2015年全国高中数学联赛福建预赛试题 Word版含答案
2015年福建省高中数学竞赛
暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1．设集合403x A x x Z x +??
=≤∈??-??
，，从集合A 中随机抽取一个元素x ，记
2x ξ=，则随机变量ξ的数学期望E ξ= 。
【答案】 5
【解答】{}4321012A =----，，，，，，，随机变量ξ的取值为0，1，4，9，16。
易得，ξ的概率分布列为
∴ 0149165777
77
E ξ=?+?+
?+?+?=。 2．已知()()f x x g x =+，其中()g x 是定义在R 上，最小正周期为2的函数。若()f x 在区间[)24，上的最大值为1，则()f x 在区间[)1012，上的最大值为 。
【答案】 9
【解答】依题意，有(2)(2)(2)()2()2f x x g x x g x f x +=+++=++=+。 ∵ ()f x 在区间[)24，上的最大值为1，
∴ ()f x 在区间[)46，上的最大值为3，在区间[)68，上的最大值为5，在区间[)810，上的最大值为7，在区间[)1012，上的最大值为9。
3．1F 、2F 为椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆C 上存
在一点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率e 的取值范围为 。
【答案】1?
????
【解答】设A 为椭圆C 的上顶点，依题意有1290F AF ∠≥?。
∴ 245F AO ∠≥?，1c b ≥。222
c a c ≥-，2212c a ≥，12
e ≤<。
4．已知实数x ，y ，z 满足2222324x y z ++=，则23x y z ++的最小值为 。
【答案】 12-
【解答】由柯西不等式，知
22222
222(23)(1)1(23)144x y z x x y z ??++=?≤++?++=??
。
∴ 2312x y z ++≥-
，当且仅当
1x ==
，即2x y z ===-时等号成立。
∴ 23x y z ++的最小值为12-。 5．已知函数2()cos
2
x
f x x π=，数列{}n a 中，()(1)n a f n f n =++（*n N ∈），
则数列{}n a 的前100项之和100S = 。
【答案】 10200
【解答
】依题意，有
100
2222221001
()2468981004(3799)n T f n ===-+-+--+=+++∑L L
399
42551002
+=?
?=。 ∴ 1001002(1)(101)251000010200
S T f f =-+=?-+=。 6．如图，在四面体ABCD 中，2DA DB DC ===，DA DB ⊥，DA DC ⊥，且
DA 与平面ABC 所成角的余弦值为
3
。则该四面体外接球半径R = 。
【答案】
【解答】如图，作DO ABC ⊥面于O ，连结AO ，并延长交BC 于点E ，连结DE 。则D A E ∠是DA 与平面ABC 所成的角，
cos 3
DAE ∠=
。 ∵ 2DA DB DC ===，DA DB ⊥，DA DC ⊥，
∴ DA DBC ⊥面，O 为ABC △的外心，且AB AC ==。
∴ DA DE ⊥，E 为BC 中点，结合cos DAE ∠=
知，AE =，
BE ===
∴ 2B C B E ==DB DC ⊥。
∴ DA 、DB 、DC 两两互相垂直，四面体外接球半径R =
7．在复平面内，复数1z 、2z 、3z 的对应点分别为1Z 、2Z 、3Z 。
若12z z ==120OZ OZ ?=uuu r uuu r
，1231z z z +-=，则3z 的取值范围是 。
【答案】 []13，
【解答】设111z x y i =+，222z x y i =+（i 为虚数单位），
∵ 12
z z ==120OZ OZ ?=uuu r uuu r
，
∴ 2222
11222x y x y +=+=，12120x x y y +=，
122z z +===。
设复数12z z +对应的点为P 。由1231z z z +-=知，点3Z 在以P 为圆心，1为半径的圆上。
又2OP =，因此，32121OZ -≤≤+，即3z 的取值范围是[]13，。 8．已知函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点1x ，2x （12x x <），则a 的取值范围为 。
【答案】 1
(0)2
，
【解答】()()(1)(12)x x x x x x f x e x ae e ae x ae e '=-+-=+-。 依题意，()(12)0x x f x x ae e '=+-=有两个不同的实根。
设()12x g x x ae =+-，则()12x g x ae '=-，()0g x =有两个不同的实根。
若0a ≤，则()1g x '≥，()g x 为增函数，()0g x =至多1个实根，不符合要求。 若0a >，则当1ln
2x a <时，()0g x '>；1
ln 2x a
>时，()0g x '<。 ∴ ()g x 在区间1ln 2a ??-∞ ???，上为增函数，1ln 2a ??
