常微分方程的初等解法与求解技巧

山西师范大学本科毕业论文（设计）

常微分方程的初等解法与求解技巧

姓名张娟

院系数学与计算机科学学院

专业信息与计算科学

班级12510201

学号1251020126

指导教师王晓锋

答辩日期

成绩

常微分方程的初等解法与求解技巧

内容摘要

常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.

【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧

Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary

Differential Equation

Abstract

Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.

【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques

目录

1.引论 ............................................................................................................................. 1 2.变量分离方程与变量变换 .. (1)

2.1变量分离方程的解法 .............................................................................................. 1 2.2变量分离方程的举例 .............................................................................................. 2 2.3变量分离方程的几种类型 .. (2)

3.线性微分方程和常数变易法 (6)

3.1线性微分方程与常数变易法 ................................................................................. 6 3.2伯努利微分方程 .. (8)

4.恰当微分方程与积分因子 (9)

4.1恰当微分方程 ......................................................................................................... 9 4.2积分因子 (11)

5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)

5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)

6.常微分方程的若干求解技巧 (18)

6.1将一阶微分方程

dx dy

变为dy

dx 的形式 ................................................................... 18 6.2分项组合 (19)

6.3积分因子的选择 (20)

7.总结 ........................................................................................................................... 21 参考文献 ...................................................................................... 错误！未定义书签。 致谢 .. (22)

常微分方程的初等解法与求解技巧

学生姓名：张娟 指导教师：王晓锋 1.引论

常微分方程的实质就是一个关系式，这个关系式是由自变量、未知函数和未知函数的导数组成的，且自变量的个数为一个[1].其发展历史经历了一个很漫长的过程，在这个发展过程中涌现出很多科学家例如欧拉、拉格朗日、柯西等，他们对常微分方程的发展做出了很大的贡献.常微分方程的发展历史可分为三个阶段，分别是“求通解”阶段、“求定解”阶段、“求所有解”的新阶段[1].

常微分方程在数学中占有很重要的地位，有很多伟人例如赛蒙斯都曾评价过常微分方程在数学中的地位，指出其在数学中的不可替代的作用[2].

常微分方程非常重要，其初等解法有很多种，我们应该掌握其初等解法与技巧.

2.变量分离方程与变量变换

2.1变量分离方程的解法

对于变量分离方程

)()(y x f dx

dy

?=， 若0)(≠y ?，则有 ：

dx x f y dy

)()

(=?， 两边积分，得到:

c dx x f y dy

+=?)()(?，c 为任意实数.

如果0)(=y ? 得0y y =，验证一下0y y =是否包括在c dx x f y dy

+=?)()

(?中，若不包括，需补上特解0y y =.

2.2变量分离方程的举例

（1）

xy dx

dy

2=，求该方程的解． 解：当0≠y 时，xdx y

dy

2=， 两边积分，得到：

12??+=c xdx y dy

，1c 为任意实数．

故 2

x ce y =，c 为任意实数． 显然y=0包括在2

x ce y =中， 故方程的通解为：

2

x ce y =，c 为任意实数．

2.3变量分离方程的几种类型 2.

3.1齐次微分方程

对于齐次微分方程

)(x

y

g dx dy =， 解法：令x

y

u =

则有： ux y =， （2-1） 两边对x 求导得：

u dx du x dx dy +=， （2-2） 将（2-1），（2-2）代入齐次微分方程)(x y

g dx dy =中可得： )(u g u dx

du x =+， 即 x

u u g dx du -=)(， 从而可以求得其解．

举例：求解方程)0(2<=+x y xy dx

dy

x .

解：原方程可化解为：

x

y x y dx dy +=2()0

这个方程为齐次微分方程，令

u x

y

=， 则有 xu y =，

两边对x 求导得：

u dx du x dx dy +=，将u x

y =和u dx du x dx dy +=代入原方程中得： u dx

du x 2=， 这个方程为可分离变量方程， 当0≠u 时解之可得：

c x u +-=)ln(,其中c 为使等式有意义的任意常数.

即当0=u 时，显然是u dx

du

x 2=的解，且不包含在c x u +-=)ln(中， 将

u x

y

=代入0=u 或c x u +-=)ln(中可得： ??

