零点分段法详解

零点分段法：

此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。因为含有参数的绝对值化简，化简的结果是随着参数的情况而改变的（绝对值的代数意义），所以需要用零点分段法将参数的情况分类化，然后将每一类化简得出即可。

首先要明确两个词义：

1、零点：是使式子等于0时，未知数的值；如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解：x=1.5，

且一般来说，一个题目中有几个不相同的绝对值，就有几个式子，就对应有几个零点，如|x|+|x+1|应该有两个式子，对应有两个零点，而|x+3|就只有一个式子，只有一个零点。

2、分段：分段是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出，并且将数轴分割成小段；如

有两个零点时，在数轴上标出后可以发现数轴被这两个点分成了3段，一般来说，有n 个不相同的零点就应该把数轴分成n+1段。

一、步骤

通常分三步：

⑴求出所有式子的零点；

⑵将所有求得的零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来；

⑶在分出的段中，每一段上讨论原式子的正负形，并将绝对值求出。

例：

(1)化简：|x+1|+|x-1|

分析：首先，在这个题中，应该明确知道有两个式子，对应应该有两个零点，分别将他们求出，得到x+1的零点为x=-1，x-1的零点为x=1；其次，在数轴上标出两个零点，并可以看出它们将数轴分割为3段：

将每一段表示出来：

第一段：x＜-1；第二段：-1≤x＜1；第三段：1≤x

（注：也可以表示为：第一段：x≤-1；第二段：-1＜x≤1；第三段：1＜x；分段中必须在零点左右两段中必须而且只能有一段包含零点，比如上面例题中，在第一段表示出零点x≤-1后，第二段就不可以含有零点，所以第二段若表示成-1≤x＜1是错误的。）然后在每一段上去看绝对值内式子的正负性，然后求出来。

解：由题意，得：

零点为：

①x+1=0 得x=-1；②x-1=0 得x=1；

所以：

①当x＜-1时：

原式=[-(x+1)]+[-(x-1)]=-x-1+(-x)+1=-2x

②当-1≤x＜1时：

原式=(x+1) +[-(x-1)]=x+1+(-x)+1=2

③当1≤x时：

原式=(x+1) + (x-1)=x+1+x-1=2x

(2)化简：|x|+|x+1|+|x-1|

分析：首先，在这个题中，应该明确知道有三个式子，而不是两个，对应应该有三个零点，分别将他们求出，得到x的零点为x=0，x+1的零点为x=-1，x-1的零点为x=1；其次，在数轴上标出三个零点，并可以看出它们将数轴分割为四段。

解：由题意，得：

零点为：

①x=0；②x+1=0 得x=-1；③x-1=0 得x=1；

所以：

①当x＜-1时：

原式=(-x)+[-(x+1)]+[-(x-1)]=-x-1+(-x)+1=-3x

②当-1≤x＜0时：

原式=(-x)+(x+1) +[-(x-1)]= (-x)+x+1+(-x)+1=-x+2

③当0≤x＜1时：

原式=x+(x+1) +[-(x-1)]=x+x+1+(-x)+1=x+2

④当1≤x时：

原式= x+(x+1) + (x-1)=x+x+1+x-1=3x

附注：

关于零点分段法结果的检验方法：

因为在分段时，发现零点这个点分在其左边或者其右边的段都是可以的，所以把零点的值代入其左右两段，看结果是否一样，如在例1中，把x=-1代入①与②的化简结果中可以得到结果值都是2，把x=1代入②与③的化简结果中可以得到结果值都是2，所以结果是正确的。

练习：

化简下列式子：

1、|x-1|+|x+5|-|x-3|

2、|x-1|-2|x+3|+3|x+5|

绝对值大全(零点分段法、化简、最值)

绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤? ； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>?? ?≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或 ax b +<－c ；|ax b +|

分式不等式的解法

一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值） 利用绝对值的定义：（零点分段法） 利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 分解因式； 3） 标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取 的根打实心点，不能去的打空心）； 4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)； 一元二次不等式解法步骤： 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 首先考虑分解因式；不易分解则判断?，当0?≥时解方程（利用求根公式） 3） 画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心） 3 分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?； 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -<

