指数函数综合应用
1．设0>a 且1≠a ，函数122-+=x x a a y 在[]1,1-的最大值是14，求a 的值。 【答案】33
1
==
a a 或 试题解析：令)1,0(≠>=a a a t x
，则原函数化为)0(2)1(122
2
>-+=-+=t t t t y 2分
①当10< ??? ?∈=-∈a a a t x x 1,,1,1 3分 此时)(t f 在??????a a 1,上为增函数，所以142)11 ()1()(2max =-+==a a f x f 6分 所以3 1 (51 = -=a a 舍）或 7分 ②当1>a 时，[]?? ? ???∈=-∈a a a t x x ,1,1,1 8分 此时)(t f 在?? ????a a ,1上为增函数，所以142)1()()(2max =-+==a a f x f 10分 所以3(5=-=a a 舍）或 11分 综上33 1 == a a 或 12分 考点：1，函数单调性 2，函数奇偶性.3，换元法. 2．已知函数 定义域为，若对于任意的 ，都有 ，且 时，有 . （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性； （3）设,若 < ,对所有 恒成立,求实数 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 试题解析：（1）因为有， 令，得，所以 ， 令可得： 所以，所以 为奇函数. （2） 是定义在 上的奇函数,由题意 则， 由题意 时，有 . ， 是在 上为单调递增函数; （3）因为 在 上为单调递增函数，所以 在 上的最大值为 ， 所以要使<,对所有 恒成立， 只要 >1,即 >0恒成立 令 得： 考点：（1）函数奇偶性的证明。（2）函数单调性的证明。（3）运用函数思想及函数性质解决恒成立问题。 3．（本小题满分12分）已知函数1 1 )(+-=x x e e x f ． （1）判断)(x f 的奇偶性． （2）判断)(x f 在R 上的单调性，并用定义证明． （3）是否存在实数t ，使不等式0)()(2 2 ≥-+-t x f t x f 对一切]2,1[∈x 恒成立？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）)(x f 的奇函数． （2）)(x f 在R 上是增函数，证明见解析． （3）12≤≤-t 试题解析：（1）R x ∈)(1111)(x f e e e e x f x x x x -=+-=+-=--- )(x f ∴是奇函数． 3分 （2）任取x 1，x 2∈R ，且x 1 ) 1)(1()(2)()(2 12121++-=-x x x x e e e e x f x f ，∵x 1 1x x e e <，∵0)1)(1(21>++x x e e ， ∴f （x 1）－f （x 2）<0，即f （x 1） 由f （x ）是R 上的奇函数，不等式f （x －t ）＋f （x 2－t 2 ）≥0可化为f （x －t ）≥－f （x 2－t 2），即f （x －t ）≥f （－x 2＋t 2），又f （x ）是R 上的增函数，∴f （x －t ）≥f （－x 2＋t 2）等价于x －t ≥－x 2＋t 2 ， 即x 2 ＋x －t 2 －t ≥0对一切]2,1[∈x 恒成立，即t t x x +≥+2min 2)( 9分 即t t +≥22解得12≤≤-t 综上所述，存在12≤≤-t 使不等式f （x －t ）＋f （x 2－t 2 ）≥0对一切]2,1[∈x 恒成 立． 12分 考点：1、函数的奇偶性判断；2、函数单调性的证明；3、关于含参数的恒成立问题； 2、用定义证明函数的单调性，一般的思路是：设点，作差，变形，判断符号，3、含参数的恒成立问题一般采用参变分离的方法． 4．已知)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且1)1(=f ，若[]0,1,1,≠+-∈n m n m 时， 有 0) ()(>++n m n f m f （1）证明 )(x f 在[]1,1-上是增函数； （2）解不等式0)33()1(2 <-+-x f x f （3）若12)(2 +-≤at t x f 对[][]1,1,1,1-∈-∈?a x 恒成立，求实数t 的取值范围 【答案】（1）详见解析（2） ?? ? ??∈34,1x （3）022=-≤≥t t t 或或 【解析】 试题分析：（1）利用定义法任取 1121≤<≤-x x 得 12()()f x f x -=12()() f x f x +-121212 ()() () f x f x x x x x +-= --因 为 0,0) ()(212 121<->--+x x x x x f x f 即可证明12()()f x f x <．（2）根据函数单调性确定 ?? ???≤-≤-≤-≤--<-1 33111133122x x x x 即可解得??? ??∈34,1x ．（3）因为)(x f 在[]1,1-是单调递增函数且 max ()f x ＝1，所以只要f(x ）的最大值小于等于221t at -+即2211t at -+≥，然后即 可求得t 的范围. 试题解析：（1）任取1121≤<≤-x x ， 则)() ()()()()()(212 1212121x x x x x f x f x f x f x f x f ---+= -+=- 2分 0)(,112121≠-+∴≤<≤-x x x x ，由已知 0,0) ()(212 121<->--+x x x x x f x f 4分 0)()(21<-∴x f x f ，即)(x f 在[]1,1-上是增函数 5分 （2）因为 )(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且在[]1,1-上是增函数 不等式化为 )33()1(2-<-x f x f ，所以 ?? ???