?>+-+-=,0,

0)(ln ,])[ln(2c x c x x y 当 2.3.2有理比式

2

221

11c y b x a c y b x a dx dy ++++=的三种类型 ①类型一

==2121b b a a k c c =2

1（常数）情形，则原方程变为：k dx dy

=， 故方程的通解为：

c kx y +=，其中c 为任意常数.

举例：求解下列方程的解1

22

24++++=y x y x dx dy . 解：根据题意可得：

21

22

24=++++=y x y x dx dy ， 即

2=dx

dy

， 故可得： c x y +=2，c 为任意常数. 因此原方程的通解为：

c x y +=2，c 为任意常数.

②类型二

2

12121c c k b b a a ≠==情形，令 y b x a u 22+=，

两边对x 求导可得：

2

1

2222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=， 这个方程是变量分离方程.

举例：做适当变换求解方程25--+-=y x y x dx dy . 解：经判断为第二种类型，令 y x u -=， 两边对x 求导可得：

dx

dy dx du -=1， 故可得:

2

7

--=u dx du ， 解之可得： 12722

1

c x u u +-=-，1c 为任意常数.

将y x u -=代入并化简可得：

c x y xy y x =++-+104222，c 为任意常数.

③类型三

2121b b a a ≠情形，如果方程2

221

11c y b x a c y b x a dx dy ++++=中的1c ，2c 不全等于零，111c y b x a ++，222c y b x a ++都是x ，y 的一次多项式，

则 ???=++=++,0,0222

111c y b x a c y b x a （2-3）

可以求得解为： ???==,,

βαy x

令 ?

??-=-=,,

βαy Y x X

则（2-3）化解为： ???=+=+,0,

022

11Y b X a Y b X a

故

2

221

11c y b x a c y b x a dx dy ++++=

化为: )(2211X

Y

g Y b X a Y b X a dX dY =++=， 故可以解出该方程的解，解出其解，再将 ???-=-=,,

βαy Y x X 带入其解中，从而得到所求方程

的解.

举例：解下列方程

1

21

2+-+-=y x y x dx dy . 解：显然

2

1

21b b a a ≠，故为第三种类型， 解方程组??

??

?

-=+=3131y Y x X 得： 31-=x ，31=y . 于是令 ??

??

?

+=-=,

31

,31Y y X x 代入原方程中，则有：

X

Y X Y

Y

X Y X dX dY 2

1222--

=

--=， 这个方程为可变量分离方程，故令X

Y

u =，

则 uX Y =， 等式两边对X 求导可得：

u dX

du

X dX dY +=， 将X

Y X Y dX

dY 2

12--=

代入u dX du X dX dY +=中得到： u

u u dX du X 212--=+,

化解得：

u

u u dX du X 212222-+-=， 解之可得：

X c u u 12

1

2

)

1(=+--

，

换入原来的变量得：

c xy y x x y =--++22，其中c 为任意常数.

故原方程的解为：

c xy y x x y =--++22，其中c 为任意常数.

上面三种类型解题方法和步骤也适用于下列类型的方程：

(1)??

? ??=2x y xf dx dy ， (2)

()c by ax f dx dy

++=， (3))(2

xy f dx

dy

x =， (4)0)()(=+dy xy xg dx xy yf .

3.线性微分方程和常数变易法

3.1线性微分方程与常数变易法 如果一阶线性微分方程可表示为：)()(x Q y x P dx

dy

+=，这里)(x P ，)(x Q 在定义域上是连续的函数.

①如果0)(=x Q ，则原式变成y x P dx dy )(=，故形如y x P dx

dy )(=的类型通常叫做一阶齐次线性微分方程[1].

②如果0)(≠x Q ，则原式变成

)()(x Q y x P dx dy +=，故形如)()(x Q y x P dx

dy +=的类型通常叫做一阶非齐次线性微分方程[1].

因y x P dx

dy

)(=为变量分离方程，其通解为： ?

=dx

x P ce y )(，c 为任意常数.

下面讨论形如

)()(x Q y x P dx

dy

+=形式的方程解的求法.