绝对值的零点分段法

绝对值的零点分段法 一、教学目标： 1.理解并掌握零点分段法的含义和解题步骤； 2.能够熟练地运用零点分段法解决化简和求最值两类问题。 二、零点分段法： 此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。因为含有参数的绝对值化简，化简的结果的随着参数的情况而改变的，所以需要用零点分段法将参数的情况分类化，然后将每一类化简得出即可。 三、词义解释： 1、零点：是使式子等于0时，未知数的值；如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解即x=1.5，且一般来说，一个题目中有几个不相同的绝对值，就对应有几个零点；如∣x∣+∣x-3∣就有两个零点，分别是0和3，而∣x+1∣+∣x-1∣- ∣x-3∣就有3个零点，分别是-1、1和3. 2、分段：分段是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出，并且将数轴分割成小段：如有两个零点时，在数轴上标出这两个零点后可以发现数轴被这两个点分成了3段。一般来说，有n各不相同的零点就会把数轴分成n+1段。 四、用零点分段法解题的步骤： 通常分三步 （1）求出所有式子的零点； （2）将所有求得的零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来； （3）在分出的段中，每一段上讨论原各个式子的正负性，去掉绝对值。 五、例题和练习 题型一：化简 例1、化简∣x∣+∣x-1∣ 练1、化简∣x+1∣+∣x∣-∣x-3∣

例2、化简∣x+2∣-2∣x-1∣+3∣x-4∣练2、化简3∣x+5∣+4∣x∣-5∣x-1∣ 题型二：求最值 例3、求∣x+1∣+∣x-2∣的最小值. 练3、求∣2x+1∣-∣x-2∣的最小值. 练习1.化简：∣x+2∣-∣2x-1∣+2∣x+1∣.

绝对值大全(零点分段法-化简-最值)

.. 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ，有|x |c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c 或2利用不等式的性质去掉绝对值符号 利用不等式的性质转化|x |c (c >0)来解，如|ax b |>c (c >0)可为ax b >c 或ax b <－c ；|ax b |

绝对值大全(零点分段法、化简、最值)..

1 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ，有|x |c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c 或2利用不等式的性质去掉绝对值符号 利用不等式的性质转化|x |c (c >0)来解，如|ax b |>c (c >0)可为ax b >c 或ax b <－c ；|ax b |

最新绝对值大全(零点分段法、化简、最值)..

绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤?； |x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|

几种常见不等式的解法

题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法 高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－ 1，1］，m +n ≠0时 n m n f m f ++) ()(＞0 (1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f (x + 21)＜f (1 1-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求 实数t 的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x + 21∈［－1，1］，1 1-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方

零点分段法详解

零点分段法： 此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。因为含有参数的绝对值化简，化简的结果是随着参数的情况而改变的（绝对值的代数意义），所以需要用零点分段法将参数的情况分类化，然后将每一类化简得出即可。 首先要明确两个词义： 1、零点：是使式子等于0时，未知数的值；如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解：x=1.5， 且一般来说，一个题目中有几个不相同的绝对值，就有几个式子，就对应有几个零点，如|x|+|x+1|应该有两个式子，对应有两个零点，而|x+3|就只有一个式子，只有一个零点。 2、分段：分段是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出，并且将数轴分割成小段；如 有两个零点时，在数轴上标出后可以发现数轴被这两个点分成了3段，一般来说，有n 个不相同的零点就应该把数轴分成n+1段。 一、步骤 通常分三步： ⑴求出所有式子的零点； ⑵将所有求得的零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来； ⑶在分出的段中，每一段上讨论原式子的正负形，并将绝对值求出。 例： (1)化简：|x+1|+|x-1| 分析：首先，在这个题中，应该明确知道有两个式子，对应应该有两个零点，分别将他们求出，得到x+1的零点为x=-1，x-1的零点为x=1；其次，在数轴上标出两个零点，并可以看出它们将数轴分割为3段： 将每一段表示出来： 第一段：x＜-1；第二段：-1≤x＜1；第三段：1≤x （注：也可以表示为：第一段：x≤-1；第二段：-1＜x≤1；第三段：1＜x；分段中必须在零点左右两段中必须而且只能有一段包含零点，比如上面例题中，在第一段表示出零点x≤-1后，第二段就不可以含有零点，所以第二段若表示成-1≤x＜1是错误的。）然后在每一段上去看绝对值内式子的正负性，然后求出来。 解：由题意，得： 零点为： ①x+1=0 得x=-1；②x-1=0 得x=1； 所以： ①当x＜-1时： 原式=[-(x+1)]+[-(x-1)]=-x-1+(-x)+1=-2x ②当-1≤x＜1时： 原式=(x+1) +[-(x-1)]=x+1+(-x)+1=2 ③当1≤x时： 原式=(x+1) + (x-1)=x+1+x-1=2x (2)化简：|x|+|x+1|+|x-1| 分析：首先，在这个题中，应该明确知道有三个式子，而不是两个，对应应该有三个零点，分别将他们求出，得到x的零点为x=0，x+1的零点为x=-1，x-1的零点为x=1；其次，在数轴上标出三个零点，并可以看出它们将数轴分割为四段。

