），m 的更高值的确提高了产出y ，如方程（18）所示。因此经济没有取得可变价格均衡。
除此以外，可变价格厂商不愿意允许实际价格发生变化：
()()[]2
101q q y m Em m Em q φφφ--?=-<>?+-????
因此较低的φ值，即更高的实际刚性，导致更高水平的产出，对于m Em -的任何正的实现。这意味着实际刚性越大（可变价格厂商越不愿意让他们的价格发生变化），总需求的
未预期到的增加对实际产出的影响越大。
6.6 考虑一个由许多不完全竞争的、确定价格的厂商组成的经济。代表性厂商i 的利润依存于总产出以及该厂商的真实价格():i i i r y r ππ= ，，这里220π<（下标表示偏导数）。令()*r y 表示作为y 的函数的利润最大化价格；注意()*r y 由()()*20r y y π =，刻画其特征。
设产出处在0y 水平，并且厂商i 的真实价格是()*0r y 。现在设存在货币供给的变化，并且设其他厂商并不改变其价格，而且总产出因此转向某个新的产出水平1y 上。
（a ）解释为什么厂商i 调整其价格的激励由()()()()**1110G y r y y r y ππ= - ，，给出。 （b ）利用1y 的这个表达式在10y y =处的二阶泰勒展开式去证明：
()()()()
2
2
*2200010*/2G y r y r y y y π≈-'?
- ???，
（c ）这个表达式的什么部分与真实刚性程度相对应？什么部分同利润函数的非敏感性相对应。
答：（a ）()()1*1y r y π ，是厂商在总产出为1y 时的利润，()1*r y 为利润最大化时的价格，如果厂商持续索取的实际价格为()*0r y ，则厂商在总产出水平为1y 时的利润为
()()*10y r y π ，。当总产出由0y 变为1y 时，厂商可以得到的额外利润是
()()()()**1110,,G y r y y r y ππ=-。厂商改变自身的价格水平达到新的利润最大化水平。这表
明当厂商面临实际产出的变化时有动机改变自身的价格。
（b ）二阶泰勒展开为：
[][]101010
22
101021
112y y y y y y G
G
G G y y y y y y ===???????+--
-???
?????
??
（1） 在10y y =时，G 等于0。另外，
()()()()()()()***
11112111110/*G y y r y y r y r y y r y πππ= - '-?? ??，，，
（2） 在10y y =处取导数，可得：
()()()()()()()**110100200*
*
0100/,,',0
G y y y y r y y r y r y y r
y πππ??==+??-=?? （3）
因为()*0r y 由()()*2000y r y π =，来潜在的定义，所以（3）式的右边等于0。 使用方程（2）找到G 关于1y 的二阶条件如下：
()()()()()()()()()()()()()()()()
22******
1111112111211122111*
*
*
*
121111110/,,,,'',,G y y r y y r y r y y r y y r y r y r y y r
y r y y r y ππππππ??????=+++????
????+-???? （4）
运用()()*211=0y r y π ，和()()()()**21111112=y r y y r y ππ ，，），方程（4）可以变成：
()()()()()()()()()()2
22******
1111112111221111110/,2,,,G y y r y y r y r y y r y r y y r y ππππ??????=++???? （5）
关于方程（5）在10y y =处取导数，如下：
()()()()()()()()2
22*****
112000220022000/2,',,'G y y r y r y y r y y r y r y πππ??????=++????
（6）
将潜在定义了()*0r y 的()()*2000y r y π =，两边求导数，得：
()()()()()**210022000*0y r y y r y r y ππ + '=????，， （7）
因此有：
()()()()()**210022000*y r y y r y r y ππ =- '????，， （8）
将（8）代入（6）得： ()()()()()()()()()102
2
2212222**
0002
*
*
22000000/2,**'y y y r y r y y r y G y y r
y y y r r πππ=??==-+?????? ' ??
?-?
