第一章答案
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数
一、填空题
1.函数ln(2)y x =
++的定义域为[1,)(2,1]+∞-- .
2.设函数2
(1)f x x x +=+，则(1)f x -=2
32x x -+.
提示：令1x t +=，则22()(1)(1)f t t t t t =-+-=-，2
(1)32f t t t ∴-=-+. 3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则(e )x
f 的定义域为(,0]-∞.
4.已知()sin f x x =,[]2
()1f x x ?=-,则()x ?=2
arcsin(1)x -,其定义域为[.
5.设2
,
0,
()e ,
0,x
x x f x x ?-≥=?
,
01x x x x ?-≥?<
6.设函数1,1,()0,
1,
x f x x ?≤?=?
>??则[]()f
f x =
1.
7.函数(10)y x =-≤<的反函数为(01)
y x =≤<.
8.函数2arcsin 1x y x
=+的定义域为
1,13??
-????
. 二、单项选择题 1.函数ln
arcsin
2
3
x x y x =+-的定义域为 C .
A ．(,3)(3,2)-∞-- B. (0,3) C. [3,0)(2,3]- D. (,)-∞+∞ 2.设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >，则()f x 的定义域为
B . A. [1,1]a + B. [1,1]a -- C. [1,1]a a -+ D. [1,1]a a -+ 3.函数11
x y x -=+的反函数是 D .
A. 11
x y x -=
+ B. 11x y x
-=
+ C. 11
x y x +=
- D. 11x y x
+=
-
4.设()f x 为奇函数，()x ?为偶函数，且[()]f x ?有意义，则[()]f x ?为 B . A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 以上均不正确 三、解答题
1.判断函数(
ln y x =+
的奇偶性，并求其反函数.
解：因为
1()ln(ln
ln(()f x x x f x -=-+==-+=-，
所以()f x 是奇函数.
由e y x +=，e
y
x --+=，得e e
2
y
y
x --=
，所以反函数为e e
2
x
x
y --=
2. 收音机每台售价为90元，成本为60元，厂商为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为75元.
(1) 将每台的实际售价p 表示成订购量x 的函数； (2) 将厂方所获得的利润L 表示成订购量x 的函数； (3) 某一厂商订购了1000台，厂方可获利润多少？
解：(1) 90,
010090(100)0.01,100160075,1600x p x x x ≤≤??
=--?<
.
(2) 2
30,
0100(60)310.01,100160015,1600x x L p x x x x x x ≤≤??=-=-<
.
(3) 2
1000
3110000.01100021000x L
==?-?=（元）.
四、证明2
()1x f x x
=+在其定义域内有界.
证明：,x R ?∈取12
M =,使得 2
1()122
x x f x M x
x
=
≤
=
=+，所以()f x 在其定义域R 内有界.
第二节 数列的极限
一、单项选择题
1.数列极限lim n n y A →∞
=的几何意义是 D .
A ．在点A 的某一邻域内部含有{}n y 中的无穷多个点 B. 在点A 的某一邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点 C. 在点A 的任何一个邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点 D. 在点A 的任何一个邻域外部至多含有{}n y 中的有限多个点 2.lim n n y A →∞
=的等价定义是 A .
A. 对于任意0ε>及0K >，总存在正整数N ，使得当n N >时，n y A K ε-<
B. 对于某个充分小的0ε>，总存在正整数N ，使得当n N >时，n y A ε-<
C. 对于任意正整数N ，总存在0ε>，使得当n N >时，n y A ε-<
D. 对于某个正整数N ，总存在0ε>，使得当n N >时，n y A ε-<
3.“对任意给定的(0,1)ε∈，总存在正整数N ，当n N ≥时，恒有n x a ε-≤”是数列{}n x 收敛于a 的 C 条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 二、利用数列极限的定义证明:1cos lim
0n n
n →∞
+=.
证明： 对0ε?>，要使
1cos 1cos 20n
n
n
n
n
ε++-=
≤< ，只需2
n ε
>
.
0ε?>,取2N ε??
=????
，则当n N >时，就有1cos 0n n ε+-<成立，所以1cos lim
0n n n →∞
+=.
第三节 函数的极限
一、单项选择题
1.极限0
lim ()x x f x A →=定义中ε与δ的关系为 B .