利用零点分段法解含多绝对值不等式(20200814154710)

利用零点分段法解含多绝对值不等式 对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题， 不少同学感到无从下手， 下面介绍 一种通法——零点分段讨论法． 一、步骤 通常分三步： ⑴找到使多个绝对值等于零的点． ⑵分区间讨论， 去掉绝对值而解不等式． 一般地 n 个零点把数轴分为 n ＋ 1 段进行讨论． ⑶将分段求得解集，再求它们的并集. 二、例题选讲 例1求不等式|x + 2| + I X — 1| > 3的解集. x 的取值把实数分成三个区间， 再分别讨论而去掉绝对值． 从而 2 (x 2) x 1 (x 1) ,I x — 1| = 2 (x 2) 1 x (x 1) 故可把全体实数x 分为三个部分：①x < — 2,②—2W X V 1，③x > 1. 所以原不等式等价于下面三个不等式组： x 2 x 1 2 x 1 (I) ，或(n ) ，或(川) . x 2 1 x 3 x 2 x 1 3 x 2 1 x 3 不等式组 (I ) 的解集是 {x I x <— 2}, 不等式组 ( n ) 的解集是 , 不等式组(川)的解集是{x | x > 1}. 综上可知原不等式的解集是 {x |x < — 2或x > 1}. 例 2 解不等式 I x — 1I ＋I2 — x I > 3— x ． 解：由于实数1, 2将数轴分成(—R, 1] , (1 , 2] , (2 ,+^ )三部分，故分三个区间 来讨论. ⑴ 当x < 1时，原不等式可化为一(x — 1) — (x — 2) >x + 3,即x < 0?故不等式的解集 是{x | x < 0}. ⑵ 当1x + 3,即x <— 2?故不等式的解 集是． 分析： 据绝对值为零时 转化为不含绝对值的不等式． x 解：?/ I x + 2| = x

绝对值大全(零点分段法、化简、最值)

绝对值大全（零点分段法、化简、最值）

绝对值大全(零点分段法、化简、最值) 、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值 符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等 式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因 此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关 键。 1 利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即 |x |= x(x x (x 0) 0) x(x 0) ，有 |x |c x 0(c 0) x R(c 0) 2 利用不等式的性质去掉绝对值符号

4 利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法，是指：若数x1，x2x n 分别使含有|x－x1|，|x－x2|，??，|x－x n|的代数式 中相应绝对值为零，称x1，x2，??，x n为相应绝对值的零点，零点x1，x2，??，x n将数轴分为m+1 段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符 号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。 5 利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝 对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于 |x a| |x b| m或|x a| |x b| m（m 为正常数）类型不等式。对|ax b| |cx d | m（或＜m），当|a| ≠c ||时一般不用。

专题十：零点分段法

零点分段法 零点分段法四步走：1、找零点2、画数轴分段3、分段化简4、综上所述 1、阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现 在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： ①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2． 从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3； ③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝． 通过以上阅读，请你解决以下问题： 化简代数式|x+2|+|x﹣4|．

