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《线段的垂直平分线》学案2

1.3 线段的垂直平分线（1）

学习目标：

1、经历探索、猜想、证明”的过程，进一步发展推理证明意识和能力。

2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。

3、能够用尺规作已知线段的垂直平分线。

学习过程：

一、前置准备：

1、什么是线段的垂直平分线？

2、你会画线段的垂直平分线？

二、自主学习：

“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？

三、合作交流；

议一议：写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？它是真命题吗？如果是，请证明，并与同伴交流。

做一做：阅读P25做一做，然后用尺规作出右图已知线段AB的垂直平分线CD，并说明为什么CD是线段AB的垂直平分线？

A B

反思：如何用尺规作图确定已知线段的中点？

四、归纳总结：1、我的收获？

2、我不明白的问题？

五、例题解析：

如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、

求证：（1）∠EAD=∠EDA ;

（2）DF∥AC

（3）∠EAC=∠B

六、当堂训练：

1、已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在上。

2、已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC= 。

3、△ABC中，∠A=500，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数。

4、△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC垂直平分线，则∠B ∠BAE，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= 。

5、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则△BCD的周长是。

6、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。

课下训练：P28 习题1、2、3

中考真题：已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C的度数。

线段的垂直平分线典型例题

典型例题例1．如图，已知：在ABC ?中，?=∠90C ，?=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D . 求证：D 在AB 的垂直平分线上. 分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D 在AB 的垂直平分线上，只需证明DA BD =即可. 证明：∵?=∠90C ，?=∠30A （已知）， ∴ ?=∠60ABC （?Rt 的两个锐角互余）又∵BD 平分ABC ∠（已知） ∴ A ABC DBA ∠=?=∠=∠302 1. ∴AD BD =（等角对等边） ∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 例2．如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。求证：BF CF 2=。分析：由于?=∠120BAC ，AC AB =，可得?=∠=∠30C B ，又因为EF 垂直平分AB ，连结AF ，可得BF AF =. 要证BF CF 2=，只需证AF CF 2=，即证?=∠90FAC 就可以了. 证明：连结AF ， ∵EF 垂直平分AB （已知） ∴FB FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等） ∴B FAB ∠=∠（等边对等角）

∵AC AB =（已知）， ∴C B ∠=∠（等边对等角）又∵?=∠120BAC （已知）， ∴?=∠=∠30C B （三角形内角和定理） ∴?=∠30BAF ∴?=∠90FAC ∴FA FC 2=（直角三角形中，?30角所对的直角边等于斜边的一半） ∴FB FC 2= 说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题. 例3．如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。求证：CAF B ∠=∠。分析：B ∠与CAF ∠不在同一个三角形中，又B ∠，CAF ∠所在的两个三角形不全等，所以欲证CAF B ∠=∠，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF 垂直平分AD ，可得FD FA =，因此ADF FAD ∠=∠，又因为CAD FAD CAF ∠-∠=∠，BAD ADF B ∠-∠=∠，而BAD CAD ∠=∠，所以可证明B CAF ∠=∠. 证明：∵EF 垂直平分AD （已知）， ∴FD FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）. ∴ADF FAD ∠=∠（等边对等角） ∵BAD ADF B ∠-∠=∠（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， CAD FAD CAF ∠-∠=∠，

42直线、射线、线段(2)