A. 先给定ε，后唯一确定δ
B. 先给定ε后确定δ,但δ的值不唯一
C. 先确定δ，后确定ε
D. ε与δ无关 2.若函数()f x 在某点0x 极限存在， 则 C . A. ()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值 B. ()f x 在点0x 的函数值必存在,但不一定等于该点极限值 C. ()f x 在点0x 的函数值可以不存在
D. 若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值 3.以下结论正确的是 C .
A. 若0
lim ()0x x f x A →=>，则()0f x >
B. 若0
lim ()0x x f x A →=>，则必存在0δ>，使当0x x δ-<时，有()0f x >
C. 若0
lim ()0x x f x A →=≠，则必存在0δ>，使当00x x δ<-<时，有()2
A f x >
D. 若在0x 的某邻域内()()f x g x ≥，则0
lim ()lim ()x x x x f x g x →→≥
4.极限0
lim
x x x
→= D .
A. 1
B. 1-
C. 0
D. 不存在 二、利用函数极限的定义证明:2
3
6lim
53
x x x x →--=-.
证明： 0ε?>，要使
2
6533
x x x x ε---=-<-，只需取δε=，则当03x δ<-<时，就有
2
6533
x x x x ε---=-<-成
立,所以2
3
6lim
53
x x x x →--=-.
第四节 无穷小与无穷大
单项选择题
1.下列命题正确的是 C .
A. 无穷小量的倒数是无穷大量
B. 无穷小量是绝对值很小很小的数
C. 无穷小量是以零为极限的变量
D. 无界变量一定是无穷大量 2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是 C .
A. 1sin (0)x x
→ B. 1
e (0)x x →
C. 2
ln(1)(0)x x +→ D.
2
1(1)1
x x x -→-
3.变量
11sin
x
x
D .
A. 是0x →时的无穷小
B. 是0x →时的无穷大
C. 有界但不是0x →时的无穷小
D. 无界但不是0x →时的无穷大 提示：否A 、C ，当1π2π2
n x n =
+
， n →∞时，0n x →,
()n f x →∞,()f x 无界，非无穷小；否B ，当12π
n x n =
，n →∞时，()0n f x →
4.设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞
=，则下列命题正确的是 B .
A. 若{}n x 发散，则{}n y 发散
B. 若1n x ??
????
为无穷小，则{}n y 必为无穷小
C. 若{}n x 无界，则{}n y 必有界
D. 若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小
提示：已知n n x y 为无穷小，当
1n
x 为无穷小时，必有1()n n n n
y x y x =?
为无穷小；否A ，例n x n =发散，2
1n y n
=
收敛；否C ，例
1(1),1(1)n n
n n x n y n ????=+-?=--?????均无界；否D ，例21n x n
=有界，n y n =非无穷小.
第五节 极限运算法则
一、填空题 1.2
1lim
2
x x x x →+=
++12
. 2.1
21lim
1
x x x →+=-∞.
3.2
2
1
21lim
1
x x x x →-+=- 0 . 4.2
12lim
3
n n
n →∞
+++=
+ 12
.
5.若23
2lim
43
x x x k x →-+=-，则常数k =3-.
提示：由已知，得2
3
lim (2)0x x x k →-+=，3k ∴=-.
6.设2
1
3
lim 112
x a
x
x
x →??-
=
?--??，则常数a = 2 . 提示：由已知，2
2
2
1
1
3lim
,lim ()012
x x a x x a x x x
→→--=
∴--=-，从而2a =.
7.e 1lim
e 1
n
n
n →∞
-=+ 1 .
提示： 11e 1e lim
lim
11e 1
1e
n
n
n
n n n →∞
→∞
--==++
8.
若(lim
52x x →+∞
-
=，则a = 25 , b = -20 .
提示：(
2
lim
5lim
x x x →+∞
→+∞
-
=，所以250a -=，即25a =；
2lim
lim
210
x x b b →+∞
→+∞
--
-==
=，所以20b =-.
9.11
21
lim
21
x x x -
→-=+ -1 ，11
21
lim 21x x x +
→-=+ 1 ，所以1
1
21
lim
21
x x x →-+ 不存在 .
