教师版变量间的相关关系与统计案例

变量间的相关关系与统计案例

一、基础知识

（一）、线性回归方程 1.两类变量关系类型：函数关系和相关关系，它们的区别在于是确定性关系还是非确定性关系 通过散点图可以判断两个变量之间是否具有相关关系：

①如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，则变量之间具有函数关系; ②如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，则变量之间具有相关关系; ③如果所有的样本点都落在某一直线附近，则变量之间具有线性相关关系

2.正相关与负相关：如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这种相关称为正相关； 如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值却由大变小这种相关称为负相关. 利用散点图判断正、负相关：

①如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关; ②如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关

3.回归直线： 设x 和y 是具有相关关系的两个变量，且对应于n 个观测值的n 个点大致分

布在一条直线的附近，若所求的直线方程为y

?=a+bx, 则1

1

2

2

2

1

1

()()

,()

n n

i i

i

i

i i n

n

i

i

i i x y nx y x x y y b a y bx x

nx

x x ====---=

=

=---∑∑∑∑，我们将这个方程叫做回归直线方程，

a, b 叫做回归系数， 相应的直线叫做回归直线 （1）使样本数据点到回归直线的距离的平方和Q= (y 1-bx 1-a)2+(y 2-bx 2-a)2+ …+(y n -bx n -a)2 为最小的方法叫最小二乘法:. 回归方程的截距a 和斜率b 构成的点()b a ,应该是函数()βα,Q 的最小值点.

（2）求回归直线方程的一般步骤：①作散点图，判断散点是否在一条直线附近.

②如果散点在一条直线附近，利用公式计算a, b ，并写出回归直线方程， ③利用回归方程,由一个变量的值，预测或控制另一个变量的取值.

（3）线性回归方程y

?=bx +a 过定点（x ，y ） （二）线性相关与独立性检验

1. 相关系数：（1）对于变量x 与y 随机抽取到的n 对数据(x 1,y 1), (x 2,y 2),:…, (x n ,y n ), 样本相关系数r=

∑∑∑∑∑∑======---=

----n

i i n i i n

i i i

n i n

i i i n

i i i y n y x n x n y x

y y x x y x 1

2

21

2

21

1

2

1

21

)

)(()()()

)((

（2） r 具有以下性质：

（1）当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关；

（2）当|r|≤1,并且|r|越接近1时，两个变量的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，两个变量的线性相关程度越弱; （3）相关性检验的步骤：

① 作统计假设 ② 根据小概率0.05与n-2在附表中找出r 的一个临界值r 0.05 ③ 根据样本相关系数计算公式算出r 值

④ 用统计判断，如果05.0||r r ≤，那么可以认为y 与x 之间的线性相关关系不显著，从而接

受统计假设. 如果05.0||r r >，表明一个发生的概率不到5%的事件在一次试验中竟发生了.这个小概率事件的发生使我们有理由认为y 与x 之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，拒绝这一统计假设也就是表明可以认为y 与x 之间具有线性相关关系.

2.独立性检验

（1） 2×2列联表：统计被调查者的两种状态，每种状态又分两种情况的调查结果表.对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同值表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量.

（2）通过三维柱图和二维条形图，可以粗略判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确给出所得结论的可靠程度.

（3

统计中有一个有用的（读做“卡方”）统计量，它的表达式是： )

)()()(()

(2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=

，

经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635。

当根据具体的数据算出的k>3.841时，有95%的把握说事件A 与B 有关； 当k>6.635时，有99%的把握说事件A 与B 有关；

三.题型分析

题型1 相关关系的判断

1. 根据两个变量

x ，y 之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________(填“是”与“否”)．

解析 从散点图看，散点图的分布成团状，无任何规律，所以两个变量不具有线性相关关系． 答案 否

2.某棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x 对产量y 影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：

(1)画出散点图；(2)判断是否具有线性相关关系．

[审题视点] (1)用x 轴表示化肥施用量，y 轴表示棉花产量，逐一画点． (2)根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系． 解 (1)散点图如图所示

(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x 与产量y 具有线性相关关系．

利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较简便的方法．在散点图中如果所

有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系．即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．

题型2. 线性回归方程

1、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.