导学稿年级：七年级（上）科目：数学章节：第四章课题：§4.2.2线段的度量和比较课型：新授课班级：学生姓名：时间：年月日【教学目标】 1.掌握比较线段长短的两种方法，会比较线段的长短；理解线段中点的概念、线段的基本事实和两点的距离的意义；掌握线段的和差及有关线段中点的计算，培养逻辑推理能力. 2.通过独立思考，小组合作，掌握数形结合，整体代换，分类讨论的数学思想方法. 3.激情投入，全力以赴，做学习的主人，将学到的知识与实际生活相联系. 【教学重点】线段的基本性质、两点的距离和线段的中点. 【教学难点】线段的和差及有关线段中点的计算. 【自主预习】阅读教材P126—P129 【预习检测】（预习自测）【合作探究】一、基础知识探究：探究点1：线段长度的比较（难点）问题1：已知线段a，用直尺和圆规如何画一条线段，使它等于已知线段a？问题2：已知线段a，b(a＞b),如何画一条线段，使它的长度等于已知线段的长度的差？问题3：比较两条线段的长短的方法有哪些？【归纳总结】探究点2：线段的中点问题：如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，那么点M叫做线段AB的中点. 这时AM BM= AB. 【归纳总结】探究点3：线段的基本事实问题：如图3，从甲地到乙地有三条路.小明骑自行车从甲地到乙地走哪条路最近？问题2：由问题1可知在两点的所有连线中，最短. 【归纳总结】探究点4：两点的距离问题：连接两点间的线段的叫做这两点的距离. 【归纳总结】二、知识综合应用探究：探究点1：两点的距离【例1】如图4，量得线段AB的长度为，因而A，B两点的距离为3厘米，记作： . 探究点2：比较两条线段的长短（重点）【例2】如图5，怎样比较两条线段的长短？探究点3：线段的有关计算（难点）【例3】如图6，已知线段AB=16cm，C是AB上一点，D是AC的中点，E是BC的中点，求线段DE的长. 探究点4：实际应用【例4】如图7所示，从A地到B地有①②③三条路可走，每条路长分别为l,m,n,则l,m,n的大小关系为 . 【检测反馈】 1.导学案 P80 (当堂检测) 2.教材第129页练习. 【课堂评价】通过这节课你学会了什么？还有哪些疑问与困难？你对这节课自己的表现满意吗？有什么建议？图3 图5 图4 图6 图7

七年级历史教案

第21课大一统气派和中华民族的象征一、教学目标知识与能力 1、了解明清北京城和皇宫，培养平面和空间概念，以及从材料中获取有效信息的能力和绘图的能力。 2、了解长城的建造、作用以及起止点，掌握识别历史地图的基本知识。过程与方法 1、通过多媒体课件展示有关故宫和长城的资料、图片，认识故宫建筑形式的雄伟、庄严，布局严谨、和谐。 2、展示和收集有关长城的图片和文字资料，通过相互交流学习，感悟长城的文化意义和精神象征。情感态度与价值观通过本课的学习，认识长城和故宫体现了中国人民的智慧和创造力，是中华民族的骄傲和自豪。通过对长城的学习，感受先民的伟大的气魄和坚毅的精神，体会长城是中华民族聪明才智、坚韧刚毅、充满向心凝聚力等精神的象征。通过讨论长城及其周边旅游资源的过度开发带来的危害，感受到保护文化遗产的必要性和重要性。二、教材分析明清是我国统一的多民族国家发展和巩固时期，在专制统治不断强化的同时，经济和科技文化也取得了很大的成就。这一时期出现了许多气势宏伟、堪称东方建筑艺术和建筑奇迹的作品，北京的故宫和长城正是其杰出的代表，凝聚了这一时期的文化特性、本质及精华，折射出了当时的政治、经济、文化的浓郁色彩，展示了我们大一统国家的气派，同时也成为中华民族精神的象征。三、学情分析故宫和长城是我国保存较好的两座文化遗址，也是我国著名的旅游景点。多数学生都听说过。但是课前经过调查，去过北京的学生很少，因此教学中考虑到学生的实际，采用了材料收集、教师引导、图片观察、小组交流、畅谈感悟、体会突破三维目标。? 教学重点故宫和长城。教学难点通过对它们的学习和了解，如何激发学生对祖国灿烂文化的自豪和崇敬之心，如何理解故宫和长城展现了明清大一统的气派，是中华民族的象征。? 教学方法采用问题教学法、体验式教学法，加强学科渗透，增强学习历史的现实性。精讲深化、设疑讨论、列表分析。教学手段: 多媒体辅助教学。学法指导问题讨论法、小组合作学习法。教学步骤：自学检测做《导与练》上的填空和选择题

