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2012年高考数学压轴题精炼4

2012高考数学压轴题精炼四

1．（本小题满分14分）

已知f(x)=2

22+-x a x (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ；（Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=

x 1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.

本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)

2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，

∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，

即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ①

设?(x)=x 2－ax －2，

方法一：

?(1)=1－a －2≤0，

① ? ?－1≤a ≤1，

?(－1)=1+a －2≤0.

∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=－1时，f ＇

(1)=0

∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二：

2a ≥0， 2

a <0， ①? 或

?(－1)=1+a －2≤0 ?(1)=1－a －2≤0

? 0≤a ≤1 或－1≤a ≤0

? －1≤a ≤1.

∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(－1)=0以及当a=-1时，f ＇

(1)=0

∴A={a|－1≤a ≤1}. （Ⅱ）由222+-x a x =x

1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，

x 1+x 2=a ，

∴ 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .

x 1x 2=－2，

∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82

+a ≤3.

要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，

即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②

设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，

方法一：

g(－1)=m 2－m －2≥0，

② ?

g(1)=m 2+m －2≥0， ?m ≥2或m ≤－2.

所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.

方法二：

当m=0时，②显然不成立；

当m ≠0时，

m>0， m<0，

②? 或

g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0

? m ≥2或m ≤－2.

所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.

2．（本小题满分12分）

如图，P 是抛物线C ：y=

21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.

（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹

方程；

（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求

||||||||SQ ST SP ST +的取值范围.

本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想

和综合解题能力.满分12分.

解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.

由y=2

1x 2， ① 得y ＇=x.

∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1，

∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-1

1x ， ∴直线l 的方程为y －

21x 12=－11x (x －x 1)，方法一：

联立①②消去y ，得x 2+

12x x －x 12－2=0. ∵M 是PQ 的中点

x 0=

221x x +=-11x ， ∴

y 0=21x 12－1

1x (x 0－x 1).

消去x 1，得y 0=x 02+2021

x +1(x 0≠0)，

∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+

2021x +1(x ≠0). 方法二：

由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=2

21x x +，得y 1－y 2=

21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)，则x 0=2121x x y y --=k l =-1

1x ， ∴x 1=－

01x ，将上式代入②并整理，得

y 0=x 02+2021

x +1(x 0≠0)，

∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021

x +1(x ≠0).

（Ⅱ）设直线l:y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b).

分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则

=+||||||||SQ ST SP ST |

|||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'. y=2

1x 2 由消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③

y=kx+b

y 1+y 2=2(k 2+b)，

则

y 1y 2=b 2.

方法一：

∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|2

11y y =2|b|21b =2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数， ∴|

|||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法二： ∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2b

b k +. 当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 2

2)(2b b k +=b b k )(22+=b k 2

2+2>2；当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2b

b k +=b b k -+)(22. 又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0，

于是k 2+2b>0，即k 2>－2b. 所以|

|||||||SQ ST SP ST +>b b b -+-)2(2=2. ∵当b>0时，b

k 2

2可取一切正数， ∴|

|||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法三：

由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ，即22x b y -=1

1x b y -. 则x 1y 2－bx 1=x 2y 1－bx 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).

于是b=122212122121x x x x x x -?-?

=－2

1x 1x 2.

∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +

|1|21x x -|1|21x x -||12x x +||21x x ≥2. ∵||1

2x x 可取一切不等于1的正数， ∴|

|||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 3．（本小题满分12分）

某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400

万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.

（总费用．．．

=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12

分.

解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；

②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为

1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元） ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）； ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.

综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.

4．（本小题满分14分）

已知.,2,1,1,}{,011 =+==>+n a a a a a a a n

n n 满足数列

（I ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求n n a A ∞

→=lim （将A 用a 表示）；（II ）设;)(:,,2,1,1A b A b b n A a b n n n n n +-

==-=+证明（III ）若 ,2,121||=≤n b n

n 对都成立，求a 的取值范围. 本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.

解：（I ）由两边取极限得对且存在n

n n n n n a a a A a A a 1),0(lim ,lim 1+=>=+∞→∞→ .2

4,0.24,122++=∴>+±=+=a a A A a a A A a A 又解得（II ）.11,11A

b a A b a a a A b a n n n n n n ++=++=+=++得由都成立对即 ,2,1)(.)

(11111=+-

=+-=++-=++

-=∴++n A b A b b A b A b A b A A b A a b n n n n n n n n （III ）.21|)4(21|,21||21≤++-≤

a a a

b 得令 .,2,12

1||,23.2

3,14.2

1|)4(21|22都成立对时现证明当解得 =≤≥≥≤-+∴≤-+∴n b a a a a a a n n （i ）当n=1时结论成立（已验证）.

（ii ）假设当那么即时结论成立,2

1||,)1(k k b k k n ≤≥= k k k k k A b A A b A b b 2

1||1|)(|||||1?+≤+=+ 故只须证明

.232||,21||1

成立对即证≥≥+≤+a A b A A b A k k

12121||,23.2||,12

12||||.2,14,23,422

411222++=?≤≥≥+≥-≥-≥+∴≥∴≤-+≥-+=++=k k k k k k k b a A b A b A A b A a a a a a a a A 时故当即时而当由于

即n=k+1时结论成立.

根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立.