≤-≤-≤-≤--<-1 33111133122x x x x ，解得??? ??∈34,1x 9分 （3）由（1）知)(x f 在[]1,1-上是增函数，所以)(x f 在[]1,1-上的最大值为1)1(=f ， 要 使 12)(2+-≤at t x f 对 [][]1,1,1,1-∈-∈?a x 恒成立，只要 0211222≥-?≥+-at t at t 10分 设[]0)(,1,1,2)(2 ≥-∈?-=a g a at t a g 对恒成立， 11分 所以??????≤≥-≤≥?≥-=≥+=-022 00 2)1(02)1(2 2t t t t t t g t t g 或或 13分 所以022=-≤≥t t t 或或 14分 考点：1，函数单调性2，函数奇偶性3，含参函数不等式求解. 5．已知函数2 ()1f x x =-，()1g x a x =-． （Ⅰ）若()()f x g x =有且仅有两个不同的解，求a 的值； （Ⅱ）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若0a <时，求()()()G x f x g x =+在[2,2]-上的最大值． 【答案】（Ⅰ）0a =或2a =；（Ⅱ）2a ≤-；（Ⅲ）max 0, 3 ()3,30 a G x a a ≤-?=? +-< 试题解析：（Ⅰ）211x a x -=-，∴1x =或1x a += ∴0a =或2a = （Ⅱ）2 11x a x -≥- ①若1x =，a R ∈； ②若1x ≠，则2min 11x a x ?? -≤ ? ?-?? ()()()()21,12+111,1-2+x x x x x x +>∈∞?-?=? ---<∈∞?? ， ， ， ∴2a ≤- （Ⅲ）22 21,[2,1] ()1,(1,1)1,[1,2]x ax a x G x x ax a x x ax a x ?-+-∈--?=--++∈-??+--∈? 若22 a ≤-，即4a ≤-，则22a -≥ 所以，()G x 在[2,1]--上递增，(1,1)-上递增，[1,2]上递减， 所以，max ()(1)0G x G == 若212a -< <-，即42a -<<-，则122 a <-< 所以，()G x 在2,2a ??-??? ?递减，,12a ??- ???递增，(1,1)-递增，1,2a ??- ?? ?递减，,22 a ??-???? 递 增 又()G 233a =+，()G 10=，()G 23a =+ 所以，当43a -<≤-时，max ()(1)0G x G == 当32a -<<-时，()()max G G 23x a ==+ ③若102a -≤ <，即20a -≤<，则012 a <-≤ 所以，()G x 在[2,1]--上递增，1,2a ? ?-- ???上递增，,12a ??- ??? 上递减，[1,2]上递减， 又(2)33G a -=+，2 124a a G a ??-=++ ??? ，(2)3G a =+ 由于2 314 a a a +>++，所以max ()(2)3+G x G a == 综上，max 0, 3 ()3,30a G x a a ≤-?=? +-< 考点：函数的图象与性质的应用；绝对值不等式的求解． 6．已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈． （1）若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明； （2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； （3）若存在实数[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）奇函数，（2）11a -≤≤，(3) 9 18 t << 试题解析：（1）函数()y f x =为奇函数．[来 当0a =时，()||2f x x x x =+，x R ∈，∴()||2||2()f x x x x x x x f x -=---=--=- ∴函数()y f x =为奇函数； 3分 （2）22(22)(2)()(22)(2) x a x x a f x x a x x a ?+-≥=?-++ 1x a =-； 当2x a <时，()y f x =的对称轴为：1x a =+；∴当121a a a -≤≤+时，()y f x =在R 上是增函数，即11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数； 7 分 （3）方程()(2)0f x tf a -=的解即为方程()(2)f x tf a =的解． ①当11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数，∴关于x 的方程()(2)f x tf a =不可能有三个不相等的实数根； 9分 ②当1a >时，即211a a a >+>-，∴()y f x =在(,1)a -∞+上单调增，在(1,2)a a +上单调减，在(2,)a +∞上单调增，∴当(2)(2)(1)f a tf a f a <<+时，关于x 的方程 ()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即2 44(1) a t a a ∴11 1(2)4t a a << ++． 