第3讲分类讨论思想
1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.
2.分类讨论的常见类型
(1)由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.
(3)由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等.
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类型、位置需要分类:如角的终边所在的象限;点、线、面的位置关系等.
(5)由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.(6)由实际意义引起的讨论.此类问题在应用题中,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.
3.分类讨论的原则
(1)不重不漏.
(2)标准要统一,层次要分明.
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无原则地讨论.
4.解分类问题的步骤
(1)确定分类讨论的对象,即对哪个变量或参数进行分类讨论.
(2)对所讨论的对象进行合理的分类.
(3)逐类讨论,即对各类问题详细讨论,逐步解决.
(4)归纳总结,将各类情况总结归纳.
热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论
例1 (1)(2014·浙江)设函数f (x )=?
????
x 2+x ,x <0,
-x 2,x ≥0,若f (f (a ))≤2,则实数a 的取值范围是
________.
(2)在等比数列{a n }中,已知a 3=32,S 3=9
2,则a 1=________.
答案 (1)a ≤2 (2)3
2
或6
解析 (1)f (x )的图象如图,由图象知,满足f (f (a ))≤2时,得f (a )≥-2,而满足f (a )≥-2时,得a ≤ 2.
(2)当q =1时,a 1=a 2=a 3=3
2,
S 3=3a 1=9
2
,显然成立;
当q ≠1时,由题意,得?
???
?
a 1q 2
=a 3=3
2,a 1
(1-q 3
)
1-q =S 3
=92.
所以???
a 1q 2=3
2
, ①
a 1
(1+q +q 2
)=9
2
, ②
由①②,得1+q +q 2
q 2
=3,即2q 2-q -1=0, 所以q =-1
2
或q =1(舍去).
当q =-12时,a 1=a 3q 2=6.综上可知,a 1=3
2
或a 1=6.
思维升华 (1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延,合理进行分类;(2)运算引起的分类讨论有很多,如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数运算中真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等.
(1)已知函数f (x )=?
????
log 2(x +1),x >3,2x -3+1, x ≤3满足f (a )=3,则f (a -5)的值为( )
A .log 23 B.1716 C.3
2
D .1
(2)已知数列{a n }的前n 项和S n =p n -1(p 是常数),则数列{a n }是( ) A .等差数列 B .等比数列
C .等差数列或等比数列
D .以上都不对 答案 (1)C (2)D
解析 (1)分两种情况分析,?
?? a ≤32a -3+1=3①或者???
a >3
log 2(a +1)=3②,①无解,由②得,a =7,
所以f (a -5)=22-3+1=3
2,故选C.
(2)∵S n =p n -1,
∴a 1=p -1,a n =S n -S n -1=(p -1)p n -1(n ≥2), 当p ≠1且p ≠0时,{a n }是等比数列; 当p =1时,{a n }是等差数列;
当p =0时,a 1=-1,a n =0(n ≥2),此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列. 热点二 由图形位置或形状引起的讨论 例2 (1)不等式组????
?
x -y +3≥0,x +y ≥0,
x ≤2表示的平面区域内有________个整点(把横、纵坐标都是
整数的点称为整点).
(2)设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线T 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,则曲线T 的离心率为________.
答案 (1)20 (2)12或3
2
解析 (1)画出不等式组表示的平面区域(如图). 结合图中的可行域可知 x ∈[-3
2,2],y ∈[-2,5].
由图形及不等式组,知
?????
-x ≤y ≤x +3,-32≤x ≤2,且x ∈Z .
当x =-1时,1≤y ≤2,有2个整点; 当x =0时,0≤y ≤3,有4个整点; 当x =1时,-1≤y ≤4,有6个整点; 当x =2时,-2≤y ≤5,有8个整点;
所以平面区域内的整点共有2+4+6+8=20(个).
(2)不妨设|PF 1|=4t ,|F 1F 2|=3t ,|PF 2|=2t ,若该圆锥曲线为椭圆,则有|PF 1|+|PF 2|=6t =2a ,|F 1F 2|=3t =2c ,e =c a =2c 2a =3t 6t =1
2;若该圆锥曲线是双曲线,则有|PF 1|-|PF 2|=2t =2a ,
|F 1F 2|=3t =2c ,e =c a =2c 2a =3t 2t =3
2.
所以圆锥曲线T 的离心率为12或3
2
.
思维升华 求解有关几何问题时,由于几何元素的形状、位置变化的不确定性,所以需要根据图形的特征进行分类讨论.
一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括:二次函数对称轴位置的变化;函数问题中区间的变化;函数图象形状的变化;直线由斜率引起的位置变化;圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化.