(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^

； (3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程．预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)

[审题视点] (2)问利用公式求a ^、b ^

，即可求出线性回归方程． (3)问将x ＝100代入回归直线方程即可． 解 (1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．

(2)由对照数据，计算得：∑i ＝1

4

x 2i ＝86，

x ＝3＋4＋5＋64＝4.5(吨)，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5(吨)．

已知∑i ＝1

4

x i y i ＝66.5， 所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：

b ^＝

∑i ＝14

x i y i －4x ·y

∑i ＝1

4

x 2i －4x

2

＝66.5－4×4.5×3.5

86－4×4.52

＝0.7，

a ^＝y －

b ^

x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的线性回归方程为y ^

＝0.7x ＋0.35.

(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为： 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．

在解决具体问题时，要先进行相关性检验，通过检验确认两个变量是否具有线性

相关关系，若它们之间有线性相关关系，再求回归直线方程． 2. 有10

（1）y 与（2）如果y 与x 具有相关关系，求回归直线方程． 参考数据：

.

52541,50520,51467,723,710,3.72,7110

1

2101

2

101

101

101

=======∑∑∑∑∑=====i t i i

i i i i i i i y x y x y y y x

分析：判断两变量之间是否具有相关关系，首先要求出其相关系数r ，然后根据显著性水平α及自由度2-=n df 查相关系数临界值表找临界值αr ，当αr r >时认为不具有相关关系；当αr r >时认为具有相关关系，求回归直线方程则比较简单，只要求出a 与b 的值即可．

解：（1）：由已知表格中所给数据进行计算，得：

.

52541,50520,51467,723,710,3.72,7110

1

2101

2

101

101

101

=======∑∑∑∑∑=====i t i i

i i i i i i i y x y x y y y x 于

是

7802972

.0)

3.721052541)(711050520(723

7151467)

10)(10(102

2

210

1

22101

210

1

≈?-?-?-=

---=

∑∑∑===y y x x xy

y x r i t i i i i

i 又查得附表3中相应在于显著性水平0.05和2-=n df 的相关系数临界值

632.005.0=r

由05.0r r >知，y 与x 具有相关关系．

说明：这类问题思路一般不是很复杂，掌握比较容易，但往往运算量较大，很容易出

现计算错误，这就需要在计算时仔细准确，还要能熟练地使用科学计算器，从而解题速度和准确性．

3.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽

该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率； （2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；

（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠? 解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，…………2分 所以 43

()1105

P A =-

=．…………………………………3分 答：选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是

5

3

……………4分 （2）由数据，求得12,27x y ==．………………………5分 由公式，求得5

2

b =

，3a y bx =-=-．………………6分 所以y 关于x 的线性回归方程为5

?32

y

x =-．…………………9分 （3）当x =10时，5

?103222

y =?-=，|22－23|＜2；……………………10分

同样，当x =8时，5

?83172

y =?-=，|17－16|＜2．………………11分 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……………………12分/*

题型3. 独立性检验

1.为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表

试问：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？ [解析]由公式469.7283

56134205)

1316212143(3392

=????-??=

K ，因为7.469>6.635,所以我们有99%

的把握说：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关.

【名师指引】 按公式计算K 2 ，用2

K 值判断事件X 与Y 是否无关.

2、为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

是否需要志愿 性别 男 女

需要

40 30 不需要

160 270 （1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的

老年人的比例？说明理由

[审题视点] 第(2)问由a ＝40，b ＝30，c ＝160，d ＝270，代入公式可求K 2，由K 2的值与6.635比较断定．第(3)问从抽样方法说明．

解 (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为70

500＝14%.

(2)K 2

＝500×(40×270－30×160)2

70×430×200×300

≈9.967.

由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，采用分层抽样方法，这要比采用简单随机抽样方法更好．

独立性检验的步骤：

(1)根据样本数据制成2×2列联表；

(2)根据公式K 2

＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )

计算K 2的观测值；

(3)比较K 2与临界值的大小关系作统计推断．

3、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3

5

．

（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；

（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.

(参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =++

+)

解：（2）∵2

2

50(2015105)8.3337.87930202525

K ??-?=

≈>???------------------------6分 ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分

（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2.-------------------------9分

其概率分别为021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152

253

(2)20

C C P C ξ===

--------------------------12分

故ξ的分布列为:

--------------------------13分

ξ的期望值为:7134012202205

E ξ=?

