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离散数学课后习题答案一

离散数学课后习题答案一
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§1.1 命题和逻辑连接词

习题1.1

1. 下列哪些语句是命题,在是命题的语句中,哪些是真命题,哪些是假命题,哪些命题的真值现在还不知道?

(1)中国有四大发明。

(2)你喜欢计算机吗? (3)地球上海洋的面积比陆地的面积大。

(4)请回答这个问题! (5)632=+。

(6)107<+x 。

(7)园的面积等于半径的平方乘以圆周率。 (8)只有6是偶数,3才能是2的倍数。 (9)若y x =,则z y z x +=+。 (10)外星人是不存在的。

(11)2020年元旦下大雪。

(12)如果311=+,则血就不是红的。

是真命题的有:(1)、(3)、(7)、 (9) 、(12) ;是假命题的有:(5)、 (8) ;是命题

但真值现在不知道的有: (10)、 (11);不是命题的有:(2)、(4)、(6)。

2. 令p 、q 为如下简单命题:p :气温在零度以下。q :正在下雪。用p 、q 和逻辑联接词符号化下列复合命题。 (1)气温在零度以下且正在下雪。 (2)气温在零度以下,但不在下雪。 (3)气温不在零度以下,也不在下雪。 (4)也许在下雪,也许气温在零度以下,也许既下雪气温又在零度以下。 (5)若气温在零度以下,那一定在下雪。 (6)也许气温在零度以下,也许在下雪,但如果气温在零度以上就不下雪。

(7)气温在零度以下是下雪的充分必要条件。 解 (1)q p ∧;(2)q p ?∧;(3)q p ?∧?;(4)q p ∨; (5)q p →;(6))()(q p q p ?→?∧∨;(7)q p ?。

3. 令原子命题p :你的车速超过每小时120公里,q :你接到一张超速罚款单,用p 、q 和逻辑联接词符号化下列复合命题。 (1)你的车速没有超过每小时120公里。 (2)你的车速超过了每小时120公里,但没接到超速罚款单。 (3)你的车速若超过了每小时120公里,将接到一张超速罚款单。

(4)你的车速不超过每小时120公里,就不会接到超速罚款单。

(5)你接到一张超速罚款单,但你的车速没超过每小时120公里。

(6)只要你接到一张超速罚款单,你的车速就肯定超过了每小时120公里。 解 (1)p ?;(2)q p ?∧;(3)q p →;(4)q p ?→?; (5)p q ?∧;(6)p q →。

4. 判断下列各蕴涵式是真是假。

(1)若211=+,则422=+。 T (2)若211=+,则522=+。 F (3)若311=+,则422=+。 T (4)若311=+,则522=+。 T (5)若猪会飞,那么422=+。 T (6)若猪会飞,那么522=+。 T

(7)若311=+,猪就会飞。

T

(8)若211=+,猪就会飞。 F

解 (1)T ;(2)F ;(3)T ;(4)T ;(5)T ;(6)T ;(7)T ;(8)F 。

5. 对下列各语句,说一说其中的“或”是“同或”与“异或”时它们的含义并符号化。你认为语句想表示的是哪个“或”? (1)要求有使用过C++或Java 的经验。 (2)你必须持护照或选民登记卡才能入境。

(3)要选修离散数学课,你必须已经选修过微积分课或高等数学课。

(4)从通用公司购买一部新车,你就能得到5000元现金回扣,或利率为4%的低息汽车贷款。

(5)若下雪超过20公分或温度低于C ?-10,学校就停课。

解 (1)“同或“的含义:要求有使用过C++或Java 或两者都使用过的经验;“异或“的含义:要求有使用过C++或Java 的但不能有两者都使用过的经验。

令原子命题p :要求有使用C++的经验,q :要求有使用Java 的经验,则同或和异或分别符号化为:q p ∨和)()(q p q p ∧?∨?∧。

我认为该语句想表示的是“同或”。

(2)“同或“的含义:你必须持护照或选民登记卡或两者都持有才能入境;“异或“的含义:你必须持护照或选民登记卡但不是两者都持有的才能入境。

令原子命题p :你必须持护照才能入境,q :你必须持选民登记卡才能入境,则同或和异或分别符号化为:q p ∨和)()(q p q p ∧?∨?∧。

我认为该语句想表示的是“同或”。

(3)“同或“的含义:要选修离散数学课,你必须已经选修过微积分课或高等数学课或者

两者都选修过;“异或“的含义:要选修离散数学课,你必须已经选修过微积分课或高等数学课但不是两们都选修过。

令原子命题p :要选修离散数学课,你必须已经选修过微积分课,q :要选修离散数学课,你必须已经选修过高等数学课,则同或和异或分别符号化为:q p ∨和

)()(q p q p ∧?∨?∧。

我认为该语句想表示的是“同或”。

(4)“同或“的含义:从通用公司购买一部新车,你就能得到5000元现金回扣,或利率为4%的低息汽车贷款;或者两者都得到;“异或“的含义:从通用公司购买一部新车,你就能得到5000元现金回扣,或利率为4%的低息汽车贷款,但不能两者都得。

令原子命题p :从通用公司购买一部新车,你就能得到5000元现金回扣,q :从通用公司购买一部新车,你就能得到利率为4%的低息汽车贷款,则同或和异或分别符号化为:q p ∨和)()(q p q p ∧?∨?∧。

我认为该语句想表示的是“异或”。

(5)“同或“的含义:若下雪超过20公分或温度低于C ?-10或两者都达到,学校就停课;“异或“的含义:若下雪超过20公分或温度低于C ?-10且不是两者都达到,学校就停课。

令原子命题p :若下雪超过20公分,学校就停课,q :若温度低于C ?-10,学校就停课,则同或和异或分别符号化为:q p ∨和)()(q p q p ∧?∨?∧。

我认为该语句想表示的是“同或”。

6. 给出下列各蕴涵形式命题的逆命题、否命题和逆否命题。 (1)如果今天下雪,我明天就去滑雪。 (2)只要有测验,我就来上课。

(3)只有当正整数没有1和它自己以外的因数时,它才是质数。

解 (1)逆命题:如果我明天去滑雪,就今天会下雪;否命题:如果今天不下雪,我明天就不去滑雪;逆否命题:如果我明天没去滑雪,今天就没下雪。

(2)逆命题:我来上课,就有测验;否命题:只要没有测验,我就不来上课;逆否命题:我不来上课,就没有测验。

(3)逆命题:正整数是质数,则它没有1和它自己以外的因数;否命题:只有当正整数有1和它自己以外的因数时,它才不是质数;逆否命题:正整数不是质数,则它有1和它自己以外的因数。

7. 求下列各个位串的按位NOT ;各对位串的按位AND 和按位OR : (1)1 011 110,0 100 001

(2)11 110 000,10 101 010

(3)0 001 110 001,1 001 001 000

(4)1 111 111 111,0 000 000 000

解 (1)按位NOT 分别是0 100 001,1 011 110;按位OR 是 111 1111;按位AND 是 000 0000;

(2)按位NOT 分别是00 001 111,01 010 101;按位OR 是11 111 010;按位AND 是10 100 000;

(3)按NOT 分别是1 110 001 110,0 110 110 111;按位OR 是10 0111 1001;按位AND 是00 0100 0000;

(4)按NOT 分别是0 000 000 000,1 111 111 111;按位OR 是11 1111 1111;按位AND 是00 0000 0000;

8. 你会用什么样的布尔检索寻找关于新泽西州海滩的网页?如果你想找关于泽西岛(在英吉利海峡)海滩的网页呢?

