指数函数知识点及经典例题
基本初等函数
一、知识和数学思想梳理：
1．指数式和对数式：①根式概念；②分数指数幂；③指数幂的运算性质；④对数概念；⑤对数运算性质；⑥指数和对数的互化关系；
2．指数函数：①指数函数的概念；②指数函数的图象与性质；③指数函数图象变换；④指数函数性质的应用（单调性、指数不等式和方程）；
3．对数函数：①对数函数的概念；②对数函数的图象与性质；③对数函数图象变换；④对数函数性质的应用（单调性、指数不等式和方程）；
4.解指数不等式、指数方程、对数不等式、对数方程，先要化同底．．，即．．
1
2
1212(1)(0,1)(01)
x x x x a a a a a x x a >>?>>≠??
<<
a a a a x x =>≠?=且 121
212
0(1)
log log (0,1)0(01)x x x x a a a a a x x a >>>?>>≠??<<<≠?=>且；
5.要明确区分指数函数、对数函数与指数型函数、对数型函数；
6.反函数：①反函数概念；②互为反函数定义域和值域的关系；③求反函数的步骤；④互为反函数图象的关系；
7.函数应用：①解应用题的基本步骤；②几种常见函数模型（一次型、二次型、指数型（利息计算）、几何模型、物理和生活实际应用型）；
8.学会灵活应用数形结合思想、方程思想、分类讨论思想解决问题。 二、典型示例
（一） 函数定义域和值域 例1．求下列函数的定义域 （1）（2010湖北文）
函数y =
的定义域为（ ）
（A ）.(
3
4
,1) （B ）(
3
4,∞)
（C ）（1，+∞）
（D ）. (
3
4
,1)∪（1，+∞） (2) 已知[](1)f x -的定义域为2，4,求(21)f x +的定义域 例2．求下列各函数的值域
（1）、（2010重庆文数）已知0t >，则函数241
t t y t
-+=的最小值为____________ .
（2）（2010湖北文）已知函数3log ,0
()2,0
x
x x f x x >?=?
≤?，则1(())9
f f =
（A ）.4 （B ）.
14
（C ）.-4 （D ）-
14
（二）求下列函数的增区间
例3.（1）)
6(log 22
1--=x x y
（2）y =
（三）函数奇偶性
例4．1、（2010山东理4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x
+2x+b(b 为常数)，则f(-1)=（ ）
（A ） 3 （B ） 1 （C -1 （D ） -3
2、（2010江苏卷）设函数f(x)=x(e x
+ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =________________
（四）指对数函数
例5．(1)(2010辽宁文）设25a
b
m ==，且
11
2a b
+=，则m =
（A （B ）10 （C ）20 （D ）100
(2)（2010安徽文）设232555322555
a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a
（3）．已知f (x )＝－x ＋log 21－x
1＋x
.
(1)求f (12 005)＋f (－1
2 005)的值；
(2)当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(0,1)，且a 为常数)时，f (x )是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如
果不存在，请说明理由．
（五）函数与方程
例6（1）（2010上海文）若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ） （A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2） （2）（2010浙江文）（9）已知x 是函数f(x)=2x +
1
1x
-的一个零点.若1x ∈（1，0x ）， 2x ∈（0x ，+∞）
，则 （ ） （A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0 （C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞0
(3)（2010天津文）（4）函数f （x ）=2x
e x +-的零点所在的一个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）
三、巩固并提高
1．（湖南卷）f (x )＝x 21-的定义域为 ；
2．（江苏卷）函数y =
的定义域为 ；
3．（2006年广东卷）函数)13lg(13)(2++-=
x x
x x f 的定义域是 ；
4．（2010陕西文）13.已知函数f （x ）＝2
32,1,,1,
x x x ax x +
+≥?若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ ；
5．（2010山东文）(3)函数()()