设11 ()(2)4h a a a =++，∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不 相等的实数根，∴max 1()t h a <<，又可证11 ()(2)4h a a a =++在(1,2]上单调增 ∴max 9 ()8 h a =∴918t <<； 12分 ③当1a <-时，即211a a a <-<+，∴()y f x =在(,2)a -∞上单调增，在(2,1)a a -上单调减，在(1,)a -+∞上单调增， ∴当(1)(2)(2)f a tf a f a -<<时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根； 即2(1)44a t a a -- 1(2)4t a a <<- +-， 设11()(2)4g a a a =-+- ∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t g a <<，又可证11 ()(2)4g a a a =-+-在[2,1)--上单调减∴max 9()8g a = ∴9 18 t << ； 15分 综上：9 18 t <<． 16分 考点：函数奇偶性，函数单调性，函数与方程. 对应学生用书P 110 基础达标 一、选择题 1．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1 2，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1 2 ) D ．(－12，1 2 ) 解析：由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0. 答案：B 2．(2010·温州十校联考)函数y ＝2x ＋1 的图象是( ) 解析：函数y ＝2x 的图象是经过定点(0,1)、在x 轴上方且单调递增的曲线，依据函数图象的画法可得函数y ＝2x ＋1 的图象单调递增且过点(0,2)，故选A. 答案：A 3．函数y ＝(12)1－ x 的单调递增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0,1) 解析：定义域为R . 设u ＝1－x ，y ＝(1 2 )u . ∵u ＝1－x 在R 上为减函数， 且y ＝(1 2)u 在(－∞，＋∞)为减函数， ∴y ＝(12)1－ x 在(－∞，＋∞)是增函数，∴选A. 答案：A 4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－ 1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 解析：y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－ 1.5＝21.5.因为函数y ＝2x 在R 上是增函数， 且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2. 答案：D 5．已知函数f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)，则函数y ＝f (x )的图象是( ) 解析：∵f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)， ∴f (x )在(0,2)内单调递减， ∴01，－10，函数y ＝(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是______________． 解析：因为x >0时，y ＝(a 2－8)x 的值大于1恒成立，则a 2－8>1，即a 2>9，解得a >3或a <－3. 一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》（人教版）第二章（2.1.2） 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 （一）内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况，我把这部分内容分为两节课来讲。其一，探究图象及其性质；其二，指数函数及其性质的应用。这是第一节课，所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数，它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 （二）目标和目标解析 1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 （三）教学问题诊断分析 指数函数性质应用（一） 教学目标：1、掌握指数函数定义式的应用 2、会求定点，会求指数函数和其它函数综合的定义域，值域 难点，重点：性质的灵活运用 回顾指数函数的定义和性质 定义： 定义域： 值域： 过定点： 活动一：定义式的应用 例1、 若函数2(55)x y a a a =-+?为指数函数，求a 的值 例2、 若指数函数图像过点(2,4)，求(2)f 练习：函数223()(1)x x f x a m a +-=+>的图像恒过定点(1,10)，求m 活动二：过定点问题 复习平移变换(0)a > ()y f x = ()y f x a =+ ()y f x = ()y f x a =- ()y f x = ()y f x a =+ ()y f x = ()y f x a =- 例3、 函数1x y a +=过定点 思考：函数1x y a +=的图像由x y a =的图像经过怎么样的平移得到的？ 例4、 函数12x y a -=+(0,1)a a >≠过定点 思考：函数12x y a -=+(0,1)a a >≠图像由x y a =图像经过怎么样的平移得到的？ 例5、 函数3x y m =+的图像不经过第二象限，求m 的取值范围？ 思考：如果13x y m +=+呢？ 活动三：定义域、值域问题 例6、求下列函数的定义域、值域 （1）y y =153-x (3)y =2x +1 ⑷ 112x x y -+= 例7、设[0,2]x ∈求4425x x y =-?