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二次函数的特殊形式

二次函数的特殊形式
二次函数的特殊形式

6.3.3二次函数的特殊形式

【学习目标】

1.经历探索二次函数交点式的过程,体会方程与函数之间的联系;

2.渗透数形结合的数学思想.

【课前预习】

2.用十字相乘法分解因式:

①322

--x x ②342

++x x ③6822

++x x

3.若一元二次方程02

=++c bx ax 有两实数根21x x 、,则抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴

交点坐标是 .

一、探索归纳:

1.根据《课前预习》第3题的结果,改写下列二次函数:

①322

--=x x y ②342

++=x x y ③6822

++=x x y = = = 2.求出上述抛物线与x 轴的交点坐标:

①322

--=x x y ②342

++=x x y ③6822

++=x x y

坐标: 3.你发现什么? 4.归纳:

⑴若二次函数c bx ax y ++=2

与x 轴交点坐标是(01,x )、(02,x ),则该函数还可以

表示为 的形式;

⑵反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式,则该抛物线与x 轴的交点坐标是 ,故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ,因此这也 是 式存在的前提条件.

练习.把下列二次函数改写成交点式,并写出它与坐标轴的交点坐标.

⑴232

+-=x x y ⑵232

-+-=x x y ⑶4622

+-=x x y

与x 轴的交点坐标是:

与y 轴的交点坐标是:

二、尝试练习:

1.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是(3,0),(1,0),且函数的最值是3.

⑴求对称轴和顶点坐标.

⑶求出该二次函数的关系式.

⑷若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是(3,0),(-1,0),则对称轴是 ; 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是(-3,0),(1,0),则对称轴是 ; 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是(-3,0),(-1,0),则对称轴是 .

归纳:若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标是(01,x )、(02,

x )则,对称轴是 ,顶点 坐标是 .

2.已知一条抛物线的开口大小、方向与2

x y -=均相同,且与x 轴的交点坐标是(2,0)、

(-3,0),则该抛物线的关系式是 .

3.已知一条抛物线与x 轴有两个交点,其中一个交点坐标是(-1,0)、对称轴是直线1=x ,则另一个交点坐标是 .

4.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为4,其中一个交点坐标是(0,0)、则另 一个交点坐标是 ,该抛物线的对称轴是 .

5.二次函数()()43-+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ,对称轴是 .

6.请写出一个二次函数,它与x 轴的交点坐标是(-6,0)、(-3,0): .

7.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是(-1,0),(5,0),且函数的最值是3.求出该二 次函数的关系式.(用2种方法)

解法1: 解法2:

【拓展提升】

已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是(-3,1),(1,1),且函数的最值是4.

⑴求对称轴和顶点坐标.

⑶求出该二次函数的关系式.

【课外作业】

1.已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同,且与x 轴的交点坐标是(-2,0)、(-3,0),则该抛物线的关系式是 .

2.已知一条抛物线的形状与22x y =相同,但开口方向相反,且与x 轴的交点坐标是(1,0)、 (4,0),则该抛物线的关系式是 .

3.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为3,其中一个交点坐标是(1,0)、则另 一个交点坐标是 ,该抛物线的对称轴是 .

4.二次函数()()43---=x x y 与x 轴的交点坐标是 ,对称轴是 .

5.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是(-1,0),(5,0),且函数的最值是-3.则该抛 物线开口向 ,当x 时,y 随的增大而增大.

6.请写出一个开口向下、与x 轴的交点坐标是(1,0)、(-3,0)的二次函数关系式: .

7.已知二次函数的图象与x 轴有两个交点,其中一个交点坐标是(0,0),对称轴是直线

2=x ,且函数的最值是4.

⑴求另一个交点的坐标. ⑵求出该二次函数的关系式.

二次函数的图像教学设计

《二次函数的图像(1)》教学设计 教学目标: 1、经历描点法画函数图像的过程; 2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征; 3、掌握2ax y =型二次函数图像的特征; 4、经历从特殊到一般的认识过程,学会合情推理。 教学重点: 2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 教学难点: 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像,该过程较为复杂。 教学设计: 一、回顾知识 前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的?先(用描点法画出函数的图像,再结合图像研究性质。) 引入:我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数,先从最特殊的形式即 2ax y =入手。因此本节课要讨论二次函数2ax y =(0≠a )的图像。 板书课题:二次函数2ax y =(0≠a )图像 二、探索图像 1、 用描点法画出二次函数2x y =和2x y -=图像 ①无论x 取何值,对于2x y =来说,y 的值有什么特征?对于2x y -=来说,又有什么特征? ②当x 取 1,2 1 ±±等互为相反数时,对应的y 的值有什么特征? (2) 描点(边描点,边总结点的位置特征,与上表中观察的结果联系起来). (3) 连线,用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来,从而分别得到