故).,23[,2,121||+∞=≤的取值范围为都成立的对a n b n

n 5．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）

已知a R ∈，函数2()||f x x x a =-.

(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合；

(Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，

上的最小值. 本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分14分.

解：（Ⅰ）由题意，2()2f x x x =-.

当2x <时，2()(2)f x x x x =-=，解得0x =或1x =；

当2x ≥时，2()(2)f x x x x =-=

，解得1x =.

综上，所求解集为{011+，，. （Ⅱ）设此最小值为m .

①当1a ≤时，在区间[12]，

上，32()f x x ax =-. 因为

22()323()03

f x x ax x x a '=-=->，(12)x ∈，，则()f x 在区间[12]，

上是增函数，所以(1)1m f a ==-. ②当12a <≤时，在区间[12]，

上，2()()0f x x x a =-≥，由()0f a =知 ()0m f a ==.

③当2a >时，在区间[12]，

上，23()f x ax x =-. 22()233()3

f x ax x x a x '=-=-. 若3a ≥，在区间(12)，

内()0f x '>，从而()f x 为区间[12]，上的增函数，由此得 (1)1m f a ==-.

若23a <<，则2123

a <<. 当213x a <<时，()0f x '>，从而()f x 为区间2[1]3

a ，上的增函数；当223a x <<时，()0f x '<，从而()f x 为区间2[2]3

a ，上的减函数. 因此，当23a <<时，(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-. 当723

a <≤时，4(2)1a a -≤-，故(2)4(2)m f a ==-；当733

a <<时，14(2)a a -<-，故(1)1m f a ==-. 综上所述，所求函数的最小值

111274(2)23713

a a a m a a a a -≤??<≤??=?-<≤??->??，当时；0，

当时；，当时；，当时． 6．（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1231611a a a ===，

，，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，，

其中A B ，

为常数. (Ⅰ)求A 与B 的值；

(Ⅱ)证明：数列{}n a 为等差数列；

(Ⅲ)

1>对任何正整数m n ，都成立.

本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 解：（Ⅰ）由已知，得111S a ==，2127S a a =+=，312318S a a a =++=.

由1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+，知

2132372122S S A B S S A B --=+??-=+?，，即 28248A B A B +=-??+=-?

，，解得 20A =-，8B =-.

（Ⅱ）方法1

由（Ⅰ），得 1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--， ①

所以 21(53)(57)2028n n n S n S n ++--+=--. ② ②-①，得 21(53)(101)(52)20n n n n S n S n S ++---++=-， ③ 所以 321(52)(109)(57)20n n n n S n S n S ++++-+++=-. ④ ④-③，得 321(52)(156)(156)(52)0n n n n n S n S n S n S ++++-+++-+=. 因为 11n n n a S S ++=-，所以 321(52)(104)(52)0n n n n a n a n a ++++-+++=. 又因为 520n +≠，

所以 32120n n n a a a +++-+=，即 3221n n n n a a a a ++++-=-，1n ≥. 所以数列{}n a 为等差数列.

方法2

由已知，得111S a ==，

又1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--，且580n -≠，所以数列{}n S 是唯一确定的，因而数列{}n a 是唯一确定的. 设54n b n =-，则数列{}n b 为等差数列，前n 项和(53)2n n n T -=.

于是 1(1)(52)(53)(58)(52)(58)(52)20822n n n n n n n T n T n n n +++---+=--+=--，由唯一性得 n n b a =，即数列{}n a 为等差数列. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，15(1)54n a n n =+-=-. 要证

1，只要证

51mn m n a a a >++因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，

故只要证 5(54)12520()mn mn m n ->+-+++

即只要证 202037m n +->

因为 558m n a a m n +=+- 558(151529)m n m n <+-++-

202037m n =+-，

所以命题得证.

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

高考数学中的放缩技巧

高考数学中的放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i

高考理科数学压轴题及答案汇编

高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)，由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2

高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)

放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i

2017高考数学压轴题+黄冈压轴100题

2017高考压轴题精选黄冈中学高考数学压轴100题目录 1.二次函数 ................................................................................................................................................................................ 2 2 复合函数 ............................................................................................................................................................................... 4 3.创新型函数............................................................................................................................................................................. 6 4.抽象函数 .............................................................................................................................................................................. 12 5.导函数——不等式 ............................................................................................................................................................... 13 6.函数在实际中的应用 ........................................................................................................................................................... 20 7. 函数与数列综合 ................................................................................................................................................................. 22 8.数列的概念与性质 ............................................................................................................................................................... 33 9. Sn 与an 的关系 ................................................................................................................................................................... 38 10.创新型数列......................................................................................................................................................................... 41 11.数列—不等式 ..................................................................................................................................................................... 43 12．数列与解析几何 .............................................................................................................................................................. 47 13．椭圆 ................................................................................................................................................................................. 49 14.双曲线 ................................................................................................................................................................................ 52 15.抛物线 ................................................................................................................................................................................ 56 16 解析几何中的参数范围问题 .......................................................................................................................................... 58 17 解析几何中的最值问题 .................................................................................................................................................. 64 18 解析几何中的定值问题 .................................................................................................................................................... 67 19 解析几何与向量 .......................................................................................................................................................... 70 20 探索问题............................................................................................................................................................................ 77 （1）2a b c π++...， ....................................................................................................................................................... 110 （2）2a b c π++< (110)