+的值域 例8、求下列函数的值域 ①31 31x x y -=+ ②3131x x y +=- 指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型，会根据数量关系建构、解决函数 模型； 2、掌握互化的方法，在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用； 3、通过实际问题的解决，渗透数学建模的思想，提高学生的数学学习兴趣． 【课前知识整理】 1、指数函数、对数函数的图像和性质： a 1 0 a 1 图 象 （ 1）定义域： 性 （ 2）值域： 质 （ 3）过定点： （ 4）在 ______上是 ________函数． （ 4）在 ______上是 ________函数． 2、指数函数与对数函数的互化： y a x x l o g a y ( a 0,a 1 ) 【基础练习】 、若 9 x 1 ，则 x= ( ) 1 3 A. 1 B. 1 C.2 D.1 2 2 2 2、若函数 h( x) lg( x x 2 1) ， h( 1) 1.62 ，则 h( 1) （ ） x 2 A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3 若 log ( x a) log a 2 log x 有解，则 a 的取值范围是 （ ） A. 0 a 1或 a 1 B. a 1 C. a 1 或 1 a D. a 1 4、某工厂某设备价值 50 万元，且每年的综合损耗是 3%，若一直销售不下去，经过多少年其价值降低为 36 万元。（精确到 1 年） 【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题． 例1、一项技术用于节约资源，使谁的使用量逐月减少，若一工厂用这一技术， 则该工厂的用水量是 5000 m3，计划从二月份，每个月的用水量比上一个月都减 少 10%，预计今年六月份的用水量约是多少？（精确到1m3） 活动二指数函数与对数函数模型的互化． 例2、某种储蓄利率为 2.5%，按复利计算，若本金为 30000 元，设存入 x 期后的本金和利息为 y 元． （ 1）写出 y 随 x 变化的函数； （ 2）若使本利和为存入时的 1.5 倍，应该存入多少期？ 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数，若牛奶放在 0 摄氏度的冰箱中，保鲜时间是 192 小时，而在 22 摄氏度的厨房中则是 42 小时． （1）写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数关系式； （2）利用（ 1）中的结论，指出温度在 30 摄氏度到 16 摄氏度的保鲜时间． 【课后检测】 1、一批设备价值 a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 b %，则 n 年后这批设备的价值为（） C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n A、 na (1-b%) B、a (1- nb %) 2、方程 2 x x2 2 的实数解的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质，每年有10% 的变化，设该放射性物质原来的质量为 a 克．（1）写出它的剩余量 y 随时间 x 变化的函数关系； （2）经过多少年它的原物质是原来的一半． [A 基础达标] 1．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是( ) A.??? ?－53，1 B ．[－1，1] C.????1，53 D ．[0，1] 解析：选A.f (x )在R 上是增函数，由f (－1)＝－53 ，f (1)＝1得当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是??? ?－53，1. 2．设f (x )＝????12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 解析：选D.f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，排除A 、C ；当x >0时，y ＝????12x 为减函数，排除B.故选D. 3．函数y ＝6x 与y ＝－6－x 的图像( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称 解析：选C.y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称． 4．函数y ＝????12x 2－2在下列哪个区间上是减少的( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析：选B.设u ＝x 2－2，u 在(－∞，0]是减函数，在[0，＋∞)上是增加的，y ＝????12u 是 减函数， 所以y ＝????12x 2 －2在[0，＋∞)上是减少的． 5．下列图像中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝ ????b a x 的图像只可能是( ) 解析：选A.由指数函数图像可以看出0 课题：指数函数的实际应用（二） ——金融投资理财应用 授课人：马欣 授课时数：1课时 授课班级：经贸14级1班 一、教学目标： 知识与技能：理解利率、年化利率、保险理财、余额宝、P2P理财等金融知识；了解指数型函数模型，会将金融实际问题抽象成数学问题，建立适当模型求解； 过程与方法：从介绍金融投资理财知识开始，通过个人金融行为的实际问题，理解题意、感悟含义，从实际问题中抽象出数学问题，用数学的语言来表达实际问题，结合指数函数知识，解决实际问题，从而体会到数学的实用性。 