《系统控制理论基础》

《系统控制理论基础》笔记摘要

郭嗣琮

（辽宁工程技术大学理学院数学与系统科学研究所）

第一章经典控制论的相关概念

§1.1 系统与特性

什么是系统？系统是由相互依赖、相互作用的若干组成部分结合而成，具有特定功能的有机体。一个系统应该具有下述三个特征：

1、整体性。系统是由各个组成部分结合而成的整体。

2、关连性。系统的各个元素是按一定方式或要求结合起来的，通过元素之间的联系来完成某些特定的功能。

3、目的性。一个系统，特别是人造系统都有特定的功能和目的，系统的运转是一种有目的的行为。

系统还有其他特性，如系统的动态性、环境适应性、层次性等。

系统的概念是相对的。丛某种功能来说一个系统是一个独立的系统，从更为广泛的功能来说，它可以是另一个系统的子系统。

系统的例子。

§1.2 系统控制

1、控制与控制系统

控制是为了改善系统的某些功能、特性或为使系统完成某些预定目标而对系统的一种外部作用。

在控制论中，将作用者称为“控制器”，被作用者称为“被控装置”或“被控系统”。被控系统与控制器组成一个总系统，称为“控制系统”

通常，将外部对系统的作用称为控制系统的“输入”，将控制系统对输入作用的特定反应称为系统的“输出”。

对于一个控制系统，我们总是假定一定的输入会有一定的输出，反之，任何输出都对应于一定的输入。在这种前提下，一个控制系统可以理解为输入和输出变量间的映射器。

系统输入X

系统输出Y

图1-1控制系统理解为映射器

2、控制系统的耦合与方框图

任何一个系统都是由若干个元素或子系统按一定的因果关系组合而成的。

如果系统的某个子系统（元素）的输出是另一个子系统（元素）的输入，这两个子系统之间的因果关系被称为“耦合”。即，耦合是系统的各个构成元素或子系统之间的因果关系。

系统的各子系统间的耦合形式有多种，但是最基本的形式有串联耦合、并联耦合、反馈耦合三种。其他的任何耦合形式都可以由这三种耦合形式复合而成。

为了表明一个具体的控制系统构成，就必须表明其各功能子系统及其各子系统间的耦合关系，将它们用图形表示出来，这就形成了系统的框图。

在控制系统的框图中，用方框表示各个子系统，用带箭头的线段连接起来，表示被连接的两个子系统具有耦合关系。箭头指向方框的直线表示输入，箭头离开方框的直线表示输出。

另外，在控制系统中，可能由多个输入同时作用于一个子系统，则该子系统的输入为这多个输入的某种叠加。我们常用如图1－2所示的符号表示。

在图1－3中，给出了几个具体的控制系统的框图。

§1.3 系统输入到输出的变换算子

图1－2 输入的叠加符号

输入

输出

(a) 室温控制系统框图

输入

输出

(b) 具有传感器的室温控制系统框图 图1－3 室内暖气控制系统框图

1、系统的变换算子

在古典的控制理论中，都将控制系统及其各个子系统视为“黑箱子”，即不考虑系统内部的状态特性，只研究系统的输入与输出之间的关系，只研究系统输入发生变化时系统输出的反映行为。一个系统的运行，可以看成是由输入到输出的一种变换。

设系统的输入变量为x ，输出变量为y ，则由输入到输出的变换记为Tx y =，利用框图表示为

T 为系统的变换算子或活动算子。

2、线性算子

在控制理论研究中应用最多的是线性变换算子，简称为线性算子。线性算子满足如下两个条件： （1） cTx cx T =)(，

（2） 2121)(Tx Tx x x T +=+， 其中c 为任意常数，21,,x x x 为任意输入。 最常见的线性算子有： (a). 比例算子

设k 为常数，x 为系统输入，则系统再输入x 时的输出kx Tx y ==； (b). 微分算子D

设输入x 是某个参数t （如，时间）的函数)(t x x =，系统的输出y 为输入x 对t 的导数，即 Dx t x t x dt

d

y ='==

)()( 则变换算子D T =为微分算子； (c). 积分算子1

-D

设输入x 是某个参数t 的函数，系统的输出y 为输入x 对t 的积分，即 ?

