1994考研数三真题与解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)

2

222x x

dx x -+=+?_____________.

(2) 已知()1f x '=-,则0

00lim

(2)()

x x

f x x f x x →=---_____________.

(3) 设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数,则

dy

dx

=_____________. (4) 设121000000,000000n n a a A a a -????

??

??=????????

L L M M M

M L L 其中0,1,2,,,i a i n ≠=L 则1A -=_____________. (5) 设随机变量X 的概率密度为

2,01,

()0,x x f x <

?

其他， 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件12X ??

≤

????

出现的次数,则{}2P Y == _____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 曲线2

1

21

arctan (1)(2)

x x x y e x x ++=+-的渐近线有 ( )

(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设常数0λ>,而级数

21

n

n a

∞

=∑收敛,

则级数

1

(1)

n

n ∞

=-∑ ( )

(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (3) 设A 是m n ?矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,则

( )

(A) 1r r > (B) 1r r <

(C) 1r r = (D) r 与1r 的关系由C 而定

(4) 设0()1,0()1,()()1P A P B P A B P A B <<<<+=,则 ( )

(A) 事件A 和B 互不相容 (B) 事件A 和B 相互对立

(C) 事件A 和B 互不独立 (D) 事件A 和B 相互独立

(5) 设12,,,n X X X L 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,X 是样本均值,记

222

21

211

222

234

11

11(),(),111(),(),1n n i i i i n n i i i i S X X S X X n n S X S X n n μμ=====-=--=-=--∑∑∑∑

则服从自由度为1n -的t 分布的随机变量是 ( )

(A) X t S μ-=

(B) X t S μ

-=

(C) X t μ-=

(D) X t μ

-=

三、(本题满分6分)

计算二重积分

(),D

x y dxdy +??

其中{}22

(,)1D x y x y x y =+≤++.

四、(本题满分5分)

设函数()y y x =满足条件440,

(0)2,(0)4,y y y y y '''++=??'==-?

求广义积分0()y x dx +∞?.

五、(本题满分5分)

已知2

2

(,)arctan arctan y x f x y x y x y =-,求2f x y

???.

六、(本题满分5分)

设函数()f x 可导,且10

(0)0,()()x

n n n f F x t f x t dt -==-?

,求20

()

lim

n

x F x x

→.

七、(本题满分8分)

已知曲线0)y a =>

与曲线y =00(,)x y 处有公共切线,求: (1) 常数a 及切点00(,)x y ；

(2) 两曲线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积x V .

八、(本题满分6分)

假设()f x 在[,)a +∞上连续,()f x ''在(),a +∞内存在且大于零,记

()()

()()f x f a F x x a x a

-=

>-,

证明()F x 在(),a +∞内单调增加.

九、(本题满分11分) 设线性方程组

231121312312223223

1323332314243

4,,

,.

x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ?++=?++=??++=??++=? (1) 证明:若1234,,,a a a a 两两不相等,则此线性方程组无解；

(2) 设1324,(0)a a k a a k k ====-≠,且已知12,ββ是该方程组的两个解,其中

12111,1,11ββ-????

????==????

????-????

写出此方程组的通解.

十、(本题满分8分)

设0011100A x y ????=??????

有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件.

十一、(本题满分8分)

假设随机变量1234,,,X X X X 相互独立,且同分布

{}{}00.6,10.4(1,2,3,4)i i P X P X i =====,

求行列式123

4

X X X X X =

的概率分布.

十二、(本题满分8分)

假设由自动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布(,1)N μ,内径小于10或

大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T (单位:元)与销售零件的内径X 有如下关系:

1,10,20,1012,5,12.X T X X -

=≤≤??->?

问平均内径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大?

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】ln 3 【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为 0；被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以知

原式2

222222202222x x x dx dx dx x x x --=

+=+++??? 2

22

12dx x

=

+?

220

ln (2)ln 6ln 2ln 3.x =+=-=

(2)【答案】1

【解析】根据导数的定义,有0000

()()

()lim

x f x x f x f x x

?→+?-'=?.

所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,从而求得极限值.由于

000(2)()

lim

x f x x f x x x

→---

00000(2)()()()lim x f x x f x f x x f x x

→----+= 00000000(2)()()()

(2)lim lim 2()() 1.

2x x f x x f x f x x f x f x f x x x →→----''=-+=-+=--所以 原式0

001

lim

1(2)()1

x x f x x f x x →===---.