由上可知其所对应的齐次微分方程的解为：

?

=dx

x P ce y )(，

令 ?=dx

x P e x c y )()(， （3-1）

两边对x 求导可得：

?+?=dx x P dx

x P e x P x c e dx x dc dx

dy )()()()()(， （3-2）

将（3-1），（3-2）代入)()(x Q y x P dx

dy

+=中并化简可得： ?=-dx x P e x Q dx

x dc )()()

(， 两边积分得：

1)()()(c dx e x Q x c dx

x P +?=?-，其中1c 是任意常数.

因此可得原方程的通解为：

))((1)()(c dx e x Q e y dx

x P dx

x P +??

=?-，这里1c 是任意常数.

这种方法叫做常数变易法[1]. 举例：求解方程x y dx

dy

sin +=. 解：该方程所对应的齐次线性微分方程为：y dx

dy

=， 解之得：

x ce y =，c 为任意常数.

令

()x e x c y =，

（3-3） 两边对x 求导可得：

()x x

e x c e dx

x dc dx dy )(+= ， （3-4） 将（3-3），（3-4）都代到

x y dx

dy

sin +=中并化解可得： ()()()x e x c e x c e dx

x dc x x x

sin +=+， 因此有：

()x dx

x dc sin =， 从而可以求得该方程的解为：

()1cos c x x c +=，1c 为任意常数.

因此可得原方程的通解为：

()x e c x y 1cos +=，这里1c 为任意常数.

3.2伯努利微分方程

定义：形如

()n y x Q y x P dx

dy

)(+=的类型，0≠n ，1≠n ，并且n 是常数，其中()x P ，()x Q 关于x 是连续的，故我们称()n y x Q y x P dx

dy

)(+=为伯努利微分方程错误！未定义书签。． 解法：明显0=y 是这个方程的一个解. 当0≠y 时，在这个方程两端同乘n y -得：

()()x Q x P y dx

dy

y n n

+=--1， （3-5） 于是令 n y u -=1， (3-6) 两端对x 求导有：

()dx

dy y n dx du n --=1， (3-7) 将(3-6)等式、(3-7)等式代到(3-5)等式里并化简可得：

())()1()1(x Q n u x P n dx

du

-+-=， 从而可以求得该方程的通解.

举例：求方程的解33y x xy dx

dy

=+.

解：显然0=y 为方程的解.当0≠y 时， 两边同乘3-y 得：

323

x xy dx

dy

y =+--， (3-8) 令 2-=y u ， （3-9) 两边对x 求导可得：

dx

dy

y dx du 32--=， (3-10) 将(3-9),(3-10)代到(3-8)并化解变为：

321x xu dx

du =+-， (3-11) 其所对应的齐次微分方程为：

021=+-xu dx

du , 其解为：

2

x ce u =,c 为任意常数.

利用常数变易法求解， 令 2

)(x e x c u =， (3-12)

两边对x 求导得：

22

)(2)(x x e x xc e dx

x dc dx du +=， (3-13) 由等式(3-11)、 (3-12)、(3-13)联立并化解可得：

2

32)(x e x dx

x dc --=， 从而可求得其解为：

122

2)(c e e x x c x x ++=--, 其中1c 为任意常数.

则

2

121x e c x u ++=，其中1c 为任意常数.

将原变量代入得：

1)1(2122

=++y e c x x ，

故原方程的解为：

1)1(212

2

=++y e c x x 或0=y .

4.恰当微分方程与积分因子

4.1恰当微分方程

定义： 一阶微分方程可表示为 0),(),(=+dy y x N dx y x M ，其中),(y x M ，),(y x N 在使x ，y 有意义的范围上关于x ，y 可导且连续，若

dy y

u

dx x u y x du dy y x N dx y x M ??+??=

=+),(),(),(， 则称0),(),(=+dy y x N dx y x M 为恰当微分方程.

判定：判定0),(),(=+dy y x N dx y x M 为恰当微分方程等价条件是：

x

N y

M ??=

??.