+∞????
，上为减函数。
∴ ()g x 的最大值为111
(ln
)ln 11ln 222g a a a
=+-=。 又x →-∞时，()12x g x x ae =+-→-∞；x →+∞时，()12x g x x ae =+-→-∞。 ∴ 当且仅当11(ln )ln 022g a a =>，即102
a <<时，()0g x =恰有2个不同的实根。
设()0g x =的两根为1x ，2
x （12x x <）。则1x x <时，()0g x <，()0f x '<；12x x x <<时，()0g x >，()0f x '>；2x x >时，()0g x <，()0f x '<。
∴ 1x 为()f x 的极小值点，2x 为()f x 的极大值点。1
02
a <<
符合要求。 ∴ a 的取值范围为1
(0)2
，。
9．已知2()2x f x m x nx =?++，若{}{}()0(()
0x f x x f f x φ=
==
≠，则m n
+的取值范围为 。
【答案】 [)04，
【解答】设{}1()0x x f x ∈=，则12111()20x
f x m x nx =?++=。
∴ 1(())(0)0
f f x f m ===。 ∴
2()f x x nx =+，
222222(())()()()()()f f x f x nx x nx n x nx x nx x nx n =+=+++=+++。
由{}{}()0(())0x f x x f f x ===知，方程20x nx n ++=的解集A 是方程
20x nx +=的解集B 的子集。
若A φ=，则240n n =-<△，04n <<。
若A φ≠，设0x A ∈，则2
002000
x nx n x nx ?++=??+=??，得0n =。
又04n ≤<时，{}()0x f x φ=≠，
所以，04n ≤<。m n +的取值范围是[)04，。
10．若214s i n s i n s i n t a n 9
9
929
n ππππ
+
++
=L ，则正整数n 的最小值为 。
【答案】 4
【
解
答
】由cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，
cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，知
2sin sin cos()cos()αβαβαβ=--+。
∴ 32s i n s i n c o s c o s 9181818ππππ
?=
-， 2352sin sin cos cos 9181818ππππ?=-，
…………… (21)(21)2sin sin cos cos 9181818
n n n ππππ-+?=-
上述各式左右两边分别相加，得
2(21)2(sin sin sin )sin cos cos 999181818n n ππππππ++++?=-L 。
∴ 14(21)2t a n s i n c o s c o s 29181818n ππππ+??=-，(21)cos cos cos 181818n πππ
+=-。
∴ (21)c o s 018n π+=，(21)182
n k ππ
π+=+（k Z ∈），94n k =+（k Z ∈）。 ∴ 正整数n 的最小值为4。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．求函数2y x =+ 【解答一】由24830x x -+≥，得12x ≤
或32
x ≥。
∴ 函数的定义域为
1322????-∞?+∞ ???????
，，。 ……………………… 5分
记()2y f x x ==
则()22f x '==
当32x >
时，易知()0f x '>
。()2f x x =32??
+∞????
，上为增函数。 ∴ 32x ≥时，()f x 的最小值为3
()32
f =。 ………………………… 10分
当12x <
时，4(1)()22202(1)x f x x -'==<-=-。
∴ ()f x 在12?