'?=?，， （9）
在10y y =处，G 和1/G y 都等于0，将（9）代入（1）中，得到二阶泰勒式，近似为：
()()()[]2
*220002
10*/2G y r y r y y y π- '-????， （10）
（c ）()02
*r y ????'反映了实际刚性的程度。这表明厂商的利润最大化的价格如何对总实际产出做出反应。()()*2200y r y π ，反映了利润函数的不敏感性。此外()()*2200y r y π ，也反应
了利润函数的曲率，以及实际价格偏离利润最大化值时所造成的利润损失程度。
6.7 具有菜单成本的多重均衡（这个引自鲍尔与D ．罗默1991。）考虑一个由许多不完全竞争的厂商组成的经济。相对于在i p p *=条件下所获得的利润，厂商所损失的利润是()2
i K p p *-。一般*p p y φ=+并且y m p =-。每个厂商面临一个改变其名义价格的固定成
本Z 。
初始0m =，并且经济处在其可变价格均衡处，即0y =，且0p m ==。现在设m 变化成m '。
（a ）设占比率为f 的厂商改变其价格。由于改变其价格的厂商索要的价格为p *，而不改变其价格的厂商索要的价格为0，这意味着p fp *=。利用这个事实求出作为m '与f 的函数的p 、y 与p *。
（b ）画出一个厂商调整其价格的激励()2
20K p Kp **-=，它是f 的函数。确定地区分
出1φ<与1φ>的情形。
（c ）如果收益大于Z ，厂商则调整其价格；如果收益小于Z ，厂商则不调整价格；如果利益正好为Z ，它对调整价格无所谓。给定该结论，是否存在这样一种情形，即所有厂商调整价格与没有厂商调整价格均是均衡的。可否存在这样的情形，即既非所有厂商调整也非无厂商调整是一种均衡。
答：（a ）将总需求的表达式y m p =-代入*p p y φ=+中，可得：
()*p p m p φ=+-
化简上式，得：
()*1p p m φφ=-+ （1）
将总价格水平p fp *=和m m '=代入（1）得：
()**1p fp m φφ=-+'
求解p *得：
()*'11p m f
φ
φ=
-- （2）
将（2）代入总价格水平p fp *=中，得：
()*'11f
p m f
φφ=
-- （3）
将（3）和m m '=代入总需求方程y m p =-得：
()()1'''1111f
f f
y m m m f f
φφφφ??-+=-
=?
?----????
化简得：
()
()1'11f y m f
φ-=
-- （4）
（b ）将方程（2）——企业的最优价格代入到企业调整其价格的激励式中，得：
()2
*2'
11m Kp K f
φφ??
=?
?--????
（5） 下面求激励对于价格变化的函数f ，即企业改变其价格的比例，即：
()()()2
*2
3
21'11Kp K m f
f φφφ???-??
=
?--????
（6）
和
()()()2
*2
2
4
61'11Kp K m f f φφφ???-??
=
?--????
（7）
当1φ<，2/0Kp f *????>??和222
/0Kp f *????>??时，由方程（5）可知，在1f =，
[]2
222/Kp K m Km φφ*''==中；当1φ<时，在0f =处，2222Kp K m Km φ*''=<。因此，当1
φ<时，企业调整其价格的激励是其他企业调整其价格的增函数。如图6-1所示。
图6-1 激励对价格变化的影响
当1φ>时，2/0Kp f *??????由方程（5）可知，在1f =时，
[]2
222
/K p K m
K m φφ*''==；当1φ>时，在0f =处，2222Kp K m Km φ*''=>。因此，当1φ>时，企业调整其价格的激励是其他企业调整其价格的减函数。
（c ）在1φ<处，所有的厂商都调整或所有的厂商都不调整均是均衡。如图6-2所示：菜单成本Z 满足222K m Z Km φ''<<。当0f =时，点A 是均衡。考虑一个代表性厂商位于A 点，如果没有厂商改变价格，厂商损失的利润222Kp K m φ*'=小于菜单成本Z ，因此代表性厂商
的最优决策是不改变价格，即没有一个厂商会改变价格。在点B ，当1f =时，也是一个均衡。如果其他厂商都改变价格，厂商损失的利润22Kp Km *'=大于菜单成本Z ，因此代表性厂商的最优决策是改变价格，即所有厂商都会改变价格。
图6-2 1φ<，所有厂商都调整或不调整价格构成一种均衡
在1φ>处，所有的厂商都调整或所有的厂商都不调整均不是均衡。如图6-3所示，菜单成本Z 满足222Km Z K m φ''<<。考虑在A 点，0f =的情况，如果没有厂商改变价格，厂商损失的利润22Kp Km *'=大于菜单成本Z ，因此代表性厂商的最优决策是改变价格。即所有厂商都会改变价格。在点B ，当1f =时，如果其他厂商都改变价格，厂商损失的利润
