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高二数学新人教版A必修5 3.4《基本不等式》(3课时)

高二数学新人教版A必修5  3.4《基本不等式》(3课时)
高二数学新人教版A必修5  3.4《基本不等式》(3课时)

课题: §3.4基本不等式

2

a b ab +≤

第1课时

授课类型:新授课【教学目标】

1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;

3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣【教学重点】

2a b

ab +≤

的证明过

程;

【教学难点】

2a b

ab +≤

等号成立条件

【教学过程】

1.课题导入

基本不等式

2a b

ab +≤

的几何背景:

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系

2.讲授新课

1.探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三

角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22

a b +。这样,4个直角三角形的

面积的和是2ab ,正方形的面积为22

a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:2

2

2a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有

222a b ab +=。

2.得到结论:一般的,如果)

""(2R,,2

2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a

3.思考证明:你能给出它的证明吗?

证明:因为 2

2

2

)

(2b a ab b a -=-+

22

,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以,0)(2≥-b a ,即

.2)(2

2ab b a ≥+

4.1)2

a b

+≤

特别的,如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ,可得a b +≥,

(a>0,b>0)2

a b

+≤

2)2

a b +≤

用分析法证明:

要证 2a b

+≥ (1)

只要证 a+b ≥ (2)

要证(2),只要证 a+b- ≥0 (3)要证(3),只要证 ( - )2

(4)显然,(4)是成立的。当且仅当a=b 时,(4)中的等号成立。

3)2a b

+≤

的几何意义

探究:课本第110页的“探究”

在右图中,AB 是圆的直径,点C 是AB 上的一点,AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE ,

连接AD 、BD 2a b

+≤

的几何解释吗?

易证Rt △A CD ∽Rt △D CB ,那么CD 2

=CA ·CB 即CD =ab .

这个圆的半径为2b a +,显然,它大于或等于CD ,即ab

b

a ≥+2,其中当且仅当点

C 与圆心重合,即a =b 时,等号成立.

2a b

+≤

几何意义是“半径不小于半弦”

评述:1.如果把2b

a +看作是正数a 、

b 的等差中项,ab 看作是正数a 、b 的等比中

项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中,我们称2b

a +为a 、

b 的算术平均数,称ab 为a 、b 的几何平均数.

本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.[补充例题]

例1 已知x 、y 都是正数,求证:

(1)y x x y +

≥2;

(2)(x +y )(x 2

+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3

.

分析:在运用定理:ab

b

a ≥+2时,注意条件a 、

b 均为正数,结合不等式的性

质(把握好每条性质成立的条件),进行变形.

解:∵x,y都是正数∴y

x

>0,x

y

>0,x2>0,y2>0,x3>0,y3>0

(1)

x

y

y

x

x

y

y

x

?

+2

=2即

x

y

y

x

+

≥2.

(2)x+y≥2xy

>0 x2+y2≥2

2

2y

x

>0 x3+y3≥

2

3

3y

x

>0

∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2

xy

·2

2

2y

x

·2

3

3y

x

=8x3y3即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.

3.随堂练习

1.已知a、b、c都是正数,求证

(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

分析:对于此类题目,选择定理:

ab

b

a

+

2(a>0,b>0)灵活变形,可

求得结果.

解:∵a,b,c都是正数

∴a+b≥2ab>0

b+c≥2bc>0

c+a≥2ac>0

∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2ab·2bc·2ac=8abc 即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

4.课时小结

本节课,我们学习了重要不等式a 2+b 2

≥2ab ;两正数a 、b 的算术平均数(2b

a +),几何平均数(a

b )及它们的关系(2b

a +≥a

b ).它们成立的条件不同,前者

只要求a 、b 都是实数,而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面

的等价变形来解决问题:ab ≤

222b a +,ab ≤(2b a +)2.5.评价设计

课本第113页习题[A]组的第1题【板书设计】

课题: §3.42

a b

+≤

第2课时

授课类型:新授课【教学目标】

12a b

+≤

;会应用此不等式求某些函数

的最值;能够解决一些简单的实际问题

22a b

+≤

,并会

用此定理求某些函数的最大、最小值。

3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】

2a b

+≤

的应用

【教学难点】

2a b

+≤

求最大值、最小值。

【教学过程】

1.课题导入

1.重要不等式:

如果

)""(2R,,2

2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2.基本不等式:如果a,b 是正数,那么).