2x y =和2x y -=的图像。 2、 练习:在同一直角坐标系中画出二次函数22x y =和22x y -=的图像。 学生画图像,教师巡视并辅导学困生。(利用实物投影仪进行讲评) 3、二次函数2ax y =(0≠a )的图像 由上面的四个函数图像概括出: (1) 二次函数的2ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线, (2) 这条抛物线关于y 轴对称,y 轴就是抛物线的对称轴。 (3) 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意:顶点不是与y 轴的交点。 (4) 当o a 时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点,图像在x 轴的上方(除顶点外);当o a 时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的下方(除顶点外)。 (最好是用几何画板演示,让学生加深理解与记忆) 三、 课堂练习 观察二次函数2x y =和2x y -=的图像 (2)在同一坐标系内,抛物线2x y =和抛物线2x y -=的位置有什么关系?如果在同一个坐标系内画二次函数2ax y =和2ax y -=的图像怎样画更简便? (抛物线2x y =与抛物线2x y -=关于x 轴对称,只要画出2ax y =与2 ax y -=中的一条抛物线,另一条可利用关于x 轴对称来画) 四、例题讲解 例题:已知二次函数2ax y =(0≠a )的图像经过点(-2,-3)。 (1) 求a 的值,并写出这个二次函数的解析式。 (2) 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习:(1)课本第31页课内练习第2题。 (2)已知抛物线y=ax2经过点A (-2,-8)。 (1)求此抛物线的函数解析式;

二次函数的三种表达形式

二次函数地三种表达形式:①一般式: (≠、、为常数),顶点坐标为[,] 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出、、地值. ②顶点式: ()(≠、、为常数),顶点坐标为对称轴为直线,顶点地位置特征和图像地开口方向与函数地图像相同,当时,最值. 有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式. 例:已知二次函数地顶点()和另一任意点(),求地解析式. 解:设(),把()代入上式,解得(). 注意:与点在平面直角坐标系中地平移不同,二次函数平移后地顶点式中,>时,越大,图像地对称轴离轴越远,且在轴正方向上,不能因前是负号就简单地认为是向左平移. 具体可分为下面几种情况: 当>时,()地图象可由抛物线向右平行移动个单位得到; 当<时,()地图象可由抛物线向左平行移动个单位得到; 当>>时,将抛物线向右平行移动个单位,再向上移动个单位,就可以得到()地图象; 当><时,将抛物线向右平行移动个单位,再向下移动个单位可得到()地图象; 当<>时,将抛物线向左平行移动个单位,再向上移动个单位可得到()地图象; 当<<时,将抛物线向左平行移动个单位,再向下移动个单位可得到()地图象.

③交点式: ()() (≠) [仅限于与轴即有交点时地抛物线,即≥] . 已知抛物线与轴即有交点(,)和(,),我们可设()(),然后把第三点代入、中便可求出. 由一般式变为交点式地步骤: 二次函数 ∵,(由韦达定理得), ∴ () [()] ()(). 重要概念: ,,为常数,≠,且决定函数地开口方向.>时,开口方向向上; <时,开口方向向下.地绝对值可以决定开口大小. 地绝对值越大开口就越小,地绝对值越小开口就越大. 能灵活运用这三种方式求二次函数地解析式; 能熟练地运用二次函数在几何领域中地应用; 能熟练地运用二次函数解决实际问题.b5E2R。 二次函数解释式地求法: 就一般式++(其中,,为常数,且≠)而言,其中含有三个待定地系数,,.求二次函数地一般式时,必须要有三个独立地定量条件,来建立关于,,地方

2021年二次函数与特殊图形的存在性问题(学生版+解析版)

二次函数与特殊图形的存在性问题 类型一二次函数与等腰三角形 利用抛物线探求等腰三角形分三步:先分类,按腰相等分为三种情况;再根据两点间的距离公式列方程,后解方程并检验。 1.如图①,在平面直角坐标系xOy中,已知A(﹣2,2),B(﹣2,0),C(0,2),D(2,0)四点,动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动(M不与点B、点D重合),设运动时间为t(秒).(1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式; (2)点P在(1)中的抛物线上,当M为BC的中点时,若△PAM≌△PBM,求点P的坐标; (3)当M在CD上运动时,如图②.过点M作MF⊥x轴,垂足为F,ME⊥AB,垂足为E.设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值; (4)点Q为x轴上一点,直线AQ与直线BC交于点H,与y轴交于点K.是否存在点Q,使得△HOK 为等腰三角形?若存在,直接写出符合条件的所有Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