(3)【答案】sin 2xy xy ye x

y xe y

+'=-+

【解析】将方程2

cos xy

e y x +=看成关于x 的恒等式,即y 看作x 的函数. 方程两边对x 求导,得

sin ()2sin 2xy xy

xy ye x

e y xy yy x y xe y

+'''++=-?=-

+. 【相关知识点】两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+?.

(4)【答案】1

21

100010001

00

100

0n n a a a a -?????????????

??????????????

?

【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式1

11

00A B B A

---????=???

?????

, 且 1

112

2

11

1n n a a a a a a -????????

???

?

?

??

?=????

????

?

??

??????

?

所以,本题对A 分块后可得11

21

100010001

100

0n n a a A a a --?

????????????

?=?????????????

?

. (5)【答案】

9

64

【解析】已知随机变量X 的概率密度,所以概率1

2011224P X xdx ?

?≤==???

??,求得二项分

布的概率参数后,故1

~(3,)4

Y B .

由二项分布的概率计算公式,所求概率为{}2

2313924464

P Y C ????=== ? ?

????. 【相关知识点】二项分布的概率计算公式：

若(,)Y B n p ~,则{}(1)k k

n k n P Y k C p p -==-, 0,1,

,k n =,

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)

【解析】本题是关于求渐近线的问题.

由于 2

1

21lim arctan (1)(2)4

x x x x e x x π

→∞++=+-,

故4

y π

=

为该曲线的一条水平渐近线.

又 2

1

2

01

lim arctan (1)(2)

x x x x e x x →++=∞+-.

故0x =为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条.

故本题应选(B).

【相关知识点】水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞

=,则y a =为水平渐近线；

铅直渐近线：若有lim ()x a

f x →=∞,则x a =为铅直渐近线；

斜渐近线：若有()

lim

,lim[()]x x f x a b f x ax x

→∞

→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐

近线.

(2)【答案】(C)

【解析】考查取绝对值后的级数.因

2222

111112222n n a a n n λ≤

+<++, (第一个不等式是由2

210,0,()2

a b ab a b ≥≥≤

+得到的.) 又2

1n

n a ∞

=∑收敛,2112n n ∞

= ∑收敛,(此为p 级数：11

p n n ∞

=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散.) 所以22111

2

2n n a n ∞

=+∑收敛,由比较判别法,

得n ∞

=收敛. 故原级数绝对收敛,因此选(C). (3)【答案】(C)

【解析】由公式()min((),())r AB r A r B ≤,若A 可逆,则

1()()()[()]()r AB r B r EB r A AB r AB -≤==≤.

从而()()r AB r B =,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩,所以选(C).

(4)【答案】(D)

【解析】事实上,当0()1P B <<时,(|)(|)P A B P A B =是事件A 与B 独立的充分必要条件,证明如下：

若(|)(|)P A B P A B =,则

()()

()1()

P AB P AB P B P B =

-, ()()()()()P AB P B P AB P B P AB -=, ()()[()()]()()P AB P B P AB P AB P B P A =?+=,

由独立的定义,即得A 与B 相互独立.

若A 与B 相互独立,直接应用乘法公式可以证明(|)(|)P A B P A B = .

(|)1(|)(|)P A B P A B P A B =-=.

由于事件B 的发生与否不影响事件A 发生的概率,直观上可以判断A 和B 相互独立. 所以本题选(D). (5)【答案】(B) 【解析】由于12,,,n X X X 均服从正态分布2(,)N μσ,根据抽样分布知识与t 分布的应

用模式可知

(0,1)N , 其中1

1n

i i X X n ==∑,

2

2

1

2

()(1)n

i

i X

X n χσ=--∑

(1).X t n μ-

-

即

(1)X t n μ

-=

-.

因为t 分布的典型模式是:设(0,1)X N ,2()Y

n

χ,且,X Y 相互独立,则随机变量

T =

n 的t 分布,记作()T t n .

因此应选(B).

三、(本题满分6分)

【解析】方法1：由22

1x y x y +≤++,配完全方得22

113222x y ????-+-≤ ? ??

???.

令11

cos ,sin 22

x r y r θθ-

=-=,引入极坐标系(,)r θ,则区域为

(,)02,0D r r θθπ??

=≤≤≤≤

???

. 故

20

()cos sin )D

x y dxdy d r r rdr π

θθθ+=++????

22003(cos sin )4d d ππθθθθ=++?

)220033

sin cos 42

d ππθθθπ=

-=?. 方法2：由221x y x y +≤++,配完全方得22

113222x y ?

???-+-≤ ? ??

???.