求解：显然恰当微分方程的通解就是,),(c y x u =其中c 为常数. 由恰当微分方程可得：

M x

u

=??， （4-1） N y

u

=??， （4-2）

从关系式（4-1）出发，把y 看做未知参数，解这个方程可得：

?+=)(),(y dx y x M u ?， （4-3）

其中)(y ?是y 的任意可微函数. 选择)(y ?使u 同时满足（4-2），即

N dy

y d dx y x M y y u =+??=???)(),(?， 故有

???

-=dx y x M y

N dy y d ),()(?， （4-4） 则有（4-4）的右端只与y 有关，事实上是仅仅需证明（4-4）的右端满足下列等式，

,

0),(),(),(=??-??=?

?

????????-??=??????????-??=????????

-?????y M x N dx y x M x y x N dx y x M y x x N dx y x M y N x 故（4-4）式的右端只与y 有关，故可以得到：

dy dx y x M y N y ????

???

?

??

-

=),()(?， 将dy dx y x M y N y ????

??????

-=),()(?代入（4-3）中求得：

?+

=dx y x M u ),(c dy dx y x M y N =??

??????

-??),(，c 为任意常数. 举例：验证方程0)4()3(2=---dy x y dx x y 是恰当微分方程，并求出其解. 解：先验证是恰当微分方程，因23x y M -=，x y N +-=4. 且有

1=??y

M ，1=??x N

. 即可得

x

N

y M ??=??，则原方程为恰当微分方程.

故可设：

),()4()3(2y x du dy x y dx x y =---，

则有：

23x y x

u

-=??， （4-5） x y y

u

+-=??4，

（4-6） 由方程（4-5）可以解得：

)(3y x xy u ?+-=，

为了确定)(y ?，在)(3y x xy u ?+-=的两端对y 求导数，并使之满足等式：

x y dy

y d x y u +-=+=??4)(?， 于是可得：

y dy

y d 4)

(-=?， 积分后可得： 22)(y y -=?， 故 232y x xy u --=， 因此可得原方程的通解为：

c xy y x =-+232，这里c 为任意常数.

4.2积分因子

定义：如果存在0),(≠y x μ且为连续可微的函数，使得：

0),(),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M y x μμ，

恰好为恰当微分方程，也就是存在一个),(y x v ,满足下列等式：

dv Ndy Mdx ≡+μμ，

则函数μ称为方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子，

0),(),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M y x μμ的解为：

c y x v =),(，c 为任意常数.

它也是方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的通解.

求法：方程 0=+Ndy Mdx 有只与x 有关的积分因子的等价条件是：

)(x N

x

N

y M φ=??-??， 这里)(x φ仅为x 的函数.

则方程0=+Ndy Mdx 的一个积分因子为：

?

=dx

x e )(φμ，

方程0=+Ndy Mdx 有只与y 有关的积分因子的等价条件是：

)(y M

x

N

y M ?=-??-??,

这里)(y ?仅为y 函数，

则方程0=+Ndy Mdx 的一个积分因子为：

?

=dy

y e )(?μ.

举例：求方程的解 ()

02=--xdy dx x y . 解：由题意可知：

2),(x y y x M -=,x y x N -=),(,

则有： 1=??y M ，1-=??x

N

， x

N x N y M 2-=??-

??， 故可求得积分因子为: 22

--=?=x e dx

x μ，

原式两边同乘2-=x μ可得：

0)1(12=----dy x dx y x ，

则有

12-=??-y x x

μ

， （4-7） 1--=??x y

μ

，

（4-8）由（4-7）式两边积分得：

)(1x y x ?μ+-=-，

为了确定)(x ?，在)(1x y x ?μ+-=-的两边对x 求偏导，得：

dx

x d y x x )(2?μ+=??-， 与（4-8）比较可得：

1)

(-=dx

x d ?， 两边积分可得： x y -=)(?, 故原方程的解为：

c x x =+-1，c 为任意常数.

5.一阶隐式微分方程与参数表示

5.1一阶隐式微分方程的主要类型 在这一章中，主要介绍以下四种类型： （1）),('y x f y =；（2）),('y y f x =； （3）0),('=y x F ；（4）0),('=y y F . 5.1.1一阶隐式微分方程的参数表示 类型一：),('y x f y =.