解 寻找关于新泽西州海滩网页的布尔检索为:“NEW ”AND “JERSEY ” AND “BEACHES ”,寻找关于泽西岛(在英吉利海峡)海滩网页的布尔检索为(“JERSEY ” AND “BEACHES ”)AND (NOT “NEW ”)。

9. 你会用什么样的布尔检索寻找关于徒步旅行西弗吉尼亚的网页?如果你想找关于徒步旅行弗吉尼亚的网页,而不是西弗吉尼亚呢?

解 寻找关于徒步旅行西弗吉尼亚网页的布尔检索为:“W ALKING TOUR ”AND “VIRGINIA ” AND “WEST ”,寻找关于徒步旅行弗吉尼亚的布尔检索为(“W ALKING TOUR ” AND “VIRGINIA ”)AND (NOT “WEST ”)。

习题1.2

1. 设p 、q 和r 为如下简单命题:p :532=+。q :大熊猫产在中国。r :复旦大学在广州。求下列复合命题的真值。 (1)r q p →?)(

(2)p q p r ??∧→))((

(3))(r q p r ∨?∨?→?

(4)))(()(r q p r q p →?∨???∧∧

解 因为p 、q 和r 分别取1,1,0。所以

(1)00)11()(=→?=→?r q p ;

(2)01))11(0())((=??∧→=??∧→p q p r ;

(3)0)011(0)(=∨?∨?→?=∨?∨?→?r q p r ;

(4)1)0)11(()011())(()(=→?∨???∧∧=→?∨???∧∧r q p r q p 。

2. 构造下列复合命题的真值表,并由此判断它们是否永真式、永假式和可满足式。 (1)q p ?→

(2)q p ??

(3))()(q p q p →?∨→ (4))()(q p q p ?→?∧?→

(5))()(q p q p ??∧?

(6))()(q p q p ???∨??

解 (1)是可满足式。

p q q ? q p ?→

0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1

1

(2)是可满足式。

p q p ? q p ??

0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1

1

(3)是永真式。

p q q p → p ? q p →? )()(q p q p →?∨→

0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1

1

1

1

1

(4)是可满足式。

p q p ? q ? q p ?→ q p ?→? )()(q p q p ?→?∧?→

0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1

1

1

(5)是永假式。

p q q p ? p ? q p ?? )()(q p q p ?→?∧?→

0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1

1

1

(6)是永真式。

p q p ? q ? q p ?? q p ??? )()(q p q p ???∨??

0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1

1

1

1

3. 构造下列复合命题的真值表,并由此判断它们是否永真式、永假式和可满足式。 (1)r q p →?)(

(2)p q p r ??∧→))((

(3))(r q p r ∨?∨?→?

(4)))(()(r q p r q p →?∨???∧∧

解 (1)是可满足式。

p q r q p ? r q p →?)(

0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1

1

1

1

1 1 1 1

(2)是可满足式。

p q r q p ∧ )(q p r ∧→ p ? p q p r ??∧→))((

0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1

1

1

1

1

(3)是可满足式。

p q r p ? q ? r ? r q p ∨?∨? )(r q p r ∨?∨?→?

0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1

1

1

1

1

(4)是可满足式。

p q r r q p ?∧∧ q p ?∨? r q p →?∨?)( ))(()(r q p r q p →?∨???∧∧

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1

1

1

1

1 1 0 1 0 1 1 1

1

1

1

1

4. 用真值表证明下面的等价式 (1)B A B A ?∨?=∧?)( (2)A B A A =∨∧)(

(3)B A B A ∨?=→

(4))()(A B B A B A →∧→=?

(5))()()(C A B A C B A ∧∨∧=∨∧ 解 (1)

A B B A ∧ A ? B ? )(B A ∧? B A ?∨?

0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1

1

1

(2)

A B B A ∨ )(B A A ∨∧

0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1

1

1

1

(3)

A B A ? B A → B A ∨?

0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1

1

1

1

(4)

A B B A → A B → B A ? )()(A B B A →∧→

1

1

1

1

0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1

1

1

1

1

1

(5)

A B C C B ∨ B A ∧ C A ∧ )(C B A ∨∧ )()C A B A ∧∨∧(

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1

1

1

1

1

1

1

5. 只使用命题变元p 和q 能构造多少不同的命题公式真值表? 解 能构造出16(2的4次方)种不同的命题公式真值表。

6. 用等价演算法证明下面的等价式 (1))()(q p q p p ?∧∨∧=

(2))()()()(q p q p q p q p ∧?∧∨=∧?∨?∧ (3))()(q p p p q p ?→→?=→→ (4))()()(q p q p q p ∧?∧∨=?? (5))()()(r q p r p q p ∧→=→∧→ (6)r q p r q r p →∨=→∧→)()()( (7)r q p r q p →∧=→→)()( (8))()(r p q r q p →→=→→

解 (1)右边)()(q p q p ?∧∨∧=)(q q p ?∨∧=1∧=p p ==左边 (2)

左边)()(q p q p ∧?∨?∧= )()()()(q q p q q p p p ∨?∧?∨?∧∨∧?∨=

1)()(1∧?∨?∧∨∧=p q q p

)()(p q q p ?∨?∧∨= )()(q p q p ∧?∧∨=

=右边

(3)

左边)(p q p →→=)(p q p ∨?∨?==1 右边)(q p p ?→→?=)(q p p ?∨?∨==1

所以 左边=右边 (4) 左边)(q p ??=

))()((p q q p →∧→?= )()(p q q p ∨??∨∨??=

)()(p q q p ?∧∨?∧=

)()()()(p q q q p p q p ?∨?∧∨?∧?∨∧∨=

)()(q p q p ∧?∧∨==右边

(5)

左边)()(r p q p →∧→=

)()(r p q p ∨?∧∨?=

)(r q p ∧∨?= )(r q p ∧→==右边

(6)

左边)()(r q r p →∧→=

)()(r q r p ∨?∧∨?= r q p ∨?∧?)(= r q p ∨∨?)(=

r q p →∨=)(=右边

(7)

左边)(r q p →→=)(r q p ∨?∨?=

右边r q p →∧=)(r q p ∨∧?=)(r q p ∨?∨?=

所以 左边=右边

(8)

左边)(r q p →→=)(r q p ∨?∨?= 右边)(r p q →→=)(r p q ∨?∨?=

所以 左边=右边

下面4道题是智力游戏题,解题时可以先把语句翻译成命题公式,再利用其成真赋值进行

求解。

7. 边远村庄的每个人要么总说真话,要么总说谎话。对旅游者的问题,村民要么回答“是”,

要么回答“不”。假定你在这一地区旅游,走到了一个岔路口,一条岔路通向你想去的遗址,另一岔路通向丛林深处。此时恰有一村民站在岔路口,问村民什么样的一个问题就能决定走那条路?