引入坐标轴平移变换：11

,,22

u x v y =-

=-则在新的直角坐标系中区域D 变为圆域 2213(,)|2D u v u v ?

?=+≤???

?.

而1x y u v +=++,则有dxdy dudv =,代入即得

1

1

1

1

()(1)D

D D D D x y dxdy u v dudv ududv vdudv dudv +=++=++??????????.

由于区域1D 关于v 轴对称,被积函数u 是奇函数,从而

1

0D ududv =??.

同理可得

10D vdudv =??, 又 1

13

2D dudv D π==??, 故

3

()2D

x y dxdy π+=??.

四、(本题满分5分)

【解析】先解出()y x ,此方程为常系数二阶线性齐次方程,用特征方程法求解.

方程440y y y '''++=的特征方程为2

440λλ++=,解得122λλ==-. 故原方程的通解为212()x y C C x e -=+.

由初始条件(0)2,(0)4y y '==-得122,0,C C ==

因此,微分方程的特解为22x y e -=.

再求积分即得

20

()2x y x dx e dx +∞

+∞

-=?

?

()220

lim 2lim 1b b

x x b b e d x e --→+∞→+∞

==-=?.

【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程0y py qy '''++=：

首先写出方程0y py qy '''++=的特征方程：20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：

(1)两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1

212;rx r x y C e

C e =+

(2)两个相等的实数根12r r =,则通解为()1

12;rx

y C C x e =+

(3)一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .x y e C x C x αββ=+

其中12,C C 为常数.

五、(本题满分5分)

【解析】由复合函数求导法,首先求

f

x

??,由题设可得 2

222212arctan 11f y x y y x x x

x y y x x y ???

=+-- ????????

++ ? ?????

232222

2arctan 2arctan y x y y y

x x y x x y x y x

=--=-++. 再对y 求偏导数即得

2222

2222

2

212111f x

x x y x y

x

x y x y y x ?-=-=-=??++??+ ???. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ?ψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数

((,),(,))z f x y x y ?ψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有

12z z u z v u v f f x u x v x x x

???????''=+=+???????； 12z z u z v u v f f y u y v y y y

???????''=+=+???????.

六、(本题满分5分)

【解析】运用换元法,令n

n

x t u -=,则

1

10

1()()()()().n

x

x n n

n

n n F x t

f x t dt f u du F x x f x n --'=-=?=??

由于20

()lim

n x F x x →为“0

”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,运用洛必达法则,可得

122121

000()()()

lim lim lim 22n n n n n x x x F x F x x f x x nx nx ---→→→'==

001()1()(0)

lim lim 220

n n n n x x f x f x f n x n x →→-==-, 由导数的定义,有 原式1

(0)2f n

'=

. 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：

若()

()

()()t t F t f x dx βα

=

?,()t α,()t β均一阶可导,则

[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=?-?.

七、(本题满分8分)

【解析】利用00(,)x y 在两条曲线上及两曲线在00(,)x y 处切线斜率相等列出三个方程,由此,可求出00,,a x y ,然后利用旋转体体积公式2()b

a

f x dx π

?

求出x V .

(1) 过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中,当0()y x '存在时,

0()k y x '=.

由y =

y '=

.

由y =12y x

'=

. 由于两曲线在00(,)x y 处有公共切线,

1

2x =

,得021x a =.

将021x a =

分别代入两曲线方程,

有001y y ==?==. 于是 20211

,a x e e a

=

==, 从而切点为2(,1)e .

(2) 将曲线表成y 是x 的函数,V 是两个旋转体的体积之差,套用旋转体体积公式,可得 旋转体体积为

2

2222

220

11

ln 24e e e x V dx dx e xdx ππππ=-=-?

??

2

2

2

2221

1

1

ln 2ln 2

422

2

e e e e x x xdx e x π

ππππ

??=

-

-=-=

???

??.

【相关知识点】由连续曲线()y f x =、直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积为：2()b

a

V f x dx π=?

.

八、(本题满分6分) 【解析】方法1:

()

()

2

2

()()()()

1

()[()()()()]f x x a f x f a F x f x x a f x f a x a x a '--+''=

=

--+--,

令 ()()()()()(),x f x x a f x f a x a ?'=--+>

由 ()()()()()()()0(),x f x x a f x f x x a f x x a ?'''''''=-+-=->> 知 ()x ?在(),a +∞上单调上升,于是()()0x a ??>=. 故 ()

2

()

()0x F x x a ?'=

>-.