情感态度与价值观：培养具体与抽象思维之间的转化，在建立模型的过程中，体验“化归”的数学思想，让学生发现生活中的数学，发现数学的工具性在各学科内的渗透。 二、教学重点、难点： 建立适当的函数模型，注意函数知识与之联系。 三、教学流程 （一）知识准备： 百度百科： 1、利率表示一定时期内利息量与本金的比率，通常用百分比表示，按年计算则称为年利率。其计算公式是：利息率= 利息量/ （本金x时间）×100%。加上x100%是为了将数字切换成百分率。 2、年化利率：年化利率是通过产品的固有收益率折现到全年的利率。 3、理财保险：通过保险进行理财，是指通过购买保险对资金进行合理安排和 规划，防范和避免因疾病或灾难而带来的财务困难，同时可以使资产获得理想的保值和增值。 4、余额宝是支付宝打造的余额增值服务。把钱转入余额宝即购买了由天弘基 金提供的余额宝货币基金，可获得收益。余额宝内的资金还能随时用于网购支付，灵活提取。特点：把钱转入余额宝，可以获得一定的收益。支持支付宝账户余额支付、储蓄卡快捷支付（含卡通）的资金转入。不收取任何手续费。通过“余额宝”，用户存留在支付宝的资金不仅能拿到“利息”，而且和银行活期存款利息相比收益更高。 5、P2P理财是指以公司为中介机构，把借贷双方对接起来实现各自的借贷需求。借款方可以是无抵押贷款或是有抵押贷款，而中介一般是收取双方或单方的手续费为盈利目的或者是赚取一定息差为盈利目的的新型理财模式。 （一）银行个人存款 例1：以银行整存整取2年为例，年利率为2.5%，存入1万元，2年后可取出多少钱？利息是多少？ 本息：10506 ?元 100002≈ + %) 5.2 1( 利息：10506-10000=506元 小结：在解决应用问题时，其关键是能够正确理解题意，从而建立目标函数，进而将生活实际问题转化为数学问题，同时要结合具体问题的实际意义确定函数的定义域。 （二）余额宝 例2：2015年10月18日，余额宝公布的年化利率为2.975%，如果你在余额宝转入1万元，并且一直不使用这笔金额。 （1）试建立余额宝帐户资金年增长模型的数学解析式； （2）2年后，你在余额宝的资金增长为多少元？ 解：（1）x ? = 10000+ .2 y%) 1( 975 （2）当2 x时，10604 = ? = y元 %) + 975 100002≈ .2 1( （三）分红型保险（以平安鑫祥两全保险为例） 例3：某35岁男性，投保平安鑫祥两全保险（分红型），基本保险金额5 指数函数及其性质教案 一、教学目标： 1．通过观察、分析，归纳探究指数函数的概念，并能判断给出的具体函数是否是指数函数. 2. 会画指数函数的图象，从借助计算机画出的多个指数函数的图象中，能观察归纳出指数函数的的有关性质。至少能说出四条。 3.能根据图象或指数函数的性质判断两个具体的同底数的指数幂值的大小，以及具体的不同底数而同指数的两个指数幂值的大小. 4. 在学习的过程中，体会探究指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等． 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 < 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景： 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝2x 。 问题2：一根1米长的绳子，第1次剪去绳长的一半，第2次再剪去剩余绳子的一半，剪了x 次后，绳子的剩余长度y与x有怎样的关系学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝1 x。 () 2 （二）导入新课： 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数 y＝2x、y＝ 1 () 2 x分别以0 课时分层作业(十六) 指数函数及其性质的 应用 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．三个数a ＝(－0.3)0，b ＝0.32，c ＝20.3的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a C [∵a ＝(－0.3)0＝1，b ＝0.32＜0.30＝1，c ＝20.3＞20＝1， ∴c ＞a ＞b .故选C.] 2．若? ????122a ＋13－2a ，∴a >12.] 3．若函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???－∞，12 B.? ???? 12，＋∞ C.? ?? ?? 12，1∪(1，＋∞) D.? ?? ??12，1 A [由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3的单调性与y ＝(2a －1)x ＋3的单调性相同．因为函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3 在R 上是减函数，所以y ＝(2a －1)x ＋ 3在R 上是减函数，所以2a －1<0，即a <12，从而实数a 的取值范围是? ? ???－∞，12， 选A.] 4．已知函数f (x )＝3x －? ?? ??13x ，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数 A [因为f (x )＝3x －? ????13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－ x －? ????13－x ＝? ?? ??13x －3x ＝－???? ?? 