类型二二次函数与直角三角形 利用抛物线探求直角三角形,逐次选择顶角进行讨论,一般运用勾股定理建立方程,然后解方程并检验。2.如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上,抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时,那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线.如图1,已知抛物线C1:y1=x2+x与C2:y2=ax2+x+c是“互为关联”的拋物线,点A,B分别是抛物线C1,C2的顶点,抛物线C2经过点D(6,﹣1). (1)直接写出A,B的坐标和抛物线C2的解析式; (2)抛物线C2上是否存在点E,使得△ABE是直角三角形?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)如图2,点F(﹣6,3)在抛物线C1上,点M,N分别是抛物线C1,C2上的动点,且点M,N 的横坐标相同,记△AFM面积为S1(当点M与点A,F重合时S1=0),△ABN的面积为S2(当点N与点A,B重合时,S2=0),令S=S1+S2,观察图象,当y1≤y2时,写出x的取值范围,并求出在此范围内S的最大值.

专题04 二次函数与特殊图形的存在性问题(连云港26题无锡27题淮安28题等)(解析版)

(3)求出 m =﹣k 2﹣k √k 2 + 1,在△AHM 中,tan α= AH = ?k =k +√k 2 + 1 =tan ∠BEC = EK =k +2,即 2020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练(江苏专用) 专题 4 二次函数与特殊图形的存在性问题 【真题再现】 1.(2019 年盐城 27 题)如图所示,二次函数 y =k (x ﹣1)2+2 的图象与一次函数 y =kx ﹣k +2 的图象 交于 A 、B 两点,点 B 在点 A 的右侧,直线 AB 分别与 x 、y 轴交于 C 、D 两点,其中 k <0. (1)求 A 、B 两点的横坐标; (△2)若 OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形,求 k 的值; (3)二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 E ,是否存在实数 k ,使得∠ODC =2∠BEC ,若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 【分析】(1)将二次函数与一次函数联立得:k (x ﹣1)2+2=kx ﹣k +2,即可求解; (2)分 OA =AB 、OA =OB 两种情况,求解即可; HM m BK

在△AHM中,tanα= AH = ?k =k+√k2+1=tan∠BEC= EK =k+2, 可求解. 【解析】(1)将二次函数与一次函数联立得:k(x﹣1)2+2=kx﹣k+2, 解得:x=1和2, 故点A、B的坐标横坐标分别为1和2; (2)OA=√22+1=√5, ①当OA=AB时, 即:1+k2=5,解得:k=±2(舍去2); ②当OA=OB时, 4+(k+2)2=5,解得:k=﹣1或﹣3; 故k的值为:﹣1或﹣2或﹣3; (3)存在,理由: ①当点B在x轴上方时, 过点B作BH⊥AE于点△H,将AHB的图形放大见右侧图形, 过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M,过点M作MN⊥AB于点N,过点B作BK⊥x轴于点K, 图中:点A(1,2)、点B(2,k+2),则AH=﹣k,HB=1, 设:HM=m=MN,则BM=1﹣m, 则AN=AH=﹣k,AB=√k2+1,NB=AB﹣AN, 由勾股定理得:MB2=NB2+MN2, 即:(1﹣m)2=m2+(√k2+1+k)2, 解得:m=﹣k2﹣k√k2+1, HM m BK 解得:k=±√3, 此时k+2>0,则﹣2<k<0,故:舍去正值,

几种特殊的二次函数的图象特征如下

当时开口向上当时开口向下(轴) (轴) (0,) (,0) (,) () 的图象 的解 方程有两个相等实数解 四、规律方法指导 1.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法:,∴顶点是,对称轴是直线. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(, ),对称轴是直线.

2.直线与抛物线的交点 (1)轴与抛物线得交点为(0,). (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). (3)抛物线与轴的交点 二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别 式 判定: ①有两个交点抛物线与轴相交; ②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切; ③没有交点抛物线与轴相离. (4)平行于轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 ,则横坐标是的两个实数根. (5)一次函数的图象与二次函数的图象的交点,由方程 组的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点;③方程组无解时与没有交点. (6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为, 由于、是方程的两个根,故 抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用

决定对称轴的位置,对称轴是直线 b-4ac<0 抛物线与x轴无公共点 确定二次函数的最大值或最小值,首先先看自变量的取值范围.再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值,比较这些函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值. ①若自变量的取值范围是全体实数,函数有最大值或最小值,如图所示. 图(1)中,抛物线开口向上,有最低点,则当时,函数有最小值是; 图(2)中,抛物线开口向下,有最高点,则当时,函数有最大值是. ②若自变量的取值范围不是全体实数,函数有最大值或最小值,如图所示.