首先讨论形如),

(dx dy x f y =方程的解法，其中),(dx dy

x f 具有连续的偏导数 为了讨论的简单引入参数p dx dy =，代入),(dx

dy

x f y =中可得： ),(p x f y =，

对),(p x f y =进行对x 求导数的运算，其中p 仅与x 有关，并将

p dx

dy

=代入，因此得：

dx

dp

p f x f p ??+

??=

， 可以求得该方程的解.

（1） 若解出的p 值：),(c x p ?=，则可以得到：

)),(,(c x x f y ?=，

因此原方程的通解为：

)),(,(c x x f y ?=，这里c 为任意常数.

（2）若解出x 的值：),(c p x φ=，于是原方程的通解为：

??

?==),

),,((),

,(p c p f y c p x φφ 其中p 为参数，c 为任意常数. （3）若解出的表达式满足：,0),,(=Φc p x 因此得到原方程的通解为：

??

?==Φ),

,(,

0),,(p x f y c p x 其中p 为参数，c 为任意常数. 举例：求方程2

)(2

2x dx dy x dx dy y +-=的解.

解：由题可知这个方程为),('y x f y =的类型，故引入参数，令

p dx

dy

=，代入 原式中，并解出y ，即 2

2

2

x xp p y +-=，

在这个式子两边对x 求导数，得到:

x p dx

dp x dx dp p

p +--=2， 化解得： 0)2)(1(=--x p dx

dp

， 则有：

0)1(

=-dx

dp

或0)2(=-x p . 当0)1(=-dx dp 时，解得：c x p +=，将之代入2

22

x xp p y +-=中化简得：

22

2

c cx x y ++=，c 为任意常数．

当0)2(=-x p 时，解得2x p =，将之代入2

22

x xp p y +-=中又得到方程一个解为：

4

2

x y =，

故方程的解为：

222c cx x y ++=，（c 为任意常数）或4

2x y =.

类型二：),('y y f x =．

讨论),('y y f x =的解法，假设函数),(dx

dy

y f 有连续的偏导数. 同样为了讨论方便引入参数

p dx

dy

=，代入),('y y f x =中得： ),(p y f x =，

两边对y 求导数，其中将

p

dy dx 1

=代入得到： dy

dp p f y f p ??+??=1， 这个方程为关于y ，p 的一阶微分方程，故可运用前面学过的知识点来求其通解，不妨 设求得通解为：

0),,(=Φc p y ，

则得原方程的通解为：

?

?

?=Φ=,0),,(),

,(c p y p y f x 举例：求解方程023

=-+??

?

??y dx dy x dx dy .

解：该方程为第二种类型，可解出x ,并引入参数

p dx

dy

=代入x 的表达式中可得： p

p y x 23-=，0≠p ,

等式两边对y 求导可得：

2

32

2)()31(1p dy

dp p y dy dp p p p

---=，

化简得：

023=++dp p ydp pdy ，

从而可以解得该方程的解为： p p c y 24

-=，

将之代入p

p y x 23

-=中可得：

2

43

4

4322p

p c p p p

p c x -=--=， 所以方程的通解为：

???

?

???

-=-=,

22,4343

22p p c y p p c x 0≠p ，其中c 为任意常数. 显然0=y 也是方程的解.

类型三：0),('=y x F .

现在讨论形如0),('=y x F 的方程的解法，为了讨论的简便引入参数：

p y dx

dy

=='， 代入原方程0),('=y x F 中得；0),(=p x F ，从而可以选择恰当的参数形式：

??

?==),

(),

(t p t x φ? t 为参数. 且满足关系pdx dy =，因此可将x 和p 代入得到：

dt t t dy )()('?φ=，

等式两边积分可得： c dt t t y +=?)(')(?φ， 故原方程参数形式的通解为：

常微分方程的初等解法与求解技巧

师大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩

常微分方程的初等解法与求解技巧 容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧

Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques

常微分方程的初等解法_论文

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 1．常微分方程的基本概况 1.1.定义： 自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。 1.2.研究对象： 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。 1.3.特点： 常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 1.4.应用： 现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