""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 3.我们称

b a b

a ,2为+的算术平均数,称

b a ab ,为的几何平均数.

ab

b a ab b a ≥+≥+2

222和

成立的条件是不同的:前者只要求a,b 都是实数,而

后者要求a,b 都是正数。

2.讲授新课

例1(1)用篱笆围成一个面积为100m 2

的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短的篱笆是多少?

(2)段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?

解:(1)设矩形菜园的长为x m ,宽为y m ,则xy=100,篱笆的长为2(x+y ) m 。

由2x y

+≥

可得 x y +≥ 2()40x y +≥。等号当且仅当x=y 时成立,此时x=y=10.

因此,这个矩形的长、宽都为10m 时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是40m.

(2)解法一:设矩形菜园的宽为x m ,则长为(36-2x )m ,其中0<x <21,

其面积S =x (36-2x )=21·2x (36-2x )≤2

12

2236236()28x x +-=

当且仅当2x =36-2x ,即x =9时菜园面积最大,即菜园长9m ,宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2

解法二:设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m 2

。由

18

922x y +≤

==,可得 81

xy ≤当且仅当x=y,即x=y=9时,等号成立。

因此,这个矩形的长、宽都为9m 时,菜园的面积最大,最大面积是81m

2

归纳:1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a ,b ∈R +

,且a +b

=M ,M 为定值,则ab ≤42

M ,等号当且仅当a =b 时成立.

2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a ,b ∈R +

,且ab =P ,

P 为定值,则a +b ≥2P ,等号当且仅当a =b 时成立.

例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m 3,深为3m ,如果池底

每1m 2的造价为150元,池壁每1m 2的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?

分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理。

解:设水池底面一边的长度为x m ,水池的总造价为l 元,根据题意,得

)1600

(720240000x

x l +

+=297600

40272024000016002720240000=??+=?

?+≥x

x 当

.2976000,40,1600

有最小值时即l x x

x ==

因此,当水池的底面是边长为40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元

评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式的建立,又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件。归纳:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行:

(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;

(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案.

3.随堂练习

1.已知x ≠0,当x 取什么值时,x 2

+281

x 的值最小?最小值是多少?

2.课本第113页的练习1、2、3、4

4.课时小结

本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值,是值得重视的一种方法,但在具体求解时,应注意考查下列三个条件:(1)函数的解析式中,各项均为正数;(2)函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;(3)函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件:一正

二定三取等。

5.评价设计

课本第113页习题[A]组的第2、4题【板书设计】

课题: §3.42

a b +≤

第3课时

授课类型:习题课【教学目标】

1.知识与技能:进一步掌握基本不等式

2a b

+≤

;会用此不等式证明不等式,

会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题;

22a b

+≤

,并会用此

定理求某些函数的最大、最小值。

3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】

2a b

+≤

,会用此不等式证明不等式,会用此不等式求某些函数

的最值

【教学难点】

利用此不等式求函数的最大、最小值。【教学过程】

1.课题导入

1.基本不等式:如果a,b 是正数,那么).

""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 2

2a b

+≤

求最大(小)值的步骤。

2.讲授新课

1)利用基本不等式证明不等式

例1 已知m>0,求证24

624

m m +≥。

[思维切入]因为m>0,所以可把24

m 和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基

本不等式。

[证明]因为 m>0,,由基本不等式得

246221224m m +≥==?=当且仅当24

m =6m ,即m=2时,取等号。

规律技巧总结注意:m>0这一前提条件和24

6m

m

?

=144为定值的前提条件。

3.随堂练习1

[思维拓展1] 已知a,b,c,d都是正数,求证()()4

ab cd ac bd abcd ++≥.

[思维拓展2] 求证

22222 ()()() a b c d ac bd

++≥+.

例2 求证:

4

7

3

a

a

+≥-.

[思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约

掉字母a,而左边

44

(3)3

33

a a

a a

+=+-+

--.这样变形后,在用基本不等式即可得

证.

[证明

]

44

3(3)3337 33

a

a a

+=+-+≥+=+= --

当且仅当

4

3

a-=a-3即a=5时,等号成立.

规律技巧总结通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.

2)利用不等式求最值

例3 (1) 若x>0,求

9

()4

f x x

x

=+

的最小值;

(2)若x<0,求

9

()4

f x x

x

=+

的最大值.

[思维切入]本题(1)x>0和

9

4x

x

?

=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.