2、化简代数式2121x x x -++--．

零点分段法解析 1、阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现 在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： ①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2． 从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3； ③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝． 通过以上阅读，请你解决以下问题： 化简代数式|x+2|+|x﹣4|． 解：当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣2+4﹣x＝﹣2x+2； 当﹣2≤x＜4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+4﹣x＝6； 当x≥4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝2x﹣2； 综上讨论，原式 () () () 222 624 22 x x x x x -+<-? ? =-< ? ? - ? ≤ ≥4

1第一节 绝对值与零点分段法

【初高中衔接教材】-----------代数部分 第一节 绝对值与零点分段法 一、知识点 )0 (≥a a a a (-＜0） 2. =x 1的几何意义？ 3. 11=-x 的几何意义？（两个点） 4.2+x ＞1的几何意义？（两射线） 5.12≤+x 的几何意义？（一条线段） 一般地，21x x -表示数轴上两点的距离，即21x x -=AB 二、例题 例1：在下列条件下去掉绝对值 （1）()221>---x x x ；(2)()3131≤≤---x x x ；(3)31-+-x x 例2：解绝对值不等式 （1）11<-x ；（2）212<-x ；（3）3121 >+x ；（4）075≥+x ； （5）012<+x ；（6）012≤+x ； 练习：①5x ； ③82≤x ； ④75≥x ； ⑤123<-b b a x ； （2）)0(>>-b b a x 例4：解方程 （1）12=-x ； (2)231=-+-x x ； （3）131=-+-x x ； (4)331=-+-x x 。 练习：解2312=---x x a =

例5：解不等式 （1）5421≤-+-x x ； （2）231≥-+-x x ； （3）131≥-+-x x （4）53312≤-+-x x ； （5）29342≥-+-x x 例5：作出下列函数图像 （1）x y =； （2）1-=x y ； （3）21-+-=x x y ； （4）)2(1+-=x x y ； （5）322--=x x y ； （6）322--=x x y 例6：（1）求函数441222+-++-=x x x x y 的最小值 （2）求函数441222+--+-=x x x x y 的最大值 例7：（1）方程m x x =--322有4个解，求m 的取值范围； （2）不等式131+≥-+-m x x 的解为一切实数，求m 的范围 思考：不等式组 113x x a -≤-≤无解，求a 的范围；

不等式的分类及解法

2.2 不等式的分类及解法 1、分类：（1）一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式； （2）指数不等式、对数不等式、分式不等式、均值不等式、高次不等式。 2、解法：--------直接法 （1）一元一次次不等式),(R b a b ax ∈>0 >a ??????>a b x x 0

------口诀法 （2）①一元二次不等式、②简单绝对值不等式口诀：大两边，小中间（前提：a>0;大、小指不等号）。2 1221)0(0,x x a c bx ax x x <≠=++的两个根，且是方程) 0(0)1(2>>++a c bx ax 042>-=?ac b 0=?0++a c bx ax 042>-=?ac b 0 =?0

①、解一元二次不等式的基本步骤： , 012≠++c bx ax ）整理成（的根，根公式解出方程）利用因式分解法、求（022 =++c bx ax 的解。 ）利用口诀写出不等式（3②、简单绝对值不等式 ; ;,01a x a a x a x a x a x a <<-?<>->或）若（. ,, 02; 0,00, 01,0200?∈?<∈?>=≥x a x R x a x a x x x x a x 若若所以： ）因为（-------口诀：大两边，小中间。.13,210300 0的系数为化中的常数项消去的解，诀写出运用整体思想，利用口的解法及步骤：）（x b b ax b ax b ax ++≠+方法解得相应结果。用解一元二次不等式的二次不等式， 两边同时平方化成一元， ：将不等式化成标准形式）平方法： （0003214a x ≠------公式法

利用零点分段法解含多绝对值不等式.