二次函数的三种表达形式.

二次函数的三种表达形式: ①一般式: y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为[,] 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。 ②顶点式: y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。 有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。 解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。 注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。 具体可分为下面几种情况: 当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;

当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。 ③交点式: y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0] . 已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和B(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 由一般式变为交点式的步骤: 二次函数 ∵x1+x2=-b/a,x1?x2=c/a(由韦达定理得), ∴y=ax2+bx+c =a(x2+b/ax+c/a) =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2] =a(x-x1)(x-x2). 重要概念: a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。 a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。 能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;

中考数学复习专题:二次函数中特殊图形的存在性问题的分析方法

二次函数中特殊图形的存在性 教学目标1.学会二次函数中特殊图形的存在性问题的分析方法2.掌握三角形与四边形的存在性问题的解法 重、难点三角形与四边形的存在性问题的解法 知识梳理 1.两点之间的距离公式 如图所示,点A(x1,y1),B(x2,y2)在平面直角坐标系中,那么AB=. 2.中点坐标公式 如图,点A(x1,y1),B(x2,y2),点C为线段AB的中点,则点C的坐标为(,). 3.“两线一圆”模型 如图,线段AB,在平面内找一点C使得△ABC为直角三角形.这样的点C的集合如下图所示(分别过点A,B作线段AB的垂线,并以AB为直径画圆,除点A,B以外的点都可以与点A,B构成直角三角形,这个模型简称“两线一圆”). 4.平行四边行顶点坐标关系 如图,四边形ABCD为平行四边形,顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). ①因为平行四边行的对角线互相平分,所以点O为AC和BD的中点,根据中点坐标公式可以得出:=,=,即x1+x3=x2+x4,y1+y3=y2+y4;

②因为BC可以看做AD平移得到的,所以点A的对应点为点B,点D的对应点为点C,根据平移的坐标关系可以得出:x2-x1= x3-x4,y2-y1=y3-y4. 一、直角三角形的存在问题 知识点讲解1:直角三角形的存在问题 例 1. 如图,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D. (1)求抛物线的解析式; (2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标; (3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P、B、C 为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值.

9年级4.3—二次函数背景下的特殊图形问题

二次函数背景下的特殊图形问题 1.如图1,抛物线213442 y x x = --与x 轴交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧),与y 轴交于点C ,连结BC ,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC ,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为(m , 0),过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q . (1)求点A 、B 、C 的坐标; (2)当点P 在线段OB 上运动时,直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N .试探究m 为何值时,四边形CQMD 是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM 的形状,并说明理由; (3)当点P 在线段EB 上运动时,是否存在点Q ,使△BDQ 为直角三角形,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

2.如图1,抛物线233384 y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C . (1)求点A 、B 的坐标; (2)设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时,求点D 的坐标; (3)若直线l 过点E (4, 0),M 为直线l 上的动点,当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有....三个时,求直线l 的解析式.

作业、在直角坐标平面内,为原点,二次函数的图像经过A (-1,0) 和点B (0,3),顶点为P 。 (1)求二次函数的解析式及点P 的坐标; (2)如果点Q 是x 轴上一点,以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形,求点Q 的坐标。 O 2y x bx c =-++

1.已知平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-(a+1)x与直线y=kx的一个公共点为A(4,8). (1)求此抛物线和直线的解析式; (2)若点P在线段OA上,过点P作y轴的平行线交(1)中抛物线于点Q,求线段PQ长度的最大值; (3)记(1)中抛物线的顶点为M,点N在此抛物线上,若四边形AOMN恰好是梯形,求点N的坐标及梯形AOMN的面积. 备用图

二次函数表达式三种形式练习题

二次函数表达式三种形式 一.选择题(共12小题) 1.(2015?永春县校级质检)把二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的形式,结果正确的是() A.y=(x﹣2)2+5 B.y=(x﹣2)2+1 C.y=(x﹣2)2+9 D.y=(x﹣1)2+1 2.(2014?XX模拟)将y=(2x﹣1)?(x+2)+1化成y=a(x+m)2+n的形式为()A.B. C.D. 3.(2015秋?XX校级期中)与y=2(x﹣1)2+3形状相同的抛物线解析式为() A.y=1+x2B.y=(2x+1)2 C.y=(x﹣1)2D.y=2x2 4.(2015秋?XX校级月考)一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,﹣4),则这个二次函数的解析式为() A.y=﹣2(x+2)2+4 B.y=﹣2(x﹣2)2+4 C.y=2(x+2)2﹣4 D.y=2(x﹣2)2﹣4 5.(2015秋?禹城市校级月考)已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为() A.y=﹣3(x﹣1)2+3 B.y=3(x﹣1)2+3 C.y=﹣3(x+1)2+3 D.y=3(x+1)2+3