?-∞ ???，上为减函数，12x ≤时，()f x 的最小值为
1
(
)12
f =。 ……… 15分 综合得，
函数2y x =1。 ……………… 20分
【解答二】
函数化为(22)2y x =-+。 由2(22)1x -≥，知221x -≥，可设122sin x α-=（22
ππ
α-≤≤，且0α≠） ………………………
… 5分
当02
π
α<≤
时，11cos 1
222sin sin tan 2
y αααα+=
+=+=+，当2πα=，
即3
2
x =
时，y 取最小值
3。 ……………………… 10分
当02
π
α-
≤<时
，11c o s
22t a n
2s i n s i n
2y αα
αα-=
=+=+，当
2π
α=-
，即1
2
x =
时，y 取最小
值
1。 ………………………… 15分
综合得，函数2y x =1。 ……………………
20分
或换元后利用导数求解。
【解答三】由2y x =22(2)483y x x x -=-+，
∴ 2
2
2
44483y x y x x x -+=-+，23
48
y x y -=
-。 …………………… 5分
依题意，有2y x ≥，因此，231
482y y y -≤-。
………………… 10分
∴ 23
024
y y y --≥-，
(3)(1)02(2)y y y --≥-，解得12y ≤<或3y ≥。 …………… 15分
将1y =代入方程2y x =1
2
x =
。
∴ 1y =在函数2y x =
∴ 函数2y x =1。 ………………………… 20分
12．已知过点(01)P ，斜率为k 的直线l 交双曲线C ：2
2
13
y x -=于A 、B 两点。 （1）求k 的取值范围；
（2）若2F 为双曲线C 的右焦点，且226AF BF +=，求k 的值。 【解答】（1）设l 方程为1y kx =+。
由2
2131y x y kx ?-
=???=+?，得22(3)240k x kx ---=……… ①。 ∵ 直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，
∴ 2
22
30416(3)0
k k k ?-≠??=+->??△，解得22k -<<
，且k ≠ ∴ k
的取值范围为(2(2)-??，。 …………… 5分
（2）设11()A x y ，，22()B x y ，。则12223k x x k +=-，122
4
3x x k
-=-。又2(20)F ，， ∴
2
2
1
11
4(33
)A
x x
x
=+
+-=，2221BF x =-。
…………………………
10分
∵ 2121212
22216
4413(21)(21)42()11333k k k x x x x x x k
k
k
-++--
=-
++=-+=----，
∴ 23k <时，12(21)(21)0x x --<，
221212122121(21)(21)2AF BF x x x x x x +=-+-=---=-
2
3k ==
-。 由226AF BF +=
6=，解得2
1k =或21133k =>（舍去）。
∴ 21k =，1k =±。 …………………………… 15分
234k <<时，12(21)(21)0x x -->，
221212122121(21)(21)21
AF BF x x x x x x +=-+-=-+-=+-2
22
13k
k
=--。 由226AF BF +=，得2
22
163k
k
-=-，解得2k =-或32k =
或k =，均不符合，舍去。此时，满足条件的k 不存在。
综上可得，k 的值为1或1-。 …………………………… 20分
13．如图，I 、D 分别为ABC △的内心、旁心，BC 与圆I 、圆D 相切，切点分别为E 、F ，G 为AD 与BC 的交点。
（1）求证：AI GE
AD GF
=； （2）若M 为EF 中点，求证：AE DM ∥。
（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平
分线和其它两个内角的外角平分线的交点。）
【解答】（1）设圆I 、圆D 的半径分别为r 、R ， 则
AI r
AD R =。 …………………… 5分 （作IP AB ⊥于P ，DQ AB ⊥于Q ，则
AI IP r
AD DQ R
==。）
由条件知，A 、I 、D 三点共线，IE BC ⊥，DF BC ⊥。
∴ I E D F ∥，
GE IE r
GF DF R
==。 ∴ AI GE
AD GF
=。 ………………… 10分 （2）由AI GE GI AD GF GD ==，得AI GI GE
AD GD GF +=+， 即AG GE
AD GD GF =+。 ∴ A G G E
A D G D A G G F G E
=+--。 ………… 15分 ∵ M 为EF 中点，
()2GF GE MF MG ME MG MG -=+--=，
∴
22AG GE DG MG =，即AG GE
DG GM
=。 结合EGA MGD ∠=∠，可得EGA MGD △∽△。因此，GEA GMD ∠=∠。