利用零点分段法解含多绝对值不等式对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，不少同学感到无从下手，下面介绍一种通法——零点分段讨论法． 一、步骤 通常分三步： ⑴找到使多个绝对值等于零的点． ⑵分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论． ⑶将分段求得解集，再求它们的并集． 二、例题选讲 例1求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集． 分析：据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间，再分别讨论而去掉绝对值．从而转化为不含绝对值的不等式． 解：∵|x＋2|＝ 2 (2) 2 (2) x x x x +≥- ? ? --<- ? ，|x－1|＝ 1 (1) 1 (1) x x x x -≥ ? ? -< ? ． 故可把全体实数x分为三个部分：①x＜－2，②－2≤x＜1，③x≥1．所以原不等式等价于下面三个不等式组： (Ⅰ) 2 213 x x x <- ? ? --+-> ? ，或(Ⅱ) 1 213 x x x > ? ? ++-> ? ，或(Ⅲ) 21 213 x x x -≤< ? ? ++-> ? ． 不等式组(Ⅰ)的解集是{x|x＜－2}， 不等式组(Ⅱ)的解集是?， 不等式组(Ⅲ)的解集是{x|x＞1}． 综上可知原不等式的解集是{x|x＜－2或x＞1}． 例2解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x． 解：由于实数1，2将数轴分成(－∞，1]，(1，2]，(2，＋∞)三部分，故分三个区间来讨论． ⑴当x≤1时，原不等式可化为－(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜0．故不等式的解集是{x|x＜0}． ⑵当1＜x≤2时，原不等式可化为(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜－2．故不等式的解集是?．

常见不等式的解法归纳总结

常见不等式的解法归纳总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

常见不等式的解法归纳总结 知识点精讲 一．一元一次不等式（ax b >） （1）若0a >，解集为|b x x a ??> ???? . (2) 若0a <，解集为|b x x a ??< ???? （3）若0a =，当0b ≥时，解集为?；当0b <时，解集为R 二、一元一次不等式组（αβ<） （1）x x αβ>??>?，解集为{}|x x β>.（2）x x αβ?? ??≠，其中24b ac ?=-，12,x x 是方程2 0(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x < （1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0?>，解集为{} 21|x x x x x ><或. ②若0?=，解集为|2b x x R x a ??∈≠- ???? 且. ③若0?<，解集为R . (2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0?>，解集为{}12|x x x x << ②若0?≤，解集为? 四、简单的一元高次不等式的解法 简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下. 例如，解一元高次不等式()0f x > （1）将()f x 最高次项系数化为正数 （2）将()f x 分解为若干个一次因式或二次不可分因式（0?<） （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶切”）.

初一数学绝对值与零点分段法

绝对值与零点分段法 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题． 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数． 例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜； (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜； (4)若｜a｜=b，则a=b； (5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b； (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜． 例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜． 例3 已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．

例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值． 例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜99+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值． 例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜． 例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．

例10 若2x+｜4-5x ｜+｜1-3x ｜+4的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值． 整数末尾数性质： 1、末位数的运算性质 定理5：两个自然数和的末位数等于这两个自然数末位数和的末位数；两个自然数乘积的末位数等于这两个自然数末位数乘积的末位数，即 )]()([)(b P a p P b a P +=+， )]()([)(b P a P P b a P ?=?， 二、例题精讲 例1：（1）求19951994 的末位数。 （2）求1003100210011373 ??的末位数。 例2：n 为怎样的自然数时，n n n n 4321+++能被10整除？ 表格法的应用与直观性分析。 例3：若N ＝782x 是一个能被17整除的四位数，求x 。

绝对值与零点分段法

第一节绝对值与零点分段法一、知识点 )0 (≥ a a a a( -＜0） 2. = x1的几何意义？ 3. 1 1= - x的几何意义？（两个点） 4.2 + x＞1的几何意义？（两射线） 5.1 2≤ + x的几何意义？（一条线段） 一般地， 2 1 x x-表示数轴上两点的距离，即2 1 x x-=AB 二、例题 例1：在下列条件下去掉绝对值 （1）()2 2 1> - - -x x x；(2)()3 1 3 1≤ ≤ - - -x x x；(3)3 1- + -x x 例2：解绝对值不等式 （1）1 1< - x；（2）2 1 2< - x；（3）3 1 2 1 > + x；（4）0 7 5≥ + x； （5）0 1 2< + x；（6）0 1 2≤ + x； 练习：①5 < x；②10 > x；③8 2≤ x；④7 5≥ x；⑤12 3< x； ⑥0 2 5≥ - x；⑦0 1 5 32 3≥ + +x x；⑧0 1 5 3< + - x；⑨0 5 3≤ - x 例3：解下列关于x的不等式 （1）)0 (> < -b b a x；（2）)0 (> > -b b a x a=