-==

t

t x D dt t x y 0

1)(

则变换算子1

-=D T 为积分算子，其中0t 为参数t 的某个给定的初始值;

(d).（有限）差分算子△

设输入x 的可能取值集合为},,,,{21 n x x x ，输出

,2,1,

1=?=-=+i x x x y i i i i

则变换算子?=T 为有限差分算子，简称差分算子； (e). 先导（向前位移）算子E

设输入x 的可能取值集合为},,,,{21 n x x x ，输出 ,2,1,

1===+i Ex x y i i i

则变换算子E T =为先导算子，或向前位移算子；

(f). 回倒（向后位移）算子1

-E

设输入x 的可能取值集合为},,,,{21 n x x x ，输出 ,2,1,

11===--i x E x y i i i

x y

图1－4 变换算子

则变换算子1

-=E

T 为回倒算子，或向后位移算子；

(g). 求和算子∑

设输入x 的可能取值集合为},,,,{21 n x x x ，输出 ,2,11

===∑∑

=i x x y k

k i

k i

则变换算子∑

=

T 为求和算子。

不难证明，上述的七个算子都是线性算子。 3、算子的运算

设21,T T 为两个已知的变换算子，下面介绍几种常见的运算： ① 和算子 若算子T 满足条件

x T x T Tx 21+=

则称算子T 为算子1T 与2T 的和算子，记为

21T T T +=.

对于由变换算子分别为1T 和2T 的两个子系统并联耦合的系统（如图1－5），系统输入x 与输出y 有如下变换公式

2121Tx Tx y y y +=+=

Tx x T T =+=)(21

② 差算子 若算子T 满足条件

x T x T Tx 21-=

则称算子T 为算子1T 与2T 的差算子，记为21T T T -=.

③ 积算子 若算子T 满足条件

)(21x T T Tx = 或 )(12x T T Tx =

则称算子T 为算子1T 与2T (或2T 与1T )的积算子，记为21T T T =或12T T T =.

对于由变换算子分别为1T 和2T 的两个子系统串联耦合的系统（如图1－6），系统输入x 与输出y 有如下变换公式

Tx x T T x T T y T y ====121212)( 注：积运算的交换律一般并不满足。

④ 幂算子

设n 为正整数，算子T 的n 次幂n

T 按递推公式定义如下：

x

图

1－5 并联耦合与和算子

图1－6 串联耦合与积算子

)(2Tx T x T =

.,3,2),

(1 ==-n x T T x T n n

⑤ 逆算子

若存在算子T 与S ，它们满足条件

Tx y = 且 Sy x = 则称算子S 为算子T 的逆算子，记为1

-=T

S .

⑥ 恒等算子 若算子T 满足条件 x Tx y == 则称算子T 为恒等算子，记为I T =。 由恒等算子与逆算子的定义，不难证明 I T T TT

==--11

.

逆算子主要刻画系统中的反馈作用。反馈是控制理论中一个极为重要的概念，即将控制器的输出送回到输入端，对系统的输入产生影响，这就是反馈。

反馈分为“正反馈”和“负反馈”两类。如果反馈起到增强原输入的作用，称为正反馈；如果起到减弱原输入的作用，则称为负反馈。 具有反馈环节的控制系统称为闭环系统；否则称为开环系统。

设反馈耦合系统如图1－7所示，S 为被控系统的变换算子，R 是控制器的变换算子。输出y 经控制器的变换为输出x ?，而x ?与输入x 迭加后成为被控系统的总输入。因此，反馈系统输入x 与输出y 有如下变换公式

SRy Sx Ry x S x x S y +=+=?+=)()( 即

Sx y SR I =-)(

其中I 为恒等算子。如果差算子SR I -的逆算子存在，则有

Tx Sx SR I y =-=-1)( (1.1) 称1)(--=SR I T 为“反馈算子”。

通常将公式(1.1)称为调节理论的基本公式。 例. 求下列系统框图所对应的变换公式和总变换算子

(1)

x

图1－7 反馈耦合与逆算子

变换公式为x S S R S S I y 12112)(--=, 则总变换算子为12112)(S S R S S I T --=.

(2)

变换公式为 总变换算子为

§1.4 拉普拉斯变换与传递函数

下面介绍经典控制论中的基本方法——传递函数法。 1、拉普拉斯变换 拉氏变换的定义：

设)(t f 是时间t 的函数，且当0

s F dt t f e t f L st ==

-∞

?