提示：1
1
lim 20,lim 2x x x x -
+
→→==+∞
10.
已知2
1sin ,0()1
,0
x x x f x x x ?
=->??
,则0
lim ()x f x →= 0 .
二、计算题
1.22
()lim
h x h x
h
→+-
解：1. 22
222
2
()22lim
lim
lim
lim (2)2h h h h x h x
x xh h x
xh h
x h x h
h
h
→→→→+-++-+===+=.
2.2
3
1lim
(2sin )x x x x x
→∞
-++
解：因为2
3
3
2
1
11lim
lim 011x x x x
x
x x
x
→∞
→∞
-
-==++
，而2s i n x +为有界函数，所以根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，知
2
3
1lim
(2sin )0x x x x x
→∞
-+=+.
3.3
2
2
2
32lim
6
x x x x x x →-++--
解：3
2
2
2
2
2
32(1)(2)(1)2lim
lim
lim
6
(3)(2)
3
5
x x x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+++++===-
---+-.
4.1
lim
1x x
→-
解：2
1
1
lim
lim
1x x x
→→=-
1
lim
x →=
1
lim
4
x →==.
5.lim x →+∞
解：lim x →+∞
=lim
x →+∞
22lim
lim
x x x →+∞
→+∞
--==1=-.
6.已知2
2
2
lim
22
x x ax b x x →++=--，求常数,a b .
解：由题设知，2
2
lim ()0x x ax b →++=，从而设2
(2)()x ax b x x k ++=-+，所以
2
2
2
2
2
(2)()2lim
lim
lim
22
(2)(1)
1
3
x x x x ax b x x k x k k x x x x x →→→++-+++===
=---++，从而4k =，
所以 2,8a b ==-.
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、填空题 1.0
sin lim
x x x
→= 1 ；sin lim x x x →∞
= 0 . 提示： 0
sin lim 1x x
x
→=；sin 1
lim
lim
sin 0x x x x x
x
→∞
→∞
=?=. 2.0
sin lim
sin x x x
x x
→-=+ 0 ；sin lim
sin x x x
x x
→∞
-=+ 1 .
提示：0
sin 1sin lim
lim
0sin sin 1x x x
x x x x x x
x
→→--==++
；11sin sin lim lim
11sin 1sin x x x
x x x
x x x
x
→∞→∞-?-==++
?.
3.1lim 1kx
x x →∞?
?-= ??
?e
k
- （k 为正整数）.
提示：.()
11lim 1lim 1e
kx
x k k
x x x x ---→∞→∞?
??
?-=-= ?
??
??
?.
4.1
0lim 12x
x x →?
?-= ??
? 12
e -
. 提示：1122
12
00lim 1lim 1e 22x
x
x x x x -
--→→?
?????
??-=-= ? ?
?????
??
?
.
二、计算题 1. 3
tan sin lim
x x x
x
→-
解：3200tan sin sin 1cos lim lim cos x x x x x x x x x x →→--=?2
2
20002sin sin
sin 11
22lim lim lim 222
x x x x
x x x
x x →→→?? ?=?== ?
???
.
2. 0
1lim sin x x
→
解：0
11lim
lim
lim
lim
sin sin sin 2
x x x x x x x
x
x
→→→→==?=
.
3.0
lim
x →
解：原式2
2
20
002sin 1sin cos 1cos 2
lim
6lim 6lim
311
cos sin 32
x x x x
x x
x x x x x
x x →→→-
-
-====-?.
4. lim n →∞
??+
++
?
解：
<
++
<
，
又
lim
lim
1,lim
lim
1n n n n →∞
→∞
→∞
→∞
====，
所以根据夹逼准则知，lim 1n →∞
??
+
++
= ?
. 第七节 无穷小的比较
一、填空题
1.当0x →时，sin 3x 是2
x 的 低阶 无穷小；2
sin x x +是x 的 等价（或同阶）无穷小；
1cos sin x x -+是2x 的 低阶 无穷小；cos 1x -是2
arcsin x 的 同阶 无穷小；
1
(1)1n x +-是
x n
的 等价（或同阶）无穷小；32x x -是2
2x x -的 高阶 无穷小.