22Kp Km *'=小于菜单成本Z ，因此代表性厂商的最优决策是不改变价格，即没有一个厂商
会改变价格。
图6-3 1φ>，EQ f 比例的厂商改变其价格构成一种均衡
由上述讨论可以知道，均衡是EQ f 比例的厂商改变价格。如果恰好有EQ f 比例的厂商改变价格，厂商损失的利润会等于菜单成本Z 。代表性厂商在这种情况下是无差异的，经济将不会改变这种比例。
6.8 （这个取自戴蒙德1982）。考虑一个由N 个人与众多椰子树组成的岛屿。每个人处在两种状态中：不携带一个椰子但寻找椰子树（状态P ），或者携带一个椰子而寻找带椰子的其他人（状态C ）。如果一个没有椰子的人发现了一棵椰子树，其将会爬上树并采摘一
个椰子，这将产生一个数量为c 的成本（用效用单位表示）。如果一个拥有一个椰子的人同另外一个拥有一个椰子的人相遇，他们将会进行交换，并吃掉彼此的椰子，这会给他们每个人带来u 单位的效用。（人们并不吃他们自己采摘的椰子。）
一个寻找椰子的人在每单位时间以速率b 发现一棵椰子树，而一个携带一个椰子的人在每单位时间里以速率aL 发现一个交易伙伴——这里L 是携带椰子的人的总数，a 与b 是外生的。
个人的贴现率为r 。关注于稳定状态，那便是假设L 是常数。
（a ）解释为什么在状态P 中，每当一个人发现一棵椰子树时，其每个人均会爬上椰子树，那么，()P C P rV b V V C =--，这里P V 与C V 是处在两种状态中的值。
（b ）求出C V 的类似表达式。
（c ）求出用r 、b 、c 、a 、u 与L 表示的C P V V -，C V 与P V 。
（d ）仍假设在状态P 中，每当一个人发现一棵椰子树时，任何人会爬上该树采摘椰子，L 是多少？为了简化，设2aN b =。
（e ）在状态P 中为使每一个人当其发现一棵椰子树时，每个人均爬上椰子树成为一种稳定状态均衡，c 的值应当是什么？（仍旧设2aN b =。）
（f ）为使无人发现一棵树，并上去采摘椰子成为一种稳定状态均衡，c 的值应当是多少？为使一种以上的稳定状态均衡存在，c 的值应当为多少？如果存在多重均衡，是否一种均衡比另一种均衡有更高的收益呢？请直观性地解释。
答：（a ）考虑一个人爬上椰子树的成本为c ，当他与别人交易并吃掉别人的椰子则得到的回报为u 。假设由一个风险中性的投资者来定价，他要求回报率为r ，作为个人的折旧率。因为这项资产的预期的贴现值等于个人预期终生效用的贴现值。当这个人在寻找椰子树时这项资产定价为P V ，当这个人在寻找别人进行交易时这项资产定价为C V 。为了持有这项资产，必须获得的回报为r ，即每单位时间的红利加上每单位时间的可能资本收益或损失必须等于P rV 。当这个人在寻找椰子树时这项资产每单位时间没有红利。这项资产以概率为b 的可能得到资本利得()C P V V c --；如果个人发现一棵椰子树并爬了上去，则资产的价格差别为
C P V V -，资产的支付为c ，因此有：
()p c p rV b V V c =-- （1）
（b ）当个人在寻找与别人交易时，资产的价格必须为C V ，得到的回报为r 。因此资产每单位时间的红利加上可能的预期资本收益或损失必须为c rV 。当个人在寻找与别人交易时，没有资本利得。资产以概率aL 在每单位时间内得到资本收益为()p c V V u -+；如果个人找到持有椰子的人，交易并吃掉椰子，资产的价格变动为()p c V V -，在那个时间资产的回报为u ，因此有：
()
c p c rV aL V V u =-+ （2）
（c ）在（2）中求解P V 得到：
()/p c c V rV aL V u =+- （3）
将（3）代入（1）得：
()()//c c c c c r rV aL V u b V rV aL V u c ????+-=--+-????
按照C V 整理得：
()()2
//c r V r aL r b aL ru bu bc
++?=+?-?? （4） 即：
()()/c V r r aL b aL u r b bc ????++=+-
最终在状态C 时的价值为：
()()
c aL u r b bc V r r aL b ??+-??=
++ （5）
将（5）代入（3）得到在状态P 时的值，即：
()()()
p aL u r b bc u r b bc V u r aL b
r r aL b ??+-+-??=
+
-++++ （6）
由（5）式减去（6）式，可得：
()e p u r b bc ur ub bc ur uaL ub
V V u r aL b r aL b ??+--++++-=-+=
??++++????