线段垂直平分线经典练习题

《线段垂直平分线》中一道习题的变式例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长. 点评：此题是△ABC 中一边AB 的垂直平分线AC 相交;那么当AB 的垂直平分线与BC 相交时，(如图2),对应的是△ACE 的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变. 变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A= . 点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B. 变式2：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。若BE=2，∠B =15°求：AC 的长。点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质。图1 图2 图3

[变式练习1] 如图4，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，∠B =°求：AC的长. 图4 例2: 如图5，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求∠EAN的度数. (2) 求△AEN的周长. (3) 判断△AEN的形状. 图5 [变式练习2]:如图6，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数. (3) 判断△AEN的形状. 图6

42直线、射线、线段(一)

§ 4.2 直线、射线、线段（一）教学目标知识与技能 1、在现实情境中理解线段、直线、射线等简单的平面图形。 2、理解两点确定一条直线的事实。 3、掌握直线、射线、线段的表示方法。 4、理解直线、射线、线段的联系和区别过程与方法 1、通过学习直线、射线、线段的表示方法，使学生建立初步的符号感。 2、通过对直线、射线、线段性质的研究，体会它所在解决实际问题中的作用，并能用它们解释生活中的一些现象。 3、运用对比法、归纳法总结差异。情感、态度、价值观通过对直线、射线、线段的性质的探究，使学生初步认识到数学与现实生活的密切联系，感受数学的严谨性以及数学结论的确性。教学重难点重点：线段、射线与直线的概念及表示方法，两点确定一条直线的性质。难点：直线性质的发现，理解及应用及不同几何语言的相互转化。教学过程：一、复习引入：（1）点、线、面、体是构成几何图形的元素。从运动的观点来看，可以说是点动成线，线动成面，面动成体。因此对几何图形的学习我们也可以按点、线、面、体的顺序展开。（2）点是用来表示物体的位置的。点无大小之分。如何表一个点呢？图形语言文字语言二、探究新知：（1）在以前的学习中我们学过哪些线？直线、射线、线段（2）生活中有哪些关于直线、射线、线段的形象，试举例说明？（3）请分别画出一条直线、射线、线段？学生画图，教师在黑板上示范，给出规范的表示方法. （教师关注：学生是否注意到用两个大写字母表示射线时，端点的字母写在前面）（4）如何表示一条直线、射线、线段？图形语言文字语言（教师关注：学生是否注意到直线、射线、线段都有两种表示方法.）三、讨论交流：（1）你能结合自已所画图形寻找出直线、射线、线段的特征吗？你能发现它们之间的区别与联系吗？直线、射线、线段的联系与区别:

线段的垂直平分线的性质

§13.1.2线段的垂直平分线的性质教学目标 1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质． 2．探究线段垂直平分线的性质． 3．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．重点难点; 重点： 1．轴对称的性质． 2．线段垂直平分线的性质．难点：体验轴对称的特征．教学过程一、创设情境，引入新课上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？今天继续来研究轴对称的性质．二、导入新课：观看投影并思考．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、 C′分别是点A、 B、C的对称点，线段AA′、BB′、 CC′与直线MN有什么关系？图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂直． AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？ △ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′ B′C′沿MN对折后，点A与A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°．所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点．对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．归纳图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．下面我们来探究线段垂直平分线的性质． [探究1] 如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2， P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B 的距离，你有什么发现？ 1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、 AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… 2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… 讨论发现什么样的规律．探究结果：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…

线段的垂直平分线经典习题及答(精.选)

线段的垂直平分线一、选择题（共8小题） 1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的2 1 AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（） A 、7 B 、 14 C 、17 D 、20 第1题第2题第3题 2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（） A 、6 B 、4 C 、6 D 、4 3、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 4、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（） A 、80° B 、70° C 、60° D 、50° 第4题第 5题第6题 5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下：（甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求；（乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（） A 、两人都正确 B 、两人都错误 C 、甲正确，乙错误 D 、甲错误，乙正确 6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（） A 、AE=BE B 、AC=BE C 、CE=DE D 、∠CAE=∠B 7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（） A 、△ABC 的三条中线的交点 B 、△AB C 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点 D 、△ABC 三条高所在直线的交点第7题第8题 8、如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（） A 、A B 垂直平分CD B 、CD 垂直平分AB C 、AB 与C D 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB

《4.2.2直线、射线、线段》教学设计2

4.2 直线、射线、线段（2）教学目标 1．知识与技能（1）会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短．（2）理解线段等分点的意义，理解两点间距离的意义，借助现实的情境，?了解“两点之间，线段最短”的线段性质． 2．过程与方法培养学生的动手操作能力，提高学生的抽象概括能力，能从实际问题中抽象出数学问题，初步学会数学的建模方法． 3．情感态度与价值观积极参与实验数学活动中，体会数学是解决实际问题的重要工具，通过对解决问题过程的反思，懂得知识源于生活并用于生活．重、难点与关键 1．重点：画一条线段等于已知线段，比较两条线段的长短是一个重点，?在现实情境中，了解线段的性质“两点之间，线段最短”是另一个重点． 2．难点：画一条线段等于已知线段的尺规作图方法，?正确比较两条线段长短是难点． 3．关键：学生积极参与画图等动手操作的数学活动中，通过小组交流，?获取数学信息是学好本节课知识的关键．教具准备直尺、圆规、刻度尺、三根木棒（两根等长）、多媒体设备．教学过程一、引入新课 1．提出问题：有一根长木棒，如何从它上面截下一段，?使截下的木棒等于另一根木棒的长？教师活动：出示长短不同的两根木棒．

学生活动：小组讨论，探索方法，总结出问题的解决方法．注：教师对学生给出的解决方法，应进行可操作性评价，对好的方法给予鼓励和肯定，以激发学生的学习兴趣． 2．提出数学问题：上面的问题，可以转化为如下一个数学问题：已知线段a，画一条线段等于已知线段a．二、新授学生活动：独立思考，动手画图，小组讨论交流，总结出问题的解决方法．教师活动：参与学生小组讨论，指导学生探索问题的解决方法． 1．用刻度尺量出已知线段长，?在画出的射线（或直线）上量出相同长度的一条线段． 2．用尺规截取．（按课本第127页所讲方法）教师活动：打开电脑，演示尺规作图过程．板书：画一条线段等于已知线段． 3．思考课本第127页的问题，从中得出数学问题：如何比较两条线段的长短？ 4．探索比较两条线段长短的方法：学生活动：小组交流，总结出比较方法．教师活动：评价学生总结出的比较方法，并用教具请一个学生进行演示，板书：比较线段的长短．（1）用刻度尺分别测量出它们的长度进行比较．（2）用把一条线段移到另一条线段上，端点对齐的方法进行比较． 5．线段长短的比较结果．学生活动：通过上面的讨论，总结出线段比较结果．教师活动：用教具（三根木棒）演示线段比较方法，评价学生得出的比较结果，再用多媒体演示两条线段的比较方法和比较结果．板书：（1）ABCD （3）AB=CD

线段的垂直平分线练习及答案

线段的垂直平分线练习及答案一、选择题（共8小题） 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段A．6B．5C．4D．3 第1题图第2题图第5题图 2．如图，AC=AD，BC=BD，则有（） A．A B垂直平分CD B．C D垂直平分AB C．A B与C D互相垂直平分D．C D平分∠ACB 3．下列说法中错误的是（） A．过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线 B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等 C．线段有且只有一条垂直平分线 D．线段的垂直平分线是一条直线 4．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（） A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点D．三边中线的交点 5．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（） A．100°B．105°C．115°D．120° 6．如图，△ABC中，AD是BC的中垂线，若BC=8，AD=6，则图中阴影部分的面积是（） A．48 B．24 C．12 D．6 7．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC 于F，交AB于D，连接BF．若BC=6cm，BD=5cm，则△BCF的周长为（）A．16cm B．15cm C．20cm D．无法计算 8．如图△ABC中，∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C=( ) A．28°B．25°C．22.5°D．20° 第6题图第7题图第8题图二、填空题（共10小题） 9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ． D