解问“如果我问你右边的路是否通向遗址,你会说‘是’,对吗?”,如果回答“是”,则右边的路通向遗址,否则左边的路通向遗址,具体分析如下:

(1)被问者总说真话且回答“对”。则右边的路通向遗址。

(2)被问者总说真话且回答“不对”。则左边的路通向遗址。

(3)被问者总说谎话且回答“对”。因为是说谎者,所以实际上他会回答“不是”;又因为是说谎者,他回答‘不是’,表明右边的路通向遗址。

(4)被问者总说谎话且回答“不对”。因为是说谎者,所以实际上他会回答“是”;又因为是说谎者,他回答‘是’,表明右边的路不通向遗址。

现在假设用p表示被问的人总说真话,q表示被问的人回答“对”,r表示如果我问右边的路是否通向遗址,回答‘是’,s表示右边的路通向遗址,则根据以上分析我们有如下表所示的真值表。

p q r s

0 0 1 0

0 1 0 1

1 0 0 0

1 1 1 1

这里,r 和s 都不是独立的命题变元,可以看成命题p ,q 的逻辑表达式,即

q p r ?=, )(q p p s ??=

8. 一个探险者被几个吃人者抓住了。有两种吃人者:总是说谎的和永不说谎的。除非

探险者能判断出一位指定的吃人者是说谎者还是说真话者,否则就要被吃人者烤了吃。探险者只被允许问这位吃人者一个问题。 (1)解释为什么问:“你说谎吗?”是不行的。

(2)找一个问题,使探险者可以用来判断该吃人者是说谎者还是说真话者。 解 (1) 略

(2)问“如果我问你是否是说谎者,你会说‘是’,对吗?”,如果回答“是”,则是说谎者,否则不是说谎者。

9. 侦探调查了罪案的四位证人。从证人的话侦探得出的结论是:如果男管家说的是真话,那么厨师说的也是真话;厨师和园丁不可能都说真话;园丁和杂役不可能都在说谎;如果杂役说真话,那么厨师在说谎。侦探能判定这四位证人分别是在说谎还是在说真话吗?解释你的理由。

解 设p :男管家说的是真话;q :厨师说的是真话;r :园丁说的是真话;s :杂役说的是真话。 则有1=→q p ,0=∧r q ,1=∨s r ,1=?→q s 。

若1=p ,根据1=→q p 得1=q ,再根据0=∧r q 得0=r ,再根据1=∨s r 得1=s ,与1=?→q s 矛盾。

若0=p ,根据1=→q p 得1=q 或0=q 。

若0=p ,1=q ,根据0=∧r q 得0=r ,再根据1=∨s r 得1=s ,与1=?→q s 矛盾。

若0=p ,0=q ,根据0=∧r q 得1=r 或0=r 。

若0=p ,0=q ,1=r ,根据1=∨s r 得1=s 或0=s ,都1=?→q s 相容。 若0=p ,0=q ,0=r ,根据1=∨s r 得1=s ,与1=?→q s 相容。

从以上分析可以可以判定男管家和厨师说谎,但不能判断究竟是园丁还是杂役说真话。

10. 四个朋友被认定为非法进入某计算机系统的嫌疑人。他们已对调查员作了陈述.。爱丽丝说“卡诺斯干的”,约翰说“我没干”,卡诺斯说“黛安娜干的”,黛安娜说“卡诺斯说是我干的,他说谎”。

(1)如果调查员知道四个嫌疑人中恰有一人说真话,那么谁非法进入了计算机系统?

说明理由。

(2)如果调查员知道四个嫌疑人中恰有一人说慌,那么谁非法进入了计算机系统?说

明理由。

解 设p :卡诺斯干的(爱丽丝说);q :我没干(约翰说);r :黛安娜干的(卡诺斯说);s :卡诺斯说是我干的,他说谎(黛安娜说)。

(1)根据题意,有

1

)()()()(=∧?∧?∧?∨?∧∧?∧?∨?∧?∧∧?∨?∧?∧?∧s r q p s r q p s r q p s r q p

若1=?∧?∧?∧s r q p ,则有1=p ,1=?q ,这表明既是卡诺斯干的,又是约翰干的,矛盾。

若1=?∧?∧∧?s r q p ,则有1=?p ,1=q ,1=?r ,这表明既不是卡诺斯干的,又不是约翰干的,也不是黛安娜干的,而只能是爱丽丝干的,但这与1=?s 矛盾。

若1=?∧∧?∧?s r q p ,则有1=r ,1=?q ,这表明既是黛安娜干的,又是约翰干的,矛盾。

若1=∧?∧?∧?s r q p ,则有1=?q ,这表明是约翰干的,这与1=?p , 1=?r ,

1=s 相容。

所以是约翰非法进入了计算机系统。 (2)略

习题1.3

1. 下列命题公式哪些是析取范式哪些是合取范式? (1))()(r q q p ∧∨?∧? (2))()(q p q p ∨?∧?∨ (3)q r p ∨?∧?)(

(4)q q p ?∧∨)( (5)q p ∨? (6)r q p ?∧?∧? (7)p ? (8)q

(9)1

(10)0

解 是析取范式的有:(1)、(3)、(5)、(6)、(7)、 (8)、(9)、(10);是合取范式有:(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、 (8)、(9)、(10)。

2. 在下列由3个命题变元r q p 、、组成的命题公式中,指出哪些是标准析取范式哪些是标准合取范式? (1))()(r q p r q p ∧∧?∨∧?∧? (2))()(r q p r q p ∨∨?∧?∨?∨ (3)q r q p ∨?∧?∧?)( (4))()()(r q r p q p ∨∧?∨?∧∨ (5)r q p ?∨∨? (6)r q p ?∧?∧?

(7)1

(8)0

解 是标准析取范式的有:(1)、(6)、(8);是标准合取范式的有:(2)、(5)、(7)。

3. 找出一个只含命题变元p 、q 和r 的命题公式,当p 和q 为真而r 为假时命题公式

为真,否则为假。

解 r q p ?∧∧。

4. 找出一个只含命题变元p 、q 和r 的命题公式,在p 、q 和r 中恰有两个为假时命题公式为真,否则为假。

解 ))()()(r q p r q p r q p ∧?∧?∨?∧∧?∨?∧?∧。

5. 利用等价演算法求下列命题公式的标准析取范式,并求其成真赋值。 (1))()(p q q p ∨?→→?

(2)r q q p ∧∧→?)(

(3))())((r q p r q p ∨∨→∧∨ 解(1) )()(p q q p ∨?→→?