2log 31x f x =+的值域为（ ）；
A. ()0,+∞
B. )0,+∞??
C. ()1,+∞
D. )1,+∞?? 7．（2010山东理）函数y =2x
-2
x 的图像大致是
8．已知2(3)21f x x x -=++，求(3)f x +；
9．若
1)3(2)(2
+-+==x a ax x f y 在区间[2,)-+∞递减，求a 取值范围；
10．（2010山东文）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，f(x)=2x
+2x-b （b 为常数），则
(1)(
)f -
（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)3
11.（2010天津文）(6)设554a log 4b log c log ===25，（3），，则
（ ）
(A)a 12.（2010天津理）若函数f(x)=21 2 log ,0,log (),0x x x x >?? ?-f(-a),则实数a 的取值范围是（ ） （A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1） 13.（2010四川理）（3）2log 510＋log 50.25＝ （ ） （A ）0 （B ）1 （C ） 2 （D ）4 14.（2010天津理）（2）函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是（ ） (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2） 15.（2010福建文）7．函数2x +2x-3,x 0 x)=-2+ln x,x>0 f ?≤? ?（的零点个数为 ( ) （A ）．3 （B ）．2 （C ）．1 （D ）．0 16．已知函数f (x )＝????12x ＋????14x －2. (1)判断函数f (x )的单调性； (2)求函数的值域； (3)解方程f (x )＝0； (4)解不等式f (x )>0. 17.已知函数12x )x (f -=的反函数为)x (f 1-, )13(log )(4+=x x g . (1) 若≤-)x (f 1)x (g ，求x 的取值范围D; (2) 设函数)x (f 2 1)x (g )x (H 1 -- =，当∈x D 时, 求函数)x (H 的值域. 函数专题复习教师版 知识梳理： 1、函数：①函数概念；②三要素；③映射概念 2、函数的单调性：①定义；②判断证明单调性方法；（定义法；图象法；复合函数单调性；）③单调性性应用；（解（证）不等式；比较大小；求函数的值域和最值） 3、反函数：①反函数概念；②互为反函数定义域和值域的关系；③求反函数的步骤；④互为反函数图象的关系。 4、指数式和对数式：①根式概念；②分数指数幂；③指数幂的运算性质；④对数概念；⑤对数运算性质；⑥指数和对数的互化关系。 5、指数函数：①指数函数的概念；②指数函数的图象与性质；③指数函数图象变换；④指数函数性质的应用（单调性、指数不等式和方程）。 6、对数函数：①对数函数的概念；②对数函数的图象与性质；③对数函数图象变换；④对数函数性质的应用（单调性、指数不等式和方程）。 7、函数应用：①解应用题的基本步骤；②几种常见函数模型（一次型、二次型、指数型（利息计算）、几何模型、物理和生活实际应用型） 典型示例 （二） 函数定义域和值域 【例1】求下列函数的定义域 （1）（2010广东文）函数)1lg()(-=x x f 的定义域是（ B ） A.),2(+∞ B. ),1(+∞ C. ),1[+∞ D. ),2[+∞ （2）（2010湖北文） 函数y = ）A A.( 3 4 ,1) B( 3 4,∞) C （1，+∞） D. ( 3 4 ,1)∪（1，+∞） (3) （2010广东理）9. 函数()f x =lg(x -2)的定义域是 . 答案(1,+∞) ．【解析】∵10x ->，∴1x >． (4) 已知[](1)f x -的定义域为2，4,求(21)f x +的定义域 （[]0,1） 【变式】1、（湖南卷）f (x )＝x 21- （ (－∞，0] ） 2、 （江苏卷）函数y = 13,0,144???? -? ?????? 3、（2006年广东卷）函数)13lg(13)(2 ++-=x x x x f 的定义域是 )1,31 (- 【例2】求下列各函数的值域 1、（2010重庆文数）（4 ）函数y =的值域是 （A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 答案 B 解析：[)40,0164160,4x x >∴≤-< 2、（2010重庆文数）(12)已知0t >，则函数241t t y t -+=的最小值为____________ . 答案 -2 解析：2411 42(0)t t y t t t t -+= =+-≥-> ，当且仅当1t =时，min 2y =- 3、（2010湖北文）3.已知函数3log ,0()2,0 x x x f x x >?=?≤?，则1 (())9f f = A.4 B. 1 4 C.-4 D- 14 【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211 (())(2)294 f f f -=-==， 【变式】1、（2010陕西文）13.已知函数f （x ）＝232,1, ,1, x x x ax x + 答案 2 【解析】f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=2 2、（2010山东文）(3)函数()() 2log 31x f x =+的值域为（ A ） A. ()0,+∞ B. )0,+∞?? C. ()1,+∞ D. )1,+∞?? 3、（2010 天津理数）（16）设函数 2()1f x x =-，对任意2,3x ?? ∈+∞???? ， 24()(1)4()x f m f x f x f m m ?? -≤-+ ??? 恒成立，则实数m 的取值范围是 . 【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。 依据题意得2222 2214(1)(1)14(1)x m x x m m ---≤--+- 在3[,)2 x ∈+∞上恒定成立，即2 2213241m m x x -≤--+在3[,)2 x ∈+∞上恒成立。 当32x =时函数2321y x x =--+取得最小值53-，所以221543 m m -≤-，即22 (31)(43)0m m +-≥，解 得m ≤ 或m ≥ （三） 函数的表达式 【例3】（1）（04湖北卷）已知2 2 11()11x x f x x --=++，求()f x 解：（1）令2 111121()111111t x t t t t x f t t x t t t -- --+=?=?==-+++++22()1x f x x ∴=+ （2）函数()41 2 x x f x +=的图象 A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称 答案 D 解析：)(2 41214)(x f x f x x x x =+=+=--- )(x f ∴是偶函数，图像关于y 轴对称 【变式】1、（2010山东理）(11)函数y =2x -2 x 的图像大致是 【答案】A 【解析】因为当x=2或4时，2x -2x =0，所以排除B 、C ；当x=-2时，2x -2 x =1 4<04 -，故排除D ，所以选A 。 （2）已知2(3)21f x x x -=++，求(3)f x + （2(3)1449f x x x +=++） （三）求下列函数的增区间 【例4】（1）) 6(log 22 1--=x x y （2）3||22 --=x x y 答案： （1）↓ =t y 2 1log 62 --=x x t ∴ )2,(--∞∈x ↑ （2）作图 ?????<-+≥--=0320322 2x x x x x x y ∴ ↑+∞-),1)(0,1( 【变式】若1)3(2)(2 +-+==x a ax x f y 在区间[2,)-+∞递减，求a 取值范围。 解：① 0=a ，16+-=x y 成立 ② 0≠a ?? ? ??-≤--<22)3(20a a a 03<≤-?a ∴ )0,3[-∈a （四）函数奇偶性 【例5】1、（2010山东理4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)=（ ） (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 2、（2010江苏卷）5、设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =________________ 答案 a=－1【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e x +ae -x 为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。 【变式】（2010山东文）（5）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，f(x)=2x +2x-b （b 为常数），则(1) ( )f - A （A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)3 （五）指对数函数 【例6】1、(2010辽宁文）（10）设25a b m ==，且 11 2a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 答案 A 【解析】选A. 211 log 2log 5log 102,10,m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 2、 （2010安徽文）（7）设232555 322555 a b c ===（）,（）（，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 答案 A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5 x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 3、（2010全国卷1文）(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a = ，所以a+b=1a a + 又0 =+ 1 由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞). 答案 C 【变式】1、（2010天津文）(6)设554a log 4b log c log ===2 5，（3），，则 (A)a 【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。 因为50log 41,<<所以b 2、（2010天津理）（8）若函数f(x)=21 2 log ,0, log (),0x x x x >?? ?-f(-a),则实数a 的取值范围是 （A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C 【解析】由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。 2112220a<0()()log log log ()log ()a f a f a a a a a >???? >-???>->-????或001-10112a a a a a a a <>??????><????或或[ 3、（2010四川理）（3）2log 510＋log 50.25＝ （A ）0 （B ）1 （C ） 2 （D ）4 解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2 答案 C （六）函数与方程 【例7】1、（2010上海文）17.若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ） （A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2） 答案 D 【解析】04 147lg )47 ()75.1(,2lg )(<-==-+=f f x x x f 由构造函数 02lg )2(>=f 知0x 属于区间（1.75，2） 2、（2010浙江文）（9）已知0x 是函数f(x)=2x + 1 1x -的一个零点.若1x ∈（1，0x ）， 2x ∈（0x ，+∞） ，则 （A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0 （C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞0 解析：选B ，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题 3、（2010天津文）（4）函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 【答案】C 因为f （0）=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选C 【变式】1、（2010天津理）（2）函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2） 【答案】B 由1 (1)30,(0)102 f f -= -<=>及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。 2、（2010福建文）7．函数2x +2x-3,x 0 x)=-2+ln x,x>0 f ?≤? ?（的零点个数为 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【解析】当0x ≤时，令2 230x x +-=解得3x =-； 当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选B 。 （七）函数综合 【例8】已知x 满足≤+6x 2a a 4 x 2 x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12a ? 