线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案

3.线段的垂直平分线 4.角平分线例1：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝0 40，求∠NMB 的大小（2）如果将（1）中∠A 的度数改为070，其余条件不变，再求∠NMB 的大小（3）你发现有什么样的规律性？试证明之. （4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。例4：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。例5:：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。求证：BE 垂直平分CD 。例6:：在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与 ∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF D ，自D 作D E AB ⊥于M=20°； AB 的垂直平分线与底边BC 则有∠B= 1/2（180°-α），∠M=90°- 1/2（180°-α）= 1/2α．（4）改为钝角后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．例2：解：连接BF ，由线段的垂直平分线的性质可得，FB ＝FA 又因为AC ＝AF+CF ＝6，所以BF+CF ＝6△BCF 的周长＝BC+CF+BF ＝4+6＝10 例3：证明：因为AC=AD 所以A 在线段CD 的垂直平分线上又因为BC=BD 所以B 在线段CD 的垂直平分线上所以直线AB 是线段CD 的垂直平分线例4：解：作AH ⊥BC 于H ，HC=15/2 ∵等腰 A B C N M A B C N M A B C N M

直线、射线、线段练习题及答案

、选择题 1. 下列说法错误的是（） A.平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.两点之间的所有连线中，线段最短 C.经过两点有且只有一条直线 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 2 .平面上的三条直线最多可将平面分成（）部分 A . 3 B . 6 C .7 D . 9 3 .如果A BC 三点在同一直线上，且线段 AB=4CM BC=2CM 那么AC 两点之间的距离为（） A . 2CM B . 6CM C . 2 或 6CM D .无法确定 4 .下列说法正确的是（） A .延长直线 A B 到C; B .延长射线 0A 到 C ; C.平角是一条直线； D .延长线段 AB 到C 5 .如果你想将一根细木条固定在墙上，至少需要几个钉子（） A . 一个 B .两个 C .三个 D .无数个 1 .若线段AB=a, C 是线段AB 上的任意一点， M N 分别是AC 和CB 的中点，贝U MN= _________ . 2. ____________________ 经过1点可作 ___________________________________________________ 条直线；如果有 3个点，经过其中任意两点作直线，可以作 ______________________________________________________ 条直线; 经过四点最多能确定条直线。 3. ____________________ 图中共有线段条。 4 .如图，学生要去博物馆参观，从学校 A 处到博物馆 B 处的路径共有⑴、⑵、⑶三条，为了节约时间，尽快从 A 处赶到 B 处，假设行走的速度不变，你认为应该走第 ______________________ 条线路（只填番号）最快，理由是条线段；若n 个点可以形成 _______ 条线段。 7.如图，点C 是线段AB 上一点，点 D E 分别是线段 AC BC 的中点.如果AB=a,AD=b, 直线、射线、线段 6 .点 1 1 P 在线段EF 上，现有四个等式① PE=PF ②PE=_EF;③ EF=2PE;④2PE=EF;能表示点 2 2 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个 A . 7.如图所示，从 A 地到达B 地，最短的路线是（ A . A T B B 8 ..如右图所示，则线段AD 的长是（ B 、 .A T F T E T B C . A T D T E T B D . A T C T 3 E T B C 是线段A D 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ） A . 2(a- b) .2a- b C . a+ b 9 ..在直线l 上顺次取 A 段AC 的中点，那么线段 OB 的长度是 A. 2 cm B . 0.5 10 .如果 AB=8, AC=5 BC=3 A .点C 在线段A B 上 C.点 C 在直线AB 外二、填空题 a- b B 、 C 三点, cm 则( B D 使得 AB=5 ) .1.5 占八、、 cm D . 1 cm AB 的延长线上 B 在线段 C 可能在直线AB 上，也可能在直线 AB 外 cm, BC=3c m,如果 O 是线 P 是EF 中点的有（ 5.若 AB=BC=C ［那么 AD= AB AC= AD 6 .直线上8点可以形成