)()(p q q p ∨?∨∨?= p q q p ∨?∨?∧?=)(

)()()()()(q p q p q p q p q p ∧∨?∧∨?∧?∨?∧∨?∧?= )()()(q p q p q p ∧∨?∧∨?∧?=

除0=p ,1=q 外,其余均为成真赋值。

(2) r q q p ∧∧→?)(r q q p ∧∧∨??=)(r q q p ∧∧?∧=0= 这是永假式,不存在成真赋值。 (3) )())((r q p r q p ∨∨→∧∨

r q p r q p ∨∨∨∧∨?=))(( r q p r q p ∨∨∨?∨?∧?=))((

r q p r p q p ∨∨∨?∧?∨?∧?=)()(

)()()()(r q p r q p r q p r q p ?∧∧?∨?∧?∧?∨∧?∧?∨?∧?∧?= )()()()(r q p r q p r q p r q p ∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨

)()()()(r q p r q p r q p r q p ∧∧∨?∧∧∨∧∧?∨?∧∧?∨ )()()()(r q p r q p r q p r q p ∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧?∧?∨ )()()()(r q p r q p r q p r q p ∧∧?∨?∧∧?∨∧?∧?∨?∧?∧?=

)()()()(r q p r q p r q p r q p ∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨

这是永真式,所有赋值都是成真赋值。

6. 利用等价演算法求下列命题公式的标准合取范式,并求其成假赋值。 (1)p q p ?∧?→?)(

(2))()(r p q p ∨?∨∧

(3)r q p p ∨∨→))((

解 (1)p q p ?∧?→?)(p q p ?∧?∨??=)(p q p ?∧∧=)(0=

这是永假式,所有赋值都是成假赋值。 (2))()(r p q p ∨?∨∧

)()()()(r q p q r p p p ∨∧?∨∧∨∧?∨=

)()()()()()(r q p r q p r q p r q p r q p r q p ∨∨?∧∨∨∧?∨∨?∧∨∨?∧∨?∨∧∨∨=)()()()(r q p r q p r q p r q p ?∨∨?∧∨∨?∧∨?∨∧∨∨=

成假赋值为:0,0,0===r q p ;0,1,0===r q p ;

0,0,1===r q p ;1,0,1===r q p

(3)r q p p ∨∨→))((r q p p ∨∨∨?=1=

这是永真式,不存在成假赋值。

7. 利用真值表法求下列命题公式的标准析取范式和标准合取范式。 (1))(q p →?

(2))()(q p q p ??→∨? (3)r q p →→)(

4

))(())((r q p r q p ?∧?→?∧∧→

解 (1)

p q q p → )(q p →?

0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1

1

1

所以标准析取范式为

q p m ?∧=10

标准合取范式为

)()()(110100q p q p q p M M M ?∨?∧?∨∧∨=∧∧

(2)

p q q p ∨? q p ?? )()(q p q p ??→∨?

0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1

1

1

所以标准析取范式为

)()(1001q p q p m m ?∧∨∧?=∨

标准合取范式为

)()(1100q p q p M M ?∨?∧∨=∨

(3)

p q r q p → r q p →→)(

0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1

1

1

1

1

所以标准析取范式为

111101100011001m m m m m ∨∨∨∨

)()()()()(r q p r q p r q p r q p r q p ∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧∧?∨∧?∧?=

标准合取范式为

)()()(110010000r q p r q p r q p M M M ∨?∨?∧∨?∨∧∨∨=∧∧

(4)

p q r )(r q p ∧→ )(r q p ?∧?→? ))(())((r q p r q p ?∧?→?∧∧→

0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1

1

1

1

1

1

所以标准析取范式为

)()(111000r q p r q p m m ∧∧∨?∧?∧?=∨

标准合取范式为

110101100011010001M M M M M M ∧∧∧∧∧

)()()()()()(r q p r q p r q p r q p r q p r q p ∨?∨?∧?∨∨?∧∨∨?∧?∨?∨∧∨?∨∧?∨∨=

8. 假定用n 个命题变元给出一个真值表。证明可依据此表构造一个命题公式,使其真值与此表一致。

证明 略

9. 设A 是含有n 命题变元的命题公式,证明

(1)A 是永真式当且仅当A 的标准析取范式含有全部n

2个最小项。 (2)A 是永假式当且仅当A 的标准析取范式不含任何最小项(即标准析取范式为0)。

(3)A 是可满足式当且仅当A 的标准析取范式至少含有一个最小项。 证明 略

10. 设A 是含有n 命题变元的命题公式,证明

(1)A 是永假式当且仅当A 的合取析取范式含有全部n 2个最大项。 (2)A 是永真式当且仅当A 的标准合取范式不含任何最大项(即标准合取范式为1)。

(3)A 是可满足式当且仅当A 的标准合取范式不包含所有最大项。 证明 略

11. 求下列命题公式的标准析取范式,再根据标准析取范式求标准合取范式。 (1)r q p ∨∧)(

(2))()(r q q p →∧→ 解 (1)略

(2))()(r q q p →∧→

)()(r q q p ∨?∧∨?=

)()()()(r q q q r p q p ∧∨?∧∨∧?∨?∧?=

)()()()(r q q q r p q p ∧∨?∧∨∧?∨?∧?=

)()()()(r q p r q p r q p r q p ∧∧∨∧∧?∨∧?∧?∨?∧?∧?=

111011001000m m m m ∨∨∨=

所以标准合取范式为

110101100010M M M M ∧∧∧

)()()()(r q p r q p r q p r q p ∨?∨?∧?∨∨?∧∨∨?∧∨?∨=

12. 求下列命题公式的标准合取范式,再根据标准合取范式求标准析取范式。 (1)q q p →∧)( (2)r q p →?)(

(3)q p p r ∧∧→?)( 解 (1)、(3)略 (2)r q p →?)(

r p q q p ∨∨?∧∨??=))()(( r p q q p ∨?∧∨?∧=)()(

r p q q p ∨?∧∨?∧=)()(

r p q q q p p q p ∨?∨?∧∨?∧?∨∧∨=))()()()(( r p q q p ∨?∨?∧∨=))()((

)()(r q p r q p ∨?∨?∧∨∨=

110000m M ∧=

所以标准析取范式为

111101100011010001m m m m m m ∧∧∧∧∧ )()()(r q p r q p r q p ∨∨?∧?∨∨?∧∨?∨?= )()()(r q p r q p r q p ∨∨∧∨?∨∧?∨?∨∧

13. 三个人估计比赛结果,甲说:“A 第1,B 第2”,乙说:“C 第2,D 第4”,丙说:“A 第2,D 第4”。结果三人估计的都不全对,但都对了一个。试利用求范式的方法推算出D C B A 、、、分别是第几名?