的值域为]0 ,8 1 [-, 求a 的值. 解：由≤+6x 2a a 4x 2 x a a +++0)a a )(a a ()1a ,0a (4x 2x ≤--?≠> ]4,2[x ∈? 由y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12a ?81)23x (log 21y 2a -+=? ?-∈]0,81[y 1x log 208 1 )23x (log 2181a 2a -≤≤-?≤-+≤-, ,4x 2≤≤ ① 当1a >时, 为x log a 单调增函数,log 2log log 4a a a x ≤≤log 2241a =-=-a 且log ,无解。 ② 当1a 0<<时, 为x log a 单调减函数, log 2log log 4a a a x ≥≥ ， 1 log 22412 a a ∴=-=-?=a 且log 【变式】已知函数12x )x (f -=的反函数为)x (f 1 -, )13(log )(4 +=x x g . (1) 若≤-)x (f 1 )x (g ，求x 的取值范围D; (2) 设函数)x (f 2 1)x (g )x (H 1 --=，当∈x D 时, 求函数)x (H 的值域. 解： (1))1x )(1x (log )x (f )1y (log x 1y 212y 212x x ->+=∴+=-=∴-=-即 ())1x 3(log 2 1 )1x (log )1x 3(log )1x (log )x (g x f 22421+≤+∴+≤+∴≤- ?? ? ??>+>++≤+∴01x 30 1x 1x 3)1x (2 }1x 0|x {D 1x 0≤≤=∴≤≤∴ (2) 1x 1x 3log 21)x (H 2++= ]1,0[x ∈, ]2 1 ,0[)x (H ]2,1[1x 231x 1x 3 ∈∴∈+-=++ （3）．已知函数f (x )＝????12x ＋????14x －2. (1)判断函数f (x )的单调性； (2)求函数的值域； (3)解方程f (x )＝0； (4)解不等式f (x )>0. [解析] (1)∵y ＝(12)x ＋(14)x －2，由于y 1＝(12)x 在x ∈R 上单减，y 2＝(1 4 )x 在x ∈R 上单减 ∴y ＝(12)x ＋(1 4)x －2在R 上单减． (2)y ＝(12)x ＋(14)x －2＝[(12)x ]2＋(1 2 )x －2>－2，∴值域为{y |y >－2} (3)∵f (x )＝0，∴[(12)x ＋2][(1 2 )x －1]＝0 ∴(1 2 )x －1＝0 ∴x ＝0. (4)∵y ＝(12)x ＋[(1 2)x ]2－2 ＝[(12)x ＋2][(1 2 )x －1] ∵f (x )>0而(1 2 )x ＋2>2 ∴(12)x －1>0 (12 )x >1 ∴x <0，即不等式f (x )>0的解集为{x |x <0}． 11．已知f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x . (1)求f (12 005)＋f (－1 2 005 )的值； (2)当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(0,1)，且a 为常数)时，f (x )是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由． [解析] (1)由1－x 1＋x >0得：－1 ∴f (x )的定义域为：(－1,1)． 又f (－x )＝－(－x )＋log 21＋x 1－x ＝－(－x ＋log 21－x 1＋x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数．∴f (12 005)＋f (－1 2 005 )＝0. (2)f (x )在(－a ，a ]上有最小值． 设－1 . ∵－1 . ∴函数y ＝1－x 1＋x 在(－1,1)上是减函数． 从而得：f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x 在(－1,1)上也是减函数． 又a ∈(－1,1)， ∴当x ∈(－a ，a ]时，f (x )有最小值． 且最小值为f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a . 如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象 上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值. 22．解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42 +在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++=.541在v v 上是减函数，且1 ? ??=59,1log 3在u 上是增函数， 所以复合函数S=f (t ) [)+∞++=,1)44 1(log 2 3在t t 上是减函数 （3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 25 9 log 33-== 指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下： 指数函数平移问题（引导学生作图理解） 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系（作图略）， ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）4 12-=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）1241++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 及时演练 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 指数函数与对数函数 一. 【复习目标】 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二、【课前热身】 1.设5 .1348.029.0121,8,4-? ? ? ??===y y y ，则 ( ) A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >> 2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( ) A (]a ,0 B ()+∞,0 C (]1,0 D [)+∞,1 3.若函数)(x f 的图象可由函数()1lg +=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到，=)(x f ( ) A 110 --x B 110-x C x --101 D x 101- 4.若直线y=2a 与函数）且1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 . 