所以()F x 在(),a +∞内单调增加. 方法2: []

()

2

()()()()1()()()()f x x a f x f a f x f a F x f x x a x a x a '----??

''=

=

-??--??

-. 由拉格朗日中值定理知

()()

()f x f a f x a

ξ-'=-,()a x ξ<<.

于是有 1

()[()()]F x f x f x a

ξ'''=

--. 由()0f x ''>知()f x '在(),a +∞上单调增,从而()()f x f ξ''>,故()0F x '>.

于是()F x 在(),a +∞内单调增加.

【相关知识点】1.分式求导数公式：2

u u v uv v v '''

-??= ???

2.拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续；在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.

九、(本题满分11分)

【解析】(1)因为增广矩阵A 的行列式是范德蒙行列式,1234,,,a a a a 两两不相等, 则有

213141324243()()()()()()0A a a a a a a a a a a a a =------≠,

故 ()4r A =.而系数矩阵A 的秩()3r A =,所以方程组无解.

(2)当 1324,(0)a a k a a k k ====-≠时,方程组同解于

23

12323

1

23,

.x kx k x k x kx k x k ?++=??-+=-?? 因为

1201k

k k

=-≠-,知()()2r A r A ==.

由()321n r A -=-=,知导出组0Ax =的基础解系含有1个解向量,即解空间的维数为1.

由解的结构和解的性质,

12112110112ηββ--??????

??????=-=-=??????

??????-??????

是0Ax =的基础解系.

于是方程组的通解为1121012k k βη--????

????+=+????????????

,其中k 为任意常数. 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：

设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即()()r A r A =.(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦

等同于12,,

,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组)

设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =,则

（1） 有唯一解 ? ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ? ()().r A r A n =< （3） 无解 ? ()1().r A r A +=

? b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.

2.解的结构：若1α、2α是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,知Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中12,ηη是0Ax =的基础解系,ξ是Ax b =的一个特解.

3.解的性质：如果12,ηη是0Ax =的两个解,则其线性组合1122k k ηη+仍是0Ax =的解；如果ξ是Ax b =的一个解,η是0Ax =的一个解,则ξη+仍是Ax b =的解.

十、(本题满分8分)

【解析】由A 的特征方程,按照第二列展开,有

201

1

1(1)(1)(1)0110E A x y λλλλλλλλ

λ

---=---=-=-+=--,

得到A 的特征值为1231,1λλλ===-.

由题设有三个线性无关的特征向量,因此,1λ=必有两个线性无关的特征向量,

从而()1r E A -=.这样才能保证方程组()0E A X -=解空间的维数是2,

即有两个线性无关的解向量.

由初等行变换,将E A -第一行加到第三行上,第一行乘以x 后加到第二行上有

10110

1000101000E A x y x y --????????-=--→--????

????-????

,

由()1r E A -=,得 x 和y 必须满足条件0x y +=.

十一、(本题满分8分)

【解析】记114223,,Y X X Y X X ==则12,X Y Y =-随机变量1Y 和2Y 相互独立且同分布, 由A 与B 独立可得出()()()P AB P A P B =,故

{}{}{}{}{}1141414111,1110.16,P Y P X X P X X P X P X ========?==

{}{}110110.84P Y P Y ==-==.

由行列式的计算公式,随机变量12,X Y Y =-有三个可能取值：1,0,1.-

{}{}{}{}121210,1010.840.160.1344,P X P Y Y P Y P Y =-=====?==?= {}{}{}{}121211,0100.1344,P X P Y Y P Y P Y ======?== {}{}{}01110.7312.P X P X P X ==-=--==

所求的行列式的概率分布列于下表:

十二、(本题满分8分)

【解析】依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法,有

{}{}{}()10201012512E T P X P X P X =-<+≤≤->

(10)20[(12)(10)]5[1(12)]μμμμ=-Φ-+Φ--Φ---Φ- 25(12)21(10) 5.μμ=Φ--Φ--

此时数学期望依赖于参数μ,为使其达到最大值,令其一阶导数为0,有

2

2

(10)(12)2

2()25(12)21(10)25],

dE T e e d μμ?μ?μμ----=--+-=- 令 ()0dE T

d μ=,22

(10)(12)

220μμ----=, 即22

(10)(12)

22

μμ----=.

解上面的方程得 0125

11ln 10.9.221

μμ==-

≈ 得到唯一驻点010.9μμ=≈,因为此问题是实际问题,所以平均利润函数必然有最大值,而且这个最大值是唯一的.

由题意知,当010.9μμ=≈毫米时,平均利润最大.