解 1) 因为 x>0 由基本不等式得

9()412f x x x =+

≥==,当且仅当94x x =即x=32时, 9

()4f x x x =+

取最小值12.

(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:

99()(4)(4)()12

f x x x x x -=-+=-+-≥==,

所以 ()12f x ≤.

当且仅当

94x x -=-

即x=-32时, 9

()4f x x x =+

取得最大-12.

规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

随堂练习2

[思维拓展1] 求

9

()45f x x x =+

-(x>5)的最小值.

[思维拓展2] 若x>0,y>0,且281

x y +=,求xy 的最小值.

4.课时小结

2a b

+≤

证明不等式和求函数的最大、最小值。

5.评价设计

1.证明:2

2

222a b a b

++≥+

2.若1->x ,则x 为何值时11

++

x x 有最小值,最小值为几?

【板书设计】

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高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b,则90C <;③若 222a b c +<,则90C >. 注:正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标

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11.已知函数满足:则应满足()A.B.C.D. 12.已知数列{a n}是公差为2的等差数列,且成等比数列,则为()A.-2B.-3C.2D.3 13.等差数列的前10项和,则等于() A.3 B.6 C.9 D.10 14.等差数列的前项和分别为,若,则的值为()A.B.C.D. 第II卷(非选择题) 二、填空题 15.已知为等差数列,且-2=-1,=0,则公差= 16.在中,,,面积为,则边长=_________. 17.已知中,,,,则面积为_________. 18.若数列的前n项和,则的通项公式____________ 19.直线下方的平面区域用不等式表示为________________. 20.函数的最小值是_____________. 21.已知,且,则的最小值是______. 三、解答题 22.解一元二次不等式 (1)(2) 23.△的角、、的对边分别是、、。 (1)求边上的中线的长;

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(3)三角形中大边对大角,小边对小角; (4)正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ,其中R 是△ABC 外接圆半径. (5)在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. (6)三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中,h 是BC 边上高,P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 (1)已知两角及一边,求其它边角,常选用正弦定理. (2)已知两边及其中一边的对角,求另一边的对角,常选用正弦定理. (3)已知三边,求三个角,常选用余弦定理. (4)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角,常选用余弦定理. (5)已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是:①化边为角;②化角为边. 4、三角形中的三角变换 (1)角的变换 因为在△ABC 中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC ;cos(A+B)=-cosC ;tan(A+B)=-tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+; (2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。 r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半 (3)在△ABC 中,熟记并会证明:∠A ,∠B ,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°;△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ,∠B ,∠C 成等差数列且a ,b ,c 成等比数列.

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高二数学必修3测试卷 2012/12/24 . 参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式x b y a x n x y x n y x b n i i n i i i -=-?-= ∑∑==,1 2 2 1 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列对一组数据的分析,不正确的说法是() A 、数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定 B 、数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定 C 、数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定 D 、数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定 2.设m=10,n=20,则可以实现m 、n 的值互换的程序是() =10n=20n=mm=n =10n=20s=mn=s =10n=20s=mm=nn=s =10n=20s=mt=nn=sm=n 3下图是容量为200的样本的频率分布直方图,那么样 本数据落在[)10,14内的频率,频数分别为() A .;64B .;62 C .;64D .;72 4.某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是() A .至多有一次中靶 B .两次都中靶 C .两次都不中靶 D .只有一次中靶 5.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点,公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为(1);在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是() A 、分层抽样法,简单随机抽样法B 、分层抽样法,系统抽样法 C 、系统抽样法,分层抽样法D 、简单随机抽样法,分层抽样法 6.程序框图符号“”可用于() A 、输出a=10 B 、赋值a=10 C 、判断a=10 D 、输入a=10 7.先后抛掷两颗骰子,设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1,P 2,P 3,则() A .P 1=P 2

高二数学必修5全套教案(人教版)

1.1.1正弦定理 ●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法; 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系, 引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合 情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 一.课题导入 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二.讲授新课 [探索研究] 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有 sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == 思考1:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,(1)当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义, 有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , C 同理可得sin sin c b C B = , b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B (2)当?ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导) 思考2:还有其方法吗? 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这问题。 C A B B C A

