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有趣的方阵

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[知识要点]

方阵可以分为实心方阵和空心方阵。

计算组成实心方阵、空心方阵的物体的个数是主要的方阵问题。

方阵的基本特点是:方阵中,里一层总比外一层的一边少2个物体,里一层物体的个数一定比个一层物体总个数少8个。

实心方阵:

物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数;

(每边数—1)×4=每层数;每层数÷4+1=每边数

空心方阵:

物体的个数=(最外层一边的个数—层数)×层数×4

【例题精讲】

例题1:一个广场节目方阵,最外层一周的人数为16人。那么,这个方阵最外层每边有多少人?这个方阵共有多少人?

例题2:一个游行庆祝的方队,最外层的人数为44人,最内层的人数为28人,中间的位置由16人进自由体操表演。问这个方阵共有多少人?

例题3:一个方阵,如果每行、每列的人数相等,那么将多出25人;如果每行每列都增加1人,就多出6人。问这个方阵有多少人?

例题4:某影视大厅的天花板是正方形的,在天花板四周安装彩灯,每边安装15盏,四周共装多少盏?如果在中空部分增装2层彩灯,需多装多少盏?

例题5:排成20个人一行的正方形方阵,最外边两层共站多少人?

【为了掌握】

1.一方阵每人一束花共20层,最里层有76束花,求这个方阵共需多少束花?

2.学校为庆祝“十一”,用盆花摆了一个中实方阵,最外一层有36盆花。求这个方阵共有花多少盆?

3.解放军进行排队表演,组成一个外层有48人,内层有16人的多层中空方阵,这个方阵有几层?一共有多少人?

4.有一个用圆片摆成的两层中空方阵,外层每边有16个圆片,如果把内层的圆片取出来,在外层再摆一层,变成一个新的中空方阵,应再增加多少圆片?

5.一张桌子四周可以坐4人,两张桌子并排起来可以坐6人,三张桌子可以坐8人,……,问20张桌子并起来可以坐多少人?如果有78人要坐下,须多少张桌子并起来?

6.运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵,如果去掉2行2列,要减少多少运动员?

7.40人排成两层空方阵,最外层每边有几人?

【为了优秀】

1.一队战士排成三层空心方阵多出9人,如果在空心部分再增加一层又差7人。问这队战士共有多少人?

2.军训学生进行队列表演,排成一个正方形队列,如果这个队列横竖各加一排,还需要补充19人,参加队列表演的学生用多少人?

3.同学们排练团体操,排成一个方阵。中间的实心方阵是女同学,外面三层是男同学,最外圈两层又是女同学。已知方阵中男同学是108分,问女同学是多少人?

【为了竞赛】

1.男女两队学生组成一个方阵,男、女队分别依次各出10人,一直排下去,最后一次男队出10 人,女队不足10人,据估计共200多人,实际派出多少人?

2.有一中空方阵,小明计算总人数为146人,问小明算的对吗?为什么?

第四章方阵的特征值理论

§3 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的定义 设A 为n 阶方阵,p 是某个n 维非零列向量. 一般来说,n 维列向量Ap 未必与p 线性相关,也就是说向量Ap 未必正好是向量p 的倍数. 如果对于取定的n 阶方阵A ,存在某个n 维非零列向量p ,使得Ap 正好是p 的倍数,即存在某个数λ使得λAp =p ,这样的向量就是 A 的相应的特征向量. 下面正式给出方阵的特征值和特征向量的定义. 定义3.1 设() i j n n a ?=A 为n 阶实方阵. 若存在某个数λ和某个n 维非零列向量p 使 λAp =p , 则称λ是A 的一个特征值,称p 是A 的属于特征值λ的一个特征向量. 为了求出A 特征值和特征向量,我们把λAp =p 改写成()λ-=n E A p 0. 再把λ看成 待定参数,那么p 就是齐次线性方程组()λ-=n E A x 0的任意一个非零解. 显然,它有非零 解当且仅当它的系数行列式为零: 0λ-=n E A . 定义3.2 带参数λ的n 阶方阵λ-n E A 称为A 的特征方阵,它的行列式λ-n E A 称 为A 的特征多项式. 称 0λ-=n E A 为A 的特征方程. 根据行列式的定义可知有以下等式 11 12 12122 21 2 n n n n n n a a a a a a a a a λλλλ-------= ---n E A ()()()11 22 n n a a a λλλ= ---+ , (1) 在省略的各项中不含λ的方次高于2n -的项, 所以n 阶方阵A 的特征多项式一定是λ的n 次多项式. A 的特征方程的n 个根(复根,包括实根或虚根, r 重根按r 个计算)就是A 的n 个特征值. 在复数范围内, n 阶方阵一定有n 个特征值. 综上所述, 对于给定的n 阶实方阵()i j a =A , 求它的特征值就是求它的特征多项式(1)的 n 个根. 对于任意取定的一个特征值0λ,A 的属于这个特征值0λ的特征向量,就是对应的

矩阵特征值的意义

矩阵特征值的意义 数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用,它的物理意义在于什么 矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手,把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵,最简单的线性变换就是数乘变换,求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换,特征值就是这个数乘变换的变换比,这样的一些非零向量就是特征向量,其实我们更关心的是特征向量,希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和,这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行,这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理! 特征值时针对方阵而言的。 两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题,才能有和、有差。 引入特征值与特征向量的概念 ? 引例 在一个n 输入n 输出的线性系统y=Ax 中,其中 ? 我们可发现系统A 对于某些输入x ,其输出y ? 恰巧是输入x 的 倍,即 ;对某些输入,其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。 ??????? ??=??????? ??=??????? ??=n n nn n n n n y y y y x x x x a a a a a a a a a A M M L L L L L L L 2121212222111211,,λx y λ=

? 例如,对系统 ,若输入 ? 则 ? ? 若输入 ,则 ? 所以,给定一个线性系统A ,到底对哪些输入,能使其输出按比例放大,放大倍数 等于多少这显然是控制论中感兴趣的问题。 基于此给出特征值与特征向量的概念: ? 定义 设A 是一个n 阶方阵,若存在着一个数 和一个非零n 维向量x ,使得 则称 是方阵A 的特征值,非零向量x 称为A 对应于特征值 的特征向量,或简称为A 的特征向量 ???? ??=4312A ? ?? ? ??=31x x Ax y 5315155314312=???? ??=???? ??=???? ?????? ??==???? ??=52x x Ax y λ≠???? ??=???? ?????? ??==269524312λx Ax λ=λλ

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