双曲线练习题及答案
双曲线相关知识
双曲线的焦半径公式：
1：定义：双曲线上任意一点P 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。 2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1 点P(x,y)在左支上
│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) 点P(x,y)在右支上
│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a 运用双曲线的定义
例1．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
练习1．设双曲线
19
162
2=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23
例2. 已知双曲线的两个焦点是椭圆10x 2
＋32
y 52=1的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦
点，则此双曲线的方程是（ ）。
（A ）6x 2－4y 2=1 （B ）4x 2－6y 2=1 （C ）5x 2－3y 2=1 （D ）3x 2－5
y 2=1
练习2. 离心率e=2是双曲线的两条渐近线互相垂直的（ ）。
（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）不充分不必要条件
例3. 已知|θ|<
2π
,直线y=－tg θ(x －1)和双曲线y 2cos 2θ－x 2 =1有且仅有一个公共点，则θ等于（ ）。 （A ）±6π （B ）±4π （C ）±3π （D ）±12
5π
课堂练习
1、已知双曲线的渐近线方程是2x
y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为
；
2、焦点为（0，6），且与双曲线12
22
=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）
A ．124
122
2=-y x
B ．
124
122
2=-x y C ．
112
242
2=-x y D ．
112242
2=-y x
3. 设e 1, e 2分别是双曲线1b y a x 2222=-和1a
y b x 22
22=-的离心率，则e 12+e 22与e 12·e 22的大小关系是
。
4.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2
221(a>0)a
x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,
则OP FP ?
的取值范围为 ( )
A ．[3-23,)+∞
B ．[323,)++∞
C ．7[-,)4+∞
D ．7
[,)4
+∞
5. 已知倾斜角为
4
π
的直线l 被双曲线x 2－4y 2=60截得的弦长｜AB ｜=82，求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程。
6. 已知P 是曲线xy=1上的任意一点，F(2,2)为一定点，l ：x+y －2=0为一定直线，求证：｜PF ｜与点P 到直线l 的距离d 之比等于2。
7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为(
)
3,0.
（Ⅰ）求双曲线C 的方程
（Ⅱ）若直线:2=+l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2?>
OA OB （其中O 为原点），求k
的取值范围
8、已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。
（1）求a 的取值范围；
（2）若以A B 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；
课后作业
1．双曲线36x 2
－49
y 2＝1的渐近线方程是 ( )
（A ）36x ±49y ＝0 （B ）36y ±49x ＝0 （C ）6x ±7y ＝0 （D ）7x
±6
y ＝0
2．双曲线5x 2－4y 2＝1与5
x 2－4y 2
＝k 始终有相同的（ ）
（A ）焦点 （B ）准线 （C ）渐近线 （D ）离心率
3．直线y ＝x ＋3与曲线4
y 4x
x 2+-=1的交点的个数是（ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
4．双曲线x 2－ay 2＝1的焦点坐标是（ ）
（A ）(a +1, 0) , (－a +1, 0) （B ）(a -1, 0), (－a -1, 0) （C ）（－
a a 1+, 0）,（a a 1+, 0） （D ）(－a a 1-, 0), (a
a 1
-, 0) 5．设双曲线1b
y a x 22
22=-(b>a>0)的半焦距为c ，直线l 过(a, 0)、(0, b)两点，已知原点到直线 L 的距离
是
4
3
c ，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）
3
3
2 6．若双曲线x 2－y 2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x 的距离是2，则a ＋b 的值为（ ）。 （A ）－2
1
（B ）2
1 （C ）－2
1或2
1 （D ）2或－2
7．已知方程k 3x 2
++k
2y 2-=1表示双曲线，则k 的取值范围是 。
8. 若双曲线222
2k
4y k 9x -=1与圆x 2＋y 2
=1没有公共点，则实数k 的取值范围是
9. 求经过点)72,3(-P 和)7,26(--Q ，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程
10 设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R )． (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若函数y ＝f (x )的图象按b ＝? ????