(1)已知变量x ,y 满足的不等式组????
?
x ≥0,y ≥2x ,kx -y +1≥0
表示的是一个直角三角形围成
的平面区域,则实数k 等于( )
A .-12
B.12 C .0
D .-12
或0
(2)设F 1,F 2为椭圆x 29+y 2
4=1的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知P ,F 1,F 2是一个直角三角
形的三个顶点,且|PF 1|>|PF 2|,则|PF 1|
|PF 2|
的值为________. 答案 (1)D (2)2或7
2
解析 (1)不等式组????
?
x ≥0,y ≥2x ,
kx -y +1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示,由图可知若不等式组
?????
x ≥0,
y ≥2x ,kx -y +1≥0
表示的平面区域是直角三角形,只有直线y =kx +1与直线x =0垂直(如图①)
或直线y =kx +1与直线y =2x 垂直(如图②)时,平面区域才是直角三角形.
由图形可知斜率k 的值为0或-1
2.
(2)若∠PF 2F 1=90°, 则|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2, ∵|PF 1|+|PF 2|=6,|F 1F 2|=25, 解得|PF 1|=
143,|PF 2|=43,∴|PF 1||PF 2|=7
2
. 若∠F 2PF 1=90°, 则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2 =|PF 1|2+(6-|PF 1|)2, 解得|PF 1|=4,|PF 2|=2,
∴
|PF 1||PF 2|=2.综上所述,|PF 1||PF 2|=2或7
2
. 热点三 由参数引起的分类讨论
例3 (2014·四川改编)已知函数f (x )=e x -ax 2-bx -1,其中a ,b ∈R ,e =2.718 28…为自然对数的底数.
设g (x )是函数f (x )的导函数,求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值. 解 由f (x )=e x -ax 2-bx -1, 有g (x )=f ′(x )=e x -2ax -b . 所以g ′(x )=e x -2a .
因此,当x ∈[0,1]时,g ′(x )∈[1-2a ,e -2a ]. 当a ≤1
2时,g ′(x )≥0,
所以g (x )在[0,1]上单调递增,
因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ;
当a ≥e
2时,g ′(x )≤0,所以g (x )在[0,1]上单调递减,
因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b ; 当12 2 时,令g ′(x )=0得x =ln(2a )∈(0,1), 所以函数g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增. 于是,g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b . 综上所述,当a ≤1 2时,g (x )在[0,1]上的最小值是 g (0)=1-b ; 当12 2时,g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b ; 当a ≥e 2时,g (x )在[0,1]上的最小值是 g (1)=e -2a -b . 思维升华 一般地,遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果的影响进行 分类讨论,此种题目为含参型,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确,不重不漏. 已知函数g (x )=ax x +1 (a ∈R ),f (x )=ln(x +1)+g (x ). (1)若函数g (x )过点(1,1),求函数f (x )的图象在x =0处的切线方程; (2)判断函数f (x )的单调性. 解 (1)因为函数g (x )过点(1,1),所以1=a 1+1,解得a =2,所以f (x )=ln(x +1)+2x x +1 .由f ′(x ) = 1 x +1+2 (x +1)2=x +3 (x +1)2 ,则f ′(0)=3,所以所求的切线的斜率为3.又f (0)=0,所以切点为 (0,0),故所求的切线方程为y =3x . (2)因为f (x )=ln(x +1)+ ax x +1(x >-1), 所以f ′(x )=1 x +1+a (x +1)-ax (x +1)2=x +1+a (x +1)2 . ①当a ≥0时,因为x >-1,所以f ′(x )>0, 故f (x )在(-1,+∞)上单调递增. ②当a <0时,由? ???? f ′(x )<0, x >-1,得-1 故f (x )在(-1,-1-a )上单调递减; 由????? f ′(x )>0, x >-1, 得x >-1-a , 故f (x )在(-1-a ,+∞)上单调递增. 综上,当a ≥0时,函数f (x )在(-1,+∞)上单调递增; 当a <0时,函数f (x )在(-1,-1-a )上单调递减, 在(-1-a ,+∞)上单调递增. 分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程:明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类 是否完备(即分类对象彼此交集为空集,并集为全集).做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分类不重复、不遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题有: (1)集合:注意集合中空集?的讨论. (2)函数:对数函数或指数函数中的底数a ,一般应分a >1和0 (3)数列:由S n 求a n 分n =1和n >1的讨论;等比数列中分公比q =1和q ≠1的讨论. (4)三角函数:角的象限及函数值范围的讨论. (5)不等式:解不等式时含参数的讨论,基本不等式相等条件是否满足的讨论. (6)立体几何:点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论; (7)平面解析几何:直线点斜式中k 分存在和不存在,直线截距式中分b =0和b ≠0的讨论;轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. (8)排列、组合、概率中的分类计数问题. (9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等. 真题感悟 1.(2014·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是1 2,AB =1,BC =2,则AC 等于( ) A .5 B. 5 C .2 D .1 答案 B 解析 ∵S △ABC =12AB ·BC ·sin B =12×1×2sin B =1 2, ∴sin B = 22,∴B =π4或3π4 . 