高二数学必修五试卷

高二年级数学必修五综合检测试卷 姓名 得分 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分). 1.在等差数列{}n a 中,若210,a a 是方程2 1280x x +-=的两个根,那么6a 的值( ) A .-12 B .-6 C .12 D .6 2.△ABC 中, =cos cos A a B b ,则△ABC 一定是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等边三角形 3.若 11 0a b <<,则下列不等式中,正确的不等式有( ) [ ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b a a b +> 个 个 个 个 4.若}{n a 是等比数列,124,5128374=+-=a a a a 且公比q 为整数,则10a 等于( ) A 、-256 B 、256 C 、-512 D 、512 5.已知△ABC 中,a =4,b =43,∠A =30°,则∠B 等于 ( ) A .30° B .30°或150° C .60° D .60°或120 6. 下列不等式中,对任意x ∈R 都成立的是 ( ) A . 2111x <+ B .x 2+1>2x C .lg(x 2+1)≥lg2x D .x x +244 ≤1 < 7. 二次不等式2 0ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是( ) A . 00a ?>??>? B. 0a >???? D. 0 0a

人教版高中数学必修5期末测试题

期末测试题 考试时间:90分钟 试卷满分:100分 一、选择题:本大题共14小题,每小题4分,共56分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列3,7,11…中,第5项为( ). A .15 B .18 C .19 D .23 2.数列{}n a 中,如果n a =3n (n =1,2,3,…) ,那么这个数列是( ). A .公差为2的等差数列 B .公差为3的等差数列 C .首项为3的等比数列 D .首项为1的等比数列 3.等差数列{a n }中,a 2+a 6=8,a 3+a 4=3,那么它的公差是( ). A .4 B .5 C .6 D .7 4.△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =3,b =4,∠C =60°, 则c 的值等于( ). A .5 B .13 C .13 D .37 5.数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N +),那么a 4的值为( ). A .4 B .8 C .15 D .31 6.△ABC 中,如果A a tan =B b tan =C c tan ,那么△ABC 是( ). A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰直角三角形 D .钝角三角形 7.如果a >b >0,t >0,设M =b a ,N =t b t a ++,那么( ). A .M >N B .M <N C .M =N D .M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8.如果{a n }为递增数列,则{a n }的通项公式可以为( ). A .a n =-2n +3 B .a n =-n 2-3n +1 C .a n = n 21 D .a n =1+log 2n

高中数学必修五综合练习

高中数学必修五综合练习3 文 班 考号 姓 名 A 卷 一.选择题(本大题共11小题,每小题5分,共55分). 1.如果R b a ∈,,并且b a >,那么下列不等式中不一定能成立的是( ) A.b a -<- B.21->-b a C.a b b a ->- D.ab a >2 2.等比数列{}n a 中,5145=a a ,则111098a a a a =( ) A.10 B.25 C.50 D.75 3.在ABC ?中,若b 2 + c 2 = a 2 + bc , 则A =( ) A .30? B .45? C .60? D .120? 4.已知数列{}n a 中,11=a ,31+=+n n a a ,若2008=n a ,则n =( ) A.667 B.668 C.669 D.670 5.等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若,100,302==n n S S 则=n S 3( ) A.130 B.170 C.210 D.260 6.在⊿ABC 中,A =45°,B =60°,a=2,则b 等于( ) A.6 B.2 C.3 D. 62 7.若将20,50,100都分别加上同一个常数,所得三个数依原顺序成等比数列,则此等比数列的公比是( ) A. 21 B. 23 C. 34 D. 3 5 8.关于x 的不等式x x x 352 >--的解集是( ) A.}1x 5{-≤≥或x x B.}1x 5{-<>或x x C.}5x 1{<<-x D.}5x 1{≤≤-x 9.在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为060,塔基的俯角为0 45,那么这座塔吊的高是( ) A.)3 3 1(10+ B.)31(10+ C.)26(5+ D.)26(2+ 10.已知+ ∈R b a ,且 11 1=+b a ,则 b a +的最小值为( ) A.2 B.8 C. 4 D. 1

高二数学必修五知识点归纳

高二数学必修五知识点归纳 第一章解三角形 1、三角形的性质: ①.A+B+C=, AB2 C2 sin AB2 cos C2 ②.在ABC中, ab>c , ab<c ; A>BsinA>sinB, A>BcosA<cosB, a >b A>B ③.若ABC为锐角,则AB> ,B+C > ,A+C > a2b2>c2,b2c2>a2,a2+c2>b2 2、正弦定理与余弦定理:①. (2R为ABC外接圆的直径) a2Rsin A、b2Rsin B、c2RsinC sinA a2R