解 略

习题1.4

1. 将下列命题公式化成与之等价且仅含}{∧?,中联接词的命题公式。

(1)q r p ∧?)(

(2)p r q p ∨∧→))((

解 略 2. 将下列命题公式化成与之等价且仅含}{∨?,中联接词的命题公式。

(1)r q p ?∧∧

(2)r q p q p ∧∧?∧→))((

解 略 3. 将下列命题公式化成与之等价且仅含}{→?,中联接词的命题公式。 (1)r q p ∨∧)(

(2)r q p ∧?→)(

(3)r q p ?∧)(

解 (1) r q p ∨∧)(r q p ∨?∨??=)(r q p →?→=)(

(2) r q p ∧?→)())((r q p ?∨?→??=))((r q p ?→?→?= (3) r q p ?∧)(

))(())((q p r r q p ?∨??→∧→?∨??=

)))(())(((q p r r q p ?→?→?∨→?→???= )))(())(((q p r r q p ?→?→?→→?→??=

4. 对于命题公式)(r q p →∧。

(1)将它化成与之等价且仅含}{↑中联接词的命题公式。 (2)将它化成与之等价且仅含}{↓中联接词的命题公式。 解 (1))(r q p →∧

)(r q p ∨?∧= ))((r q p ?∧?∧??=

))((r q p ?↑↑?=

))))((()))(((r r q p r r q p ↑↑↑↑↑↑↑=

(2))(r q p →∧

)(r q p ∨?∧=

))((r q p ∨??∨??=

)(r q p ↓??↓?=

)))(())((()(r q q r q q p p ↓↓↓↓↓↓↓=

§1.5 命题公式的推理演算

习题1.5

1. 用真值表方法判断下列推理是否正确。 (1)q p q p p ∧?∨?,

(2)q p q p r r q ?∨?∧∧?,, (3)p q r q q p ???∨??∧?,,)( (4)q p r r q p ∧?→→,)(

(5)r q p p r r q q p ∨∨?→→→?,, (6)s p q s r q p ∧??∧→,,

解 (1)推理不正确。

p q p ? q p ∨ q p ∧

0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1

1

1

1

(2)推理正确。

p q r r q ∧? p r ∧ q p ?∨

0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1

1

1

1

1

1 1 0 0 0 1 1

1

1

1

1

(3)、(4)、(5)、(6)略

2. 请对下面每个推理前提给出两个结论,使其中之一是有效的,而另一个不是有效的。 (1)前提:r q q p →→,

(2)前提:q r r q p ,,?→∧)(

(3)前提:q p r q p ,,)(→→

解 (1)有效结论:r p →,无效结论:p r →,下面的真值表说明了这一点。

p q r q p → r q → r p → p r →

0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1

1

1

1

1

1

1

(2)有效结论:r q ?∧,无效结论:r p ∨,下面的真值表说明了这一点。

p q r r ? q p ∧ r q p →∧)( r q ?∧ r p ∨

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1

1

1

1

1

1

(3)有效结论:)(q p r ∧→,无效结论:r q p ??∧)(,下面的真值表说明了这一点。

p q r r q → )(r q p →→ )(q p r ∧→ r q p ??∧)(

0 0 0 1 1 1 1 0

1

1

1

屈婉玲版离散数学课后习题答案【3】

第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解: F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ?,在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) xG ?,在(a)(b)中均为真命题。 (x 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) F x∧ ?? x ? ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) F ?? x x→ (x ( H ) ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F y x G ? y ? ∧ x→ , ( )) ( H ) x ((y ( (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快

命题符号化为: ))),()(()((y x H x F x y G y →?∧?? 9.给定解释I 如下: (a) 个体域D 为实数集合R. (b) D 中特定元素=0. (c) 特定函数(x,y)=xy,x,y D ∈. (d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x

离散数学第三版课后习题答案

离散数学辅助教材 概念分析结构思想与推理证明 第一部分 集合论

离散数学习题解答 习题一(第一章集合) 1. 列出下述集合的全部元素: 1)A={x | x ∈N∧x是偶数∧x<15} 2)B={x|x∈N∧4+x=3} 3)C={x|x是十进制的数字} [解] 1)A={2,4,6,8,10,12,14} 2)B= 3)C={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2. 用谓词法表示下列集合: 1){奇整数集合} 2){小于7的非负整数集合} 3){3,5,7,11,13,17,19,23,29} [解] 1){n n∈I∧(?m∈I)(n=2m+1)}; 2){n n∈I∧n≥0∧n<7}; 3){p p∈N∧p>2∧p<30∧?(?d∈N)(d≠1∧d≠p∧(?k∈N)(p=k?d))}。 3. 确定下列各命题的真假性: 1) 2)∈ 3){} 4)∈{} 5){a,b}{a,b,c,{a,b,c}} 6){a,b}∈(a,b,c,{a,b,c}) 7){a,b}{a,b,{{a,b,}}} 8){a,b}∈{a,b,{{a,b,}}} [解]1)真。因为空集是任意集合的子集; 2)假。因为空集不含任何元素; 3)真。因为空集是任意集合的子集; 4)真。因为是集合{}的元素; 5)真。因为{a,b}是集合{a,b,c,{a,b,c}}的子集; 6)假。因为{a,b}不是集合{a,b,c,{a,b,c}}的元素;

7)真。因为{a,b}是集合{a,b,{{a,b}}}的子集; 8)假。因为{a,b}不是集合{a,b,{{a,b}}}的元素。 4. 对任意集合A,B,C,确定下列命题的真假性: 1)如果A∈B∧B∈C,则A∈C。 2)如果A∈B∧B∈C,则A∈C。 3)如果A B∧B∈C,则A∈C。 [解] 1)假。例如A={a},B={a,b},C={{a},{b}},从而A∈B∧B∈C但A∈C。 2)假。例如A={a},B={a,{a}},C={{a},{{a}}},从而A∈B∧B∈C,但、A ∈C。 3)假。例如A={a},B={a,b},C={{a},a,b},从而ACB∧B∈.C,但A∈C。5.对任意集合A,B,C,确定下列命题的真假性: 1)如果A∈B∧B C,则A∈C。 2)如果A∈B∧B C,则A C。 3)如果A B∧B∈C,则A∈C。 3)如果A B∧B∈C,则A C。 [解] 1)真。因为B C x(x∈B x∈C),因此A∈B A∈C。 2)假。例如A={a},B={{a},{b}},C={{a},{b},{c}}从而A∈B∧B C,但A C。 3)假。例如A={a},B={{a,b}},C={{a,{a,b}},从而A B∧B∈C,但A C。 4)假。例如A={a},B={{a,b}},C={{a,b},b},从而A B∧B∈C,但A C。 6.求下列集合的幂集: 1){a,b,c} 2){a,{b,c}} 3){} 4){,{}} 5){{a,b},{a,a,b},{a,b,a,b}} [解] 1){,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} 2){,{a},{{b,c}},{a,{a,b}}} 3){,{}} 4){,{},{{}},{,{}}}

离散数学课后习题答案

习题参考解答 习题 1、(3)P:银行利率降低 Q:股价没有上升 P∧Q (5)P:他今天乘火车去了北京 Q:他随旅行团去了九寨沟 Q P? (7)P:不识庐山真面目 Q:身在此山中 Q→P,或~P→~Q (9)P:一个整数能被6整除 Q:一个整数能被3整除 R:一个整数能被2整除 T:一个整数的各位数字之和能被3整除 P→Q∧R ,Q→T 2、(1)T (2)F (3)F (4)T (5)F (6)T (7)F (8)悖论 习题 1(3) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R P Q P R P Q P R Q P R Q P → ∨ → ? ∨ ? ∨ ∨ ? ? ∨ ∨ ? ? ∨ →