当B =3π 4时,根据余弦定理有AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B =1+2+2=5,所以AC =5, 此时△ABC 为钝角三角形,符合题意; 当B =π 4时,根据余弦定理有AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B =1+2-2=1,所以AC =1,此 时AB 2+AC 2=BC 2,△ABC 为直角三角形,不符合题意.故AC = 5. 2.(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax -1)x |在区间(0,+∞)内单调递增”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 C 解析 当a =0时,f (x )=|(ax -1)x |=|x |在区间(0,+∞)上单调递增; 当a <0时,结合函数f (x )=|(ax -1)x |=|ax 2-x |的图象知函数在(0,+∞)上单调递增,如图(1)所示; 当a >0时,结合函数f (x )=|(ax -1)x |=|ax 2-x |的图象知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不符合条件,如图(2)所示. 所以,要使函数f (x )=|(ax -1)x |在(0,+∞)上单调递增只需a ≤0. 即“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax -1)x |在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件. 3.(2014·广东)设集合A ={(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)|x i ∈{-1,0,1},i =1,2,3,4,5},那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|≤3”的元素个数为( ) A .60 B .90 C .120 D .130 答案 D 解析 在x 1,x 2,x 3,x 4,x 5这五个数中,因为x i ∈{-1,0,1},i =1,2,3,4,5,所以满足条件1≤|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|≤3的可能情况有“①一个1(或-1),四个0,有C 15×2种;②两个1(或 -1),三个0,有C 25×2种;③一个-1,一个1,三个0,有A 25种;④两个1(或-1),一个-1(或1),两个0,有C 25C 13×2种;⑤三个1(或-1),两个0,有C 35×2种.故共有C 15×2+C 25×2+A 25+C 25C 13×2+C 35×2=130(种),故选D. 押题精练 1.已知函数f (x )=? ???? ax 2+1, x ≥0,(a +2)e ax x <0为R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是( ) A .(0,+∞) B .[-2,0) C .[-1,0) D .[-1,+∞) 答案 C 解析 若a =0,则f (x )在定义域的两个区间内都是常函数,不具备单调性;若a >0,函数f (x ) 在两段上都是单调递增的,要使函数在R 上单调递增,只要(a +2)e 0≤1,即a ≤-1,与a >0矛盾,此时无解.若-2 2.等比数列{a n }中,a 3=7,前3项之和S 3=21,则公比q 的值是( ) A .1 B .-1 2 C .1或-1 2 D .-1或1 2 答案 C 解析 当公比q =1时,a 1=a 2=a 3=7,S 3=3a 1=21,符合要求. 当q ≠1时,a 1q 2 =7,a 1(1-q 3 )1-q =21,解之得,q =-12或q =1(舍去).综上可知,q =1或-12. 3.抛物线y 2=4px (p >0)的焦点为F ,P 为其上的一点,O 为坐标原点,若△OPF 为等腰三角形,则这样的点P 的个数为( ) A .2 B .3 C .4 D .6 答案 C 解析 当|PO |=|PF |时,点P 在线段OF 的中垂线上,此时,点P 的位置有两个;当|OP |=|OF |时,点P 的位置也有两个;对|FO |=|FP |的情形,点P 不存在.事实上,F (p,0),若设P (x ,y ),则|FO |=p ,|FP |= (x -p )2+y 2,若 (x -p )2+y 2=p ,则有x 2-2px +y 2=0,又∵y 2=4px ,∴x 2 +2px =0,解得x =0或x =-2p ,当x =0时,不构成三角形.当x =-2p (p >0)时,与点P 在抛物线上矛盾.所以符合要求的点P 一共有4个. 4.6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为( ) A .1或3 B .1或4 C .2或3 D .2或4 答案 D 解析 设6位同学分别用a ,b ,c ,d ,e ,f 表示. 若任意两位同学之间都进行交换共进行15次交换,现共进行了13次交换,说明有两次交换 没有发生,此时可能有两种情况: (1)由3人构成的2次交换,如a -b 和a -c 之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有b ,c 两人. (2)由4人构成的2次交换,如a -b 和c -e 之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有a ,b ,c ,e 四人.故选D. 5.已知等差数列{a n }的前3项和为6,前8项和为-4. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =(4-a n )q n - 1 (q ≠0,n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d , 由已知,得????? 3a 1+3d =6,8a 1+28d =-4,解得????? a 1=3, d =-1. 故a n =3-(n -1)=4-n . (2)由(1)可得b n =n ·q n -1, 于是S n =1·q 0+2·q 1+3·q 2+…+n ·q n -1. 若q ≠1,将上式两边同乘q ,得 qS n =1·q 1+2·q 2+…+(n -1)·q n -1+n ·q n . 两式相减,得(q -1)S n =nq n -1-q 1-q 2-…-q n -1 =nq n -q n -1q -1=nq n +1-(n +1)q n +1q -1 . 于是,S n =nq n +1-(n +1)q n +1 (q -1) 2 . 若q =1,则S n =1+2+3+…+n =n (n +1) 2 . 综上,S n =? ?? n (n +1) 2 (q =1),nq n +1 -(n +1)q n +1(q -1)2 (q ≠1). 