+?+?= ---------------------14分 作业

1．下面哪些变量是相关关系( )． A ．出租车车费与行驶的里程 B ．房屋面积与房屋价格 C ．身高与体重

D ．铁块的大小与质量

解析 A ，B ，D 都是函数关系，其中A 一般是分段函数，只有C 是相关关系． 答案 C

2．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v 有观测数据(u i 、v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断

( )．

A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关

B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关

C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关

D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

解析 由题图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x 与y 负相关；由题图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u 与v 正相关． 答案 C

3. 从某大学随机抽取8名女大学生，其身高)(cm x 和体重)(kg y 的回归方程为

712.85849.0?-=x y

，则对身高为172的女大学生，由回归方程可以预报其体重（ ） A .为60.316kg B.约为60.316kg C.大于为60.316kg D .小于为60.316kg

【解析】B 316.60712.8572.1849.0?≈-?=y

4．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )． A.y ^

＝－10x ＋200 B.y ^

＝10x ＋200 C.y ^

＝－10x －200

D.y ^

＝10x －200

解析 因为销量与价格负相关，由函数关系考虑为减函数，又因为x ，y 不能为负数，再排除C ，故选A. 答案 A

5、下面是2×2列联表：

则表中a ，b 的值分别为( A ．94,72 B ．52,50 C ．52,74 D ．74,52 解析 ∵a ＋21＝73，∴a ＝52，又a ＋22＝b ，∴b ＝74. 答案 C

6．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K 2的观测值k ＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(有关，无关)． 解析 由观测值k ＝27.63与临界值比较，我们有99%的把握说打鼾与患心脏病有关． 答案 有关

7.某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取

40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在(495,510]的产品为合格品，

否则为不合格品．图1是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表．

(Ⅰ) 若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X 的数

学期望；

（Ⅱ）从乙流水线样本的不合格品中任意取2件，求其中超过合格品重量的件数Y 的分布列；

（Ⅲ）由以上统计数据完成下面22?列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关” ．

附：下面的临界值表供参考： (参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)

解：（Ⅰ）由图１知，甲样本中合格品数为(0.060.090.03)54036++??=，

则Y 的取值为2,1,0；且246

2

10

()(0,1,2)k k

C C P Y k k C -===，于是有： 182

(0),(1),(2)31515

P Y P Y P Y =====

=

∴Y 的分布列为

……………10分

（Ⅲ）22?列联表如下：

∵22()

()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++＝

2

80(360120) 3.11766144040?-≈??? 2.706> ∴ 有90％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．……13分 8. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某

医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料: 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回

归方程,再用被选取的2组数据进行检验.

(Ⅰ) 求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；

(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性

回归方程y bx a =+；

(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认

为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

(参考公式: 1

1

2

2

2

1

1

()()

,()

n n

i i

i

i

i i n

n

i

i

i i x y nx y x x y y b a y bx x

nx

x x ====---=

=

=---∑∑∑∑)

解：(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选

取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的，其中,抽到相邻两个月的数据的情

况有5种 ，所以3

1155P (A)==

(Ⅱ)由数据求得11,24x y == 由公式求得187

b =

再由307a y bx =-=- 所以y 关于x 的线性回归方程为1830

77y x =-

(Ⅲ)当10x =时,1507y =, 150

|

22|27-<； 同样, 当6x =时,787y =, 78

|

14|27

-< 所以,该小组所得线性回归方程是理想的.

9. 甲乙两个学校高三年级分别有1100人和1000人，为了了解这两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试中的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统汁表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．

（I ）试求x ，y 的值；

（II ）由以上统计数据填写右面2×2列联表，

若按是否优秀来判断，是否有97.5%的把握 认为两个学校的数学成绩有差异。

（III ）根据抽样结果分别估计甲校和乙校的

优秀率，若把频率视为概率，现从乙校学生

中任取3人，求优秀学生人数ξ的分布列和数学期望。

10、某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从这个工业部门内随机抽选了10个企业作样本，有如下资料：

完成下列要求：

（1）计算x 与y 的相关系数；

（2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验；

（3）设回归直线方程为a bx y

+=?，求系数b a 、． 解：（1

;806.0)

7.16510277119)(7.771070903(7.1657.77101329292

2

≈?-?-??-=

r

即x 与y 的相关系数806.0≈r ；

（2）查表显著性水平0.05，自由度10－2＝8相应的相关系数临界值6319.005.0=r ；因为，05.0r r >，所以，可以认为x 与y 之间具有线性相关关系．