为函数)(t f 的拉氏变换。其中s 为复数，称为拉氏变换的原函数，)(s F 为象函数。 记

)()]([1t f s F L =- 为拉氏反变换。 拉氏变换的性质：

① 线性性质

)]([)]([)]()([t g L t f L t g t f L βαβα+=+ 其中α、β为常数。 证明：

)]

([)]([)()()]()([)]()([0

t g L t f L dt t g e dt t f e dt

t g t f e t g t f L st st st βαβαβαβα+=+=+=+???∞

-∞-∞

-

② 微分性质

x

y

)0()()0()]([)]([f t sF f t f sL t f L -=-=' 一般的，有

)]0()0()0([)()]([)1(21)(---++'+-=n n n n n f f s f s s F s t f L

证明参见相关教材。微分性质表明，微分运算的拉氏变换称为多项式代数运算，这是拉氏变换的一个优点。

由于一些函数的拉氏变换尤其是反变换计算较复杂，所以，有关书籍中给出了常见函数的拉氏变换表。 2、传递函数

考虑一个线性定常控制系统（即系统结构特性不随时间而改变），)(t u 和)(t y 分别为t 时刻系统的输入和输出，输入与输出的关系有如下的线性常微分方程来描述：

u b u b u b u b y a y a y a y a m m m m n n n n +'+++=+'+++----1)1(1)(01)1(1)(0 (1.2) 其中n 、m 为正整数，且m n ≥，m n b b b a a a ,,,,,,,1010 均为常数，并且00≠a . 定义 当上述线性定常系统的初始条件为零时，即 0)0()0()0()1(==='=-n y y y ,

0)0()0()0()1(==='=-m u u u ,

其输出)(t y 的拉氏变换)(s Y 与输入)(t u 的拉氏变换)(s U 之比，称为该系统的传递函数，记为)(s G ，即

)

()

()(s U s Y s G = (1.3)

下面对于由公式(1.2)描述的系统，我们来建立其传递函数。 方程(1.2)左侧的拉氏变换为

[L ]1)1(1)(0y a y a y a y a n n n n +'+++--

++'+-++++=---)]0()0([)0({)()(10101110y a y a s y a s Y a s a s a s a n n n n n )]}0()0()0([1)1(0y a y a y a n n n +'+++-- 设系统的初始条件为零，即0)0()0()0()

1(==='=-n y

y y ，则上式化为

[L ]1)1(1)(0y a y a y a y a n n n n +'+++-- )()(1110s Y a s a s a s a n n n n ++++=-- .

同理，方程右侧的拉氏变换在零初始条件下为

[L ]1)1(1)(0u b u b u b u b m m m m +'+++-- )()(1110s U b s b s b s b m m n n ++++=-- 由

[L ]1)1(1)(0y a y a y a y a n n n n +'+++-- =[L ]1)1(1)(0u b u b u b u b m m m m +'+++--

即

)()(1110s Y a s a s a s a n n n n ++++-- )()(1110s U b s b s b s b m m n n ++++=--

于是根据传递函数的定义，可得到系统的传递函数为

n

n n n m

m n n a s a s a s a b s b s b s b s U s Y s G ++++++++==----11

101110)()()( (1.4) 传递函数能反映系统中信息传输的特性，它的特点是：以复变数s 的代数方程代替时间t 的微分方程来表示系统的动态特性，这在数学的处理上变得十分方便。

为说明一个耦合系统的传递函数确定问题，我们看下面的生产库存控制系统的例子。 一个简单的生产库存控制系统如图1－8所示。图中)(s H k 为各子系统的传递函数（即变换算子），4,3,2,1=k 。)(),(s I s D *和)(s I 分别为需求量变化率、标准库存量、实际库存量的拉氏变换。

由图1－8可计算出该系统的变换方程为：

)}()(){()(4s D s P s H s I -= (1.5) )()()(3s V s H s P = (1.6) )()()()()(12s E s H s D s H s V -= (1.7) )()()(s I s I s E -=* (1.8) 在上述公式中消去)(),(s V s P 和)(s E ，可以得出 )()

()()(1)()()()()()()(1}1)()(){()(431431431324s I s H s H s H s H s H s H s D s H s H s H s H s H s H s I *

----=

(1.9)

这个公式表示了该库存控制系统的实际库存量)(s I 与需求量和标准库存量)(),(s I s D *之间的变化关系。

下面确定各子系统的传递函数)(),(),(321s H s H s H 和)(4s H 。

首先，设t 时刻的库存量为)(t i ，产量变化率为)(t p ，需求量变化率为)(t d ()(),(s P s I 和)(s D 分别是它们的拉氏变换)之间的关系为

)()()

(t d t p dt

t di -= 并假设初期库存量0)0(=i ，将上式两端同时取拉氏变换，得到

)()()(s D s P s sI -= 再由公式(1.5)，解出

s

s H 1

)(4=. (1.10) 其次，设生产指标)(t v 与产量变化率)(t p ()(),(s P s V 分别是它们的拉氏变换)有如下关系

τττd t v f p t p t

)()()0()(0

-+

=?