12 b2R 、 sinC 12 c2R 12 acsinB 面积公式:SABC absinC bcsinA ②.余弦定理:abc2bccosA、bac2accosB、cab2abcosC bca 2bc cosA、cosB ac b 2ac 222 、cosC abc

222 3第二章数列 1、数列的定义及数列的通项公式: ①. anf(n),数列是定义域为N 的函数f(n),当n依次取1,2,时的一列函数值② i.归纳法 若S00,则an不分段;若S00,则an分段iii. 若an1panq,则可设an1mp(anm)解得m,得等比数列anm Snf(an) iv. 若Snf(an),先求a 1得到关于an1和an的递推关系式 Sf(a)n1n1Sn2an1 例如:Sn2an1先求a1,再构造方程组:(下减上)an12an12an Sn12an11 2.等差数列: ① 定义:a n1an=d(常数),证明数列是等差数列的重要工具。② 通项d0时,an为关于n的一次函数; d>0时,an为单调递增数列;d<0时,a n为单调递减数列。 n(n1)2 ③ 前nna1

人教版A版高中数学必修三教案新部编本 全册

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科:_____________ 任教年级:_____________ 任教老师:_____________ xx市实验学校

第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2)

1.1.1 算法的概念(第1课时) (3) 1.1 算法与程序框图(共3课时) 1.1.1算法的概念(第1课时) 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点; 2.学会用自然语言描述算法,体会算法思想; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言

算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. 同时,算法有利于发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤) 例2:给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解: 算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步:计算1+2,得到3; 第二步:将第一步中的运算结果3与3相加,得到6; 第三步:将第二步中的运算结果6与4相加,得到10; 第四步:将第三步中的运算结果10与5相加,得到15. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+n =2 ) 1(+n n 直接计算 第一步:取n =5; 第二步:计算 2 ) 1(+n n ; 第三步:输出运算结果. (说明算法不唯一) 例3:(课本第2页,解二元一次方程组的步骤) (可推广到解一般的二元一次方程组,说明算法的普遍性) 例4:用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: 第一步:根据题意,选择标准方程或一般方程; 第二步:根据条件列出关于a ,b ,r 或D ,E ,F 的方程组; 第三步:解出a ,b ,r 或D ,E ,F ,代入标准方程或一般方程. 三、算法的概念 通过对以上几个问题的分析,我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤,通过实施这些步骤来解决问题,通常把这些 在数学中,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序 或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成 .

人教版高二数学必修五学案(全套)

加油吧,少年,拼一次,无怨无悔! 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题. 学习过程 一、课前准备 试验:固定?ABC的边CB及∠B,使边AC绕着顶点C转动. 思考:∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而.能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二、新课导学 ※学习探究 探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直 角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在Rt?ABC中,设BC=a, AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,

有 sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == . ( 探究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义, 有CD =sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , 同理可得sin sin c b C B = , 从而sin sin a b A B = sin c C =. 类似可推出,当?ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导. 新知:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即 sin sin a b A B = sin c C =. 试试: (1)在ABC ?中,一定成立的等式是( ). A .sin sin a A b B = B .cos cos a A b B =

最新高中数学必修1到必修5综合试题资料

数学综合试卷 一、 选择题(共10题,每题3分,总计30分) 1、执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于( D ) A. [6,2]-- B. [5,1]-- C. [4,5]- D. [3,6]- 2、一台机床有 的时间加工零件A ,其余时间加工零件B ,加工A 时,停机的概率是,加工零件B 时,停机的概率为 ,则这台机床 停机的概率为( A ) A. B. C. D. 3、设集合{|32}M m m =∈-<

2020年高二数学必修三知识点归纳范文

【一】 简单随机抽样的定义: 一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。 简单随机抽样的特点: (1)用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为 (2)简单随机抽样的特点是,逐个抽取,且各个个体被抽到的概率相等; (3)简单随机抽样方法,体现了抽样的客观性与公平性,是其他更复杂抽样方法的基础. (4)简单随机抽样是不放回抽样;它是逐个地进行抽取;它是一种等概率抽样 简单抽样常用方法: (1)抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N),并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作),然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时每次从中抽一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本适用范围:总体的个体数不多时优点:抽签法简便易行,当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.(2)随机数表法:随机数表抽样“三步曲”:第一步,将总体中的个体编号;第二步,选定开始的数字;第三步,获取样本号码概率. 【二】 一.随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念: (1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件; (4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;