6.(2014秋?岳池县期末)顶点为(6,0),开口向下,开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是() A.y=(x+6)2B.y=(x﹣6)2C.y=﹣(x+6)2D.y=﹣(x﹣6)2 7.(2014秋?招远市期末)已知二次函数的图象经过点(﹣1,﹣5),(0,﹣4)和(1,1),则这二次函数的表达式为() A.y=﹣6x2+3x+4 B.y=﹣2x2+3x﹣4 C.y=x2+2x﹣4 D.y=2x2+3x﹣4 8.(2013秋?青羊区校级期中)若二次函数y=x2﹣2x+c图象的顶点在x轴上,则c等于()A.﹣1 B.1 C.D.2 9.(2013秋?江北区期末)如果抛物线经过点A(2,0)和B(﹣1,0),且与y轴交于点C,若OC=2.则这条抛物线的解析式是() A.y=x2﹣x﹣2 B.y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2 C.y=﹣x2+x+2 D.y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 10.(2014?XX县校级模拟)如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3,那么c的 值等于() A.8 B.14 C.8或14 D.﹣8或﹣14 11.(2015?XX模拟)二次函数的图象如图所示,当﹣1≤x≤0时,该函数的最大值是() A.3.125B.4 C.2 D.0 12.(2015?宜城市模拟)当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值3,则实数m的值为() A.或﹣B.或﹣C.2或﹣D.或﹣

3讲义特殊的二次函数图像三(教师版)

复习引入: (一)在同一直角坐标系中画出二次函数y = x2与y = (X T)2+1与y = (x-1 )2+1的图像列表(取点原则:取原点及左右对称点) 描点、连线 分 (1)函数y(x 1)2+1与y(x-1 )2+1的图像与y =x2图像有哪些相同处及不同处 析: (2)产生这三个图像的差异的本质原因是什么平移 (3)这三个二次函数若与坐 总结:y =a(x m)2 k的图像性质(左加右减,上加下减)

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a >0 向上 (-m,k) 直线 x = _m x > —m 时,y 随x 的增大而增大;x £ —m 时, y 随x 的增大而减小;x = -m 时,y 有最小值 k . a cO 向下 (-m, k) 直线 x = -m x > —m 时,y 随x 的增大而减小;x £ —m 时, y 随x 的增大而增大;x = -m 时,y 有最大值 k . 1 ?平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a(x m)2 k ,确定其顶点坐标(-m,k); ⑵ 保持抛物线y 二ax 2的形状不变,将其顶点平移到(-m,k)处,具体平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 例题分析 1. 填表 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 y = -(x -2) +4 下 直线X=2 (2,4) 1 2 厂尹3)2_5 上 直线X=-3 (-3,-5) 2,1 y = —3(x —2) + — 3 下 直线X=2 (2,1/3) —3、2 7 y = ——(x —一) 一 — 12 4 12 下 直线X=3/4 (3/4,-7/12) 向左平移1个单位,再向下平移 3个单位,得到的抛物线的表达式为 y=-5(x+1) 2-3 ___________ 3. 抛物线y =2x 2沿x 轴向 _______ 左 ___ 平移_2 ____ 单位,再沿y 轴向 _______ 下 _______ 移 ¥ y=a(x-h)2 y=ax 2+k ! 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移KI 个单位 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k 个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左 (h<0)】 平移kl 个单位

二次函数表达式三种形式的联系与区别

二次函数表达式三种形式的联系与区别 二次函数的表达式有三种形式,即一般式、顶点式、交点式。它们之间各不相同,而又相互联系。 一、一般式:)0(2≠++=a c bx a y x 优点:二次项系数a ,一次项系数b ,常数项c ,三系数一目了然。 缺点:不容易看出顶点坐标和对称轴 二、顶点式:)0(4422)2(≠-+=+a a ac a y b a b x 优点:很容易看出顶点坐标和对称轴 缺点:不容易看出二次项系数a ,一次项系数b ,常数项c 各是多少。 三、交点式:))((2 1x x x x a y --= 优点:很容易看出图像与x 轴的交点坐标(x 1,0)和(x 2 ,0) 缺点:(1)不容易看出二次项系数a ,一次项系数b ,常数项c 各是多少。 (2)当图像不与x 轴相交时,此式不成立。 四、三种表达式之间的联系 (1)一般式转化为顶点式 利用配方法转化(一提、二配、三整理) a ac a a ac a a c a x a b a x a b a x a b a c bx a y b a b x b a b x a b a b x x x x 44444][[)2222222222)2()2()2()2(-+=+-=+-++=++ =+ =++=++(