例4：解方程 （1）12=-x ； (2)231=-+-x x ； （3）131=-+-x x ； (4)331=-+-x x 。 练习：解2312=---x x 例5：解不等式 （1）5421≤-+-x x ； （2）231≥-+-x x ； （3）131≥-+-x x （4）53312≤-+-x x ； （5）29342≥-+-x x 例5：作出下列函数图像 （1）x y =； （2）1-=x y ； （3） 21-+-=x x y ； （4）)2(1+-=x x y ； （5）322--=x x y ； （6）322--=x x y 例6：（1）求函数441222+-++-=x x x x y 的最小值 （2）求函数441222+--+-=x x x x y 的最大值 例7：（1）方程m x x =--322有4个解，求m 的取值范围； （2）不等式131+≥-+-m x x 的解为一切实数，求m 的范围 练习：不等式组 113x x a -≤-≤无解，求a 的范围 第二节 多项式乘法原理及因式分解 一、知识点 1．多项式乘法原理：

初中数学绝对值专题(零点分段法、化简、最值)

初中数学绝对值问题专题讲义（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0) x x x x ≥??-????≤?；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如 |ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|

值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。 4利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法，是指：若数 x，2x，……，n x分别使含有|x－ 1 x|，|x－2x|，……，|x－n x|的代数式中相应绝对值为零，称1x， 1 x，……，n x为相应绝对值的零点，零点1x，2x，……，n x将数轴分为2 n+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。 5利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于|||| -+-> x a x b m 或|||| x a x b m ax b cx d m +++>(或-+-<(m为正常数)类型不等式。对||||

绝对值化简——零点分段法(不带条件)

绝对值化简—不带条件（零点分段法） 1．使代数式的值为正整数的x值是（） A．正数 B．负数 C．零D．不存在的 2．方程|x﹣2|+|x﹣3|=1的实数解的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．多于3 3．方程|x﹣2008|=2008﹣x的解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．无穷多个 4．能够使不等式（|x|﹣x）（1+x）＜0成立的x的取值范围是． 5．化简： （1）|2x﹣1|；（2）|x﹣1|+|x﹣3|；（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|． 6．化简： （1）|3x﹣2|+|2x+3|；（2）||x﹣1|﹣3|+|3x+1|． 7．（2007秋?海淀区校级期中）化简：|3x+1|+|2x﹣1|． 8．化简下列各式： （1） （2）|x+5|+|x﹣7|+|x+10|． 9．（1）|x﹣3|+|x+1|的最小值是 （2）|x﹣3|﹣|x+1|的最大值是． 绝对值—不带条件的化简求值（零点分段法） 1．（2015秋?禹城市校级月考）已知数轴上三点A、B、C分别表示有理数a、1、﹣1，那么|a+1|表示（） A．A与B两点的距离B．A与C两点的距离 C．A与B两点到原点的距离之和D．A与C两点到原点的距离之和 2．（2015秋?连云港校级月考）不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A、B、C，如果|a﹣b|+|b﹣c|=|a﹣c|，那么点B （） A．在A、C点的左边B．在A、C点的右边 C．在A、C点之间D．上述三种均可能 3．已知y=|2x+6|+|x﹣1|﹣4|x+1|，求y的最大值． 4．已知y=|x+2|+|x﹣1|﹣|3x﹣6|，求y的最大值．

初一数学绝对值典型例题精讲

初一数学绝对值典型例 题精讲 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第三讲绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质： （1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a＞0） （2）|a|= 0 （a=0）（代数意义） -a (a＜0) （3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0； （4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a， 且|a|≥-a；

（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|

[例1] （1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（） A.a＜0，b＜0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.ab＜0 （3）下列各组判断中，正确的是（） A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞b C. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b，则一定有a2=(-b) 2 （4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值其值是多少 （5） 分析： （1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3）选择D。 （4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些它们的和为多少 <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（） A.a＞b B.a=b C.a