第五章 第二节 解三角形(往年高考集锦)
第五章 平面向量、解三角形
第二节 解三角形
第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题
1.(2009年广东卷文)已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c
若a c ==75A ∠=o ，则b =
( )
A.2 B ．4
＋ C ．4
— D
答案 A
解析
000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=
由a c ==,0
75C ∠=,所以0
30B ∠=,1sin 2
B =
由正弦定理得1
sin 2sin 2a
b B A
=
?==,故选A
2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12
cot 5
A =-
，则cos A =
( )
A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213
-
答案 D
解析 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=12
5
-知A 为钝角，cosA<0排 除A 和B ，再由13
12
cos 1cos sin ,512sin cos cot 22-==+-==
A A A A A A 求得和. 3.(2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ?中，12
cot 5
A =-， 则cos A = ( )
A. 1213
B.513
C.513-
D. 1213
-
答案 D
解析 已知ABC ?中，12cot 5A =-
，(,)2
A π
π∴∈.
12
cos
13
A===-故选D.
4.（2009湖南卷文）在锐角ABC
?中，1,2,
BC B A
==则
cos
AC
A
的值等于，AC的取值范围为.
答案2)3
,2
(
解析设,2.
A B
θθ
∠=?=由正弦定理得
,1 2.
sin2sin2cos cos
AC BC AC AC
θθθθ
=∴=?=
由锐角ABC
?得0290045
θθ
<
，
又01803903060
θθ
<-
，故3045cos
θθ
<
，
2cos
ACθ
∴=∈
5.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC
?中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222
a c b
-=，且sin cos3cos sin,
A C A C
=求b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222
a c b
-=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)
sin cos3cos sin,
A C A C
=过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一：在ABC
?中sin cos3cos sin,
A C A C
=
则由正弦定理及余弦定理
有:
222222
3,
22
a b c b c a
a c
ab bc
+-+-
=
化简并整理得：222
2()
a c b
-=.又由已知222
a c b
-=2
4b b
∴=.解得40(
b b
==
或舍）.
解法二:由余弦定理得: 2222cos
a c
b b
c A
-=-.又222
a c b
-=,0
b≠.
所以2cos2
b c A
=+①
又sin cos3cos sin
A C A C
=，sin cos cos sin4cos sin
A C A C A C
∴+=
sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =
由正弦定理得sin sin b
B C c
=，故4cos b c A = ②
由①，②解得4b =.
评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。
6.（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满
足cos 25
A =，3A
B A
C ?=
．
（I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
解 （1）因为cos 25
A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3A
B A
C ?=
得cos 3,bc A =5bc ∴=，1
sin 22
ABC S bc A ?∴=
= （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得
2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=
7.（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满
足cos 2A =，3AB AC ?= ．
（I ）求ABC ?的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 解（Ⅰ）5
3
1)552(212cos
2cos 22
=-?=-=A A
又),0(π∈A ，54cos 1sin 2
=-=A A ，而35
3
cos .===bc A ，所以5=bc ，所以ABC ?的面积为：
25
4
521sin 21=??=A bc （Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 222=?-+=
-+=A bc c b a
8.（2009北京理） 在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,3
a b c B π
=，
4
cos ,5
A b == （Ⅰ）求sin C 的值；
（Ⅱ）求ABC ?的面积.
【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力． 解（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 3
5
B A π
==
， ∴23,sin 35
C A A π=
-=，
∴21sin sin sin 32C A A A π??
=-=+=
???.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知33sin ,sin 510
A C +==
，
又∵,3
B b π
=
=ABC 中，由正弦定理，得
∴sin 6
sin 5
b A a B =
=.
∴△ABC 的面积116336sin 2251050
S ab C ++=
=?=
. 9.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+
3
π)+sin 2
x. (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C 为?ABC 的三个内角，若cosB=31，1
()24
c f =-，且C 为锐角，求sinA. 解 （1）
f(x)=cos(2x+
3π)+sin 2
x.=1cos 21cos 2cos sin 2sin 233222
x x x x ππ--+
=-
所以函数f(x)的最大值为
12
最小正周期π.