提示：2
2
2
sin 32sin 1cos sin lim
,lim
2,lim
,x x x x x x
x x
x
x
x →→→+-+=∞==∞
1
3
22
2
cos 11(1)1
lim
,lim
1,lim
0arcsin 2
2n x x x x x x x x x
x x
n
→→→-+--=-
==-.
2.已知0x →时，(
)
12
3
11ax
+-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a =32
-
.
提示：1
2
2
3
2
1
(1)1233
lim
lim 1,1cos 1
3
2
2
x x ax ax a a x x
→→+-==-==-
--
.
二、计算题
1
．2
1lim
x x x
→-
解：
2
0tan 11
2
2lim
lim
lim 2
x x x x
x
x x
x
x →→→--===--. 2. 22
2
(sec 1)lim
3sin x x x x
→-
解：2
222
222224
0002(sec 1)(1cos )1lim lim lim 3sin 3cos 312
x x x x x x x x x x x x →→→?? ?--??
===??. 3. 0
tan 2tan lim
3sin sin 2x x x x x
→--
解：0
00sin 2sin sin tan 2tan cos 2cos cos 2cos lim
lim lim 13sin sin 23sin sin 2sin (32cos )x x x x
x x
x x
x x x x x x x x x x →→→-
-?===---.
4. 2
s i n c o s 1
l i m
s i n 3x x x x x
→+--
解：20
sin cos 11lim lim
sin 333
x x x x x x x
x
→→+-==
-.
第八节 函数的连续性与间断点
一、填空题
1.设2,0
()sin ,0
a bx x f x bx
x x
?+≤?
=?>?
? 在0x =处连续，则常数,a b 应满足的关系为a b =.
提示：()2
(0)lim (0)x f a bx
a f -
-
→=+==
，0
sin (0)lim x bx f b x
-
+
→==.
2.
设sin 0()1,
0ln(1),0
ax
x f x x bx x x ?
??
=-=??+?->??
在0x =处连续，则常数a
=2
，b = 1 .
提示：0
sin (0)lim
lim lim x x x ax ax ax f -
-
-
-
→→→====-，(0)1f =-，0
ln(1)
(0)lim lim x x bx bx f b x
x
--+
→→+=-
=-
=-.
3.()sin x f x x
=的可去间断点为0x =；2
2
1()32
x f x x x -=
-+的无穷间断点为2x =.
4.若函数e ()(1)
x
a f x x x -=
-有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，则常数a = e .
提示：由已知，1
e lim (1)
x
x a x x →--存在，所以1
lim (e )0x
x a →-=，从而e a =.
二、单项选择题
1.0x =是1()sin
f x x x
=的 A .
A. 可去间断点
B. 跳跃间断点
C. 无穷间断点
D. 振荡间断点 提示：0
1lim ()lim sin
0x x f x x x
→→==
2.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ?-
=≤≤??-<≤?
D .
A. 在0,1x x ==处都间断
B. 在0,1x x ==处都连续
C. 在0x =处连续，1x =处间断
D. 在0x =处间断，1x =处连续 提示：(0)1,(0)0(0)f f f -
+
=-==；(1)(1)1,(1)1f f f -
+
===.
3.
设函数2,0(),0
x f x x k x -≠=?
?=?
在0x =处连续，则k = B .
A. 4
B.
14
C. 2
D.
12
提示：
21lim ()lim
lim
,(0)4
x x x f x f k x
→→→===
=.
4.函数1
111
22,0()22
1,0
x x x x x f x x --
?-?≠?=?+?=??
在0x =处 B .
A. 左连续
B. 右连续
C. 左右均不连续
D. 连续
提示：1
1
lim 2
0,lim 2x
x x x -+→→==+∞，从而(0)1(0),(0)1(0)f f f f -+
=-≠==.
三、讨论函数11e ,0()ln(1),10
x x f x x x -??>=??+-<≤? 在0x =处的连续性. 解：1
1
10
(0)lim ln(1)0(0),(0)lim e e
x x x f x f f -+-+--→→=+====，所以()f x 在0x =处不连续，且0x =是第一类跳跃型间断点.
四、设21()lim
1n
n x f x x
→∞
+=+，求()f x 的间断点并指出类型.