1.3线段的垂直平分线(一)教学设计

第一章证明（二） 3．线段的垂直平分线(一) 河南省郑州八中刘正峰一、学生知识状况分析学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。二、教学任务分析本节课的教学目标是： 1．知识目标： ①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理． ②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2．能力目标： ①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． ②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． ③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3．情感与价值观要求 ①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 4．教学重点、难点重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七

环节：课后作业。第一环节：创设情境，引入新课教师用多媒体演示：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?” 教师演示线段垂直平分线的性质：定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．同时，教师板演本节的题目： 1．3 线段的垂直平分线(一) 第二环节：探究新知第一环节提出问题后，有学生提出了一个问题：“要证‘线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等’，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗?何况不可能呢．” 教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。通过讨论和思考，有学生提出：“如果一个图形上每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了．” 教师肯定该生的观点，进一步提出：“我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．” 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．

人教版七年级下册历史全册教案

第1课繁盛一时的隋朝【教材分析】本课简要介绍了隋朝的建立，社会经济的发展，大运河的开凿。重点叙述了大运河的开通和作用，这是本课的重点。隋初经济的繁荣难以理解，这是本课的难点。【教学目标】知识目标：使学生了解隋朝的建立和统一，社会经济的繁荣，大运河的开凿及历史作用。能力目标：培养学生全面分析“隋朝开通运河是好事还是坏事”的综合分析的能力。情感态度价值观：使学生认识大运河是古代世界最长的运河，是与长城齐名的世界最伟大的工程之一，激发热爱祖国，振兴中华的高尚情操。【教学过程】 1.复习导入中国封建社会开始于公元前475年。1000多年过去了，经过了“战国、秦、汉，封建社会的确立和初步发展”时期，又经过了“三国、两晋、南北朝，封建国家分裂和民族大融合”时期。 581年，隋朝建立。589年，隋灭陈，重新统一南北。中国封建社会进入新的时期，“封建社会的繁荣——隋、唐。” 2．讲授新内容

板书：第1课繁盛一时的隋朝一、南北重归统一提问：为什么说是同归统一？ 581年，北周外戚随国公杨坚夺取政权，建立隋朝，定都长安，年号开皇。因怕时运随之而走，去掉“走之”，称为“隋”。于南北朝后期，北方民族大融合和江南经济的发展，重新统一的条件已经成熟。（板书：1.隋朝的建立时间；公元581年建立者；隋文帝杨坚定都；长安） 2.隋朝的统一提问：南北朝的王朝顺序和重要年代北魏分裂为西魏和东魏，西魏由北周替代。东魏由北齐替代。北周灭北齐，统一北方。杨坚夺取北周政权，建立隋朝，时间581年，定都长安。（副板书）南朝为宋、齐、梁、陈，都以建康为都，建康就是今南京市。589年，隋灭陈，重新统一南北方。晋王杨广，也就是后来的隋炀帝，是灭陈大军的统帅之一。（副板书）板书：（581—589—618） <1>隋朝统一的原因 <2>隋朝统一的意义提问：看图隋朝的疆域四至。（相当于现在中国除去内蒙西藏的领土大小。南边到越南，东边到朝鲜交接，北边到内蒙南边，西边到新疆以西。）