化简上式得：
e p bc uaL
V V r aL b
+-=
++ （7）
（d ）在稳定状态，持有椰子的人的数量L 是不变的。在状态C 中流出的量必须等于在状态C 中流入的量。即每单位时间发现交易伙伴并吃掉椰子的人的数量必须等于每单位时间发现并爬上树的人的数量。每单位时间离开状态C 的人的数量等于发现交易伙伴的概率aL 乘以拥有椰子并寻找交易者的人的数量L 。每单位时间进入状态C 的人的数量等于找到树的概率b 乘以找到一颗树的人的数量()N L -。稳定状态要求：
()()aL L b N L =- （8）
经整理得到关于L 的二项式：
20aL bL bN +-= （9）
求解得到：
b
L a
=== （10）
上步用到了条件2aN b =，并且忽略了2/0L b a =-<这种情况。
（e ）在稳定状态的均衡，一个人从爬树得到的收益为C P V V -，来源于在状态P 的价值与在状态C 的价值之差，必须大于或等于个人爬树的成本c 。即对于稳定状态的均衡有：
C P V V c -≥ （11）
将（10）中稳定状态的/L b a =代入到（7）中，可得：
()()//2e p bc ua b a bc bu
V V r a b a b
r b
=+-=
=
+++ （12）
将（11）代入（12）得：
()
2bc bu
c r b +≥+
可以推得：
()2bc bu c r b +≥+
进而可以推得：
()2c r b b bu +-≤
因此爬树的成本满足：
()/c bu r b ≤+ （13）
（f ）为使无人发现一棵树，并去采摘椰子成为一种稳定状态均衡，必须满足0c >。如果所有的人发现一棵树没有爬，则对个人而言发现一棵树却不去采摘椰子便是最优的。如果一个人发现一棵树上去采摘椰子会带来效用成本c ，却无法通过与别人交换带来收益，那么他不爬树，则不会造成效用成本。因此不爬树是最优的。这一决策过程对每一个人都成立。因此没有人会爬树，即0L =，对于任意的0c >是一个稳定状态。这意味着对于()0c bu r b <≤+，将会有多个稳定状态。这里证明了两个，即：/L b a =和0L =。
在多重均衡的情况下，/L b a =比0L =带来更多的福利。在（e ）中证明了对于()c ub r b ≤+，个人在爬树后将获得效用收益。个人知道他们最终通过交易椰子将获得的效
用超过了爬树的成本，所以他们会选择爬树。因此，均衡带来的正的效用使得个人经历了搜寻、爬树、搜寻和交易的循环过程。0L =的均衡意味着人们不可能取得任何正的收益。
6.9 指数化。（见格瑞耶Gray 1976，1978与费希尔1977b 。这个问题取自鲍尔1988。）设厂商i 的生产由i i Y SL α=给出，其中S 是一种供给冲击并且01α<≤。因此，用对数表示，
i i y s l α=+，价格是可变的；为了简化，令常数项为0，()1i i i p w l s α=+--。把产出与价格
方程进行加总，则获得y s l α=+，并且()1p w l s α=+--。工资部分地对价格进行指数化，即w p θ=，这里01θ≤≤。最后，总需求由y m p =-给出，s 与m 是独立的，零均值是随机变量，其方差分别为s V 与m V 。
（a ）作为m 、s 与参数α、θ的函数，p 、y 、l 与w 的值是什么？指数化怎样影响就业对货币冲击的反应，它怎样对货币冲击作出反应。
（b ）θ取何值可最小化就业方差？
（c ）设对单个厂商产出的需求为()i i y y p p η=--。设除厂商i 之外的其他厂商均像以前一样将其工资依据价格水平指数化，即w p θ=，而厂商i 则将其工资依据工资水平指数化为i i w p θ=。厂商i 继续把其价格确定为()1i i i p w l s α=+--。生产函数与定价方程因此意味
着()i i w y y w =--，这里()/1φαηααη≡+-????。
（1）作为m 、s 、α、η、θ与i θ函数的厂商i 的就业i l 是什么？
（2）i θ取什么值可使i l 的方差最小化。
（3）找到θ的纳什均衡值，那便是找到θ的值，使得如果总指数化由θ给定，那么代表性厂商通过设i θθ=而使i l 的方差最小化。将这个值与（b ）部分发现的值进行比较。
答：（a ）将名义工资的表达式w p θ=代入总价格方程()1p w l s α=+--得到：
()1p p l s θα=+--
解方程求p 得：
()()1/1p l s αθ=---???? （1）
将总产出方程y s l α=+和方程（1）代入总需求方程y m p =-中，得：
()()1/1s l m l s ααθ+=----????