解：20,
11,11
1()lim
1,110,
1n
n x x x x f x x x
x →∞
≤-??
+-<<+?==?
=+??>?,只有1x =-和1x =可能为间断点. 因为 1
1
lim ()lim 00(1),x x f x f --→-→-===- 1
1
lim ()lim (1)0(1)x x f x x f ++→-→-=+==-，
所以1x =-不是间断点.
因为1
1
lim ()lim (1)2(1),x x f x x f --→→=+=≠ 1
1
lim ()lim 00(1)x x f x f ++→→==≠，
所以1x =是间断点，而且是第一类跳跃型间断点.
五、设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →∞
=，1,0
()0,0f x g x x x ???
≠? ?=????=?
.
试讨论()g x 在0x =处的连续性.
解：()001
1lim ()lim lim 令x x t t x g x f f t a x →→→∞
=??
== ???
，(0)0g =，
所以当0a =时，()g x 在0x =处连续，当0a ≠时，()g x 在0x =处间断.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、填空题
1.
设,
0()1,0a x x f x x x +≤??
=?>?
? 在(,)-∞+∞内连续，则常数a =12.
2.设22
,1()1,1
x bx x f x x
a x ?++≠?
=-??=?
在(,)-∞+∞处连续，则常数a = 1 ，b = -3 .
提示：由题意知，1
lim ()(1)x f x f a →==，则2
1
2lim
1x x bx a x
→++=- 2
1
lim (2)0x x bx →∴++=，则3b =-，进而1a =.
3.2
1
1lim cos
1
x x x →-=-cos 2. 4.()
2
cot 2
lim 1tan x
x x →+= e .
5.21lim 1x
x x x →∞
-??
= ?
+??
4
e
-. 提示：411
22
4
12lim lim 1e
11x x x x
x x x x x -
++--→∞
→∞?
?-??
??
??=-=
?
???++??
?
??
?
.
6. 已知lim 82x
x x a x a →∞
+??
= ?-??
，则常数a =ln 2.
提示：332233lim lim 1e
822x a
x x ax x a x a
a
x a a x a x a →∞→∞--?
?+??????=+== ? ???--???
??
?
，所以3ln 8,ln 2a a ==.
7.2
3sin (1)cos lim
(1cos )
x x x x
x →++=+
12
. 8.0
lim
x →=
12
.
提示：原式
lim
x →
=
lim
x →= 2
2
12lim
sin 222
x x
x x x →?==?
. 9．函数2
1
()23f x x x =--的连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞．
二、单项选择题 1.设()e
bx
x
f x a =
+在(,)-∞+∞内连续，且lim ()0x f x →-∞
=，则常数,a b 应满足 D .
A. 0,0a b <<
B. 0,0a b >>
C. 0,0a b ≤>
D. 0,0a b ≥< 提示：e
0bx
>，所以0a ≥时，e
bx
a +无零点；又lim ()0x f x →-∞
=，所以0b <.
2.设()f x 在2x =连续，(2)3f =，则2
2
1
4
lim ()2
4x f x x x →??
-
=
?--??
D . A. 0 B. 2 C. 3 D.
34
提示：22
2
221
4
2113lim ()lim ()lim ()(2)2
44244
x x x x f x f x f x f x x x x →→→-??
-
====
?---+??. 三、讨论11
()1e x
x
f x -=
-的连续性，若有间断点，指出其类型.
解：()f x 为初等函数，故在其定义区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞内均连续，在其无定义点0,1x x ==间断.据
11
lim ()lim
1e x
x x x
f x →→-==∞-，知0x =为第二类无穷间断点；
据1
1
1
1
111
1
lim ()lim
0,lim ()lim 11e 1e x
x
x x x x x x
f x f x -
-
++
→→→→--====--，知1x =为第一类跳跃间断点.
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、单项选择题
1.方程sin 2x x +=有实根的区间为 A .
A. π
,32??
??? B. π0,6?? ??? C. ππ,64?? ??? D. ππ,42??
???
提示：令()sin 2f x x x =+-，分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可.