(4) ()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右 2、不, 不, 能 习题 1(3) (())~((~)) (~)()~(~(~))(~~)(~) P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、 主合取范式 ) ()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(()) ()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧?∧?∨?∧∧?∨?∧?∧?=∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧?∧?∨∧?∧?∨?∧∧?∨?∧?∧?=∨?∧∧∨∨?∧?∧∨∨?∧∨?∧?=∧∨?∧∨?=∨?∧∨?=→∧→ ————主析取范式 (2) ()()(~)(~) (~(~))(~(~))(~~)(~)(~~) P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨Q 2、 ()~() (~)(~) (~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价 3、解:根据给定的条件有下述命题公式: (A →(CD ))∧~(B ∧C )∧~(C ∧D ) (~A ∨(C ∧~D )∨(~C ∧D ))∧(~B ∨~C )∧(~C ∨~D ) ((~A ∧~B )∨(C ∧~D ∧~B )∨(~C ∧D ∧~B )∨ (~A ∧~C )∨(C ∧~D ∧~C )∨(~C ∧D ∧~C ))∧(~C ∨~D )

离散数学习题解答

习题一 1.下列句子中,哪些是命题?在是命题的句子中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道? (1)中国有四大发明. 答:此命题是简单命题,其真值为1. (2)5是无理数. 答:此命题是简单命题,其真值为1. (3)3是素数或4是素数. 答:是命题,但不是简单命题,其真值为1. x+< (4)235 答:不是命题. (5)你去图书馆吗? 答:不是命题. (6)2与3是偶数. 答:是命题,但不是简单命题,其真值为0. (7)刘红与魏新是同学. 答:此命题是简单命题,其真值还不知道. (8)这朵玫瑰花多美丽呀! 答:不是命题. (9)吸烟请到吸烟室去! 答:不是命题. (10)圆的面积等于半径的平方乘以π. 答:此命题是简单命题,其真值为1. (11)只有6是偶数,3才能是2的倍数. 答:是命题,但不是简单命题,其真值为0. (12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除. 答:是命题,但不是简单命题,其真值为0. (13)2008年元旦下大雪. 答:此命题是简单命题,其真值还不知道. 2.将上题中是简单命题的命题符号化. 解:(1)p:中国有四大发明. (2)p:是无理数. (7)p:刘红与魏新是同学. (10)p:圆的面积等于半径的平方乘以π. (13)p:2008年元旦下大雪. 3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值. (1)5是有理数. 答:否定式:5是无理数.p:5是有理数.q:5是无理数.其否定式q的真值为1.

(2)25不是无理数. 答:否定式:25是有理数. p :25不是无理数. q :25是有理数. 其否定式q 的真值为1. (3)2.5是自然数. 答:否定式:2.5不是自然数. p :2.5是自然数. q :2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1. (4)ln1是整数. 答:否定式:ln1不是整数. p :ln1是整数. q :ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1. 4.将下列命题符号化,并指出真值. (1)2与5都是素数 答:p :2是素数,q :5是素数,符号化为p q ∧,其真值为1. (2)不但π是无理数,而且自然对数的底e 也是无理数. 答:p :π是无理数,q :自然对数的底e 是无理数,符号化为p q ∧,其真值为1. (3)虽然2是最小的素数,但2不是最小的自然数. 答:p :2是最小的素数,q :2是最小的自然数,符号化为p q ∧?,其真值为1. (4)3是偶素数. 答:p :3是素数,q :3是偶数,符号化为p q ∧,其真值为0. (5)4既不是素数,也不是偶数. 答:p :4是素数,q :4是偶数,符号化为p q ?∧?,其真值为0. 5.将下列命题符号化,并指出真值. (1)2或3是偶数. (2)2或4是偶数. (3)3或5是偶数. (4)3不是偶数或4不是偶数. (5)3不是素数或4不是偶数. 答: p :2是偶数,q :3是偶数,r :3是素数,s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨,其真值为1. (2) 符号化:p r ∨,其真值为1. (3) 符号化:r t ∨,其真值为0. (4) 符号化:q s ?∨?,其真值为1. (5) 符号化:r s ?∨?,其真值为0. 6.将下列命题符号化. (1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨. 答:p :小丽从筐里拿一个苹果,q :小丽从筐里拿一个梨,符号化为: p q ∨. (2)这学期,刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答:p :刘晓月选学英语,q :刘晓月选学日语,符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p :王冬生于1971年,q :王冬生于1972年,说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化 答:列出两种符号化的真值表:

屈婉玲版离散数学课后习题答案【1】

第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。 (1)p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 (2)(p?r)∧(﹁q∨s) ?(0?1)∧(1∨1) ?0∧1?0. (3)(?p∧?q∧r)?(p∧q∧﹁r) ?(1∧1∧1)? (0∧0∧0)?0 (4)(?r∧s)→(p∧?q) ?(0∧1)→(1∧0) ?0→0?1 17.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。并且,如果3是无理数,则2也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。” 答:p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。19.用真值表判断下列公式的类型: (4)(p→q) →(?q→?p) (5)(p∧r) ?(?p∧?q) (6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答:(4) p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式//最后一列全为1 (5)公式类型为可满足式(方法如上例)//最后一列至少有一个1 (6)公式类型为永真式(方法如上例)// 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.

(1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式: (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明(2)(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解: (1)主析取范式 (?p→q)→(?q∨p)

吉林大学离散数学课后习题答案

第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法: 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表,若表中对应公式所在列的每一取值全为1,这说明该公式在它的所有解释下都是真,因此是恒真的;若表中对应公式所在列的每

一取值全为0,这说明该公式在它的所有解释下都为假,因此是恒假的。 真值表法比较烦琐,但只要认真仔细,不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解:该公式的真值表如下: 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1,故

G恒真。 方法二.以基本等价式为基础,通过反复对一个公式的等价代换,使之最后转化为一个恒真式或恒假式,从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解:由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1,以及 ? (Q→P) ∧ P= ?(?Q∨ P)∧ P = Q∧? P∧ P=0 知,((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0,故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子,若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项,则G是恒真的;若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项,则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G,设其中有原子P1,P2,…,P n,令P1取1值,求G的真值,或为1,或为0,或成为新公式G1且其中只有原子P2,…,P n,再令P1取0值,求G真值,如此继续,到最终只含0或1为止,若最终结果全为1,则公式G恒真,若最终结果全为0,则公式G

离散数学课后习题答案(左孝凌版)

离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1,1-2解: a)是命题,真值为T。 b)不是命题。 c)是命题,真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题,真值为T。 f)是命题,真值为T。 g)是命题,真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 (2)解: 原子命题:我爱北京天安门。 复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。 (3)解: a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q (4)解: a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。

R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 (Q→R)∧(R→Q):一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。 (5) 解: a)设P:王强身体很好。Q:王强成绩很好。P∧Q b)设P:小李看书。Q:小李听音乐。P∧Q c)设P:气候很好。Q:气候很热。P∨Q d)设P: a和b是偶数。Q:a+b是偶数。P→Q e)设P:四边形ABCD是平行四边形。Q :四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P:语法错误。Q:程序错误。R:停机。(P∨ Q)→ R (6) 解: a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 (1)解:

离散数学课后答案

离散数学课后答案 习题一 6.将下列命题符号化。 (1)小丽只能从框里那一个苹果或一个梨. (2)这学期,刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答: (1)(p Λ?q )ν(?pΛq)其中p:小丽拿一个苹果,q:小丽拿一个梨(2)(p Λ?q )ν(?pΛq)其中p:刘晓月选学英语,q:刘晓月选学日语 14.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答: (1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16. 19.用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q