（2）()2c f =
12C =－41, 所以sin C =, 因为C 为锐角, 所以
3
C π
=
,
又因为在?ABC 中, cosB=
31, 所以 s i n
B = 所以
11
sin sin()sin cos cos sin 2326
A B C B C B C =+=+=
+?=.
10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2
cos
sin 2
π???
<<-+x x x 在π=x 处取最小值.
（1）求?.的值;
（2）在?ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 2
3)(=
A f , 求角C.
解 （1）1cos ()2sin cos sin sin 2
f x x x x ?
?+=?
+- sin sin cos cos sin sin x x x x ??=++- sin cos cos sin x x ??=+ sin()x ?=+
因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1π?+=-,由诱导公式知sin 1?=,因为
0?π<<,所以2
π
?=
.所以()sin()cos 2
f x x x π
=+
=
（2）因为23)(=
A f ,所以cos 2
A =,因为角A 为?ABC 的内角,所以6A π=.又因为
,2,1==b a 所以由正弦定理,得
sin sin a b
A B
=,也就是
sin 1
sin 22
b A B a =
==, 因为b a >,所以4π
=
B 或4
3π
=
B .
当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412
C πππ
π=--
=. 【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、
c ，2
3cos )cos(=
+-B C A ,ac b =2
，求B. 解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=23(负值舍掉)，从而求出B=3
π。 解：由 cos （A -C ）+cosB=
32及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=32
，
cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32
, sinAsinC=
34
. 又由2
b =a
c 及正弦定理得
2sin sin sin ,B A C =
故 2
3sin 4
B =
，
sin 2B =
或
sin 2B =-， 于是 B=
3π 或 B=23
π. 又由 2
b a
c =知a b ≤或c b ≤
所以 B =
3
π
。 11.（2009安徽卷理）在?ABC 中，sin()1C A -=, sinB=
1
3
. （I ）求sinA 的值；
(II)设
，求?ABC 的面积. 解：（Ⅰ）由2C A π-=
，且C A B π+=-，∴42
B
A π=-
，∴sin sin()sin )42222
B B B
A π=-=-，
∴2
11sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >
，∴sin A =
（Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BC
B A
=
∴sin 31sin 3
AC A
BC B
=
=
=sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+
A B
C
1
33333 =+?=
∴
11
sin
223
ABC
S AC BC C
?
=??==
12.（2009安徽卷文）（本小题满分12分）在ABC中，C-A=，sinB=。
（I）求sinA的值；(II)设AC=，求ABC的面积。
【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于sin A的式子，这之中要运用到倍角公式；
（2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出S .
解（1）∵
2
c A c A B
π
π
-=+=-
且∴
42
B
A
π
=-
∴sin sin()sin)
4222
B B B
A
π
=-=-
∴22
111
sin(cos sin)(1sin)
22223
B B
A B
=-=-=
又sin0
A>
∴cos A=
（2）如图，由正弦定理得
sin sin
AC BC
BC
B A
==
∴
sin3
1
sin
3
AC A
BC
B
===
?
sin sin()sin cos cos sin
1
3
C A B A B A B
=+=+
=+?=
?
又
∴11
sin
22
S ABC AC BC C
===
??
.
13.（2009江西卷文）在△ABC中，,,
A B C所对的边分别为,,
a b c，
6
A
π
=
，(12
c b
=．（1）求C；
（2
）若1
CB CA
?=
a,b，c．
解：（1
）由(12
c b
=得
1sin
22sin
b B
c C
=+=
则有
55
sin()sin cos cos sin
666
sin sin
C C C
C C
πππ
π---
=
=
11
cot
22
C+=+得cot1
C=即
4
C
π
=.
（2）
由1CB CA ?= 推出
cos 1ab C =；而4
C π
=,
1=+ 则有
12(12sin sin ab c b a c A C
=??
+=???=?? 解得
12a b c ?=??