2.方程 (1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)x x x x x x x x x ---+---+---
(2)(3)(4)0x x x +---=有 D 个实根.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
提示：令()(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)f x x x x x x x x x x =---+---+---
(2)(3)(4)x x x +---，又(1)0,(2)0,(3)0,(4)0f f f f <><>，则由零点定理知，
方程在(1,2),(2,3),(3,4)分别至少存在一个根；又()f x 是三次多项式，则方程至多有三个根，综上可知方程恰好有三个根. 二、证明题
1.证明方程e 2x
x -=在区间(0,2)内至少有一实根.
证明：令()e 2x f x x =--，则()f x 在[0,2]上连续，且2
(0)10,(2)e 40f f =-<=->，根据零点定理，至少存在一点(0,2)ξ∈，使()0f ξ=，所以方程()0f x =，即e 2x
x -=在区间(0,2)内至少有一实根.
2.设()f x 在[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>.证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使()f ξξ=. 证明：令()()F x f x x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，且()()0F a f a a =-<，
()()0F b f b b =->，根据零点定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()f ξξ=.
3.设()f x 在[,)a +∞上连续，lim ()0x f x →+∞
=.证明()f x 在[,)a +∞上有界.
证明：由lim ()0x f x →+∞
=，对10,X a ε=>?>，当x X >时，有()()01f x f x ε=-<=，
即()f x 在(,)X +∞上有界；又()f x 在[,]a X 上连续，故()f x 在[,]a X 上有界，所以存 在10,M >使[]1(),,f x M x a X
≤?∈，取{}1max 1,M M =，则对[],x a ?∈+∞
()f x M <，即()f x 在[,)a +∞上有界.
第一章 自测题
一、填空题（每小题3分，共18分） 1. ()
3
lim
sin tan ln 12x x x x
→=-+14
-
.
提示：()
2
3
33
1lim
lim
lim
4
sin tan tan (cos 1)
222ln 12x x x x x
x x x x x
x
x
→→→-?===-
--+.
2. 1
lim
2
x x x →=+
-6
-.
提示：1
1
lim
lim
2
6
x x x x →→==-
+-.
3.已知2
1
2lim
31
x x ax b
x →-++=+，其中b a ,为常数，则a = 7 ，b = 5 .
4. 若()2sin 2e 1
,0,0
ax x x f x x
a x ?+-≠?
=??=?
在()+∞∞-,上连续，则a = -2 .
提示：由题意知，20
sin 2e
1
lim ax
x x x
→+-20sin 2e 1lim 22ax x x a a x x →??
-=+=+= ???
， 从而2a =-. 5. 曲线2
1()43
x f x x x -=
-+的水平渐近线是0y =，铅直渐近线是3x =.
6. 曲线()1
21e x
y x =-的斜渐近线方程为21y x =+. 二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 C .
A. 充分条件但非必要条件
B. 必要条件但非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分也非必要条件
2. 设()2,0
2,0
x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0,
x x f
x x x ?<=?
-≥?则()g f
x =???? D .
A. 22,02,0x x x x ?+
B. 22,02,0x x x x ?-
C. 22,02,0x x x x ?-
D. 22,0
2,0
x x x x ?+
3. 下列各式中正确的是 D .
A ．01lim 1e x x x +
→?
?-= ??
? B.01lim 1e x
x x +
→??+= ???
C.1lim 1e x x x →∞??-=- ???
D. 1
1lim 1e
x
x x --→∞?
?+= ?
?
?
4. 设0→x 时，tan e
1x
-与n x 是等价无穷小，则正整数n = A .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 提示：由题意知，当0→x 时，tan e
1tan x
x x - 从而n 取1.
5. 曲线2
2
1e 1e
x x
y --+=
- D .
A. 没有渐近线
B. 仅有水平渐近线
C. 仅有铅直渐近线
D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6．下列函数在给定区间上无界的是 C .
A.
1sin ,(0,1]x x x ∈ B.
1sin ,(0,)x x x
∈+∞ C. 11sin
,
(0,1]x x
x ∈ D. 1sin
,
(0,)x x x ∈+∞
三、计算题（每小题7分，共49分）
1.2
2
lim
x →
解：2
2
2
2
2(1)(3)
(3)
9lim lim
lim
4(2)
4
2
x x x x x x x x x →→→--+-+===
-.