π4
，32平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在??????0，π4上的最
大值．
11、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{}n b 满足121114.4...4(1)()n n b b b b n a n N ---*=+∈，证明：{}n b 是等差数列；
课1、[解析]设双曲线方程为λ=-224y x ， 当0>λ时，化为
14
2
2
=-
λ
λ
y x ，20104
52
=∴=∴λλ
， 当0<λ时，化为14
2
2
=---λλy y ，2010452-=∴=-
∴λλ， 综上，双曲线方程为
221205x y -=或12052
2=-x y
课2.[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B
3、解（1）设双曲线方程为22
221-=x y a b
由已知得3,2==a c ，再由222
2+=a b ，得2
1=b
故双曲线C 的方程为
2
213
-=x
y . （2）将2=+y kx 代入2
213
-=x
y 得22(13)6290---=k x kx 由直线l 与双曲线交与不同的两点得()
22
22
1306236(13)36(1)0
?-≠?
?
?=+-=->??
k k k
即213
≠
k 且2
1 629 ,1313-+== --A B A B x y x y k k ，由2?> OA OB 得2+>A B A B x x y y ， 而2(2)(2)(1)2()2+=+++=++++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x 22 222 96237 (1)222131331 -+=+++=---k k k k k k k . 于是2237231+>-k k ，即22 39031-+>-k k 解此不等式得2 1 3.3< 113 < 故的取值范围为33(1,),133??-- ? ??? 4、解：（1）由?? ?=-+=1 31 2 2y x ax y 消去y ，得022)3(22=---ax x a （1） 依题意???>?≠-0 32a 即66<<-a 且3±≠a （2） （2）设),(11y x A ，),(22y x B ，则??? ???? --=-=+)4(32)3(32221221a x x a a x x ∵ 以AB 为直径的圆过原点 ∴ OB OA ⊥ ∴ 02121=+y y x x 但1)(2121221+++=x x a x x a y y 由（3）（4），22132a a x x -=+，2 2132 a x x --= ∴ 013232)1(2 2 2 =+-? +--? +a a a a a 解得1±=a 且满足（2） 9 设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R )． (1)求f (x )的最小正周期； (2)若函数y ＝f (x )的图象按b ＝??? ?π4，3 2平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在????0，π4上的最大值．大纲文数18.C9[2011·重庆卷] 【解答】 (1)f (x )＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )＝12sin2x ＋32cos2x ＋3 2 ＝sin ????2x ＋π3＋32.故f (x )的最小正周期为T ＝2π2 ＝π. (2)依题意g (x )＝f ????x －π4＋32＝sin ????2????x －π4＋π3＋32＋3 2 ＝sin ????2x －π6＋ 3. 当x ∈????0，π4时，2x －π 6∈??? ?－π6，π3，g (x )为增函数， 所以g (x )在????0，π4上的最大值为g ????π4＝332. 22、已知数列 {}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列 {}n a 的通项公式； （II ）若数列 {}n b 满足1 2 1114.4...4(1)()n n b b b b n a n N ---*=+∈，证明：{}n b 是等差数列； 22（I ）：* 121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。 12.n n a ∴+= 即 2*21().n a n N =-∈ （II ）证法一：1211144...4(1).n n b b b b n a ---=+ 12(...)42.n n b b b n nb +++-∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+= ③ 21(1)20.n n nb n b ++-++= ④ ④－③，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120, n n n b b b ++-+= *211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列。 练习题答案 1、[解析]设双曲线方程为 λ=-2 24y x ， 当 0>λ时，化为 14 2 2 =- λ λ y x ，20104 52 =∴=∴λλ ， 当0<λ时，化为14 2 2 =---λλy y ，2010452-=∴=- ∴λλ， 综上，双曲线方程为 221205x y -=或12052 2=-x y 2、[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B 7、解（1）设双曲线方程为 22 22 1-=x y a b 由已知得 3,2==a c ，再由2222+=a b ，得21=b 故双曲线C 的方程为2 213 -=x y . （2）将2=+y kx 代入2 213 -=x y 得22(13)6290---=k x kx 由直线l 与双曲线交与不同的两点得() 22 22 1306236(13)36(1)0 ?-≠? ? ?=+-=->?? k k k 即 213 ≠ k 且2 1 A x y B x y ，则 22 629 ,1313-+==--A B A B x y x y k k ，由2?> OA OB 得2+>A B A B x x y y ， 而 2(2)(2)(1)2()2+=+++=++++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x 22 222 96237 (1)222131331-+=+++=---k k k k k k k . 于是2237231+>-k k ，即22 39 031 -+>-k k 解此不等式得 21 3.3< 21 13 < 8、解：（1）由 ???=-+=1 312 2y x ax y 消去y ，得022)3(2 2=---ax x a （1） 依题意 ?? ?>?≠-0 32 a 即66<<-a 且3±≠a （2） （2）设),(11y x A ，),(22y x B ，则??? ???? --=-=+)4(32)3(32221221a x x a a x x ∵ 以AB 为直径的圆过原点 ∴ OB OA ⊥ ∴ 02121=+y y x x 但 1)(21212 21+++=x x a x x a y y 由（3）（4），2 2132a a x x -= +，2 2132 a x x --= ∴ 013232)1(2 2 2 =+-? +--? +a a a a a 解得1±=a 且满足（2） 例2答案：A 提示：椭圆10x 2＋32y 52=1的两个顶点是(10, 0), (－10, 0), 焦点是(－5103, 0), (5 10 3, 0), 在双曲线中，c=10, c a 2=5103, a 2=6, b 2 =4, ∴双曲线的方程是6x 2－4y 2=1 例3答案：B 提示：将y=－tg θ(x －1)代入到双曲线y 2cos 2θ－x 2 =1中，化简得cos 2θx 2＋2xsin 2θ＋cos 2θ=0, △=0,解得sin θ=±cos θ, ∴θ=±4 π 课练3.