人教版高中数学必修5全册导学案

§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题. CB 及∠B ,使边AC 绕着 顶点C 转动. 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 .能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在Rt ?ABC 中,设BC =a ,AC =b ,AB =c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == . ( 探究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是 CD ,根据任意角三角函数的定义, 有CD =sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , 同理可得sin sin c b C B = , 从而sin sin a b A B =sin c C =. 类似可推出,当?ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导. 新知:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即 sin sin a b A B = sin c C =. 试试: (1)在ABC ?中,一定成立的等式是( ) . A .sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = (2)已知△ABC 中,a =4,b =8,∠A =30°,则∠B 等于 . [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sin a k A =, ,sin c k C =; (2)sin sin a b A B =sin c C =等价于 ,sin sin c b C B =,sin a A =sin c C . (3)正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A a B =; b = . ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值, 如sin sin a A B b =;sin C = . (4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它 的边和角的过程叫作解三角形. ※ 典型例题 例1. 在ABC ?中, 已知45A =,60B =,42a =cm ,解三角形.

北师大版高中数学必修5综合测试题及答案

高中数学必修5 命题人:魏有柱 时间:100分钟 一、选择题 1.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是() (A )a n =n 2-(n-1) (B )a n =n 2-1 (C )a n =2)1(+n n (D )a n =2 )1(-n n 2.已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的() (A )第12项 (B )第13项 (C )第14项 (D )第15项 3.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 () A . B . C . D . 4.等差数列{a n }共有2n+1项,其中奇数项之和为4,偶数项之和为3,则n 的值是 () A.3 B.5 C.7 D.9 5.△ABC 中,cos cos A a B b =,则△ABC 一定是() A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等边三角形 6.已知△ABC 中,a =4,b =43,∠A =30°,则∠B 等于() A .30° B .30°或150° C .60° D .60°或120° 7.在△ABC 中,∠A =60°,a=6,b=4,满足条件的△ABC( A ) (A)无解 (B)有解 (C)有两解 (D)不能确定 8.若110a b <<,则下列不等式中,正确的不等式有 () ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b a a b +> A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.下列不等式中,对任意x ∈R 都成立的是 () A .2111x <+ B .x 2+1>2x C .lg(x 2+1)≥lg2x D .244 x x +≤1 10.下列不等式的解集是空集的是(C) A.x 2-x+1>0 B.-2x 2+x+1>0 C.2x-x 2>5 D.x 2+x>2 11.不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥??≤≤?表示的平面区域是 ( )

数学必修5公式

一、解三角形1.正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C = = = 2.三角形面积公式 111sin sin sin 2 2 2 A B C S bc A ac B ab C = == 3.余弦定理2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c a A bc +-= 4.韦达定理1212b x x a c x x a ? +=-?????=?? 二、数列1.等差数列A P 定义:()12n n a a d n n N d -+-=≥∈,,是常数 通项公式:()()()111n m a a n d a n m d pn q p d q a d =+-=+-=+==-, 等差中项:2 a b A a A b A P += ?,,成 性质:若m n p q +=+,则()m n p q a a a a m n p q N ++=+∈,,, 若{}n a 为A P ,则123456789a a a a a a a a a ++++++,,,…仍成A P 前n 项和:() ()12 1112 2 22n n n a a n n d d d S na An Bn A B a +-??= =+ =+==- ?? ?, 性质:当项数为2n 时,S S nd -=偶奇22n n n n n S S S AP d n d --'=23,,成, 2.等比数列G P 定义: () 1 20n n a q n n N q a +-=≥∈≠,,通项公式: 1 1 10n n m n m n m a a a q a q c q c q ---??=?=?=?=≠ ??? 等比中项:)0g a b a g b GP =≠?,,,成 性质:若m n p q +=+,则()m n p q a a a a m n p q N +=∈,,,21122n n n n a a a a a -+-+=?=? 2 1726354a a a a a a a ?=?=?=前n 项和:()11111111 n n n a q a a q q S q q na q ?--?=≠=?--? =?,,性质:当项数为2n 时, S q S =偶奇 ;2n n n n n n S S S G P q q --'=23,,成,三、不等式1.性质a b b a >?>?>, a b a c b c >?+>+0a b c ac bc >>?>,0a b c ac bc >>?+>+, a b c d a c b d >-,00a b c d ac bd >>>>?>,01n n a b a b n N n +>>?>∈>,, 01a b n N n +>>? > ∈>, 2.均值不等式如果a b R + ∈, ,则 2 a b +≥,当且仅当 a b =时,等式成立如果a b R +∈,,则222a b ab +≥,当且仅当a b =时,等式成立