离散数学第四版课后标准答案

离散数学第四版课后答案 第1章习题解答 1.1 除(3),(4),(5),(11)外全是命题,其中,(1),(2),(8),(9), (10),(14),(15)是简单命题,(6),(7),(12),(13)是复合命题。 分析首先应注意到,命题是陈述句,因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中,(3)为疑问句,(5)为感叹句,(11)为祈使句,它们都不是陈述句,所以它们都不是命题。 其次,4)这个句子是陈述句,但它表示的判断结果是不确定。又因为(1),(2),(8),(9),(10),(14),(15)都是简单的陈述句,因而作为命题,它们都是简单命题。(6)和(7)各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题,(12)是由联结词“或”联结的复合命题,而(13)是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中,合取联结词有许多表述法,例如,“虽然……,但是……”、“不仅……,而且……”、“一面……,一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意,有时“和”或“与” 联结的是主语,构成简单命题。例如,(14)、(15)中的“与”与“和”是联结的主语,这两个命题均为简单命题,而不是复合命题,希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时,要根据命题所陈述的含义加以区分。 1.2 (1)p: 2是无理数,p为真命题。 (2)p:5能被2整除,p为假命题。 (6)p→q。其中,p:2是素数,q:三角形有三条边。由于p与q都是真 命题,因而p→q为假命题。 (7)p→q,其中,p:雪是黑色的,q:太阳从东方升起。由于p为假命

题,q为真命题,因而p→q为假命题。 (8)p:2000年10月1日天气晴好,今日(1999年2月13日)我们还不 知道p的真假,但p的真值是确定的(客观存在的),只是现在不知道而已。(9)p:太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定,是确定的。 1 (10)p:小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定,是确定的。 (12)p∨q,其中,p:4是偶数,q:4是奇数。由于q是假命题,所以,q 为假命题,p∨q为真命题。 (13)p∨q,其中,p:4是偶数,q:4是奇数,由于q是假命题,所以,p∨q 为假命题。 (14)p:李明与王华是同学,真值由具体情况而定(是确定的)。 (15)p:蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。 分析命题的真值是唯一确定的,有些命题的真值我们立即可知,有些则不能马上知道,但它们的真值不会变化,是客观存在的。 1.3 令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为 (1)p→q (2)p→?q (3)?p→q (4)?p→?q

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离散数学习题答案 习题一及答案:(P14-15) 14、将下列命题符号化: (5)李辛与李末是兄弟 解:设p :李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p (6)王强与刘威都学过法语 解:设p :王强学过法语;q :刘威学过法语;则命题符号化的结果是 p q ∧ (9)只有天下大雨,他才乘班车上班 解:设p :天下大雨;q :他乘班车上班;则命题符号化的结果是q p → (11)下雪路滑,他迟到了 解:设p :下雪;q :路滑;r :他迟到了;则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p :2+3=5. q :大熊猫产在中国. r :太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值: (4)()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解:p=1,q=1,r=0, ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??, (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型: (2)()p p q →?→? 解:列出公式的真值表,如下所示: 20、求下列公式的成真赋值:

(4)()p q q ?∨→ 解:因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是: ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有:01,10,11。 习题二及答案:(P38) 5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ?→∧∧ 解:原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨,此即公式的主析取范式, 所以成真赋值为011,111。 6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: (2)()()p q p r ∧∨?∨ 解:原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?,此即公式的主合取范式, 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式: (1)()p q r ∧∨ 解:原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨,此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ,2m ,4m ,所以主合取范式中含有三个极大项0M ,2M ,4M ,故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式:

离散数学课后习题答案_(左孝凌版)

1-1,1-2 (1)解: a)是命题,真值为T。 b)不是命题。 c)是命题,真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题,真值为T。 f)是命题,真值为T。 g)是命题,真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 (2)解: 原子命题:我爱北京天安门。 复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。 (3)解: a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q (4)解: a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 (Q→R)∧(R→Q):一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。 (5) 解: a)设P:王强身体很好。Q:王强成绩很好。P∧Q b)设P:小李看书。Q:小李听音乐。P∧Q c)设P:气候很好。Q:气候很热。P∨Q d)设P:a和b是偶数。Q:a+b是偶数。P→Q

e)设P:四边形ABCD是平行四边形。Q :四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P:语法错误。Q:程序错误。R:停机。(P∨Q)→R (6) 解: a)P:天气炎热。Q:正在下雨。P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。R:我在睡觉。P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 (1)解: a)不是合式公式,没有规定运算符次序(若规定运算符次序后亦可作为合式公式) b)是合式公式 c)不是合式公式(括弧不配对) d)不是合式公式(R和S之间缺少联结词) e)是合式公式。 (2)解: a)A是合式公式,(A∨B)是合式公式,(A→(A∨B))是合式公式。这个过程可以简记为:A;(A∨B);(A→(A∨B)) 同理可记 b)A;┓A ;(┓A∧B) ;((┓A∧B)∧A) c)A;┓A ;B;(┓A→B) ;(B→A) ;((┓A→B)→(B→A)) d)A;B;(A→B) ;(B→A) ;((A→B)∨(B→A)) (3)解: a)((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b)((B→A)∨(A→B))。 (4)解: a) 是由c) 式进行代换得到,在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q.

离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案

离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。 (1)p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 (2)(p?r)∧(﹁q∨s) ?(0?1)∧(1∨1) ?0∧1?0. (3)(?p∧?q∧r)?(p∧q∧﹁r) ?(1∧1∧1)? (0∧0∧0)?0 (4)(?r∧s)→(p∧?q) ?(0∧1)→(1∧0) ?0→0?1 17.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。并且,如果3是无理数,则2也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。” 答:p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。19.用真值表判断下列公式的类型: (4)(p→q) →(?q→?p) (5)(p∧r) ?(?p∧?q) (6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答:(4) p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 (5)公式类型为可满足式(方法如上例) (6)公式类型为永真式(方法如上例) 第二章部分课后习题参考答案

3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式: (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明(2)(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)

离散数学最全课后答案(屈婉玲版)

1.1.略 1.2.略 1.3.略 1.4.略 1.5.略 1.6.略 1.7.略 1.8.略 1.9.略 1.10.略 1.11.略 1.12.将下列, 并给出各命题的: (1)2+2=4 当且仅 当3+3=6. (2)2+2=4 的充要 条件是3+3 6. (3)2+2 4 与3+3 =6 互为充要条件. (4)若2+24, 则 3+36, 反之亦然. (1)p q, 其中, p: 2+2=4, q: 3+3=6, 真值为1. (2)p q,

其中, p: 2+2=4, q: 3+3=6, 真值为0. (3) p q, 其中, p: 2+2=4, q: 3+3=6, 真值为0. (4) p q, 其中, p: 2+2=4, q: 3+3=6, 真值为1. 1.13.将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1)若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则明天是星期三. 令p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三. (1) p q 1. (2) q p 1. (3) p q 1.