常微分方程的初等解法

常微分方程的初等解法

1．常微分方程的基本概况 1.1.定义： 自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。 1.2.研究对象： 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。 1.3.特点： 常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 1.4.应用： 现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 2.一阶的常微分方程的初等解法

一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

常微分方程数值解法的误差分析教材

淮北师范大学 2013届学士学位论文 常微分方程数值解法的误差分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向计算数学 学生姓名李娜 学号 20091101070 指导教师姓名陈昊 指导教师职称讲师 年月日

常微分方程数值解法的误差分析 李娜 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。 关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差

Error Analysis of Numerical Method for Solving the Ordinary Differential Equation Li Na (School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000) Abstract In nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential. Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error

常微分方程的初等解法与求解技巧

山西师范大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名张娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩

常微分方程的初等解法与求解技巧 内容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧

Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

常微分方程初等解法的研究

2015届本科毕业论文(设计) 论文题目：常微分方程初等解法的研究 学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-1班 学生姓名：汤鹏 指导老师：张新东副教授 答辩日期：2015年5月5日 新疆师范大学教务处

目录 引言 (1) 1 常微分方程的定义及分类 (2) 1.1 定义 (2) 1.2 一阶线性微分方程 (2) 1.3 一阶线性微分方程组 (2) 2 一阶线性微分方程的解法 (4) 2.1 分离变量法 (4) 2.2 常数变易法 (5) 2.3 全微分法 (6) 2.4 参数法 (7) 3 n阶常系数线性微分方程的解法 (9) 3.1 单根的情形 (9) 3.2 重根的情形 (10) 4 常微分方程的应用 (11) 4.1 人口动力学问题 (11) 4.2 简谐运动 (11) 4.3 电路理论 (12) 4.4 MATLAB解常微分方程 (13) 5 总结 (15) 参考文献 (16) 致谢 (17)

常微分方程初等解法的研究 摘要：本文主要对常微分方程的初等解法进行研究，使大家更深一步地了解常微分方程的分类、解法及其在其他领域的应用。首先总结阐述常微分方程的定义和几种常见的类型，然后讲解了常微分方程的解法及方程组解的情况，最后讲述了常微分方程在以下四个方面的应用：动力学问题、简谐运动、电路理论及用MATLAB解常微分方程。 关键词：常微分方程；初等解法；方程组；动力学；MATLAB

Research elementary solution of ordinary differential equations Abstract: This paper mainly elementary solution of ordinary differential equation is studied,make you a deeper understanding of classification,the ordinary differential equation solution and its application in other fields.Firstly summarizes the type describes the definition of ordinary differential equations and several common,then explain the ordinary differential equation solution and the solution of equations,and finally describes the application of ordinary differential equations in the following four aspects:dynamics,simple harmonic motion,boundary value problem and the solution of ordinary differential equation with MATLAB. Key words: Ordinary differential equations; The primary solution; Equations; Dynamics; MATLAB

各类微分方程的解法大全

各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程

令y ’=p 则y ”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C 1) 即dy/dx=φ(y,C 1),即dy/φ(y,C 1)=dx,所以∫dy/φ(y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y ”+py ’+qy=0,特征方程r 2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y ”+py ’+qy=f(x) 先求y ”+py ’+qy=0的通解y 0(x),再求y ”+py ’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y 0(x)+y*(x)即为微分方程y ”+py ’+qy=f(x)的通解 求y ”+py ’+qy=f(x)特解的方法: ① f(x)=P m (x)e λx 型 令y*=x k Q m (x)e λx ［k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m (x)的m+1个系数 ② f(x)=e λx ［P ｌ(x)cos ωx+P n (x)sin ωx ］型 令y*=x k e λx ［Q m (x)cos ωx+R m (x)sin ωx ］［m=max ﹛ｌ,n ﹜,k 按λ+i ω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m (x)和R m (x)的m+1个系数