=??=??
14.（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
sin sin tan cos cos A B
C A B
+=
+,sin()cos B A C -=.
（1）求,A C ；
（2
）若3ABC S ?=求,a c .
解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=
+，即sin sin sin cos cos cos C A B
C A B
+=+，
所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，
即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，
得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). 即 2C A B =+, 得3
C π
=
，所以.23
B A π+=
又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56
B A π-=（舍去） 得5,4
12
A B π
π
=
=
(2)1sin 328
ABC S ac B ac ?=
==+ 又
sin sin a c A C =, 即
=，
得a c ==
15.（2009天津卷文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===
（Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求)4
2sin(π
-
A 的值。
（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理，
A
BC
C AB sin sin =，于是522sin sin ===BC A
BC
C
AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC
AB BC AC AB A ?-+=2cos 2
22
于是A A 2cos 1sin -==
5
5， 从而5
3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-==
=A A A A A A 10
2
4sin 2cos 4cos 2sin )42sin(=
-=-πππA A A 【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。
16.（2009四川卷文）在ABC ?中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，
且sin 510
A B =
= （I ）求A B +的值；
（II ）若1a b -=
，求a b c 、、的值。
解（I ）∵A B 、为锐角，sin A B =
=
∴ cos A B ==
==
cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-=
= ∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π
+=
（II ）由（I ）知34C π=
，∴ sin C =
由
sin sin sin a b c
A B C
==得
=，即,a c =
又∵ 1a b -=
∴
1b -=
∴ 1b =
∴ a c 17.（2009全国卷Ⅱ理）设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，
3cos()cos 2
A C
B -+=，2
b a
c =，求B 分析：由3
cos()cos 2A C B -+=，易想到先将()B A C π=-+代入
3cos()cos 2A C B -+=
得3cos()cos()2A C A C --+=。
然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin 4
A C =
；又由2
b a
c =，利用正弦定理进行边角互化，得
2sin sin sin B A C =，进而得sin B =
.故233B ππ=或。大部分考生做到这里忽略
了检验，事实上，当23B π=
时，由1
cos cos()2B A C =-+=-，进而得3
cos()cos()212
A C A C -=++=>，矛盾，应舍去。
也可利用若2
b a
c =则b a b c ≤≤或从而舍去23
B π=。不过这种方法学生不易想到。
评析：本小题考生得分易，但得满分难。
18.（2009辽宁卷文）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面
内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为0
75，0
30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为0
60，AC ＝0.1km 。试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，
≈1.414≈2.449）
解：在ACD ?中，DAC ∠＝30°，ADC ∠＝60°－DAC ∠＝30°， 所以CD ＝AC ＝0.1
又BCD ∠＝180°－60°－60°＝60°，
故CB 是CAD ?底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA 5分 在ABC ?中，
ABC
AC
BCA AB ∠=∠sin sin ，
即AB ＝
20
6
2351sin 60sin +=
??AC 因此，km 33.020
6
23≈+=
BD
故B 、D 的距离约为0.33km 。 12分
19.（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的
两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为0
75，0
30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为0
60，AC=0.1km 。试探究图中B ，D 间距离与另外
哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ≈1.414，
≈2.449）
解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， 在△ABC 中，,AB C sin C
B C A sin ∠=∠A AB
即AB=,
20
6
2315sin ACsin60+= 因此，BD=
。km 33.020
6
23≈+ 故B ，D 的距离约为0.33km 。
20.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水
平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。
解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角；B 点到M ，
N 的俯角22,αβ；A ，B 的距离 d （如图所示） . ②第一步：计算AM . 由正弦定理2
12sin sin()
d AM ααα=
+ ；
第二步：计算AN . 由正弦定理2
21sin sin()
d AN βββ=
- ；
第三步：计算MN.
由余弦定理MN =.
方案二：①需要测量的数据有：
A 点到M ，N 点的俯角1α，1β；
B 点到M ，N 点的府角2α，2β；A ，B 的距离 d （如图所示）.