（3）;397.07.7710709037

.1657.77101329292

≈?-??-=

b

.8.1347.77397.07.165=?-=a

统计与统计案例真题与解析

统计与统计案例 A 级 基础 一、选择题 1．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝( ) A ．860 B ．720 C ．1 020 D ．1 040 2．为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( ) A ．13 B ．19 C ．20 D ．51 3．“关注夕阳、爱老敬老”——某爱心协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了第x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (单位：万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程y ^ ＝mx ＋0.35，则预测2019年捐赠的现金大约是( ) A.5万元 C ．5.25万元 D ．5.5万元 4．如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )

A.3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7 5．(2019·衡水中学检测)某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按(0，10]，(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]分组，得到频率分布直方图如下： 记甲种酸奶与乙种酸奶的日销售量(单位：箱)的方差分别为s21，s22，则频率分布直方图(甲)中的a的值及s21与s22的大小关系分别是() A．a＝0.015，s21s22 C．a＝0.015，s21>s22D．a＝0.15，s21

2019年高考数学统计案例(文科) 含解析

统计案例 一、选择题 1．(2018·长春一模)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是( ) A ．①简单随机抽样，②系统抽样 B ．①分层抽样，②简单随机抽样 C ．①系统抽样，②分层抽样 D ．①②都用分层抽样 答案：B 解析：因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以①用分层抽样法；从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样法，故选B. 2．(2018·贵州遵义联考)某校高三年级有1 000名学生，随机编号为0001,0002，…，1 000.现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是( ) A ．0927 B ．0834 C ．0726 D ．0116 答案：A 解析：系统抽样就是等距抽样，被抽到的编号满足0122＋5k ，k ∈Z .因为0927＝0122＋5×161，故选A. 3．(2018·江西九校联考(一))一组数据共有7个数，其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则这个数的所有可能值的和为( ) A ．3 B ．17 C ．－11 D ．9 答案：D 解析：设这个数是x ，则平均数为25＋x 7，众数为2，若x ≤2，则

中位数为2，此时x ＝－11，若2

专题五 第1讲 统计与统计案例(解析版)

第1讲 统计与统计案【典例】 【要点提炼】 考点一 统计图表 1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率 组距. 2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数． 频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 【热点突出】 【典例】1 (1)(多选)(2020·新高考全国Ⅱ)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( ) A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加 B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量 C ．第3天至第11天复工复产指数均增大都超过80% D ．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量 【答案】 CD (2)学校为了了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查．根

据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示： 将阅读时间不低于30分钟的学生称为“阅读霸”，则下列结论正确的是( ) A．抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸 B．该校只有50名学生不喜欢阅读 C．该校只有50名学生喜欢阅读 D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸 【答案】 A 【解析】根据频率分布直方图可列下表： 阅读时间(分 钟) [0,10 ) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 抽样人数(名) 10 18 22 25 20 5 抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校约有一半学生为阅读霸． 易错提醒(1)对于给出的统计图表，一定要结合问题背景理解图表意义，不能似懂非懂． (2)频率分布直方图中纵坐标不要误以为频率． 【拓展训练】1 (1)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )

高中数学 专题 统计与统计案例

一、选择题 1．利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( ) A ．73 B ．78 C ．77 D ．76 解析：样本的分段间隔为80 16＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5 ＝78.故选B. 答案：B 2．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量如下表所示： 则这20A ．180,170 B ．160,180 C ．160,170 D ．180,160 解析：用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 答案：A 3．(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

解析：根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A 错误．由图可知，B 、C 、D 正确． 答案：A 4．(2018·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( ) A ．5 B ．7 C ．10 D ．50 解析：根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50. 答案：D 5．(2018·兰州模拟)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据： 根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^ ＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 解析：∵x ＝2＋4＋5＋6＋8 5＝5， y ＝ 30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m 5 ， ∴当x ＝5时，y ＝6.5×5＋17.5＝50， ∴190＋m 5＝50，解得m ＝60. 答案：D

(新人教A版)2020版高考数学大一轮复习第九章统计第3节变量间的相关关系与统计案例讲义理

考试要求 1.了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性；2.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件，会用一元线性回归模型进行预测；3.理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用. 知 识 梳 理 1.相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^ ＝b ^ x ＋a ^ ，则b ^ ＝∑n i ＝1 (x i －x － )(y i －y － )∑n i ＝1 (x i －x － )2＝∑n i ＝1 x i y i －nx － y － ∑n i ＝1 x 2 i －nx －2，a ^＝y －－b ^x －.其中，b ^是回归方程的斜率，a ^ 是在y 轴上的截距. 回归直线一定过样本点的中心(x － ，y － ). 3.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x － ，y － )称为样本点的中心. (3)相关系数 当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关. r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强. r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.