6.已知函数f (x )=(a +1)ln x +ax 2+1,试讨论函数f (x )的单调性. 解 由题意知f (x )的定义域为(0,+∞), f ′(x )=a +1x +2ax =2ax 2+a +1 x . ①当a ≥0时,f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上单调递增. ②当a ≤-1时,f ′(x )<0,故f (x )在(0,+∞)上单调递减. ③当-1 -a +1 2a , 则当x ∈? ? ? ?? 0, - a +12a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ?? ?? -a +1 2a ,+∞时,f ′(x )<0. 故f (x )在? ? ? ?? 0, - a +12a 上单调递增, 在? ?? ?? -a +1 2a ,+∞上单调递减. 综上,当a ≥0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a ≤-1时,f (x )在(0,+∞)上单调递减; 当-1 ? ?? 0, - a +12a 上单调递增, 在? ?? ?? -a +1 2a ,+∞上单调递减. 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取 第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6,cos 5π6在角α的终边上,则sin α的值为________. 2.已知α∈? ????0,π2,2sin2α=cos2α+1,那么sin α=________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A +π4=7210,A ∈? ?? ??π4,π,则sin A =________. 4.若函数f (x )=2sin ? ????2x +φ-π6(0<φ<π)是偶函数,则φ=________. 5.已知函数y =A sin (ωx +φ)+B (A >0,ω>0,|φ|<π 2)的部分图象如图所示,那 么φ=________. (第5题) 6.已知sin ? ????α+π3=1213,那么cos ? ?? ??π6-α=________. 7.在距离塔底分别为80m ,160m ,240m 的同一水平面上的A ,B ,C 处,依次测得塔顶的仰角分别为α,β,γ.若α+β+γ=90°,则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0,π3,且6sin α+2cos α= 3. (1) 求cos ? ????α+π6的值; (2) 求cos ? ????2α+π12的值. B 组 能力提升 1.计算:3cos10°-1 sin170°=________. 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )=2cos (ωx +φ)对任意的x ∈R ,都有f ? ????π3-x =f ? ????π3+x ,若函数g (x )=3sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)+2,则g ? ?? ??π3的值是________. 3.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为? ????π2,0,且f ? ?? ? ?π4=1 2 ,那么ω的最小值为________. 4.已知函数f (x )=sin ? ????ωx +π5(ω>0),f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点,给出以下四个结论: ①f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点; ②f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点; ③f (x )在? ????0,π10上单调递增; ④ω的取值范围是???? ??125,2910. 其中正确的结论是________.(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )=sin x ,x ∈R . (1) 当θ∈[0,2π)时,函数f (x +θ)是偶函数,求θ的值; (2) 求函数y =??????f ? ????x +π122+??????f ? ????x +π42 的值域. 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )=M sin (ωx +π 6)(M >0,ω>0)的大致图象如图所示, 其中A (0,1),B ,C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点,且BC =π. (1) 求M ,ω的值; 空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、(全国 8)正六棱柱 ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1, 侧棱长为 2 ,则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 ( ) A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质,以及异面直线所成角的求法。 2、(全国 18)如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF C 上移动,若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD。 (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°, 求这个四棱锥的体积; (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念,以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、(02全国文22)(一)给出两块面积相同的正三角形纸片,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,使它们的全面积都与原三角形面积相等,请设计一种剪拼法,分别用虚线标示在图(1)(2)中,并作简要说明。 (3) (1)(2) (二)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。(三)如果给出的是一块任意三角形的纸片,如图(3)要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标出在图3中,并作简要说明。高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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