高二数学必修三试题及答案

高中课改水平监测 高二数学2008.11 学校班级姓名 本试卷分卷一、卷二两部分,共120分.考试时间90分钟. 一、选择题:本大题共10小题, 每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 下列对一组数据的分析,不正确的说法是() A、数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定 B、数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定 C、数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定 D、数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定 2. 设m=10,n=20,则可以实现m、n的值互换的程序是() A. m=10 n=20 n=m m=n B. m=10 n=20 s=m n = s C. m=10 n=20 s=m m=n n=s D. m=10 n=20 s=m t=n n=s m=n 3下图是容量为200的样本的频率分布直方图,那么样本数据落在[) 10,14内的频率,频数分别为() A.0.32; 64 B.0.32; 62 C.0.36; 64 D.0.36; 72 4.某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的 互斥事件是() A.至多有一次中靶B.两次都中靶 C.两次都不中靶D.只有一次中靶 5.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点,公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为(1);在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是() A、分层抽样法,简单随机抽样法 B、分层抽样法,系统抽样法 C、系统抽样法,分层抽样法 D、简单随机抽样法,分层抽样法 6.在Scilab界面内,输入如下程序:

高中数学人教版必修5全套教案

课题: §1.1.1正弦定理 授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 , 有 sin a A =, sin b B =,又s i n 1 c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中, sin sin sin a b c = = C a B (图1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , C 同理可得sin sin c b C B = , b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

人教新课标版数学高二数学必修五练习2-5数列求和

习题课 数列求和 双基达标 (限时20分钟) 1.数列12·5,15·8,18·11,…, 1(3n -1)·(3n +2),…的前n 项和为 ( ). A. n 3n +2 B.n 6n +4 C.3n 6n +4 D. n +1n +2 答案 B 2.数列{a n }的通项公式a n = 1n +n +1,若前n 项的和为10,则项数为 ( ). A .11 B .99 C .120 D .121 解析 ∵a n =1 n +n +1=n +1-n , ∴S n =n +1-1=10,∴n =120. 答案 C 3.设{a n }是公差不为0的等差数列,a 1=2且a 1,a 3,a 6成等比数列,则{a n }的 前n 项和S n = ( ). A.n 24+7n 4 B.n 23+5n 3 C.n 22+3n 4 D .n 2+n 解析 由题意设等差数列公差为d ,则a 1=2,a 3=2+2d ,a 6=2+5d .又∵a 1, a 3,a 6成等比数列,∴a 23=a 1a 6,即(2+2d )2=2(2+5d ),整理得2d 2-d = 0.∵d ≠0, ∴d =12,∴S n =na 1+n (n -1)2d =n 24+74n .

答案 A 4.若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ,S 50=________. 解析 S 50=1-2+3-4+…+49-50 =(-1)×25=-25 答案 -25 5.如果数列{a n }满足a 1,a 2-a 1,a 3-a 2,…,a n -a n -1,…是首项为1,公比为 3的等比数列,则数列的通项公式为________. 解析 a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1) =a n =1×(1-3n )1-3 =3n -12. 答案 a n =3n -12 6.设{a n }是公比为正数的等比数列,a 1=2,a 3=a 2+4. (1)求{a n }的通项公式; (2)设{b n }是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n +b n }的前n 项和S n . 解 (1)设q 为等比数列{a n }的公比,则由a 1=2,a 3=a 2+4得2q 2=2q +4,即q 2-q -2=0,解得q =2或q =-1(舍去),因此q =2. 所以{a n }的通项为a n =2·2n -1=2n (n ∈N *) (2)S n =2(1-2n )1-2 +n ×1+n (n -1)2×2=2n +1+n 2-2. 综合提高 (限时25分钟) 7.若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,q =2,则T n =1a 1a 2+1a 2a 3 +…+1a n a n +1的结果可化为 ( ). A .1-14n B .1-12n C.23? ????1-14n D.23? ?? ??1-12n 解析 a n =2n -1,设b n = 1a n a n +1=? ????122n -1,则T n =b 1+b 2+…+b n =12+? ????123+…

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