(4) p r 当p 0 时为真; p 1 时为假. 1.14.将下 列 . (1) 刘 晓月跑得快, 跳得高. (2) 老王是山东 人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽 绒服. (4)王欢与李乐组成一个 小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学 过法语. (7)他一面 吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他 迟到了. (12)2 与4 都是素数, 这是不对的. (13)“2或4 是素数, 这是不对的”是不对的.

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离散数学习题答案 习题一及答案:(P14-15) 14、将下列命题符号化: (5)李辛与李末是兄弟 解:设p :李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p (6)王强与刘威都学过法语 解:设p :王强学过法语;q :刘威学过法语;则命题符号化的结果是 p q ∧ (9)只有天下大雨,他才乘班车上班 解:设p :天下大雨;q :他乘班车上班;则命题符号化的结果是q p → (11)下雪路滑,他迟到了 解:设p :下雪;q :路滑;r :他迟到了;则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p :2+3=5. q :大熊猫产在中国. r :太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值: (4)()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解:p=1,q=1,r=0, ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??, (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型: (2)()p p q →?→? 解:列出公式的真值表,如下所示: p q p ? q ? ()p p →? ()p p q →?→? 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 由真值表可以看出公式有3个成真赋值,故公式是非重言式的可满足式。 20、求下列公式的成真赋值:

离散数学课后习题答案_(左孝

证明 设A 上定义的二元关系R 为: <<x,y >, <u,v >>∈R ?x y =u v ① 对任意<x,y >∈A ,因为x y =x y ,所以 <<x,y >, <x,y >>∈R 即R 是自反的。 ② 设<x,y >∈A ,<u,v >∈A ,若 <<x,y >, <u,v >>∈R ?x y =u v ?u v =x y ?<<u,v >,<x,y >>∈R 即R 是对称的。 ③ 设任意<x,y >∈A ,<u,v >∈A ,<w,s >∈A ,对 <<x,y >, <u,v >>∈R ∧<<u,v >, <w,s >>∈R ?(x y =u v )∧(u v =w s )?x y =w s ?<<x,y >, <w,s >>∈R 故R 是传递的,于是R 是A 上的等价关系。

3-10.6 设R是集合A 上的对称和传递关系,证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在b,使在R之中,则R是一个等价关系。 证明对任意a∈A,必存在一个b∈A,使得<a,b>∈R. 因为R是传递的和对称的,故有: <a,b>∈R∧<b, c>∈R?<a, c>∈R?<c,a>∈R 由<a,c>∈R∧<c, a>∈R?<a,a>∈R 所以R在A上是自反的,即R是A上的等价关系。 3-10.7 设R1和R2是非空集合A上的等价关系,试确定下述各式,哪些是A上的等价关系,对不是的式子,提供反例证明。a)(A×A)-R1; b)R1-R2; c)R12; d) r(R1-R2)(即R1-R2的自反闭包)。 解 a)(A×A)-R1不是A上等价关系。例如: A={a,b},R1={<a,a>,<b,b>}

离散数学课后习题答案二

习题3.7 1. 列出关系}6|{=???∈><+ d c b a d c b a d c b a 且,,,,,,Z 中所有有序4元组。 解 }6|{=???∈><+ d c b a d c b a d c b a 且,,,,,,Z ,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><= ><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,1 2. 列出二维表 3.18所表示的多元关系中所有5元组。假设不增加新的5元组,找出二维表3.18所有的主键码。 表3.18 航班信息 航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛 09:10 Nadir 322 34 底特律 09:44 解 略 3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组>

离散数学(左孝凌)课后习题解答(详细)

离散数学~ 习题1.1 1.下列句子中,哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题,指出它的真值。 ⑴中国有四大发明。 ⑵计算机有空吗? ⑶不存在最大素数。 ⑷21+3<5。 ⑸老王是山东人或河北人。 ⑹2与3都是偶数。 ⑺小李在宿舍里。 ⑻这朵玫瑰花多美丽呀! ⑼请勿随地吐痰! ⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。 ⑾只有6是偶数,3才能是2的倍数。 ⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。 ⒀如果天下大雨,他就乘班车上班。 解:⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题,其中⑴⑶⑽⑾是真命题,⑷⑹⑿是假命题,⑸⑺⒀的真值目前无法确定;⑵⑻⑼不是命题。 2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 ⑴李辛与李末是兄弟。 ⑵因为天气冷,所以我穿了羽绒服。 ⑶天正在下雨或湿度很高。 ⑷刘英与李进上山。 ⑸王强与刘威都学过法语。 ⑹如果你不看电影,那么我也不看电影。 ⑺我既不看电视也不外出,我在睡觉。 ⑻除非天下大雨,否则他不乘班车上班。 解:⑴本命题为原子命题; ⑵p:天气冷;q:我穿羽绒服; ⑶p:天在下雨;q:湿度很高; ⑷p:刘英上山;q:李进上山; ⑸p:王强学过法语;q:刘威学过法语; ⑹p:你看电影;q:我看电影; ⑺p:我看电视;q:我外出;r:我睡觉; ⑻p:天下大雨;q:他乘班车上班。

3. 将下列命题符号化。 ⑴他一面吃饭,一面听音乐。 ⑵3是素数或2是素数。 ⑶若地球上没有树木,则人类不能生存。 ⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 ⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。 ⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。 ⑺如果a和b是偶数,则a+b是偶数。 解:⑴p:他吃饭;q:他听音乐;原命题符号化为:p∧q ⑵p:3是素数;q:2是素数;原命题符号化为:p∨q ⑶p:地球上有树木;q:人类能生存;原命题符号化为:?p→?q ⑷p:8是偶数;q:8能被3整除;原命题符号化为:p?q ⑸p:停机;q:语法错误;r:程序错误;原命题符号化为:q∨r→p ⑹p:四边形ABCD是平行四边形;q:四边形ABCD的对边平行;原命题符号化为:p?q。 ⑺p:a是偶数;q:b是偶数;r:a+b是偶数;原命题符号化为:p∧q→r 4. 将下列命题符号化,并指出各复合命题的真值。 ⑴如果3+3=6,则雪是白的。 ⑵如果3+3≠6,则雪是白的。 ⑶如果3+3=6,则雪不是白的。 ⑷如果3+3≠6,则雪不是白的。 ⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 ⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制) ⑺若两圆O1,O2的面积相等,则它们的半径相等,反之亦然。 ⑻当王小红心情愉快时,她就唱歌,反之,当她唱歌时,一定心情愉快。 解:设p:3+3=6。q:雪是白的。 ⑴原命题符号化为:p→q;该命题是真命题。 ⑵原命题符号化为:?p→q;该命题是真命题。 ⑶原命题符号化为:p→?q;该命题是假命题。 ⑷原命题符号化为:?p→?q;该命题是真命题。 ⑸p:3是无理数;q:加拿大位于亚洲;原命题符号化为:p?q;该命题是假命题。 ⑹p:2+3=5;q:3是无理数;原命题符号化为:p?q;该命题是真命题。 ⑺p:两圆O1,O2的面积相等;q:两圆O1,O2的半径相等;原命题符号化为:p?q;该命题是真命题。 ⑻p:王小红心情愉快;q:王小红唱歌;原命题符号化为:p?q;该命题是真命题。

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