②第一步：计算BM . 由正弦定理1
12sin sin()
d BM ααα=
+ ；
第二步：计算BN . 由正弦定理1
21sin sin()
d BN βββ=
- ；
第三步：计算MN .
由余弦定理MN =
21.（2009四川卷文）在ABC ?中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，
且sin 510
A B =
= （I ）求A B +的值； （II
）若1a b -=
，求a b c 、、的值。
11
,αβ
解（I ）∵A B 、为锐角，sin 510
A B =
=
∴ cos 510
A B ==
==
cos()cos cos sin sin 2
A B A B A B +=-=
= ∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π
+=
（II ）由（I ）知34C π=，∴ sin C = 由
sin sin sin a b c
A B C
==得
==，即,a c =
又∵ 1a b -=
∴
1b - ∴ 1b =
∴ a c 22.（2009湖北卷文） 在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=
(Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为
2
3
3,求a ＋b 的值。
解（12sin c A =及正弦定理得，
sin
sin a A c C ==
sin 0,sin 2
A C ≠∴=
Q ABC ?Q 是锐角三角形，3
C π
∴=
（2）解法1：.3
c C π
=
=
Q 由面积公式得
1sin 623ab ab π==即 ①
由余弦定理得
22222cos
7,73
a b ab a b ab π
+-=+-=即 ②
由②变形得25,5a b =+=2（a+b)故 解法2：前同解法1，联立①、②得
2222766
a b ab a b ab ab ??+-=+??
?==??＝１３
消去b 并整理得4
2
13360a a -+=解得2
2
49a a ==或
所以2332a a b b ==????
==??
或故5a b += 23.（2009宁夏海南卷文）如图，为了解某海域海底构造，
在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =， 120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深
200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求∠DEF 的余弦值。
解：作//DM AC 交BE 于N ，交CF 于M ．
DF ==
130DE ===，
150EF ===．
在DEF ?中，由余弦定理，
2222221301501029816cos 2213015065
DE EF DF DEF DE EF +-+-?∠===???.
24.(2009湖南卷理). 在ABC ?，已知
223AB AC AC BC ?=?=
，求角A ，B ，C 的大小.
解 设,,BC a AC b AB c ===
由2AB AC AB AC ?=?
得2cos bc A =
，所以cos 2
A =
又(0,),A π∈因此6
A π
=
23AC BC ?= 得2bc =，于是2
sin sin 4
C B A ?=-
所以5sin sin(
)64
C C π?-=
，1sin (cos )224C C C ?+=，因此
22sin cos 20C C C C C ?+=，既sin(2)03
C π
-=
由A=6
π知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而
20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故
2,,,636A B C πππ===或2,,663
A B C πππ===。
25..（2009天津卷理）（在⊿ABC 中，AC=3，sinC=2sinA
(I) 求AB 的值： (II) 求sin 24A π?
?
-
??
?
的值 （Ⅰ）解：在△ABC 中，根据正弦定理，A
BC
C AB sin sin =
于是AB=
522sin sin ==BC BC A
C
（Ⅱ）解：在△ABC 中，根据余弦定理，得cosA=5
5
22222=
?-+AC AB BD AC AB 于是 sinA=5
5
cos 12=-A 从而sin2A=2sinAcosA=
54,cos2A=cos 2A-sin 2A=5
3
所以 sin(2A-
4π)=sin2Acos 4π-cos2Asin 4π=10
2
26.（2009四川卷理）在ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且
3cos 2,sin 5A B ==
（I ）求A B +的值；
（II ）若1a b +=
，求,,a b c 的值。
解：（Ⅰ）A 、B 为锐角，sin B =
cos B ∴=
又2
3
cos 212sin 5
A A =-=
，
sin A ∴=
，cos A ==，
cos()cos cos sin sin 5105102
A B A B A B ∴+=-=-=
0A B π<+<
4
A B π
∴+=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C π=,sin 2
C ∴=. 由正弦定理
sin sin sin a b c A B C
==得
=，即a =，c =
1a b -=
Q ，
1b -=，1b ∴=
a ∴=
27.（2009上海卷文） 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =
， (s i n
,s n B A =
，(2,2)p b a =-- .