整理关于l 的同类项得：
()()()1/1/1l l m s s ααθθ+--=+--????????
整理上式，得：
()()()()()11/111/1l m s αθαθθθ-+--=+---????????
再进一步整理得：
()()()1/1/1l m s αθθθθ--=+-????
因此，劳动需求量（或雇佣量）为：
()()
11m s
l θθαθ-+=
- （2）
将方程（2）代入方程（1）得：
()()()()()
11111m s s p αθθθαθθ--+????=
---- 化简得：
()()()()()()()()()()()
11111111111m s s m s
p αθααθαθθθαθθαθ--+-------=
=----
因此，总价格水平为：
()()
11m s
p ααθ--=
- （3）
将方程（2）代入总产出方程y s l α=+，并化简得：
()()()()
1111m s s s m s
y s αθαθααθαθαθαθ-+-+-+=+
=--
因此，总产出表达式可以写为：
()()
11s m
y αθαθ+-=
- （4）
最后将方程（3）代入方程w p θ=，可以得到名义工资的表达式为：
()()
11m s w αθαθ--???-=
?
（5）
通过方程（2）来分析指数化程度对m 如何影响雇佣量所起的作用，如下：
()()
11m s
l m θθαθ-+?=?- （6） 方程（6）两边同时对θ求偏导，得：
[]()()()()()()
()
22
/1111011l m αθθααθ
αθαθ???------=
=
因此指数化程度的提高，θ在给定货币冲击的情况下，降低了雇佣量。下面分析指数化
程度如何影响劳动对供给冲击的反应程度。通过方程（2）来分析雇佣量与s 的关系：
()
1l s θαθ?=?- （8） 在方程（8）两边同时对θ求偏导得：
[]()()()()
22
/11
011l s αθθαθ
αθαθ???---=
=>?-- （9）
因此，工资指数化程度的提高增加了供给冲击造成的雇佣量反应程度。
（b ）由方程（2）可知，雇佣量的方差为：
()()2
2
111l m s V V V θθαθαθ??-??
=+?
???--??????
（10） 上式中，m 和s 是关于m V 与s V 独立的随机变量。为找到最小化雇佣量方差的θ值，令0l
V θ
?=?，有： ()()()()()()22111
2201111l m s V V V θαθθαθαθαθαθ????????--?=+=?????????----????????????????
（11） 化简得：
()()110m s V V θαθ--+=
整理关于θ的同类项得：
()()11m s m V V V θαα??=?-?-+
因此，最优的工资指数化程度为：
()()11m
m s
V V V αθα-=
-+ （12）
上式更直观地解释了在（a ）部分得到结论，指数化降低了货币冲击对雇佣量的影响而增加了供给冲击的影响。首先，如果0s V =，即不存在供给冲击，最优的指数化程度为1。除此之外，供给冲击相对于货币冲击的方差越大，最优的指数化程度越高。
（c ）（1）已知：
() i i y y w w φ=-- （13）
其中，()/1φαηααη≡+-????。
因为w p θ=、i i w p θ=，方程（13）可以转化为：
()()i i i y y p p y p φθθθθφ=--=-- （14）
从生产函数i i y s l α=+、y s l α=+出发，可以写为：
()i i y y l l α-=- （15）
求解方程（15）得到企业的就业量为：
()()1/i i l l y y α=+- （16）
将方程（14）i y y -代入方程（16）得：
()()1/i i l l p αθφθ=-- （17）
将总雇佣方程（2）和价格水平方程（3）代入（17）得：
()()()()(){}
1
111i i i l m s αθθθφααθθθφααθ=
----++-?????
???- （19） （2）由方程（19）可知，企业雇佣量的方差为：
()()()()()()()2
2
11var 11i i i m s l V V αθθθφααθθθφααθααθ????
----+-=+????--????????
（20）
企业的工资指数化程度的一阶条件，即最小化雇佣量的方差为： ()()()()()()()()()
Var 1121202111i i i m
s i
l V V αθθθφααθθθφφαφθααθααθ????
?----+-=--+=?????????--????????
方程（21）可以简化为：
()()(){}
()()()111122i
m i s
V V αθθ
φαθφαφααθθφθφφ---+--+-????
()()()()()()2
2111123i s i m m s
V V V V θφθφααθθφαφααθθφφ+-=-+----????????
可以得到i θ的表达式：