(1.11)

其中)0(p 为初期的产量变化率，为简便计，设0)0(=p , )(τf 为概率密度函数，通常取指数分布，即当0>t 时，有

图1－8 生产库存控制系统

λτλτ-=e f )(， 0>λ为数学期望的倒数。 将上式代入到(1.11)式中，得 ττλ

λτd t v e t p t

)()(0

-=-?

再对上式求拉氏变换，并利用(1.6)式，可得 λ

λ

+=

s s H )(3

再次，假设标准库存为常量，不失一般性，可设0)(=*s I . 为了简单起见，再设 1)(2≡s H

将上述结果均代入到(1.9)式中，得到 )()

()()(1s D s H s s s

s I λλ-+-=

. (1.12)

上式中)(1s H 是计划部门的传递函数，具体)(1s H 的确定很重要，它的取法不同将会产生不同的变化规律。最简单的情况是取线性函数 0,0,)(1>>+=b a bs a s H .

再将其代入到(1.12)式，得到 )()()()(s D bs a s s s

s I +-+-=λλ.

也即是说，系统的传递函数 )

()()()()(bs a s s s

s D s I s G +-+-==

λλ 3、拉氏反变换问题

如果我们知道了一个系统的传递函数)(s G ，当系统给定输入)(t u ,利用输入变量的拉氏变换

)(s U ，可以得出系统输出的拉氏变换

)()

()

()()()(s Y s U s Y s U s G s U =?

=? 于是，系统对应的输出为)]([)(1

s Y L t y -= 在控制论中，传递函数)

()

()(s U s Y s G =

中)(s Y 和)(s U 均为s 的多项式，并且)(s Y 的次数不高于)(s U 的次数。我们可以用部分分式展开法将)(s G 分解为如下形式

)()()()(21s F s F s F s G N +++=

其中)(,),(),(21s F s F s F N 的原函数)(,),(),(21t f t f t f N 可以通过查拉普拉斯变换表得出，于是，传递函数)(s G 的原函数)(t g 为 )]([)(1

s G L t g -=

)]([)]([)]([1

2111s F L s F L s F L N ---+++=

)()()(21t f t f t f N +++= 例：求)

3)(2(1

)(+++=s s s s G 的原函数。

解：由

2

132)(+-+=s s s G 有

]21[]32[)(11

+-++=--s L s L t g （查拉氏变换表，得到） t

t e e 232---=

第二章 离散时间系统的状态空间描述

60年代以前，控制论的主要研究对象是单输入－单输出的线性定常控制系统，实用的主要方法是传递函数法。现在讲这一阶段的控制论称为经典控制论。50年代，有的学者提出了状态空间方法，按照这个方法发展起来的控制论称为现代控制论。

状态空间方法的实质是将控制系统的动态特性描述成一阶微分方程组或差分方程组。这样描述的动态系统具有适用性广、运算过程简便、可以解决经典控制中存在的某些困难问题、便于利用计算机求解等。

§2.1 离散时间系统的输入－输出描述 1. 离散时间系统的输入－输出描述

将一个随时间变化的系统看成一个黑箱子，即认为系统内部的运行状态未知，只要给定一个输入，就会得到一个输出。这种只考虑系统输入与输出的关系，而不考虑系统的内部变化特征的描述方法，称为输入－输出描述法。也称为系统的外部描述法，它是经典控制论所采用的主要方法。 在输入－输出描述法中，输入向量序列用)}({k u 表示，输出向量序列用)}({k y 表示，

,2,1,0=k 一般表示离散的时间。

一个离散时间系统的输入与输出之间的因果关系可以用如下的差分方程组表示：

)](,),1(),();(,),2(),1([)(j k u k u k u i k y k y k y f k y -----= (2.1) 其中)(k y 为r 维输出向量，)(k u 为m 维输入向量。j i ,是事先给定的正整数，分别称为输出滞后时间和输入滞后时间，);(??f 是一个r 维向量函数。方程(2.1)称为i 阶向量差分方程。

方程(2.1)的含义是：如果系统从1-k 以前相邻时间的输出值)(,),2(),1(i k y k y k y --- 已知，并且本时刻k 以前相邻时间的输入值)(,),1(),(j k u k u k u -- 已知，则本时刻k 的系统输出

)(k y 就能被唯一确定。

差分方程(2.1)的一个最简单和最常用的形式是线性输入－输出方程：

)

()()()1()()()()