5..函数)3(log 32x x y -=的递增区间是 . 三. 【例题探究】 例1.设a>0，x x e a a e x f += )(是R 上的偶函数. （1） 求a 的值； （2） 证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数 例2.已知()())2(log 2log )(,2 2 log )(222 >-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围 (2) 求)()()(x g x f x F +=的值域. 例3.已知函数)1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x （1） 证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数； 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． 指数函数 【知识点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=ax(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?， 1 2x y =，31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x ==???时，在实数范围 内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质： 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）①x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2, 3, (), ()2 3 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可 指数函数习题 新泰一中闫辉 一、选择题 1．下列函数中指数函数的个数是 ( ). ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若，，则函数的图象一定在（） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 3．已知，当其值域为时，的取值范围是（）A． B． C． D． 4．若，，下列不等式成立的是（） A． B． C． D． 5．已知且，，则是（） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与有关 6．函数（）的图象是（） 7．函数与的图象大致是( ). 8．当时，函数与的图象只可能是（） 9．在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是（） 10．计算机成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低 ,现在价格为8100元的计算机,则9年后的价格为( ). A．2400元 B．900元 C．300元 D．3600元 二、填空题 1．比较大小： （1）；（2） ______ 1；（3） ______ 2．若，则的取值范围为_________． 3．求函数的单调减区间为__________． 4．的反函数的定义域是__________． 5．函数的值域是__________ ． 6．已知的定义域为 ,则的定义域为__________. 7．当时, ,则的取值范围是__________. 8．时，的图象过定点________ ． 9．若 ,则函数的图象一定不在第_____象限. 10．已知函数的图象过点 ,又其反函数的图象过点(2,0),则函数的解析式为____________. 11．函数的最小值为____________. 12．函数的单调递增区间是____________. 13．已知关于的方程有两个实数解,则实数的取值范围是_________. 14．若函数（且）在区间上的最大值是14，那么等于 _________． 三、解答题 1．按从小到大排列下列各数： ，，，，，，， 2．设有两个函数与，要使（1）；（2），求、的取值范围． 3．已知 ,试比较的大小. 4．若函数是奇函数，求的值． 5．已知，求函数的值域． 6．解方程： 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜ b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞， ∴＞． --- -45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 【例4】解 比较大小与＞且≠，＞． 当＜＜，∵＞，＞， a a a a a n n n n n n n n n n n n -+-+-=-111 1 111 1(a 0a 1n 1)0a 1n 10() () 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 指数函数·例题解析 指数和指数函数 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31>b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --的反函数是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 高一数学 指数函数平移问题 ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，∴值域是≤＜．0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）4 12 -=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）12 41 ++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--() 指数函数 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 指数函数讲义经典整理（含答案） 一、同步知识梳理 知识点1：指数函数 函数 (01)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 知识点2：指数函数的图像和性质 知识点3：指数函数的底数与图像的关系 指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如 图所示，则01c d a b <<<<<， 在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 在第一象限内，“底大图高” 知识点4：指数式、指数函数的理解 ① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算 ② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视 ③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值 ④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像 1 2 2 23,,3,21x x x y y x y y -=?