2. ()2
1
ln(1)
lim
cos x
x x +→
解：()()2
2
1
1
ln(1)
ln(1)
lim
cos lim 1cos 1x x
x x x x ++→→=+-2
2
2
00
1cos 1
12lim
lim
ln(1)
2
e
e
e
x x x
x x x
→→---
+
===.
3.(
)
1lim 123
n n
n
n →∞
++
解：(
)
1312333,
3123
3n n n n
n
n
n
<++
lim
1n →∞
=，
()
1lim 123
3n
n
n
n →∞
∴++=.
4
．2
1sin
lim
x x →+∞
解：2
1
11sin
sin sin
1lim
lim
lim
lim
112
x x x x x x x x x
x
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
==?=
.
5. 设函数()()1,0≠>=a a a
x f x
，
求()()()2
1lim
ln 12n f f f n n
→∞
????
. 解：()()()()()()
2
2
ln 1ln 2ln 1lim
ln 12lim n n f f f n f f f n n
n
→∞
→∞
+++=????L L
()()2
2
2
ln 12ln ln lim
lim
22
n n n n a n a
a n
n
→∞
→∞
++++===
L
.
6. 1
402e sin lim 1e x x x
x x →??+ ?
+ ? ?+??
解：1144002e sin 2e
sin 2lim lim 1111e 1e x x
x x x x
x x x x --→→????++ ? ?+=-=-= ? ? ? ?++????
， 11114444000e 2e 12e sin 2e
sin sin lim lim lim 1e 1e e e 1x x
x x
x x x x x
x x x x x x x x +++-→→→-????+ ?????
?++??
? ? ?+=+=+ ? ? ??? ? ?
++ ?+???
? ? ?
????
30
1lim 1e
x
x +
-
→=+=， 所以，原式1=. 7.
已知(
lim
1x x →-∞
+
=，求,.a b
解：
左边2
2(1)lim
lim
lim
x x x x a x b →-∞
→-∞
→-∞
?
?--+??===，
右边1= ，
故[
]lim (1)1x a x b →-∞
--=+
，则1,2a b ==-．
四、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x x
a b x f x a b a b x
x ?-≠?
=>>≠≠??=?
在0x =处的连续性，
若不连续，指出该间断点的类型.（本题8分）
解：当a b =时，()0f x ≡，此时()f x 在0x =处连续；
当a b ≠时，0
11lim ()lim
lim
lim
ln
(0)0x x
x
x
x x x x a b a b a f x f x
x
x
b
→→→→---==-=≠=，
故()f x 在0x =处不连续，所以0x =为()f x 得第一类（可去）间断点．
五、设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,
2ξ?
?
∈????
，使得 1()2f f ξξ?
?=+ ??
?.（本题7分）
证明：设1()()2F x f x f x ??=-+
??
?，显然()F x 在10,2??
????
上连续， 而1(0)(0)2F f f ??=-
???，()()11110222F f f f f ??????
=-=- ? ? ???????
， 2
11(0)(0)022F F f f ??????=--≤ ? ????????
?，若1(0)02F F ??= ???，即(0)0F =或102F ??
= ???时，此时取0ξ=或12ξ=即可；若
1(0)02F F ??
< ???
时，由零点定理知：
一定存在一点10,2ξ??∈???
?，使()0F ξ=，即1()2f f ξξ?
?=+ ??
?．
- 01第一章 概论 习题答案
- 第一章+电路的基本概念和基本定律(答案)
- (完整版)第一章计算机系统概论习题参考答案
- 最新第1章 随机过程的基本概念习题答案
- 地球概论(第三版) 第一章 习题参考答案
- 第一章《网络基本概念》检测题一含答案
- 会计练习题一 第一章 会计的基本概念与理论体系答案
- 《世界经济概论》第1章思考题答案
- 信号与系统 第一章答案
- 第一章 电力系统的基本概念答案
- 第1章 随机过程的基本概念习题答案
- 第一章测量基本概念习题及答案
- 统计学原理第一章(概论)习题答案
- 旅游专业《旅游概论》第一章练习题有答案
- 第1章概论答案
- 第一章概念答案
- 数据库系统概论第一章课后答案
- 统计学原理第一章(概论)习题答案
- 数据库第一章作业答案
- 第一章 概率论的基本概念习题答案