高中数学统计与统计案例概率知识点上课讲义

高中数学统计与统计案例概率知识点

统计与统计案例概率（文科） 知识点 1．抽样调查 (1)抽样调查 通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行______，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出______，这就是抽样调查． (2)总体和样本 调查对象的称为总______体，被抽取的称为样______本． (3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点： ①______ ②节约人力、物力和财力． 2．简单随机抽样 (1)简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率． (2)通常采用的简单随机抽样的方法：_____ 3．分层抽样 (1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样． (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 4．系统抽样 系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按______(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机

械抽样． 5．统计图表 统计图表是______数据的重要工具，常用的统计图表有______ 6．数据的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数． 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在______位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数． 平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )． 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该______ (2)样本方差 标准差s ＝ 1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]， 其中x n 是样本数据的第n 项，n 是，______x 是______ 标准差是刻画数据的离散程度的特征数，样本方差是标准差的______．通常用样本方差估计总体方差，当______时，样本方差很接近总体方差． 7．用样本估计总体 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是______，另一种______． (2)在频率分布直方图中，纵轴表示，______数据落在各小组内的频率用______表示，各小长方形的面积总和等于.______ (3)在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图． (4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它没有信息的缺失，而且______，方便表示与比较．

2015届高考数学二轮专题训练：专题七 第3讲 统计与统计案例

第3讲 统计与统计案例 考情解读 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题． 1．随机抽样 (1)简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少． (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多． (3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2．常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距× 频率 组距 ＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1； ③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1 组距. (2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数

(2)方差：s 2＝1 n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． 标准差： s ＝ 1 n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 4．变量的相关性与最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数． (2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求Q ＝∑i ＝1 n (y i －a －bx i )2 最小时，得到线性回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 的方法叫做最小二乘法． 5．独立性检验 对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是 则K 2 (χ2 )＝n (ad －bc )2 (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ) (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)． 热点一 抽样方法 例1 (1)(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 (2)(2014·石家庄高三调研)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________． 思维启迪 (1)系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取号码的间隔相同；(2)分层抽样最重要的是各层的比例． 答案 (1)B (2)200 解析 (1)由840 42＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为 720－48020＝240 20 ＝12. (2)本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x ，所以1603 200＝160－150 x ，所以x ＝200.

专题突破练20 统计与统计案例

专题突破练20 统计与统计案例 1. (2020吉林辽源高三检测,18)某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数.满分为100分).从中随机抽取一个容量为120的样本.发现所有数据均在[40,100]内.现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,回答下列问题: (1)算出第三组[60,70)的频数,并补全频率分布直方图; (2)请根据频率分布直方图,估计样本的众数、中位数和平均数.(每组数据以区间的中点值为代表) 2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,17)建立模型①;y ^ =-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y ^ =99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.

3.(2020河南郑州高三检测,19)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表: (3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K2=n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+b+c+d.

统计与统计案例(文科)

统计与统计案例 第一节随机抽样 1.下面的抽样方法是简单随机抽样的是( ) A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见 D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验 答案：D 2.总体由编号为01，02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( ) 答案：D 3.为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ) A．50 B．40 C．25 D．20 答案：C 4.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A．11 B．12 C．13 D．14 答案：B 5.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示． 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． 答案：4 6.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在

抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( ) A．90 B．100 C．180 D．300 答案：C 7.某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________． 答案：5 8.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝() A．54 B．90 C．45 D．126 答案：B 9.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人). 从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________． 答案：30 10.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 答案：1800 11.某市有A、B、C三所学校，共有高三文科学生1 500人，且A、B、C三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取________人． 答案：40

数学： 专题十五 统计、统计案例

专题十五 ? ?? 统计、统计案例 [题组全练]