常微分方程初等解法和求解技巧毕业论文

目 录 摘 要 .............................................................. I 关键词 ............................................................. I Abstract ........................................................... I Key words .......................................................... I 1.前 言 (1) 2.常微分方程的求解方法 (1) 2.1常微分方程变量可分离类型解法 (1) 2.1.1直接可分离变量的微分方程 (2) 2.1.2可化为变量分离方程 (2) 2.2常数变易法 (9) 2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 (9) 2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 (10) 2.3积分因子法 (16) 3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 (17) 3.1几个重要的变换技巧及实例 (18) 3.1.1变dx dy 为dy dx ............................................... 18 3.1.2分项组合法组合原则 (19) 3.1.3积分因子选择 (20) 参考文献 (21) 致 (22)

常微分方程初等解法及其求解技巧 摘要 常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法. 关键词 变量分离法常数变易法积分因子变换技巧 Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws, and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly. Key words

常微分方程数值解法

第八章 常微分方程的数值解法 一．内容要点 考虑一阶常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 微分方程的数值解：设微分方程的解y (x )的存在区间是[a,b ]，在[a,b ]内取一系列节 点a= x 0< x 1<…< x n =b ,其中h k =x k+1-x k ；(一般采用等距节点，h=(b-a)/n 称为步长)。在每个节点x k 求解函数y(x)的近似值:y k ≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。 用数值方法，求得f(x k )的近似值y k ，再用插值或拟合方法就求得y(x)的近似函数。 (一)常微分方程处置问题解得存在唯一性定理 对于常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 如果： (1) 在B y y A x x 00≤-≤≤,的矩形内),(y x f 是一个二元连续函数。 (2) ),(y x f 对于y 满足利普希茨条件，即 2121y y L y x f y x f -≤-),(),(则在C x x 0≤≤上方程?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的解存在且唯一，这里C=min((A-x 0),x 0+B/L),L 是利普希茨常数。 定义：任何一个一步方法可以写为),,(h y x h y y k k k 1k Φ+=+，其中),,(h y x k k Φ称为算法的增量函数。 收敛性定理：若一步方法满足： (1)是p 解的. (2) 增量函数),,(h y x k k Φ对于y 满足利普希茨条件. (3) 初始值y 0是精确的。则),()()(p h O x y kh y =-kh =x -x 0,也就是有 0x y y lim k x x kh 0h 0 =--=→)( (一)、主要算法 1．局部截断误差 局部截断误差：当y(x k )是精确解时，由y(x k )按照数值方法计算出来的1~ +k y 的误差y (x k+1)- 1~ +k y 称为局部截断误差。 注意：y k+1和1~ +k y 的区别。因而局部截断误差与误差e k +1=y (x k +1) -y k +1不同。 如果局部截断误差是O (h p+1),我们就说该数值方法具有p 阶精度。

常微分方程数值解法

常微分方程数值解法 【作用】微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步： 1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。 2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。 3. 运用这些规律列出方程和定解条件。基本模型 1. 发射卫星为什么用三级火箭 2. 人口模型 3. 战争模型 4. 放射性废料的处理通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来” 的于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 1. 改进Euler 法： 2. 龙格—库塔( Runge—Kutta )方法： 【源程序】 1. 改进Euler 法： function [x,y]=eulerpro(fun,x0,x1,y0,n);%fun 为函数，(xO, x1)为x 区间，yO 为初始值，n 为子 区间个数 if nargin<5,n=5O;end h=(x1-xO)/n; x(1)=xO;y(1)=yO; for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i)); y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1); y(i+1)=(y1+y2)/2; end 调用command 窗口 f=i nlin e('-2*y+2*x A2+2*x') [x,y]=eulerpro(f,O,,1,1O) 2 x +2x , (0 < x < , y(0) = 1 求解函数y'=-2y+2 2. 龙格—库塔( Runge—Kutta )方法： [t,y]=solver('F',tspan ，y0) 这里solver为ode45, ode23, ode113，输入参数F是用M文件定义的微分方程y'= f (x, y)右端的函数。tspan=[t0,tfinal]是求解区间，y0是初值。 注：ode45和ode23变步长的，采用Runge-Kutta算法。 ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种自适应步长(变步长)的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(△ 口人5解 决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。

(完整版)一阶常微分方程初等解法毕业设计46doc

目录 ? ? ? 1 关键 词…… (1) Abstract.................................... . (1) Keywords.................................... ..……… ..1 0 前 ..1 识 (1)

1 预备知 识 (1)