3x －? ????13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． 又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝? ????13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －? ?? ??13x 在R 上是增函数．] 5．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( ) A ．6 B ．1 C ．3 D ．32 C [函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，故x ＝1时，y max ＝3.] 二、填空题 6．已知a ＝ 5－12 ，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． m 指数函数综合运用 1.已知集合M ={}? ?? ? ??∈<<=-+Z x x N x ,422 1|,1,11，则M N= . 2.化简： 3 42 14 13 2 2 3)(a b b a ab b a ?= )0,0(>>b a 3.6 .02 .02 .04.0,4.0,2的大小顺序为 . 4.如图中曲线C 1、C 2、C 3、C 4分别是x a y =，x b y =，x c y =， x d y =的图象，则d c b a ,,1,,的 大小关系是 5.函数)1,0(11≠>+=-a a a y x 图象过定点__________ 6.已知函数1 21 )(+-=x a x f 为奇函数，则=a . 7.若函数1 ()21 x f x a =--是定义在(][),11,-∞-+∞上的奇函数，则 ()f x 的值域 是 ． 8.不等式28 2144x x --??> ??? 的解集为_____________ 9.函数R x y x x ∈=-,)2 1(22 的单调增区间为__________,值域为__________ x y C 4 C 3 C 2 C 1 O 10.函数???≥<-+-=) 0()0(33)(x a x a x x f x 在R 上递减，则a 的范围是 . 11.函数21 21 x x y -=+的值域为 ． 12.已知a 2 1＋a 2 1-＝3,求下列各式的值. (1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2； (3) 2 12 1232 3- - --a a a a . 13.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝12x --，求不等式f (x )<－1 2 的解 集． 14.已知函数()1 21 2-+=x x x f ， （1）求函数()x f 的值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）判断 函数在） ，（∞+0上的单调性 课 题 指数函数与对数函数综合运用 教学目标 熟练掌握指数、对数函数的定义、图像、性质等基本知识，在此基础上加强对其涉及到的问题的解答和理解。 重点、难点 重点：掌握指数函数、对数函数定义、图像和性质。 难点：结合函数定义域值域等知识解答综合问题。 考点及考试要求 指数函数：掌握指数的图像、定义域、值域，熟练运用各个知识的转换。 对数函数：掌握对数的图像、定义域、值域，熟练运用各个知识的转换，可以和指数综合解题。 教学内容 知识点：指数函数与对数函数 1.对数的概念 如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化：log b a a N b N =?= 2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。 自然对数：通常将以无理数 2.71828e =???为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 （1）对数恒等式：①log N a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a = (01,0)a a N >≠>且 （2）换底公式：log a N = log log b b N a （3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a = ③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ??=log a d 4.对数的运算性质 如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么 （1）log ()a MN = ； （2）log a M N = ； （3）log n a M = ； （4）log n a m M = 。 2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型，会根据数量关系建构、解决函数 模型； 2、掌握互化的方法，在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用； 3、通过实际问题的解决，渗透数学建模的思想，提高学生的数学学习兴趣． 