高一数学集合练习题及答案有详解

1．已知A ＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( ) A ．3∈A B ．1∈A C ．0∈A D ．－1?A

【解析】 集合A 表示不等式3－3x>0的解集．显然3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式，故选C.

【答案】 C

2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A ．{y|y ＝2} B ．{x ＝2} C ．{2} D ．{x|x 2－4x ＋4＝0}

【解析】 {x ＝2}表示的是由一个等式组成的集合．故选B. 【答案】 B

3．下列关系中，正确的个数为________． ①1

2∈R ；②2?Q ；③|－3|?N *；④|－3|∈Q .

【解析】 本题考查常用数集及元素与集合的关系．显然1

2∈R ，①正确；2?Q ，②正确；

|－3|＝3∈N *，|－3|＝3?Q ，③、④不正确． 【答案】 2

4．已知集合A ＝{1，x ，x 2－x}，B ＝{1,2，x}，若集合A 与集合B 相等，求x 的值．

【解析】 因为集合A 与集合B 相等， 所以x 2－x ＝2.∴x ＝2或x ＝－1. 当x ＝2时，与集合元素的互异性矛盾． 当x ＝－1时，符合题意． ∴x ＝－1.

一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列命题中正确的( )

①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4

示．

A．只有①和④B．只有②和③

C．只有②D．以上语句都不对

【解析】{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选C.

【答案】 C

2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()

A．{1,1} B．{1}

C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}

【解析】集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}．故选B.

【答案】 B

3．已知集合A＝{x∈N*|－5≤x≤5}，则必有()

A．－1∈A B．0∈A

C.3∈A D．1∈A

【解析】∵x∈N*，－5≤x≤5，

∴x＝1,2，

即A＝{1,2}，∴1∈A.故选D.

【答案】 D

4．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()

A．0 B．2

C．3 D．6

【解析】依题意，A*B＝{0,2,4}，其所有元素之和为6，故选D.

【答案】 D

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知集合A＝{1，a2}，实数a不能取的值的集合是________．

【解析】由互异性知a2≠1，即a≠±1，

故实数a不能取的值的集合是{1，－1}．

【答案】{1，－1}

6．已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.

【解析】 用数轴分析可知a ＝6时，集合P 中恰有3个元素3,4,5. 【答案】 6

三、解答题(每小题10分，共20分) 7．选择适当的方法表示下列集合集．

(1)由方程x(x 2－2x －3)＝0的所有实数根组成的集合； (2)大于2且小于6的有理数；

(3)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．

【解析】 (1)方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x 2－2x －3)＝0}，有限集．

(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x ∈Q |2

(3)用描述法表示该集合为

M ＝{(x ，y)|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }或用列举法表示该集合为 {(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．

8．设A 表示集合{a 2＋2a －3,2,3}，B 表示集合 {2，|a ＋3|}，已知5∈A 且5?B ，求a 的值． 【解析】 因为5∈A ，所以a 2＋2a －3＝5， 解得a ＝2或a ＝－4.

当a ＝2时，|a ＋3|＝5，不符合题意，应舍去． 当a ＝－4时，|a ＋3|＝1，符合题意，所以a ＝－4.

9．(10分)已知集合A ＝{x|ax 2－3x －4＝0，x ∈R }． (1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； (2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围． 【解析】 (1)∵A 中有两个元素，

∴方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根，

∴???

a ≠0，Δ＝9＋16a ＞0，

即a ＞－916.∴a ＞－916，且a ≠0. (2)当a ＝0时，A ＝{－4

3}；

当a ≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根，Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－9

16；

若关于x的方程无实数根，则Δ＝9＋16a＜0，

即a＜－9

16；

故所求的a的取值范围是a≤－9

16或a＝0.

1．设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于()

A．{x|x≥3}B．{x|x≥2}

C．{x|2≤x＜3} D．{x|x≥4}

【解析】B＝{x|x≥3}．画数轴(如下图所示)可知选B.

【答案】 B

2．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝()

A．{3,5} B．{3,6}

C．{3,7} D．{3,9}

【解析】A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，∴A∩B＝{3,9}．故选D.

【答案】 D

3．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________．【解析】

设两项都参加的有x人，则只参加甲项的有(30-x)人，只参加乙项的有(25-x)人．(30-x)+x+(25-x)=50，∴x=5.

∴只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人，

∴仅参加一项的有45人．

【答案】45

4．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值．【解析】∵A∩B＝{9}，

∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.

当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}． 此时A ∩B ＝{－4,9}≠{9}．故a ＝5舍去．

当a ＝3时，B ＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去． 经检验可知a ＝－3符合题意．

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．集合A ＝{0,2，a}，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4

【解析】 ∵A ∪B ＝{0,1,2，a ，a 2}，又A ∪B ＝{0,1,2,4,16}， ∴{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4，故选D. 【答案】 D

2．设S ＝{x|2x ＋1>0}，T ＝{x|3x －5<0}，则S ∩T ＝( ) A ．? B ．{x|x<－1

2}

C ．{x|x>53}

D ．{x|－12

3

}

【解析】 S ＝{x|2x ＋1>0}＝{x|x>－12}，T ＝{x|3x －5<0}＝{x|x<53}，则S ∩T ＝{x|－

1

2

3

}．故选D.