线段的垂直平分线及其应用

线段的垂直平分线性质及其应用一、基础知识归纳 1 线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．说明：它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程. 2 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 说明：（1）关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；（2）要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可；（3）关于线段垂直平分线的判定定理的证明有多种思路，如①过点P 作已知线段AB 的垂线PC ，再证明PC 平分AB ；②取AB 的中点C ，证明PC⊥AB；③作∠APC 的平分线PC ，证明PC⊥AB，且AC=AB. 3 三角形的三边的垂直平分线定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．说明：（1）上面的定理是由实践操作（折纸）发现猜想，然后又经过逻辑推理而获得的，它是由实践到理论，从感性到理性的认识过程；（2）该定理综合了线段垂直平分线性质定理和判定定理，是两个定理的升华；（3）锐角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的内部的一点，直角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形斜边的中点，钝角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的外部的一点，但无论这个点在什么位置，它到这个三角形的三个顶点的距离是相等的．二、典型例题剖析典例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°， AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N. 求证：CM=2BM. 【研析】：由于MN 为线段AB 的垂直平分线，所以如果连接MA ，就可以得到MA=MB ，然后通过△M AC 把CM 和MA 联系起来。证明：连接AM ，∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°，∵MN 垂直平分AB ， ∴MB =MA ，∴∠B =∠MAB =30°，∴∠MAC =90°，∴AM =2 1CM ， ∴CM =2BM 典例2：城A 和城B 相距24千米，如今政府为便利两城居民生活，决定修建一个仓库，使得仓库到两城距离相等，请问这样的仓库位应该修建在什么位置？仓库的位置惟一吗？若要求仓库到两城距离均为15千米，则仓库的位置惟一吗？【研析】：这是一个把数学知识运用到生活中的实际问题，也就是找一个点到线段AB 的两个端点的距离相等，因此仓库的位置在线段AB 的垂直平分线上，这样的点有无数个，所以仓库的位置不惟一；若仓库到两城距离均为15千米，则AM=BM=15，AC=BC=12，所以图1 图2

4.2直线、射线、线段练习题及标准答案

4.2直线、射线、线段测试卷一、选择题 1. 下列说法错误的是（） A. 平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 两点之间的所有连线中，线段最短 C.经过两点有且只有一条直线 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．平面上的三条直线最多可将平面分成（）部分 A ．3 B ．6 C ． 7 D ．9 3．如果A BC 三点在同一直线上，且线段AB=4CM ，BC=2CM ，那么AC 两点之间的距离为（） A ．2CM B ． 6CM C ．2 或6CM D ．无法确定 4．下列说法正确的是（） A ．延长直线A B 到 C ； B ．延长射线OA 到C ； C ．平角是一条直线； D ．延长线段AB 到C 5．如果你想将一根细木条固定在墙上，至少需要几个钉子（） A ．一个 B ．两个 C ．三个 D ．无数个 6．点P 在线段EF 上，现有四个等式①PE=PF 。②PE=12EF 。③1 2 EF=2PE 。④2PE=EF 。其中能表示点P 是EF 中点的有（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 7. 如图所示，从A 地到达B 地，最短的路线是（）． A ．A →C →E →B B ．A →F →E →B C ．A →D →E →B D ．A →C →G →E →B 8．.如右图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（） A ．2()a b - B ．2a b - C ．a b + D ．a b - 9．.在直线l 上顺次取A 、B 、C 三点，使得AB=5㎝，BC=3㎝，如果O 是线段AC 的中点，那么线段OB 的长度是（） A ．2㎝ B ．0.5㎝ C ．1.5㎝ D ．1㎝ 10．如果AB=8，AC=5，BC=3，则（） A ．点C 在线段A B 上 B ．点B 在线段AB 的延长线上 C ．点C 在直线AB 外 D ．点C 可能在直线AB 上，也可能在直线AB 外二、填空题 1．若线段AB=a ，C 是线段AB 上的任意一点，M 、N 分别是AC 和CB 的中点，则MN=_______. 2．经过１点可作________条直线；如果有3个点，经过其中任意两点作直线，可以作______条直线；经过四点最多能确定条直线。 3．图中共有线段________条。 4．如图，学生要去博物馆参观，从学校A 处到博物馆B 处的路径共有⑴、⑵、⑶三条，为了节约时间，尽快从A 处赶到B 处，假设行走的速度不变，你认为应该走第________条线路（只填番号）最快，理由是___________________。 5．若AB=BC=CD 那么AD=AB AC=AD ６．直线上8点可以形成_______条线段；若n 个点可以形成_____条线段。７．如图,点C 是线段AB 上一点，点D 、E 分别是线段AC 、BC 的中点. 如果AB=a,AD=b, 其中2a b >,那么CE= 。８．如图，若CB = 4 cm ，DB = 7 cm ，且D 是AC 的中点，则AC =_________________. ９．下面由火柴杆拼出的一列图形中，第n 个图形由几根火柴组成．（4分）