()()2()()1()()(1021k C j k u k B k u k B k u k B i k y k A k y k A k y k A k y j i +-++-++-++-+-=

)()()()()(0

1

k C l k u k B t k y k A l j

l t i

t +-+-=

∑∑

== (2.2)

其中)(k A t 是已知的r r ?矩阵，i t ,,2,1 =；)(k B l 是已知的m m ?矩阵，j l ,,2,1,0 =；)(k C 是已知的r 维向量。

2. 离散时间系统的基本元件

任何一个系统都是有一些基本元件经过并联、串联和反馈等基本耦合形式复合而成的，下面给出离散时间系统常用的四种基本元件的方框图及其数学表示式。 ① 向量延迟器

)1()()(1-==-k u k u E k y 或 )()1()1(1k u k u E k y =+=+-

② 向量函数发生器

)]([)(k u f k y =

③ 广义放大器或矩阵增益放大器

)()(k Au k y =

其中A 为适当阶数的矩阵。

④ 向量求和器

)()()(21k u k u k y +=

§2.2 离散时间系统的状态空间描述

系统的输入－输出描述不考虑系统内部的变化特征。在现代控制理论中，为了描述系统内部的变化特征，引入了系统的状态、状态变量和状态空间的概念。 系统状态——是指系统过去、现在和将来的运行状况。

系统状态变量——是指能够描述系统状态的个数最少的一组变量，通常记为,),(),(21 t x t x )(t x n ，n 为状态变量的个数，t 表示时间（也可以写成k ）

。若一个系统有n 个状态变量，则由这n 个状态变量作为分量构成的n 维列向量

????

??? ??=)()()()(21t x t x t x t x n

称为系统的状态向量。

状态空间——由状态变量n x x x ,,,21 为坐标所构成的n 维欧氏空间，称为状态空间。 离散时间系统状态空间描述的标准数学模型由下述联立方程组构成的迭代式表示：

)](),([)1(k u k x f k x =+ (2.3)

)](),([)(k u k x g k y = (2.4)

(2.3)称为系统的状态方程，它表示系统下一时刻的状态与现在时刻的状态及输入有关；(2.4)称为系

u (k (k )

u (k (k )

u (k (k )

u 1(k u 2(k y (k )

统的输出方程或量测方程, 它表示系统该时刻的输出与该时刻的状态和输入有关。

§2.3 离散时间系统的输入－输出描述与状态空间描述的关系

离散时间系统的输入－输出描述与状态空间描述具有联系。

如果从系统的状态空间描述方法(2.3)和(2.4)中消去状态向量)(t x ，就能得到系统的输入－输出描述(2.1)；反之，如果给出了系统的输入－输出描述，也可以求出系统的状态空间描述，这称之为系统的状态空间实现。

下面通过一个单输入单输出系统的输入－输出描述转换为状态空间描述，来说明系统状态空间实现问题。

设单输入单输出系统的输入输出方程为

)

()1()1()()()1()1()(11011k u b k u b n k u b n k u b k y a k y a n k y a n k y n n n n ++++-+++=++++-+++-- (2.5)

其中)(k y 为单输出，)(k u 为单输入，n a a a ,,,21 和n b b b ,,,21 均为已知常数。 为将(2.5)化为状态空间描述，有两种代表性的方法。 方法①：取状态变量为

)()()(01k u c k y k x -= (2.6)

)

()()()()1()

()()1()

()()1()()()1(121111232121k u c k x a k x a k x a k x k u c k x k x k u c k x k x k u c k x k x n n n n n n n n +----=++=++=++=+---

(2.7)

其中常数n c c c ,,,10 待定。由(2.6)和(2.7)式可得

)

()1()1()()()()

()1()1()1()()1()2()()()1()

2()1()()()2()1()()()1()1()1()

()()(0111101101101230120101n k u c n k u c k u c k u c k x a k x a n k u c n k u c k u c k x n k y n k u c n k u c k u c k x n k y k u c k u c k u c k x k y k u c k u c k x k u c k x k y k u c k x k y n n n n n n n n ++-++++++---=++-++++++=+-++-++++=-++++++=++++=+++=++=---

将上式结果代入到(2.5)式，并比较)(,),1(),(n k u k u k u ++ 的系数，可得

1

11101

102220

1110

0------=--=-==n n n n n c a c a c a b c c a c a b c c a b c b c

(2.8)

于是，可将(2.6)和(2.7)写成矩阵形式，得

)()()()(1000010

00010)1()1()1(212112

1

21k u c c c k x k x k x a a a a k x k x k x n n n n n

n ??

?

??

?

?? ??+???????? ???????????