答案：e 12+e 22=e 12·e 22 提示：e 12+e 22= 2222b c a c +=22222b a )b a (c +=224 b a c = e 12·e 22 课练4【答案】B 【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以2 14a +=，即2 3a =，所以双曲线方程为2 213 x y -=，设点P 00(,)x y ，则有220001(3)3x y x -=≥，解得22 0001(3)3x y x =-≥，因为00(2,)FP x y =+ ，00(,)OP x y = ，所以2 000(2)OP FP x x y ?=++ =00(2)x x ++ 2013x -=2004213 x x +-，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x =-，因为03x ≥，所以当03x =时，OP F P ? 取得最小值4 32313 ?+-=323+，故OP FP ? 的取值范围是 [323,)++∞，选B 。 课练5答案：y=x ±9, (x ±12)2＋(y ±3)2=32 提示：设直线的方程是y=x ＋m, 与双曲线的方程x 2－4y 2=60联立，消去y 得3x 2＋8mx ＋4m 2＋60=0, |AB|=2|x 1－ x 2|=2 9 720 m 162-=82,解得m=±9, ∴直线l 的方程是y=x ±9, 当m=9时, AB 的中点是(12, 3),∴圆的方程是(x － 12)2＋(y －3)2=32，同样当m=－9时，AB 的中点是(－12, －3), 圆的方程是(x ＋12)2＋(y ＋3)2=32 课练 6 提示：设P(x, y), |PF|2=(x － 2)2＋(y －2)2, P 点到直线l 的距离d= 2 | 2y x |-+, ∴ 22 d |PF |=2 xy 2y 22x 222y x 2y 22y 2x 22x 2 222+--+++-++-=2, ∴｜PF ｜与点P 到直线l 的距离d 之比等于2。 课后6答案：B 提示：a 2－b 2=1, 2 |b a |-=2, 且a 2>b 2, a>0, 解得a ＋b= 2 1 双曲线专题 一、学习目标： 1.理解双曲线的定义； 2.熟悉双曲线的简单几何性质； 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于 2 1F F ）的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e （＞1）的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤，R y ∈ R x ∈，a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B 焦点 ()0,1c F -，()0,2c F ()c F -,01，()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ，其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习 1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.1 2 B ．1或－2 C ．1或1 2 D ．1 2.已知F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2 ＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 2 7＝1 D.x 27－y 2 3＝1 5.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________． 6.已知双曲线x 26－y 2 3＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.56 双曲线及其标准方程习题 一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 ) 1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|?|PB|│=2a(a ?0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 2. 3. 4. 5. 如果方程x 2 sin ??y 2cos ?=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角?的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6. 7. 若a ·b ?0，则ax 2 ?ay 2 =b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8. 9. 10. 11. 12. 13. 已知ab ?0，方程y=?2x ?b 和bx 2 ?ay 2 =ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ] 14. 二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 ) 1. 2. 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1 x y o x y o x y o x y o 高二数学双曲线同步练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 2．方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1- 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 一、选择题 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1 练习题 高二一部数学组 刘苏文 2017年5月2日 一、选择题 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1 c. 圆锥曲线同步测试一双曲线 一、选择题 1. "是第三象限角，方程x 2+y 2sin ^=cos 0表示的曲线是 （ ） A.焦点在x 轴上的椭圆 B.焦点在y 轴上的椭圆 C.焦点在x 轴上的双曲线 D.焦点在y 轴上的双曲线 2. “abvO”是“方程 我+叩2 =c 表示双曲线”的 （ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 3. 一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x2+y2?8x+12二0都外切，则动圆心的轨迹为（ ） 4. 过点P （2, -2）且与y-y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是 （ ） 6. 双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为斤、F2, ZF I MF 2=120° ,则双曲线的离心率为（ ） V6 V 7. 设双曲线芝一21 = 1 （0 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 16 5 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 *精* 双曲线及其标准方程习题 一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 ) 1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 2. 若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22-- -3325833258 3. 