线段的垂直平分线

2.4线段的垂直平分线姓名：班级：小组：评价：_____________ 【课标要求】理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。【核心素养体现】直观想象、逻辑推理【学习目标】 1.通过折纸实验，理解线段垂直平分线的定义，探究线段垂直平分线的性质及判定，并会用几何语言表示； 2.通过小组交流合作，会用尺规作已知线段的垂直平分线，并能利用性质定理求解线段. ——线段垂直平分线的定义同学们，从你的卡片纸上，找到线段AB ，请进行以下操作： ①通过对折，使端点A 与端点B 重合； ②将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为CD ，直线CD 与线段AB 的交点为M ； ③请动手测量AM 与BM 的长度，∠CMB 的大小。你有什么发现？ AM______ BM ，∠CMB=____________ 【归纳总结】这时候，直线CD 为线段AB 的垂直平分线 ________且_________ 一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 ——线段垂直平分线的性质及判定找到卡片纸上的直线CD ，任取一点P ,连接PA ，PB ，把卡片纸再沿CD 对折，PA 与PB 重合吗？你有什么发现？所以，PA______ PB 【归纳总结】由此，就得到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的______ 到______________________________相等你能证明你的猜想吗？ 1. 已知：CD 是线段AB 的垂直平分线，垂足为点M ，P 是直线CD 上的任意一点。求证：PA=PB 如何用几何语言表示？ ∵AM=MB,CD ⊥AB (或者CD 为线段AB 的垂直平分线） ∴PA=PB 学习活动1 学习活动2

七年级历史全册教案

七年级历史全册教案七年级历史全册教案【教学目标】1、知识与技能祖国境内的远古居民——元谋人的发现与距今的年代，北京人的发现、地点与距今年代，北京人使用石器和天然火以及北京人的群居生活：山顶洞人的距今年代、发现地点，山顶洞人的石器、磨制技术和人工取火;山顶洞人过着氏族生活。通过学习本课初步培养学生理解、认识历史领域内各种不同知识范围的能力以及观察、想象能力和比较的能力。通过本课的学习、阅读，可以接触考古知识、神话传说、古史资料、历史地图、文物插图等各类与历史有关的知识，扩大学生的视野，激发学生的兴趣，使其重视历史课的学习。 2、过程与方法在课堂教学过程中，教师应围绕“北京人、山顶洞人的生产、生活状况”这条主线进行讲解，然后，引导学生分析比较“山顶洞人比北京人的进步性有哪些”。加深学生对教材内容的理解。 3、情感、态度与价值观(1)我国是人类的发源地之一，是目前世界上发现远古人类遗址最多的国家。我国历史可

以追溯到一百七十多万年以前，以此激发青少年的爱国主义情感，培养珍视人类文化遗产的意识。 (2)通过认清劳动创造世界和人类本身这一真理，培养学生热爱劳动的思想情感。【教学重点难点】1、重点：北京人和山顶洞人的生产和生活状况。 2、难点：认识劳动在人类产生过程中的作用。【课时安排】1课时【教与学互动设计】 (一) 创设情景，导入新课导语一展示远古人类的头部模型。设问：这是什么时候的人类头部模型?那时侯，我国境内有哪些远古人群?他们的生产和生活状况又是怎样的呢?请大家阅读第1课“祖国境内的远古居民”。导语二播放一段有关远古人类社会生活的课件，然后提问：该片段反映了我国远古人类怎样的生产和生活状况?他们生活在什么时候?请大家预习课文。导语三人从哪里来呢?目前有两种说法：一是人由神创造的，像西方的“上帝造人说”，我国的女蜗造人。二是人是古猿进化而来的，你同意哪一观点?学完了本课，你或许可能找到答案。 (二) 合作交流，解读探究 1. 我国最早的人类(1)我国最早的人类是什么人?他们生活在什么时候?什么地方?(学