??

----=???????? ??+++--

(2.9)

)()()()()001()(021k u c k x k x k x k y n +????

??

?

??= (2.10) 其中(2.9)是状态方程，(2.10)是输出方程。

方法②：取状态变量为

)()()(01k u b k y k x -=

)

1()()()1()2()1()()

1()2()1()()()

1()()()

2()1()()2()1()()()

1()()()

1()()1()()(11101211212220121231110112++-=-+--+--+---++-+++++=++-=+-+--++++=++-=+--++=-------k x k u b k y a n k u b n k u b k u b k u b n k y n k y a k y a k y a k x k x k u b k y a k u b k u b k u b k y k y a k y a k x k x k u b k y a k u b k u b k y k y a k x n n n n n n n n

(2.11)

于是，由输入输出方程(2.5)和(2.11)，可得到(2.5)对应的状态方程和输出方程

)()()()()(000100010001)1()1()1()1(001102201112112

1

121k u b a b b a b b a b b a b k x k x k x k x a a a a k x k x k x k x n n

n n n n n n n n ??

?

??

?

??

??----+???????? ???????????

??----=??????

??

??++++-----

(2.12) )()()()()001()()()(02101k u b k x k x k x k u b k x k y n +????

??

? ??=+=

(2.13)

§2.4 线性离散时间系统

为了对控制系统研究的方便，通常考虑将方程(2.3)的向量值函数),(??f 采用线性向量值函数近似，这样的系统称为线性系统。对于线性系统的分析已经有一套比较成熟的理论。

定义（线性离散系统） 如果对于所有的 ,2,1,0=k ，离散时间系统的状态)(k x 、输入)(k u 和输出)(k y 均满足下述方程

)()()()()1(k u k B k x k A k x +=+ (2.14) )()()()()(k u k D k x k C k y += (2.15) 则称此系统为线性离散时间系统，简称为线性离散系统。

如果系统的参数矩阵)(),(),(),(k D k C k B k A 均是与时间变量无关的常数矩阵，则称系统为线性定常（或时不变）离散系统；否则，称系统为线性时变（非定常）离散系统。 线性定常离散系统可以描述为

)()()1(k Bu k Ax k x +=+ (2.16) )()()(k Du k Cx k y += (2.17) 如果)(k x 为n 维状态向量，)(k u 为m 维输入向量，)(k y 为r 维输出向量，

则常数矩阵A 是n n ?的，B 是m n ?的，C 是n r ?的，D 是m r ?的。

§2.5 离散时间线性定常系统的解法

考虑一个离散时间的线性定常系统

)()()1(k Bu k Ax k x +=+

)()()(k Du k Cx k y +=

假如我们已经知道了系统的初始状态)0(x 和所有时刻的系统输入)(k u , ,2,1,0=k , 我们要计算出任何时刻系统的输出)(k y , ,2,1=k ，就必须利用状态方程

)()()1(k Bu k Ax k x +=+ (2.18)

计算出系统任何时刻的状态)(k x , ,2,1=k 。 求解状态方程的三种方法。 （一） 迭代法

在方程(2.18)中，若对于所有 ,2,1,0=k ，有0)(≡k u ，则称

)()1(k Ax k x =+ (2.19)

表示的系统为齐次线性定常系统，方程(2.19)称为齐次线性定常离散时间方程。由迭代法，易得

,2,1),

0()()

0()2()3()

0()1()2()0()1(3

2=======k x A k x x A Ax x x A Ax x Ax x k (2.20)

当系统有非零输入)(k u 时, 称方程(2.18)为非齐次线性定常离散时间方程。当系统的初始状态

)0(x 和任何时刻的系统输入)(k u （ ,2,1,0=k ）均已知时，由(2.18)式，有

,3,2,1),

()0()

1()2()1()0()0()()

2()1()0()0()2()2()3()

1()0()0()1()1()2()

0()0()1(1

0)1(21232=+=-+-++++=+++=+=++=+=+=∑-=+---k i Bu A x A k Bu k ABu Bu A Bu A x A k x Bu ABu Bu A x A Bu Ax x Bu ABu x A Bu Ax x Bu Ax x k i i k k

k k k (2.21)

(2.21)即为非齐次线性定常离散时间方程的解。其中第一项是系统对初始状态的响应，第二项是系统对输入作用的响应。 （二）特征值法

对于齐次线性定常离散时间方程(2.19)式的解也可以用其他方式求解。

设n n ?的常数矩阵A 具有n 个两两互异的特征值n λλλ,,,21 ，特征值对应的特征向量分别为

n v v v ,,,21 。有特征值及特征向量的定义，有 n i v Av i i i ,,2,1, ==λ (2.22) 由于假定n λλλ,,,21 两两互异，所以，由线性代数知识可知n v v v ,,,21 线性无关，并可构成n 维