∴ A E D M ∥。 …………………………………
20分
另解：设ID 的中点为N ，则由IE DF ∥，M 为EF 中点知，MN IE DF ∥∥，
且1
()2MN DF IE =-。
由AI IE AD DF =，可得AI IE AD AI DF IE =--，22AI IE DN MN =，即A I I E
D N N M
=。……… 15分
又AIE DNM ∠=∠。
∴ A I E
D N M △∽△，EAI MDN ∠=∠。 ∴ A
E D M ∥。 …………………………………
20分
14．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的
三角形称为整点三角形。求以点(201572015)I ?，
为内心且直角顶点在坐标原点O 的整点直角三角形OAB 的个数。
【答案】不妨设点A 在第一象限。
设xOI α∠=，则t a n α=，直线OA 的斜率
t a n 1713
t a n ()41t a n 174
OA k πααα--=-===++。
∴ 4
3
OB k =-。 ……………………… 5分
由A 、B 为整点，设11(43)A t t ，，22(34)B t t -，，其中1t ，2t 为正整数。 ∴ 15O A t =，25OB t =。
∵ O A B △内切圆的半径201552015r OI =
==?。 又2OA OB AB
r +-=
，2AB OA OB r =+-，
2
2
2
2(2)AB
OA OB r OA
OB
=+-=+。
∴ 222
1212(55252015)2525t t t t +-??=+。。
…………………
10分
∴ 222
1212(22015)t t t t +-?=+。
设12015t x =+，22015t y =+，则222()(2015)(2015)x y x y +=+++。 ∴
2
20152
x y x y =+
+，2222(2015)(2015)22015251331x y --=?=???。
…………………………
… 15分
由2OA r >，2OB r >知，2015x -，2015y -为正整数，又222
251331???的正因数有233354???=个。
∴ 符合条件的()x y ，
有54组。 ∴ 符合条件的三角形有54个。 ……………………… 20分
15．若对任意的正整数m ，集合{}1299m m m m +++L ，，，，的任意n （3n ≥）元子集中，总有3个元素两两互素，求n 的最小值。
【答案】考察集合{}123100L ，，，，（1m =时）的67元子集： {}246100391599P =L L ，，，，，，，，，（偶数与被3整除的奇数）
。 显然P 中不存在3个两两互素的元素。
∴ 67n ≤不符合要求。 …………………… 5分
引理：对任意的正整数m ，集合{}12345m m m m m m +++++，，，，，的任意5元子集中，总有3个元素两两互素。
引理的证明：设集合A 是集合{}12345m m m m m m +++++，，，，，的一个5
元子集。
∵ m ，1m +，2m +，3m +，4m +，5m +这6个数中，3奇3偶，恰有1个5的倍数。
∴ 若A 中含有3个奇数，则这3个奇数必两两两互素，结论成立。
若A 中元素为2奇3偶。由于3个偶数中至多有1个为3的倍数，至多有1个为5的倍数。因此，3个偶数中必有1个数既不是3的倍数，也不是5的倍数，它与2个奇数两两互素。结论成立。
∴ 引理成立。 …………………… 10分
对任意的正整数m ，将集合{}1299m m m m +++L ，，，，划分成如下17个集合：
{}112345A m m m m m m =+++++，，，，，， {}267891011A m m m m m m =++++++，，，，，， ……………
{}16909192939495A m m m m m m =++++++，，，，，，
{}1796979899A m m m m =++++，，，。 ……………………… 15分
显然上述
17
个集合的两两交集为空集，并集为集合
{}1299m m m m +++L ，
，，，。 设集合M 是集合{}1299m m m m +++L ，，，，的68元子集。
若集合M 有4个元素来自集合17A 。由于m 为奇数时，96m +、97m +、98m +两两互素；m 为偶数时，97m +、98m +、99m +两两互素。因此，M 中至少有3个元素两两互素。
若集合M 至多3个元素来自集合17A 。则M 至少有65个元素来自集合1A 、
2A 、…、16A 。根据抽屉原理，M 至少有5个元素来自同一个集合，不妨设它们来自集合1A 。由前面的引理可知，它们中存在3个两两互素的元素。
∴ 集合M 中总有3个两两互素的元素。
∴ 68n =符合要求，即对任意的正整数m ，集合{}1299m m m m +++L ，，，，的任意68元子集中，总有3个元素两两互素。
∴ n 的最小值为68。 ………………………… 20分