点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ． P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25 =12 2 2 2 -----x x x x 222225612511 4. k 5+y 6k =1[ ]A B C D 2 ＜是方程 表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件 x k 25-- 5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6. 下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=1 22 22 ---x x y y 2222925925 7. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8. 以椭圆 的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25 =1P(35)[ ] A y 10=1 B x 6=1 C x 3=1 D x 2=1 2 22 22---- 9. 到椭圆 的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ． x x x x x 2222225251697+y 9 =1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9 =12 2 2 2 2 ---- 10. 直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=1 22 222 ------x x x x x 22222841610016100 11. 以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ． 或 ．或．或 ．或A(34)y 20 =1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15 =1D y 5 =1x 10 =12 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y x y x y x y 22222222255510105102015--------- 12. 与双曲线 共焦点且过点，的双曲线方程是 ． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1 C y 16=1 D y 9=1 2 22 22 13. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ] 14. 已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是那么顶点的轨迹方程是 ． ． ． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49 =1C =1D 5y 147=1 222 2---,x 3 5 5147514749492222y y x 二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 ) 1. 已知双曲线 的焦距是，则的值等于 ． x k 21+-y 5 =18k 2 2. 设双曲线 ，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ． x a 2 2--y b =1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15x y 2 2 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1 《双曲线》练习题 一、选择题： 1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( A ) 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双 曲线方程为（ B ） A ．x 2 ﹣y 2 =1 B ．x 2 ﹣y 2 =2 C ．x 2 ﹣y 2 = D ．x 2﹣y 2 = 3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点P （1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x ﹣y=0，则双曲线C 的标准方程为（ B ） A ． B ． C ．或 D ． 4.已知椭圆222a x ＋222b y ＝1（a ＞b ＞0）与双曲线2 2 a x －22 b y ＝1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ） A ．22 B ．21 C ．66 D ．36 5．已知方程﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 （ A ） A ．（﹣1，3） B ．（﹣1， ） C ．（0，3） D ．（0，） 6．设双曲线 =1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点到直 线l 的距离为，则双曲线的离心率为（ A ） A ．2 B ． C ． D ． 7．已知双曲线22219y x a -=的两条渐近线与以椭圆22 1259y x +=的左焦点为圆心、半径为 165 的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ） A ．54 B ．53 C ． 43 D ．65 8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( B ) 9．已知双曲线 221(0,0)x y m n m n -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐13 ，则m 等于( D ) A ．9 B ．4 C ．2 D ．,3 双曲线相关知识 双曲线的焦半径公式： 1:定义:双曲线上任意一点P 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。 2．已知双曲线标准方程ｘ^2／a^２-y ＾２/b^2=1 点P(ｘ，y)在左支上 │PF1│=-(ｅx+ａ） ；│ＰＦ2│=－(ex －a) 点P(x,y ）在右支上 │PF1│=ex+a ;│PF2│=ex-ａ 运用双曲线的定义 例1．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线,则角α所在象限是( ) A 、第一象限 Ｂ、第二象限 C 、第三象限 Ｄ、第四象限 练习1．设双曲线19 162 2=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15,则P 点到)0,5(-的距离是( ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23 例2． 已知双曲线的两个焦点是椭圆10x 2 ＋32 y 52=1的两个顶点，双曲线的两条准 线分别通过椭圆的两个焦点,则此双曲线的方程是( ）。 (A)6x 2-4y 2=1 （B ）4x 2－6y 2=1 （C ）5x 2－3y 2=１ （D ）3x 2 －5 y 2=1 练习2． 离心率ｅ=2是双曲线的两条渐近线互相垂直的( )。 (A)充分条件 （B ）必要条件 (C ）充要条件 (D)不充分不必要条件 例３． 已知｜θ｜< 2 π ,直线ｙ＝－tg θ(ｘ－1)和双曲线y 2ｃo ｓ２θ－ｘ２ ＝1有且仅有一个公共点,则θ等于（ )。 (A)±6π (Ｂ）±4π （C ）±3π (D ）±12 5π 课堂练习 1、已知双曲线的渐近线方程是2 x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线 的方程为 ; 2、焦点为（0,６）,且与双曲线12 22 =-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 ( ） ?A.124 122 2=-y x B ． 124 122 2=-x y Ｃ． 