===- 等 函数均不符合形式 () 01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数 ⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点： ()()11,,0,1,1, a a ?? - ?? ? 二、同步题型分析 题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例1：已知函数 ，且 ． （1）求m 的值； （2）判定f （x ）的奇偶性； （3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明． 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析： （1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可； （2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为 ，所以 ，所以m=1． （2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又， 所以f （x ）是奇函数． （3）任 取 x1 ＞ x2 ＞ ， 则 ， 因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2）， 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则3 21x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2 321(25) (25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2 2 25(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x > ．∴x 的取值范围是14?? + ??? ，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数2 16x y -=-的定义域和值域． 解：由题意可得2 16 0x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令2 6 x t -=，则1y t =-， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2 061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01， ． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 指数函数典型例题详细解析 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---21 3321 x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－ 2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜． 0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y ＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜ ＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞， ∴＞． ---- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有 指数式及指数函数题型归纳（2019.10.25）一．指数幂与根式的互化： 题组一：根式化为分数指数幂 （1）化简=________．(2) 计算=________． (3)若a＜0，则=________． (4)的值为（） 题组二：运用分数指数幂进行化简： （1）下列各式中错误的是（） 1. A. B. C. D. 2.化简（）×（-）÷（）的结果（） A. 6a B. C. D. 3.（1）计算：（2）化简：． (3)（×）6+（）-4（）-×80.25-（-2009）0． 题组三：指数式的条件求值问题： 1.已知，求下列各式的值(写出过程)： （1） (2) (3)= 2.（1）已知，求的值．（2）已知2x+2-x=3，则 4x+4-x= ______ ． 题组四：利用指数函数比较大小; 1.下列各式比较大小正确的是： ；； 2.已知，则a，b，c三者的大小关系是 A. B. C. D. 3.已知，b=，c=，则（） A. B. C. D. 题组五：指数函数过定点问题; 1．函数f（x）=2-a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（） A. B. C. D. 2.函数y=a x-3+1（a＞0且a≠1）图象一定过点______ ． 3.函数y(a＞0，a≠1）的图象经过定点为______ 4.题组六：指数函数解方程（或不等式）; 1.设集合A={x|-1＜x＜2}，{x|＜（）x＜1}，则A∩B=（） A. B. C. D. 2.（1）不等式的解集为________．(2)不等式2x-2＞22x+4的解集为______ (3)求不等式a2x-7＞a4x-1（a＞0，且a≠1）中x的取值范围 3.方程4x-6×2x+8=0的解是______ ． 题组七：指数函数有关图像问题; 1.函数其中且的图象一定不经过( ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（） A. , B. , C. , D. , 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下： 指数函数平移问题（引导学生作图理解） 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系（作图略）， ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）4 12-=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）12 41 ++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 及时演练 指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0指数函数经典例题和课后习题
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