向量空间n R 的一组基。于是，n

R 中的任何向量x 均可由n v v v ,,,21 线性表出。 设n R x ∈)0(是方程)()1(k Ax k x =+的一个任意的初始状态，则有

∑==

+++=n

i i i n n v v v v x 1

2211)0(αααα (2.23)

其中n ααα,,,21 为向量)0(x 在基底n v v v ,,,21 下的坐标。将(2.23)代入(2.20)，并利用(2.22)，得 ∑∑===?

==n i n

i i

k i

i i k

k

v A v A x A k x 1

1

)0()(αα

∑∑∑∑==-=-=-===

===n

i i

k

i i n

i i

k i

i i i i n

i i

k i i n

i i

k i k v v A

v Av v A Av A 1

12

21111,2,1)

(

λαλαλλαα

即

∑===

n

i i k i i k v k x 1,2,1)( λα (2.24)

对于非齐次线性定常离散时间方程)()()1(k Bu k Ax k x +=+, 我们可以类似地求解。设)(k Bu 表示成n v v v ,,,21 的线性组合为

∑==+++=n

i i

i

n n v k v k v k v k k Bu 1

2211)()()()()(ββββ (2.25)

将(2.23)和(2.25)代入非齐次线性定常离散时间方程的解(2.21)，得

])([)(1

1

1

1

)

1(∑∑∑=-==+-+?=n i k j n

i i i j k i i k

v j A

v A k x βα

∑∑∑==-=+-+=

n

i n i k j i j k i i k

i

i v A j v 111

0)1()(βλ

α

∑∑∑==-=+-+=n i n

i k j i j k i

i i k

i i v j v 1

1

10

)

1(])([λβλα

∑∑=-=+-+=n i k j i j k i

i k

i i v j 1

1

)

1(])([λβλα (2.26)

（三）z 变换法 （略）

第三章 系统的能控性与能观性

能控性与能观性是现代控制理论中的两个非常重要的概念，是动态系统进行状态估计、系统辨识以及实现最优控制的基础，在工程技术领域中得到广泛的应用。 能控性反映的是系统的控制输入对系统的状态能产生多大影响的问题。

能观性反映的是从系统的输出能得到系统的多少信息，或能否根据系统的输出确定系统的状态的问题。

下面主要介绍线性动态系统的能控性与能观性。 §3.1 动态系统的能控性

控制系统的基本问题是能否利用和调整输入变量，使得系统的状态或输出达到任何事先设定的目标，这就是能控性问题，并将输入变量称为控制变量。

下面只考虑离散时间的线性定常系统的能控性问题。设系统的状态空间模型为

)()()1(k Bu k Ax k x +=+ ,2,1,0=k (3.1) 初始条件为

00,)0(x x x =为已知的常向量。

其中)(k x 为n 维状态（目标）向量，)(k u 为m 维控制（输入）向量，A 和B 分别是n n ?和m

n ?的实常数矩阵。

由上一章公式(2.21)知，方程(3.1)的解为 ,3,2,1),()0()(10

)

1(=+

=∑-=+-k j Bu A

x A k x k j j k k

定义3.1 如果从任意初始状态0)0(x x =出发，通过调整输入变量)(k u (10-≤≤N k )可以使系统的状态向量)(k x 在某个时刻)0(>N N 达到预先设定的目标N x ，即有

∑-=+-=+=1

)1(0)()(N j N

j k N

x j Bu A x A N x (3.2)

则称系统(3.1)是状态能控的，简称为能控的。 定理3.1 系统(3.1)是状态能控的充要条件是矩阵 ][12B A B A AB B P N N -=

的秩=)(N P rank n ，其中A 和B 分别是n n ?和m n ?的实常数矩阵。 （注：矩阵N P 是由N 个m n ?的分块子矩阵B A

B A AB B N 1

2

,,,,- 构成的因此N P 的行数为

n ，列数为m N ?，即N P 是m N n ??的矩阵。

） 证明 记向量))0(,),2(),1((u N u N u u T

--=，其中每个)(k u 都是m 维向量，即T u 为

m N ?维向量。易看出，方程(3.2)可以写成

N N x u P =?

即

N N x u N u N u P =????

??