(2)顶点式转化为一般式 展开整理即可 c bx a a ac bx a a ac a bx a a ac x a b a a a ac a y x x b b x b a b x b a b x ++=++=-+++=-+++=≠-+=+222222222224444444)4()0(44)2( (3)交点式转化为一般式 展开,利用韦达定理整理可得 二次函数)0(2≠++=a c bx a y x 与x 轴有两交点(x 1,0)和(x 2,0) 则x 1 和x 2为方程02=++c bx a x 的两个根 ] )([)())((212122121221x x x x x x x x x x x x x a x x a x x a y ++-=+--=--= 由韦达定理得: a c a b x x x x =-=+2121 代入得: c bx a a c x a b a x a y x x x x x x x ++=+--=++-=2221212])([] )([ 三种表达式视情况而定; (1)不知道特殊点的坐标时,常用一般式来表示; (2)知道顶点坐标,常用顶点式来表示; (3)如果知道图像与x 轴的交点坐标,常用交点式来表示。 上述三种情况要灵活运用才能更好地理解二次函数的解析式。

二次函数图像过定点的研究

函数图像过定点的研究 二、方法剖析与提炼 例1.求证:拋物线y =(3- 2定点,并求出定点的坐标. y =(3-k)x 2+(k -2)x =3x 2-2x -1-kx 2+kx +2k =3x 2-2x -1-k( )(k≠3), 上式中令 =0,得x 1= ,x 2= . 将它们分别代入y =3x 2-2x -1-k(x 2-x -2), 解得y 1= ,y 2= , 把点(-1,4)、(2,7)分别代入y =3x 2-2x -1-k(x 2-x -2), 无论k 取何值,等式总成立, 即点 、 总在抛物线y =(3-k)x 2+(k - 2)x +2k -1(k≠3)上, 即拋物线y =(3-k)x 2+(k -2)x +2k -1(k≠3)过定点(-1,4)、(2,7). 【解析】因为不论k 取何值,函数均过某定点,所以思考的方向是将k 前面的系数化为零,从而得到本题的解法。另外,本题也可以任意取两个K 的值,然后列方程组,求解即可。

例2.(北京市西城区)无论m 为任何实数,二次函数 的图像总过的点是( ) A. (1,3) B. (1,0) C. (-1,3) D. (-1,0) 【解答】解法一、特殊值法:任意给m 妨设m=0和m=2。 则函数解析式变为: 联立方程组 解得 把 中,无论m 为何值,等式总成立。 所以,抛物线群 中所有的抛物线恒经过定点(1,3)。 故应选A 。 ① 令???==???=-+=-310 2012y x y x x x 解得, 所以,无论m 为何值时, 恒满足①式,故该二次函数的图像恒过定点(1,3)。 故应选A 。 【解析】图像总过定点说明函数的取值与m 的取值无关,所

专题09 一元二次函数的三种表示方式(解析版)

专题09 一元二次函数的三种表示方式 一、知识点精讲 通过上一小节的学习,我们知道,一元二次函数可以表示成以下三种形式: 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式, 我们先来研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数. 当抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交时,其函数值为零,于是有ax2+bx+c=0.① 并且方程①的解就是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标(纵坐标为零),于是,不难发现,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ=b2-4ac有关,由此可知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ=b2-4ac 存在下列关系: (1)当Δ>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点;反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,则Δ>0也成立. (2)当Δ=0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点(抛物线的顶点);反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点,则Δ=0也成立. (3)当Δ<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点;反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x 轴没有交点,则Δ<0也成立.于是,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0), 则x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,所以x1+x2= b a -,x1x2= c a ,即 b a =-(x1+x2), c a =x1x2.所 以,y=ax2+bx+c=a(2b c x x a a ++) = a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1) (x-x2).由上面的推导过程可以得到下面结论: 若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0).这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标. 今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题. 二、典例精析 【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-1),

小专题12__二次函数与几何图形综合-特殊图形相关问题

《小专题12 二次函数与几何图形综合——特殊图形相关问题》 类型I 特殊三角形问题 1. 如图,已知抛物线与x轴交于A,B两点,并与直线 交于B,C两点,其中点C是直线与y轴的交点,连接AC. (1)求B,C两点的坐标以及抛物线的解析式; (2)求证:△ABC为直角三角形. 2. 如图,已知抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的右 边),与y轴交于点C. (1)求点A,B,C的坐标; (2)此抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△ACP是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

类型2 特殊四边形问题 3. 如图,已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,顶点为P.若以A,C,P,M为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.