（1） 若m //n
，求证：ΔABC 为等腰三角形；
（2） 若m ⊥p ，边长c = 2，角ABC 的面积 .
证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v
Q
即22a b
a b R R
?
=?，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b = ABC ∴?为等腰三角形
解 （2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v
即
a b ab ∴+=
由余弦定理可知， 2
2
2
4()3a b ab a b ab =+-=+-
2()340ab ab --=即 4(1)ab ab ∴==-舍去
11sin 4sin 223
S ab C π
∴=
=??=
2005—2008年高考题
一、选择题
1.（2008福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B
, 则角B 的值为
（ ）
A.
6
π
B.
3π
C.
6π或56π
D.
3
π或
23π
答案 D
2.（2008海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A.
18
5
B.
4
3
C.
2
3
D.
8
7 答案 D
3.（2008陕西）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
若120
c b ==
，
则a 等于 （ ）
A
B ．2
C
D
答案 D
4.（2007重庆）在ABC △
中，AB =45A = ，75C =
，则BC =
（ ）
Ａ．3
Ｃ．2
Ｄ．3+答案 Ａ
5.(2007山东)在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A.2AC AC AB =?
B.2BC BA BC =?
C.2AB AC CD =?
D.22
()()AC AB BA BC CD AB
???=
答案 C
6.（2006年全卷I ） 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列， 且c=2a ，则cosB=
( )
A ．
41 B ．43 C ．42 D ．3
2
答案 B 二、填空题
7.（2005福建）在△ABC 中，∠A=90°，k AC k AB 则),3,2(),1,(==的值是 . 答案 2
3
-
8.（2008浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b c o s c o s
3=-，
则=A cos _________. 答案
3
9.(2008湖北)在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则
cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .
答案
612
10.（2007北京）在ABC △中，若1tan 3
A =
，150C =
，1BC =，则AB = . 答案
2
10
11.（2007湖南）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，
c =B = ．
答案
6
5π 12.（2007重庆）在△ABC 中，AB=1,BC =2,B=60°，则AC ＝ .
答案 3
三、解答题
14.（2008湖南）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏
ABC ?
东45
且与点A 相距
B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东
45 +θ(其中sin θ
，090θ<<
)且与点A 相距
C. （I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解 （I ）如图，AB
,sin BAC θθ∠==
由于090θ<<
,所以cos θ
26
= 由余弦定理得BC=
.510cos 222=?-+θAC AB AC AB
3
=/小时）. （II ）解法一 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐 标系，
设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）, BC 与x 轴的交点为D . 由题设有，x 1=y 1=
x 2
=ACcos )30CAD θ∠=-= , y 2
=ACsin )20.CAD θ∠=-= 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =
20
210
=,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离
7.=<
所以船会进入警戒水域.
解法二 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q. 在△ABC 中，由余弦定理得，
222
cos 2AB BC AC ABC AB BC
+-∠=?
222
.
从而sin ABC ∠=== 在ABQ ?中，由正弦定理得，
AQ=sin 40.sin(45)AB ABC ABC ∠==-∠
由于AE=55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE =AE -AQ=15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.
在Rt QPE ?中，PE=QE 〃sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC ∠=?∠=?-∠
=157.=< 所以船会进入警戒水域.
14．（2007宁夏，海南）如图，测量河对岸的塔高AB 时，
可以选与塔底B 在同一水平面内
的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，， 并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ． 解 在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CD
BDC CBD
=∠∠．
所以sin sin sin sin()
CD BDC s BC CBD β
αβ∠=
=∠+·．
在Rt △ABC 中，tan sin tan sin()
s AB BC ACB θβ
αβ=∠=+·．
15．（2007福建）在ABC △中，1tan 4A =，3
tan 5
B =． （Ⅰ）求角
C 的大小；
（Ⅱ）若ABC △