中考数学专题复习--三角形
中考数学专题复习--三角形 一、三角形的基础知识
基础过关
1．下列图形具有稳定性的是( D )
A ．正方形
B ．矩形
C ．平行四边形
D ．直角三角形 2．在△ABC 中，若∠A ＝95°，∠B ＝40°，则∠C 的度数为( C )
A ．35°
B ．40°
C ．45°
D ．60° 3.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( D )
A ．2 cm ，3 cm ，5 cm
B ．7 cm ，4 cm ，2 cm
C ．3 cm ，4 cm ，8 cm
D ．3 cm ，3 cm ，4 cm
4．如图所示，直线a ∥b ，∠B ＝22°，∠C ＝50°，则∠A 的度数为( B ) A ．22° B ．28° C ．32° D ．38°
5．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B ＝35°，∠ACE ＝60°，则∠A ＝( C ) A ．35° B ．95° C ．85° D ．75°
6．如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC ＝42°，∠A ＝60°，则∠BFC ＝( C )
A ．118°
B ．119°
C ．120°
D ．121°
7．已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边，对应高分别为h a ，h b ，h c ，且a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，那么h a ∶h b ∶h c 等于( C )
A ．4∶5∶6
B ．6∶5∶4
C ．15∶12∶10
D ．10∶12∶15 8．如图，△ABC 中，点D ，
E 分别是AB ，AC 的中点，若BC ＝8，则DE 的长为4．
9．已知一个等腰三角形的两边长分别为5和9，则该等腰三角形的周长是23或19．
10．如图，若AE 是△ABC 边BC 上的高，AD 是∠EAC 的平分线，交BC 于点D ，若∠ACB ＝40°，则∠DAE 等于25°．
11．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，求∠DAC 的度数．
解：设∠1＝∠2＝x °，则∠3＝∠4＝2x °.
∵∠BAC ＝63°，∴∠2＋∠4＝117°，即x ＋2x ＝117. 解得x ＝39.∴∠3＝∠4＝78°. ∴∠DAC ＝180°－∠3－∠4＝24°.
能力提升
12．若a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足|a －4|＋b －2＝0，则c 的值可以为( A ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
13．如图，已知AB ∥DE ，∠ABC ＝65°，∠CDE ＝138°，则∠C 的值为 ( B ) A ．21° B ．23° C ．25° D ．30°
,
14．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是75°．
15．如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，D 点是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，则∠BDC ＝110°．
16．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝33，AD ＝3，点M ，N 分别是线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E ，F 分别是DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为3．
提示：连接DN ，则DN ≤AD 2
＋AB 2
＝6.∴EF ＝1
2
DN ≤3.
17．如图，点D 在△ABC 的边AB 上，且AD ∶BD ＝2∶1，E 是BC 的中点，设S 1为△ADF 的面积，S 2为△CEF 的面积．若S △ABC ＝24，则S 1－S 2＝4．
提示：S 1－S 2＝S △ABE －S △BCD ＝12S △ABC －13S △ABC ＝1
6
S △ABC ＝4.
中考预测题
18．如图，已知△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点D ，∠A ＝40°，那么∠D ＝70°.
二、全等三角形
基础过关
1．如图，点E ，F 在线段BC 上，△ABF 与△DCE 全等，点A 与点D ，点B 与点C 是对应顶点，AF 与DE 交于点M ，则∠DCE ＝( A )
A ．∠
B B ．∠A
C ．∠EMF
D ．∠AFB
2．如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于点O ，已知AB ＝AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE ≌△ACD( D )
A ．∠
B ＝∠
C B ．A
D ＝A
E C ．BD ＝CE D ．BE ＝CD
3．如图，用尺规作∠AOB 的平分线的方法如下：以点O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D 两点，再分别以点C ，D 为圆心，大于1
2CD 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP.由作法得△OCP
≌△ODP 的根据是( D )
A ．SAS
B ．ASA
C ．AAS
D ．SSS
4．如图，OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C ，D ，则下列结论错误的是( B ) A. PC ＝PD B ．∠CPO ＝∠DOP C ．∠CPO ＝∠DPO D ．OC ＝OD
5．如图，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝CD ，∠1＝40°，则∠2＝( B )
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．75°
6．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB ＝DE ，BE ＝CF ，AC ＝6，则DF ＝6．
7．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，AD 与CE 交于点H ，请你添加一个适当条件答案不唯一，如：AH ＝BC 或AE ＝CE 或EH ＝EB 等_，使△AEH ≌△CEB.
8．如图，△ABC ，△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点E 在AB 上．求证：△CDA ≌△CEB.
证明：∵△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形， ∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴CE ＝CD ，BC ＝AC.
∴∠ACB －∠ACE ＝∠DCE －∠ACE ， 即∠ECB ＝∠DCA.
在△CEB 和△CDA 中，???BC ＝AC ，
∠ECB ＝∠DCA EC ＝DC ，
∴△CDA ≌△CEB(SAS)．
9．如图，已知∠ABO ＝∠DCO ，OB ＝OC ，求证：△ABC ≌△DCB.
证明：在△ABO 和△DCO 中，???∠ABO ＝∠DCO ，
BO ＝CO ，∠AOB ＝∠DOC ，
∴△ABO ≌△DCO(ASA)． ∴∠A ＝∠D.
∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB. 又∵∠ABO ＝∠DCO ，
∴∠ABO ＋∠OBC ＝∠DCO ＋∠OCB ， 即∠ABC ＝∠DCB.
在△ABC 和△DCB 中，??∠A ＝∠D ，
∠ABC ＝∠DCB ，∴△ABC ≌△DCB(AAS)．
能力提升
10．如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( B )
A ．△AFD ≌△DCE
B ．AF ＝1
2AD
C ．AB ＝AF
D ．B
E ＝AD －DF
11．如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK ，若∠MKN ＝44°，则∠P 的度数为( D )
A ．44°
B ．66°
C ．88°
D ．92°
12．如图，在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE 、BD 交于点O ，则∠AOB 的度数为__120°__.
13．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO ，下列结论：①AC ⊥BD ；②CB ＝CD ；③△ABC ≌△ADC ；④DA ＝DC.其中正确结论的序号是①②③．
14．如图，在△ABC 和△BCD 中，∠BAC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝AC ，CB ＝CD.延长CA 至点E ，使AE ＝AC ；延长CB 至点F ，使BF ＝BC.连接AD ，AF ，DF ，EF.延长DB 交EF 于点N. (1)求证：AD ＝AF ； (2)求证：BD ＝EF.
证明：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°.∴∠ABF ＝135°. ∵∠BCD ＝90°，
∴∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝135°. ∴∠ABF ＝∠ACD.
∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD.
在△ABF 和△ACD 中，??AB ＝AC ，
∠ABF ＝∠ACD ，
∴△ABF ≌△ACD(SAS)． ∴AD ＝AF.
(2)由(1)知，AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ， ∴∠FAB ＝∠DAC.
∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC ＝90°. ∵∠EAB －∠FAB ＝∠BAC －∠DAC ， 即∠EAF ＝∠BAD.
∵AB ＝AC ，AE ＝AC.∴AE ＝AB.
在△AEF 和△ABD 中，???AE ＝AB ，
∠EAF ＝∠BAD ，AF ＝AD ，
∴△AEF ≌△ABD(SAS)． ∴BD ＝EF.
15．感知：如图1，AD 平分∠BAC ，∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°，易知：DB ＝DC.
(1)探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD ＋∠ACD ＝180°，∠ABD ＜90°，求证：DB ＝DC ；
(2)应用：如图3，四边形ABDC 中，∠B ＝45°，∠C ＝135°，DB ＝DC ＝a ，则AB －AC 用含a 的代数式表示)．
解：证明：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ， ∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF.
∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°， ∴∠B ＝∠FCD.
在△DFC 和△DEB 中，
???∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，
∴△DFC ≌△DEB. ∴DC ＝DB.
创新题
16．杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B 处的过程中，通过隔离带的空隙O ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，AB ∥OH ∥CD ，相邻两平行线间的距离相等．AC ，BD 相交于O ，OD ⊥CD ，垂足为D.已知AB ＝20米．请根据上述信息求标语CD 的长度．
又∵OD ⊥CD ，∴∠CDO ＝90°. ∴∠ABO ＝90°，即OB ⊥AB.
∵相邻两平行线间的距离相等，∴OB ＝OD.
在△ABO 和△CDO 中，???∠ABO ＝∠CDO ，
OB ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ，
∴△ABO ≌△CDO. ∴CD ＝AB ＝20米．
提示：也可利用“AAS ”证△ABO ≌△CDO ，其他过程相同．
三、相似三角形
基础过关
1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若
AD DB ＝23，则AE
EC
＝( C )
A.13
B.25
C.23
D.3
5
2．若△ABC 与△DEF 的相似比为1∶4，则△ABC 与△DEF 的周长比为( C ) A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶16 3．若y x ＝34，则x ＋y x
的值为( D )
A ．1 B.47 C.54 D.74
4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，下列说法中不正确的是( D ) A ．DE ＝12BC B.AD AB ＝AE
AC
C ．△ADE ∽△ABC
D ．S △AD
E ∶S △ABC ＝1∶2
5．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DB ＝2AD ，△ADE 的面积为1，则四边形DBCE 的面积为( D ) A ．3 B ．5 C ．6 D ．8
6．如图，已知∠A ＝∠D ，要使△ABC ∽△DEF ，还需添加一个条件，你添加的条件是答案不唯一，如：
7．在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，已知BC ＝22，AB ＝3，则BD ＝8
3
．
8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE ＝1.8，连接AE 并延长交DC 于点F ，则CF CD ＝1
3
．
提示：BD ＝AB 2＋AD 2＝3，DE ＝1.2，
DF AB ＝DE BE ＝23，∴CF CD ＝13
.
9．如图，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点E ，若CE ∶BE ＝2∶3，则AE ∶DE ＝2∶3．
10．如图，△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，点E 在△ABC 内，连接AE ，BE ，CF ，∠CAE ＋∠CBE ＝90°，连接BF.
(1)求证：△CAE ∽△CBF ；
(2)若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．
解：(1)证明：∵△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形， ∴AC BC ＝CE
CF ＝2，∠ACB ＝∠ECF ＝45°. ∴∠ACB －∠BCE ＝∠ECF －∠BCE ， 即∠ACE ＝∠BCF. ∴△CAE ∽△CBF.
(2)∵△CAE ∽△CBF ， AE AC