参考答案 1.解:(1)直线分别交x轴、y轴于B,C两点,B(4,0),C (0,-2)过B,C两点, 抛物线的解析式为. (2)证明:与x轴负半轴交于A点, .在Rt△AOC中,在Rt△AOC中, 2,. 在Rt△BOC中, . 形。 2. 解:(1)令y=0,得.解得A(4,0),B(-2,0).令x=0,得y=-2. (2)存在点P,使得△ACP是等腰三角形,设P(1,a),则 . ①当AP=CP时,即 +5,解得a=1.;②当CP=AC时,即, 解得;③当AP=AC时, 即,解得综上所述,满足 条件的点P的坐标为,, 2.解:中,当x=0时, 中,令y=0,即,解得,

顶点P的坐标为(-1,4). 如图,分别 过△PAC的三个顶点作对边的平行线,三条直线两两相交,产生3个符合条件的点 .,且 . 综上所述,点M的坐标为(-4,1)或 (-2,-1)或(2,7).

二次函数表达式三种形式练习题

1.把二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的形式,结果正确的是() A.y=(x﹣2)2+5 B.y=(x﹣2)2+1 C.y=(x﹣2)2+9 D.y=(x﹣1)2+1 2.将y=(2x﹣1)?(x+2)+1化成y=a(x+m)2+n的形式为() A.B.C.D. 3.与y=2(x﹣1)2+3形状相同的抛物线为()A.y=1+x2B.y=(2x+1)2 C.y=(x﹣1)2D.y=2x2 4.二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,﹣4),则这个二次函数的解析式为() A.y=﹣2(x+2)2+4 B.y=﹣2(x﹣2)2+4 C.y=2(x+2)2﹣4 D.y=2(x﹣2)2﹣4 5.已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为() A.y=﹣3(x﹣1)2+3 B.y=3(x﹣1)2+3 C.y=﹣3(x+1)2+3 D.y=3(x+1)2+3 6.顶点为(6,0),开口向下,开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是() A.y=(x+6)2B.y=(x﹣6)2C.y=﹣(x+6)2D.y=﹣(x﹣6)2 7.已知二次函数的图象经过点(﹣1,﹣5),(0,﹣4)和(1,1),则这二次函数的表达式为() A.y=﹣6x2+3x+4 B.y=﹣2x2+3x﹣4 C.y=x2+2x﹣4 D.y=2x2+3x﹣4 8.若二次函数y=x2﹣2x+c图象的顶点在x轴上,则c等于()A.﹣1 B.1 C.D.2 9.如果抛物线经过点A(2,0)和B(﹣1,0),且与y轴交于点C,若OC=2.则这条抛物线的解析式是()A.y=x2﹣x﹣2 B.y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2 C.y=﹣x2+x+2 D.y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 10.如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于() A.8 B.14 C.8或14 D.﹣8或﹣14 11.二次函数的图象如图所示,当﹣1≤x≤0时,该函数的最大值是() A.3.125 B.4 C.2 D.0 12.当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值3,则实数m的值为() A.或﹣B.或﹣C.2或﹣D.或﹣ 13.如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣x2+2重合,且顶点坐标为(4,﹣2),则它 的解析式为. 14.二次函数的图象如图所示,则其解析式为. 15.若函数y=(m2﹣4)x4+(m﹣2)x2的图象是顶点在原点,对称轴是y轴的抛物线,则 m=. 16.二次函数图象的开口向上,经过(﹣3,0)和(1,0),且顶点到x轴的距离为2, 则该二次函数的解析式为. 17.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1,且与x轴的一个交点为(3,0), 那么它对应的函数解析式是. 18.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(﹣1,0)、B(0,﹣3)、C(4,5)三点,求出 抛物线解析式. 19.二次函数图象过点(﹣3,0)、(1,0),且顶点的纵坐标为4,此函数关系式为. 20.如图,一个二次函数的图象经过点A,C,B三点,点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为 (4,0),点C在y轴的正半轴上,且AB=OC.则这个二次函数的解析式是. 21.坐标平面内向上的抛物线y=a(x+2)(x﹣8)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,若 ∠ACB=90°,则a的值是.