? ??--)0()2()1(

由线性代数知，上述方程有解的充要条件是N P 的所有行向量线性无关，即N P 的秩为n . 进一步考虑系统的状态空间模型为 )()()1(k Bu k Ax k x +=+

)()()(k Du k Cx k y += (3.3)

00,

)0(x x x =为已知的常向量。

其中)(k x 为n 维状态（目标）向量，)(k u 为m 维输入（控制）向量，)(k y 为r 维输出向量，常数矩阵A 是n n ?的，B 是m n ?的，C 是n r ?的，D 是m r ?的。 定义3.2 对于系统(3.3)从任意初始状态0)0(x x =出发，通过调整输入变量)(k u (10-≤≤N k )可以使系统的输出向量在某个时刻0>N 达到预先设定的目标N y N y =)(，则称系统(3.3)是输出能

控的。

定理3.2 系统(3.3)是输出能控的充要条件是m N r ??的矩阵 ][21B CB CAB B CA B CA Q N N N --= 的秩=)(N Q rank r ，N Q 称为系统(3.3)的输出能控性矩阵。

（注：其中C 是n r ?的实常数矩阵，A 和B 分别是n n ?和m n ?的实常数矩阵。） 证明 由 )()()(N Du N Cx N y +=, 且∑-=+-+=1

)

1(0)()(N j j N N

j Bu A

x A N x , 于是

N N j j N N

y N Du j Bu A

x A C N y =++=∑-=+-)(])([)(1

)

1(0

或

)()(1

)

1(0N Du j Bu A

C

x CA y N j j N N

N +=-∑-=+-

记T N u u u u ))(,),1(),0(( =，上式可以改写成

1)()1()1()0(x CA y N u N u u u Q u Q N N N N --=?????

??

?

??-?=? 由线性代数知，若方程有解，则N Q 的秩=)(N Q rank r 。证毕。 特别的，当0=D 时，系统(3.3)为 )()()1(k Bu k Ax k x +=+

)()(k Cx k y = (3.4) 00,

)0(x x x =为已知的常向量。

对于系统(3.4)有输出能控定理：

定理3.3 系统(3.4)是输出能控的充要条件是m N r ??的矩阵 ][1B CA CAB CB Q N N -= 的秩)(N Q rank ＝r ，N Q 称为系统(3.4)的输出能控性矩阵。 证略。

例 考虑一个宏观经济模型——动态乘数加速系统，其状态空间描述为

)()()1(k Bu k Ax k x +=+

)()()(k Du k Cx k y += 其中

???

?

??=?

???

??=)()()()()(21k I k C k x k x k x 状态向量)(k x 的两个分量分别是：)(k C 为k 时刻经济系统的消费，)(k I 为k 时刻经济系统的投资。 取)()(k U k u =，)(k U 为k 时刻经济系统的政府支出； 取)()(k Y k y =，)(k Y 为k 时刻经济系统的国民收入。 并且

????

??

-=ab a ab b b A ， ?

??

?

??=ab b B 0,0≠≠b a

()11=C , 1=D

显然，该系统的能控矩阵为

[]???

?

??-++==ab b ab ab b a b AB B P )1()1(22

由定理知，若2P 的秩)(2P rank ＝2=n ，则该经济系统是状态能控的。又显然有=)(N Q rank r =1,

因此，该经济系统也是输出能控的。

§3.2 动态系统的能观测性

在一般的控制系统中，系统的内部状态向量不一定是能够直接观测的，而能直接测量到的是系统的输出。那么，我们能否根据系统的输出来确定系统的状态呢？这就使系统能观性问题。 仍考虑如下的线性动态系统

)()()1(k Bu k Ax k x +=+

)()()(k Du k Cx k y += (3.5) 其中)(k x 为n 维状态（目标）向量，)(k u 为m 维输入（控制）向量，)(k y 为r 维输出向量，常数矩阵A 是n n ?的，B 是m n ?的，C 是n r ?的，D 是m r ?的。控制序列 ,2,1,0),(=k k u 是已知的。

定义3.3 如果对于某个正整数N ，初始状态)0(x 能由输出向量序列)1(,),1(),0(-N y y y 唯一的确定，则称系统(3.5)是能观测的。

定理3.4 系统(3.5)能观测的充要条件是r N n ??的矩阵 [

]

T N T T T T T T N C A C A C A C R 1

2)

()(-=

的秩n R rank N =)(。 证明略。

第四章 系统的反馈控制

§4.1反馈控制的一般概念 考虑一般的离散时间系统

状态方程 )](),([)1(k u k x f k x =+ 输出方程 )](),([)(k u k x g k y = 初始条件 0)0(x x =