【课前知识整理】 2、指数函数与对数函数的互化： x y a =?y x a l o g =(1,0≠>a a ) 【基础练习】 1、若3 19=-x ，则x= ( ) A.21 B.2 1- C.2 D.1 2、若函数)1lg(2)(22+++=x x x x h ，62.1)1(=-h ，则=-)1(h （ ） A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3若x a a x πππlog log )(log 2+=+有解，则a 的取值范围是 （ ） A.110-<<a C.011<<->a a 或 D. 1 【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题． 例1、一项技术用于节约资源，使谁的使用量逐月减少，若一工厂用这一技术，则该工厂的用水量是5000 m3，计划从二月份，每个月的用水量比上一个月都减少10%，预计今年六月份的用水量约是多少？（精确到1m3） 活动二指数函数与对数函数模型的互化． 例2、某种储蓄利率为2.5%，按复利计算，若本金为30000元，设存入x期后的本金和利息为y元． （1）写出y随x变化的函数； （2）若使本利和为存入时的1.5倍，应该存入多少期？ 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数，若牛奶放在0摄氏度的冰箱中，保鲜时间是192小时，而在22摄氏度的厨房中则是42小时． （1）写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数关系式； （2）利用（1）中的结论，指出温度在30摄氏度到16摄氏度的保鲜时间． 【课后检测】 1、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n年后这批设备的价值为（） A、na (1-b%) B、a (1- nb %) C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n 2、方程2 -+=） 2x x A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质，每年有10%的变化，设该放射性物质原来的质量为a克．（1）写出它的剩余量y随时间x变化的函数关系； （2）经过多少年它的原物质是原来的一半． 课题：指数函数实际应用 一、教学目标： 知识与技能：理解生活中出现的“单利”、“复利”的概念；理解指数增长模型和指数减少模型，了解指数型函数模型，会将实际问题抽象成数学问题，建立适当模型求解； 过程与方法：从所熟悉的实际问题开始，通过理解题意、感悟含义，从实际问题中抽象出数学问题，用数学的语言来表达实际问题，结合函数知识，解决实际问题，从而体会到数学的实用性。 情感态度与价值观：培养具体与抽象思维之间的转化，在建立模型的过程中，体验“化归”的数学思想，让学生发现生活中的数学，发现数学的工具性在各学科内的渗透。 二、教学重点、难点： 建立适当的函数模型，注意函数知识与之联系。 三、教学流程 （一）居里夫人发现的放射性元素：钋和镭 例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物 质是原来的84%. (1)写出该物质剩留量关于经过年数的函数关系式； (2)作出上述函数图像； (3)结合图像，大约经过几年剩留量是原来的一半？ 小结：在解决应用问题时，其关键是能够正确理解题意，从而建立目标函 数，进而将生活实际问题转化为数学问题，同时要结合具体问题的实际意义确 定函数的定义域。 （二）世界人口增长状况 例2：统计资料显示,2010年甲乙两个国家的人口情况如下：甲国人口数为75967（千），人口年增长率2.0%；乙国人口数为79832（千），年增长率为1.4%，假设两国的人口增长率不变. （1）试建立这两个国家的人口增长模型的数学解析式； （2）作两国的人口增长曲线图，根据图像你能作出怎样的预测. （三）储蓄问题（单利，复利） 练习：某种储蓄按复利计算，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和（本金加上利息）为y元。已知：1176 0225 .15= .1 （1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式。 （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和。（四）归纳总结： ①指数增长模型 设原有产值为N，平均增长率为p，则经过时间x后的总产值y可以用x 1(+ =表示； N P y) ②指数减少模型 设原有产值为N，平均减少率为p，则经过时间x后的总产值y可以用x 1(- =表示。 N y) P （五）作业：4.2（2） 指数函数及其性质 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>? ?≤??x x 时，a 恒等于，时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1,a a a a ?-+=?>≠? 且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； （2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ． 举一反三： 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？ （1）4x y =；（2）4 y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-； （5）1 (21)(1)2 x y a a a =-> ≠且；（6）4x y -=． 本科毕业论文（设计） ( 2013届) 指数函数的多项式展开及其应用 院 系 数学系 专 业 数学与应用数学 姓 名 许月 指导教师 齐继兵 职 称 讲师 等 级 摘要 指数函数是基本的初等函数，它的性质及其多项式逼近形式应用非常广泛.