【答案】 D

3．已知集合A ＝{x|x>0}，B ＝{x|－1≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{x|x ≥－1} B ．{x|x ≤2} C ．{x|0

【答案】 A

4．满足M ?{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2

C．3 D．4

【解析】集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或M ＝{a1，a2，a4}．故选B.

【答案】 B

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．【解析】A＝(－∞，1]，B＝[a，＋∞)，要使A∪B＝R，只需

a≤1.

【答案】a≤1

6．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是________．

【解析】由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，则A?{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．

【答案】 4

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.

【解析】由A∪B＝{1,2,3,5}，B＝{1,2，x2－1}得x2－1＝3或x2－1＝5.

若x2－1＝3则x＝±2；

若x2－1＝5，则x＝±6；

综上，x＝±2或±6.

当x＝±2时，B＝{1,2,3}，此时A∩B＝{1,3}；

当x＝±6时，B＝{1,2,5}，此时A∩B＝{1,5}．

8．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝?，求a的取值范围．【解析】由A∩B＝?，

(1)若A＝?，

有2a>a＋3，∴a>3.

(2)若A≠?，

如图：

∴ ，解得- ≤a≤2.

综上所述，a的取值范围是{a|- ≤a≤2或a>3}．

9．(10分)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？

【解析】 设单独参加数学的同学为x 人，参加数学化学的为y 人，单独参加化学的为z 人．

依题意????

?

x ＋y ＋6＝26，y ＋4＋z ＝13，

x ＋y ＋z ＝21，

解得????

?

x ＝12，y ＝8，

z ＝1.

∴同时参加数学化学的同学有8人，

答：同时参加数学和化学小组的有8人．

1．集合{a ，b}的子集有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【解析】 集合{a ，b}的子集有?，{a}，{b}，{a ，b}共4个，故选D. 【答案】 D

2．下列各式中，正确的是( ) A ．23∈{x|x ≤3} B ．23?{x|x ≤3} C ．23?{x|x ≤3} D ．{23} {x|x ≤3}

【解析】 23表示一个元素，{x|x ≤3}表示一个集合，但23不在集合中，故23?{x|x ≤3}，A 、C 不正确，又集合{23}{x|x ≤3}，故D 不正确．

【答案】 B

3．集合B ＝{a ，b ，c}，C ＝{a ，b ，d}，集合A 满足A ?B ，A ?C.则集合A 的个数

是________．

【解析】若A＝?，则满足A?B，A?C；若A≠?，由A?B，A?C知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}．

【答案】 4

4．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x

【解析】

将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足A?B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}．

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是()

A．5 B．6

C．7 D．8

【解析】由题意知A＝{0,1,2}，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C.

【答案】 C

2．在下列各式中错误的个数是()

①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}?{0,1,2}；

④{0,1,2}＝{2,0,1}

A．1 B．2

￥资%源~网C．3 D．4

【解析】①正确；②错．因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系；③正确；

④正确．两个集合的元素完全一样．故选A.

【答案】 A

3．已知集合A＝{x|－1

A．A>B B．A B

C．B A D．A?B

【解析】如图所示，

，由图可知，B A.故选C.

【答案】 C 4．下列说法：

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若? A ，则A ≠?.

其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

【解析】 ①空集是它自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是它自身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确．故选B.

【答案】 B

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知? {x|x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 ∵? {x|x 2－x ＋a ＝0}， ∴方程x 2－x ＋a ＝0有实根， ∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，a ≤1

4. 【答案】 a ≤1

4

6．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ?A ，则实数m ＝________. 【解析】 ∵B ?A ，∴m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0∴m ＝1，当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}满足B ?A.

【答案】 1

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．设集合A ＝{x ，y}，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y.

【解析】 从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A ＝B ，则x ＝0或y ＝0.

(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去． 综上知：x ＝1，y ＝0.

8．若集合M ＝{x|x 2＋x －6＝0}，N ＝{x|(x －2)(x －a)＝0}，且N ?M ，求实数a 的

值．

【解析】 由x 2＋x －6＝0，得x ＝2或x ＝－3. 因此，M ＝{2，－3}．

若a ＝2，则N ＝{2}，此时N M ； 若a ＝－3，则N ＝{2，－3}，此时N ＝M ； 若a ≠2且a ≠－3，则N ＝{2，a}， 此时N 不是M 的子集， 故所求实数a 的值为2或－3.

9．(10分)已知集合M ＝{x|x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x|x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x|x ＝p

2＋1

6，p ∈Z }，请探求集合M 、N 、P 之间的关系．

【解析】 M ＝{x|x ＝m ＋1

6，m ∈Z }

＝{x|x ＝6m ＋1

6，m ∈Z }．

N ＝{x|x ＝n 2－1

3，n ∈Z } ＝???

?

??x|x ＝

3n －2

6，n ∈Z P ＝{x|x ＝p 2＋1

6，p ∈Z } ＝{x|x ＝3p ＋1

6，p ∈Z }． ∵3n －2＝3(n －1)＋1，n ∈Z . ∴3n －2,3p ＋1都是3的整数倍加1， 从而N ＝P.

而6m ＋1＝3×2m ＋1是3的偶数倍加1， ∴M N ＝P .