1．(2018·石家庄模拟)某校高一年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为140的样本，则此样本中男生人数为() A．80B．120 C．160 D．240 解析：选A因为男生和女生的比例为560∶420＝4∶3，样本容量为140，所以应该 抽取男生的人数为140× 4 4＋3 ＝80，故选A. 2．(2018·南宁模拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为() A．100,20 B．200,20 C．200,10 D．100,10 解析：选B由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20，故选 B. 3．从30个个体(编号为00～29)中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为() 92644607202139207766381732561640 5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814 2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815 5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702 9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488 A．76,63,17,00B．16,00,02,30 C．17,00,02,25 D．17,00,02,07 解析：选D在随机数表中，将处于00～29的号码选出，满足要求的前4个号码为17,00,02,07. 4．(2019届高三.南昌调研)某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2， (63) 依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8

高考一轮复习变量间的相关关系与统计案例

第3讲 变量间的相关关系与统计案例 【2015年高考会这样考】 以选择题或填空题的形式考查回归分析及独立性检验中的基本思想方法及其简单应用． 【复习指导】 高考在该部分的主要命题点就是回归分析和独立性检验的基础知识和简单应用．复习时要掌握好回归分析和独立性检验的基本思想、方法和基本公式． 基础梳理 1．相关关系的分类 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关． 2．线性相关 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． 3．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法． (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据： (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则 ?? ??? b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2 ＝ ∑i ＝1n x i y i －n x y ∑i ＝1 n x 2i －n x 2 ， a ^＝y －b ^ x . 其中，b 是回归方程的斜率，a 是在y 轴上的截距． 4．样本相关系数

r＝ ∑ i＝1 n (x i－x)(y i－y) ∑ i＝1 n (x i－x)2∑ i＝1 n (y i－y)2 ，用它来衡量两个变量间的线性相关关系． (1)当r＞0时，表明两个变量正相关； (2)当r＜0时，表明两个变量负相关； (3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 5．线性回归模型 (1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差． (2)相关指数 用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝，R2的值越大，说明残差 平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好． 6．独立性检验 (1)用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量．例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等． (2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表． (3)一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 2×2列联表 y1y2总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝n(ad－bc)2 (a＋b)(a＋c)(c＋d)(b＋d) (其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，可利用独立性检验

统计与统计案例(文科)教程文件

统计与统计案例(文科)

统计与统计案例 第一节随机抽样 1.下面的抽样方法是简单随机抽样的是( ) A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见 D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验 答案：D 2.总体由编号为01，02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( ) 答案：D 3.为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ) A．50 B．40 C．25 D．20 答案： C 4.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A．11 B．12 C．13 D．14 答案：B 5.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示． 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． 答案：4 6.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，

在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( ) A．90 B．100 C．180 D．300 答案：C 7.某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________． 答案：5 8.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝() A．54 B．90 C．45 D．126 答案：B 9.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人). 个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________． 答案：30 10.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 答案：1800 11.某市有A、B、C三所学校，共有高三文科学生1 500人，且A、B、C三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取________人． 答案：40

统计案例分析典型例题

统计案例分析及典型例题 §抽样方法 1.为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个问题中，总体的一个样本是 . 答案 200个零件的长度 2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004户，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户，现要从中抽取容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法：①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样中的 . 答案①②③ 3.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人.现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为 . 答案3，9，18 4.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n= . 答案80 例1某大学为了支援我国西部教育事业，决定从2007应届毕业生报名的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组.请 用抽签法和随机数表法设计抽样方案. 解抽签法： 第一步：将18名志愿者编号，编号为1，2，3， (18) 第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签； 第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀； 第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号； 基础自测

第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员. 随机数表法： 第一步：将18名志愿者编号，编号为01，02，03， (18) 第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按任意方向读数，比如第8行第29列的数7开始，向右读； 第三步：从数7开始，向右读，每次取两位，凡不在01—18中的数，或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得到12，07，15，13，02，09. 第四步：找出以上号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员. 例2 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施. 解 （1）将每个人随机编一个号由0001至1003. （2）利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除. (3)将剩余的1 000名工人重新随机编号由0001至1000. （4）分段，取间隔k= 10 0001=100将总体均分为10段，每段含100个工人. （5）从第一段即为0001号到0100号中随机抽取一个号l. （6）按编号将l ，100+l ，200+l,…，900+l 共10个号码选出，这10个号码所对应的工人组成样本. 例3 （14分）某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人 的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法并写出具体过程. 解 应采取分层抽样的方法. 3分 过程如下： （1）将3万人分为五层，其中一个乡镇为一层. 5分 （2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×153=60（人）；300× 15 2 =40（人）； 300×155=100（人）；300×15 2=40（人）； 300× 15 3=60（人）， 10分 因此各乡镇抽取人数分别为60人，40人，100人，40人，60人. 12分 （3）将300人组到一起即得到一个样本. 14分