本文将主要围绕指数函数的多项式展开式进行研究，首先论述了指数函数的泰勒展开式的概念，给 出了泰勒公式的一种证明，利用MATLAB做出了指数函数与其不同多项式逼近函数的图像， 并进行了误差分析和比较.简要介绍了自然指数函数展开式的两种多重分割法的概念及性 质.接着又讨论了指数函数的泰勒展开式在求解非线性发展方程，求解极限，近似估值以 及在不等式证明当中的应用.这些应用反映了利用指数函数展开式及相关性质在解决一些 问题中的技巧和方法，有助于进一步深入理解指数函数及其多项式展开在解决实际问题中 的重要作用. 关键词：指数函数初等函数多项式泰勒展开 装 订 线 ABSTRACT Exponential function is the basic elementary function, it has a very wide range of properties and its application form of polynomial approximation. This paper will mainly focus on the exponential polynomial expansion is studies, firstly discusses the concept of Taylor expansion of exponential function, one can prove the Taylor formula, using MATLAB to make the exponential function with different images of the polynomial approximation function, and the error analysis and comparison. Nature of exponential function expansion is briefly introduced the concept of two multiple segmentation and nature, and then discussed the Taylor expansion of exponential function in solving nonlinear evolution equations, the solving limit, approximate valuation as well as the application in the middle of the inequality proof. These applications reflects the use of exponential function expansion and related properties in the methods and skills in solving some problems, will help to further understand exponential and polynomial expansion’s important role in solving practical problems[10]. Key words:exponential function elementary function polynomial Taylor expansion 装 订 线 指数函数应用举例 明确目标 指数函数在自然科学和经济生活中有着广泛的应用，要了解指数函数的实际应用举例，能够应用指数函数的性质解决简单的实际问题。 合作交流 例1 某市2008年国内生产总值为20亿元，计划在未来10年内，平均每年按8％的增长率增长，分别预测该市2013年与2018年的国内生产总值（精确到亿元） 例2 设磷-32经过一天的衰变，其残留量为原来的％.现有10g磷-32，设每天的衰变速度不变，经过14天衰变还剩下多少克（精确到） 探究展示 由上面两例题中的函数解析式都可以写成y=ca x的形式，其中c>0为常数，底a>0且a1 ≠.函数模型y=ca x叫做指数模型.当a>1时,叫做指数增长模型;当0 第4章指数函数与对数函数 4.2.2指数函数应用举例新授-自学 班级：_____________ 姓名:_____________ 【帮你读书】 1、指数模型：函数模型x ca y =)1,0,0(≠>>a a c 叫做____________，当1>a 时，叫做____________，当____________时，叫做指数衰减模型. 〖练习1〗下列各函数模型中，为指数衰减模型的是（ ）A .x y 5.02?=B .x y 35.07.1?=C .x y 26.0?=D .x y 03.11.1?=〖练习2〗容器里现有纯酒精10L ，每次从中倒出3L 溶液后再加满水，试给出操作次数x 与所剩酒精y 之间的函数解析式，并求出操作6次后，容器中纯酒精的含量（精确到0.01L ）. 【技能训练】 训练题4.2.2 A 组 1、选择题： （1）下列各函数模型中，为指数衰减模型的是（ ）A .x y 09.17.0?=B .x y 95.0100?=C .x y 35.05.0?=D .x y )32(2?=（2）一辆价值30万元的汽车，按每年20%的折旧率折旧，设x 年后汽车价值y 万元，则y 与x 的函数解析式为（ ）；A .x y 2.030?=B .x y 8.030?=C .x y 2.130?=D .x y 3.020?=（3）某城市现有人口100万，根据最近20年的统计资料，这个城市的人口自然增长率为1.2%，按这个增长率计算10后这个城市的人口预计有（ ）万. A .10 012.0100?=y B .10%)2.11(100+?=y C .10%)2.11(100-?=y D .102.1100?=y指数函数的性质及应用
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【中职数学】4.2.2指数函数应用举例练习