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期26.2(1)特殊二次函数的图像(二次函数 的图像) 教案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我的发现。——高斯 §26.2(1)特殊二次函数的图像(二次函数2 y ax =的图像) 【教学目的】 (1)了解二次函数2 y ax =的图像是抛物线,会用描点法画二次函数2 y ax =的图像. (2)借助二次函数2 y ax =的图像归纳二次函数2 y ax =的基本性质并加以直观描述.(主要讨论顶点坐标、开口方向、对称性). (3) 在运用图像研究二次函数性质的过程中,领会和运用数形结合的思想方法. (4) 培养学生通过独立思考,归纳、概括、提炼数学知识的方法. 【教学重点】会用描点法画出二次函数2 ax y =的图像,概括出图象的特点及函数的性质. 【教学难点】会用描点法画二次函数2 ax y =的图像. 【教学过程】一、复习导入 问题 1.二次函数的一般式及定义域; 2.一次函数的特殊函数是什么函数?它的解析式及图像分别是什么? 二、探究新课 用描点法画出函数2 x y =的图像 (1)描点法画函数2 x y =的图像前,想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心?当x 取互为相反数的值时,y 的值如何?(由解析式可以看出x 可以取任意实数,不妨以0为中心,均匀选取一些便于计算的x 的值,看看画出来的图形的大致形状,如有问题再加以修正或补充.) 步骤:1)列表: x … -2 23- -1 21 - 0 21 1 23 2 … 2x y = … 4 4 9 1 4 1 0 4 1 1 4 9 2 … 2) 描点: 3) 连接成光滑曲线: 说明:画图时曲线不能画到端点为止,必须超过端点,表示可以向上(或向下)无限延伸.顶点处要画得光滑,不能画成尖端. (2)观察函数2 x y =的图象,它的形状、位置有哪些特征?(引导学生观察列表中的数据) 函数2 x y =的图像形如物体抛射时所经过的路线,我们把这种图像叫做抛物线。

二次函数的三种表达形式

?二次函数的三种表达形式: ?①一般式: ?y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为[,] ?把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c 的值。 ②顶点式: y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。 有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。 解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。 注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。 具体可分为下面几种情况: 当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到; 当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;

当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。 ③交点式: y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0] . 已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和B(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 由一般式变为交点式的步骤: 二次函数 ∵x1+x2=-b/a,x1?x2=c/a(由韦达定理得), ∴y=ax2+bx+c

二次函数与几何综合压轴题题型归纳

、二次函数和特殊多边形形状 、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 两点间的距离公式:AB= £ (y A -y B f + (X A —x B f ,解题步骤如下: ① 用厶和参数的其他要求确定参数的取值范围; ②解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) ③ 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。 例:关于X 的一元二次方程X 2—2 m 1 x m 2=0有两个整数根, m v 5且m 为整数,求 m 的值。 4、二次函数与X 轴的交点为整数点问题。(方法同上) 例:若抛物线 y = mχ2 3m 1 X 3与X 轴交于两个不同的整数点,且 m 为正整数,试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下: 2 已知关于X 的方程mx -3(mT )x ? 2m -3=0( m 为实数),求证:无论 m 为何值,方程总 1、 2、 中点坐标:线段AB 的中点C 的坐标为: 直线 y = k 1 x b 1 ( k 1 = O )与 (1)两直线平行 y k 1 (3)两直线重合 k ι X A X B y A y B =k 2x b 2 ( k 2 =k 2 且 b ∣ = =k 2 且 b ∣ = b 2 -0)的位置关系: (2)两直线相交 (4)两直线垂直 3、 元二次方程有整数根问题

有一个固定的根。 解:当 m = O 时,X =1; 当 m = 0 时,.? = m -3 $ _ 0 , X = 3m ^_, x 1 = 2 -色、X 2 = 1 ; 2m m 综上所述:无论 m 为何值,方程总有一个固定的根是 1。 6、函数过固定点问题,举例如下: 已知抛物线y =χ2 -mx ? m -2 ( m 是常数),求证:不论 m 为何值,该抛物线总经过一个固 定的点,并求出固定点的坐标。 解:把原解析式变形为关于 m 的方程y -X 2 ? 2 = m1 -X ; 抛物线总经过一个固定的点(1,- 1 )。 (题目要求等价于:关于 m 的方程y-x 2 ?2 = m1-x 不论m 为何值,方程恒成立) 小结:关于X 的方程ax =b 有无数解= 7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴) (1)如图,直线∣1、∣2 ,点A 在∣2上,分别在∣1、∣2上确定两点M 、N ,使得AM MN 之 和最小。 (2)如图,直线∣1、∣2相交,两个固定点 A 、B ,分别在∣1、J 上确定两点M 、N ,使得 BM MN AN 之和最小。 Z y —X 2 2 1 —x =0 ,解得: y - -1 X =1

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