2021届高三新题数学9月(适用新高考)专题二十 统计与统计案例(原卷版)

专题二十 统计与统计案例 一、单选题 1．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ≥， 1x ，2x ，……，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =???都在直线2 15 y x = +上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A ．-1 B ．0 C ． 12 D ．1 二、多选题 2．（2020·江苏省丰县中学期末）某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算2K 的观测值 5.059k ≈，则可以推断出（ ） 附： A ．该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为 2 3 ； B ．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意； C ．有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异； D ．有99%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异. 第II 卷（非选择题）

三、解答题 3．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200名员工中0090的人使用微信，其中每天使用微信时间少于一小时的有60人，其余的员工每天使用微信时间不少于一小时，若将员工分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，那么使用微信的人中0075是青年人.若规定：每天使用微信时间不少于一小时为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中 2 3 都是青年人. （1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，完成22?列联表： （2）由列联表中所得数据判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“经常使用微信与年龄有关”？ 2 2 ()()()()() n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 4．（2020·江苏泰州·期末）某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x ， y 的数据如下：

2019版高考数学总复习第十章算法初步统计统计案例58变量间的相关关系与统计案例课时作业文20180

课时作业 58 变量间的相关关系与统计案例 一、选择题 1．(2018·石家庄模拟(一))下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(x －，y － ) B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1 C ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 D ．在回归直线方程x ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^ 平均增加0.2个单位 解析：本题考查命题真假的判断．根据相关定义分析知A ，B ，D 正确；C 中对分类变量 X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故 C 错误，故选C. 答案：C 2．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －－b ^x － .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元 解析：∵x －＝10.0，y －＝8.0，b ^＝0.76，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴回归方程为y ^ ＝0.76x ＋0.4，把x ＝15代入上式得，y ^ ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 答案：B 3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 合计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 由K 2 ＝ n ad －bc 2a ＋b c ＋ d a ＋c b ＋d ，

3 第3讲 变量间的相关关系、统计案例

第3讲 变量间的相关关系、统计案例 1．变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． 2．两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． (2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． (3)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^ ＝，a ^＝y －－b ^x －． (4)相关系数 当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关． r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3．独立性检验 (1)2×2列联表：假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为： y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d a ＋ b ＋ c ＋d (2)K 2K 2＝ n （ad －bc ）2 （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( ) (2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．( )

高考文科数学二轮复习统计与统计案例

第2讲统计与统计案例 [做小题——激活思维]s 1．采用系统抽样的方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将800人随机编号为1,2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，在抽到的40人中，编号落入区间[1,200]的人做试卷A，编号落入区间[201,560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为() A．10B．12C．18D．28 [答案]B 2．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人，现按分层抽样的方法从该校的所有教师中抽取56人进行某项调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师人数为() A．81 B．152 C．182 D．202 [答案]C 3．为了参加端午节龙舟赛，某龙舟队进行了6次测试，测得最 大速度(单位：m/s)的茎叶图如图所示，则6次测试的最大速度的平 均数为________m/s，方差为________． [答案]3347 3

4．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据，第i 次试验零件个数x i (单位：个)与加工零件所花费时间 y i (单位：小时)的数据资料，算得∑10i ＝1 x i ＝80，∑10i ＝1 y i ＝20，∑10i ＝1 x i y i ＝184，∑10i ＝1 x 2i ＝720，那么加工零件所花费时间y 对零件个数x 的线性回归方程为________． y ^ ＝0.3x －0.4 [由题意知 n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1 x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑n i ＝1 y i ＝20 10＝2， 又∑n i ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， ∑n i ＝1 x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^ x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ^ ＝0.3x －0.4.] 5．在西非“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表： 感染与服用疫苗有关”． 0．05 [由题意算得， K 2 ＝100×(10×30－20×40)250×50×30×70 ≈4.762＞3.841，