112 242 2=-x y D. 112242 2=-y x 3. 设e 1, e ２分别是双曲线1b y a x 2222=-和1a y b x 22 22=-的离心率，则e １2+e 22与e 12·e 2 ２ 的大小关系是 。 ４.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2 221(a>0)a x y -=的中心和左焦点,点P 为双 曲线右支上的任意一点，则OP FP ?的取值范围为 ( ) A ．)+∞ B ．[3)++∞ C ．7[-,)4+∞ Ｄ．7 [,)4+∞ 5． 已知倾斜角为 4 π 的直线l 被双曲线x 2-4ｙ2=６0截得的弦长｜ＡB ｜＝82,求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程。 6. 已知P 是曲线xy=１上的任意一点，F （2，2)为一定点,l ：ｘ+y －2=0为一定直线,求证:｜PF ｜与点Ｐ到直线l 的距离d 之比等于2。 7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0,右顶点为 ) ． 圆锥曲线习题——双曲线 1. 如果双曲线2 42 2y x - ＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A) 3 64 (B) 3 6 2 (C)62 (D)32 2. 已知双曲线C ∶22 221(x y a a b -=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的 圆的半径是 （A ）a (B)b (C)ab (D)22b a + 3. 以双曲线 221916 x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．2 2 1090x y x +-+= B ．22 10160x y x +-+= C ．2 2 10160x y x +++= D ．2 2 1090x y x +++= 4. 以双曲线2 2 2x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ） Ａ．2 2 430x y x +--= Ｂ．22 430x y x +-+= Ｃ．2 2 450x y x ++-= Ｄ．2 2 450x y x +++= 5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它到左准 线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 6. 若双曲线122 22=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心 率是（ ） （A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 7. 过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的 两条渐近线的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC = ，则双曲线的离心率是 ( ) 双曲线练习题含答案集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 双曲线及其标准方程习题 一、单选题(每道小题 4分共 56分 ) 1. 命题甲：动点P到两定点A、B距离之差│|PA||PB|│=2a(a0)；命题乙； P点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的[ ] A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分也非必要条件 2. 3. 4. 5. 如果方程x2siny2cos=1表示焦点在y轴上的双曲线，那么角的终边在 [ ] A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限 6. 7. 若a·b0，则ax2ay2=b所表示的曲线是[ ] A．双曲线且焦点在x轴上B．双曲线且焦点在y轴上 C．双曲线且焦点可能在x轴上，也可能在y轴上D．椭圆 8. 9. 10. 11. 12. 13. 已知ab0，方程y=2xb和bx2ay2=ab表示的曲线只可能是图中的 [ ] 14. 二、填空题(每道小题 4分共 8分 ) 1. 2. 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 1．平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是( ) A．双曲线B．一条直线 C．一条线段 D．两条射线 2．已知方程 x2 1＋k － y2 1－k ＝1表示双曲线，则k的取值范围是( ) A．－1 三、典型例题选讲 （一)考查双曲线的概念 例１ 设Ｐ是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方 程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点.若3||1=PF ，则= ||2PF （ ） A.1或5 B.6 Ｃ．7 D.9 分析：根据标准方程写出渐近线方程,两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出2||PF 的值. 解: 双曲线 1922 2=-y a x 渐近线方程为x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=,||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>，7||2=∴PF ． 故选Ｃ. 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法. （二）基本量求解 例 2(200９山东理)设双曲线122 22=-b y a x 的一条渐近线与抛物线 21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) Ａ．45 B ．5 C.2 5 Ｄ． 5 解析:双曲线 122 22=-b y a x 的一条渐近线为 x a b y = ,由方程组 21b y x a y x ?=?? ?=+? ,消去ｙ，得2 10b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40b a -=, 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选Ｄ． 归纳小结:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点，则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能. 例3(２009全国Ⅰ理)设双曲线22 221x y a b -=(ａ＞0,b >0）的渐近线 与抛物线 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )Ａ3 B ．2 56解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0 '0|2x x y x ==.由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+,联立两式解得：2201,2,1()5b b x e a a =∴==+= 因此选Ｃ. 