1. 1 变量分离方程........................................................ .2 1. 2 恰当微分方程........................................................ .2 1. 3 积分因子................................................. .... (2) 2 基本方法.................................................... ■■ (2) 2. 1 一般变量分离……………………………………………………………………… .3 2. 2 齐次微分方程 (3) 2. 2 .1 齐次微分方程类型一………………………………………………………… .3 2. 2. 2齐次微分方程类型二........................ ........ (4) 2. 3 常数变易法.............................. .................... (5) 2.3.1常数变易法一 (5) 2.3.2常数变易法二……………………… .………………………… ..…………… ..6 2.4 积分因子求解法....................................... .. (7)

15第十五章 常微分方程的解法

-293- 第十五章 常微分方程的解法 建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如 22x y dx dy +=。于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 §1 常微分方程的离散化 下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 ?????=≤≤=0 )() ,(y a y b x a y x f dx dy （1） 在下面的讨论中，我们总假定函数),(y x f 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数L ，使得 |||),(),(|y y L y x f y x f ?≤? 这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。 所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(x y 在若干点 b x x x x a N =<<<<=L 210 处的近似值),,2,1(N n y n L =的方法，),,2,1(N n y n L =称为问题（1）的数值解， n n n x x h ?=+1称为由n x 到1+n x 的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。 建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i ）用差商近似导数 若用向前差商h x y x y n n ) ()(1?+代替)('n x y 代入（1）中的微分方程，则得 )1,,1,0())(,() ()(1?=≈?+N n x y x f h x y x y n n n n L 化简得 ))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+ 如果用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ， 则有 )1,,1,0() ,(1?=+=+N n y x hf y y n n n n L （2） 这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题 ?? ?=?=+=+) () 1,,1,0(),(01a y y N n y x hf y y n n n n L （3） 得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出N y y y ,,,21L 。式（3）是个离散化的问题，称为差分方程初值问题。

(整理)常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法--差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<<<<=L （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1,,1n n n n u u hf t u n N +=+=-L 方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t L 上的差分解1,,N u u L 。

一阶微分方程的初等解法

一阶微分方程的初等解法

第二章 一阶微分方程的初等解法 教学目的：使学生会判断基本的一阶微分方程的类型；熟练掌握求解一阶微分方程的基本方法；会利用所学知识解决一些实际问题． 教学内容： 1、变量分离方程与变量变换 变量分离方程、可化为变量分离方程的类型、应用举例． 2、线性方程和常数变易法 线性方程、常数变易法、Bernoulli 方程． 3、恰当方程和积分因子 恰当方程、积分因子法、分项组合法． 4、一阶隐式微分方程与参数表示 一阶隐式微分方程及参数解法． 教学重点：变量分离方程、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程及参数解法． 教学难点：变量变换，积分因子法，分项组合法，建立 微分方程模型。 教学过程： §2.1变量分离方程与变量变换 要求：熟练掌握变量分离方程的解法 本节重点：变量分离方程的解法；难点：变量变换. 2.1.1变量分离方程 )()(y g x f dx dy ?=， 或 )()()()(2121=+dy y N x N dx y M x M 分离变量即可求解． 例1 求解方程 y x dx dy -=. （解为2 x c y -±=）

例2 求解方程 ) ()(by a x dx c x y dx dy -+-=，0,0≥≥y x . （解为k e y e x by a dx c =--） 例3（略） 例4 求解方程 y x P dx dy )(=.（解为?=dx x P ce y )(） 2.1.2可化为变量分离方程的类型 令 x y u =，可化为变量分离的方程 x u u g dx du -= )( 求解． 例5 求解方程 y x y x dx dy tan +=. （解为cx u =sin ，即cx x y =sin ） 例6求解方程 ) 0(2 <=+x y xy dx dy x ，. （解为 ? ? ?>+-+-=0,0)ln(,])[ln(2c x c x x y ）. （2） 可化为齐次方程 . 2 221 11　分三种情况进行求解方程　C y b x a C y b x a dx dy ++++= 当 0 ,2 1=C C 时，可化为齐次方程求解． 当 2 1 ,C C 不全为零时，但0 2 2 11== ?b a b a ，即