例４（2009 江西)设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个 焦点，若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 圆锥曲线测试题 一、选择题（ 共12题，每题5分 ） 1已知椭圆1252 22=+y a x )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦 AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ） （A ）10 （B ）20 （C ）241（D ）414 2 椭圆 136 1002 2=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）8 3椭圆19 252 2=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥， 则△21PF F 的面积为（ ） （A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）8 4以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ） （A ）222=-y x （B ）222=-x y （C ）422=-y x 或422=-x y （D ）222=-y x 或222=-x y 5 双曲线19 162 2=-y x 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为2，则P 点到左准线的距离为（ ） （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 6过双曲线822=-y x 的右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长为（ ） （A ）28 （B ）2814-（C ）2814+（D ）28 7双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F 1、F 2， ?=∠12021MF F ，则双曲线的离心率为（ ） （A ） 3（B ） 2 6（C ） 3 6（D ） 3 3 8在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2 1，则该双曲线的离心率为( ) 2018年高二上学期《双曲线》练习题（答案） 1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( 17 ) 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（B ） A ．x 2﹣y 2=1 B ．x 2﹣y 2=2 C ．x 2﹣y 2= D ．x 2﹣y 2= 3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点P （1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x ﹣y=0，则双曲线C 的标准方程为（ B ） A ． B ． C ．或 D ． 4.已知椭圆2 2 2a x ＋222b y ＝1（a ＞b ＞0）与双曲线22a x －22b y ＝1有相同的焦点， 则椭圆的离心率为（ A ） A ．22 B ．21 C ．66 D ．36 5．已知方程 ﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离 为4，则n 的取值范围是（ A ） A ．（﹣1，3） B ．（﹣1，） C ．（0，3） D ．（0，） 6．设双曲线 =1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ） 两点，已知原点到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为（ A ） A ．2 B ． C ． D ． 7．已知双曲线22219y x a -=的两条渐近线与以椭圆22 1259y x +=的左焦点为圆心、半径为16 5 的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ） A ． 54 B ． 53 C ． 43 D ． 65 8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲 线的离心率为( B ) 9．已知双曲线 22 1(0,0)x y m n m n -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是213 ，则m 等于(D) A ．9 B ．4 C ．2 D ．,3 10．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的 一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r g g 则该双曲线的方程是( A ) －y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 －y 2 7＝1 －y 2 3＝1 双曲线解答题练习 1.如图，在以点0为圆心，|AB| 4为直径的半圆 ADB 中，OD AB , P 是半圆弧上 一点， POB 30，曲线C 是满足||MA| |MB||为定值 的动点 M 的轨迹，且曲线 C 过点P . (I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程； (n)设过点D 的直线I 与曲线C 相交于不同的两点 E 、F ? 若厶OEF 的面积不小于 2/2，求直线I 斜率的取值范围. 2.双曲线的中心为原点 0，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为 h, J ，经过右焦点F 垂直 同向. (I)求双曲线的离心率； (n)设AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程. 于h 的直线分别交h, 12于A, B 两点.已知 uuu uuu uuu OA 、 AB 、 OB uur uuu 成等差数列，且BF 与FA 3. 已知双曲线x 2 y 2 2的左、右焦点分别为 F !, F 2，过点F 2的动直线与双曲线相交 于A, B 两点. uuu ⑴若动点M 满足FM uuu uur uur F i A F i B FO (其中0为坐标原点)，求点M 的轨迹方程; (II )在x 轴上是否存在定点 uuu uuu C ，使CA ? CB 为常数？若存在，求出点 C 的坐标；若不存 在，请说明理由. 4. 已知双曲线C 的方程为 a 2 b 2 1(a 0,b 0),离心率e 顶点到渐近线的距 2 离为◎。 (1 )求双曲线C的方程; (2)如图，P是双曲线C上一点，A, B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 uuu uuu 1 AP PB, [ — ,2]，求AOB面积的取值范围 3 5.求一条渐近线方程是3x 4y 0,—个焦点是4,0的双曲线标准方 程，并求此双曲线的离心率. (12分) 1 双曲线及其标准方程习题 一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 ) 1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非 充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 2. 3. 4. 5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6. 7. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8. 9. 10. 11. 12. 13. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和 bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图 中的 [ ] 14. 二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 ) 1. 2. 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1双曲线专题经典练习及答案详解
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