2011年四川省绵阳中学自主招生考试数学试卷
2011年四川省绵阳中学自主招生考试数学试卷
一、选择题：
1．（3分）的值在（）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
2．（3分）的平方根与的差等于（）
A．6B．6或﹣12 C．﹣6或12 D．0或﹣6
3．（3分）若x2=4，|y|=3，xy＜0，则x﹣y的值为（）
A．5或﹣5 B．1或﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
4．（3分）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（）
A．9B．13 C．9或13 D．10或12
5．（3分）已知函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，则关于x的方程ax2+3x﹣b=0的根的情况是（）
A．有两个正根B．有一个正根一
个负根
C．有两个负根D．没有实根
6．（3分）如图，已知∠ABC=41°，一束光线从BC上的D点发出，经BA反射后，反射光线EF恰好与BC平行，则∠EDC=（）
A．82°B．86°C．88°D．90°
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=16，BC=12，分别以A、C为圆心，为半径作圆，则阴影部分的周
长为（）
C．8+5πD．96﹣25π
A．48 B．
8+
8．（3分）如图，是用图象法解某二元一次方程组的图象，则这个二元一次方程组是（）
A．B．
C．D．
9．（3分）（2009?广州）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在圆O中有折线ABCO，BC=12，CO=7，∠B=∠C=60°，则AB的长为（）
A．17 B．18 C．19 D．20
11．（3分）在两行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别刻有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退．如图，现从左上角一格翻动到右下角一格，则骰子最终朝上的点数不可能是（）
A．2B．3C．4D．5
12．（3分）现有2011个人排队，第一个人站在点P1（1，1），第二个人站在点P2（2，1）…，第k个人站在点P k （x k，y k），当k≥2，，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[0.6]=0，[1.9]=1，
照此站下去，第2011个人站的点的坐标是（）
A．（5，2011）B．（2011，1）C．（2，402）D．（1，403）
二、填空题
13．（3分）已知方程组，张三看错了a，得到的解是；而李四看错了b，得到的解是，那么原方程组的正确的解是_________．
14．（3分）关于x的不等式（2a﹣b）x﹣3a+2b＞0的解集是x＜，则不等式ax+b＞0的解集是_________．15．（3分）如图，某人工湖两侧各有一个凉亭A、B，现测得AC=70m，BC=30m，∠ABC=120°，则AB=_________．
16．（3分）有一列数a1、a2、a3、…、a n，从第二个数开始，每一个数等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2014=_________．
17．（3分）（2005?内江）桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，这个几何体最多可以由_________个这样的正方体组成．
18．（3分）对于x＞0，规定f（x）=，例如f（2）=，f（）=，那么f（）+f（）+…+f
（）+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2011）=_________．
三、解答题
19．先化简，再求值：3xy﹣．其中x=4sin45°﹣2cos60°，
y=．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，△A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称，A′B与DC相交于点E，连接AA′．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不另加字母）；
（2）求证：A′E=CE．
21．如图，点C是圆O的直径AB延长线上一点，点D在圆O上，且BC=BD=OB，E是劣弧AD上一点，BE交AD于F．
（1）求证：CD是圆O的切线；
（2）若△DEF的面积为12，cos∠BFD=，求△ABF的面积．
22．某县组织30辆汽车装运甲、乙、丙三种苹果到外地销售．要求同一辆汽车只能装同一种苹果，且30辆汽车都必须装满，这样每次总共装运150吨．根据下表提供的信息，解答以下问题：
苹果品种甲乙丙
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4
每吨苹果获利（百元） 12 16 10
（1）设运甲、乙两种苹果的车辆数分别为x、y，求y与x之间的函数关系式；
（2）若运每种苹果的车辆数都不少于6辆，那么车辆安排方案有几种？写出每种安排方案；
（3）若要使这次销售获利最大，应采用哪种方案？并求出利润的最大值．
23．如图，等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与圆O相切于点E、D，AD=，DC=5，直线FG与AC、BC分别交于点F、G，且∠CFG=60°．
（1）求阴影部分的面积；
（2）设点C到直线FG的距离为d，当1≤d≤4时，试判断直线FG与圆O的位置关系，并说明理由．
24．已知函数y1=x，y2=x2+mx+n，x1、x2是方程y1=y2的两个实根，点P（s，t）在函数y2的图象上．
（1）若x1=2，x2=4，求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，当0≤s≤6时，求t的取值范围；
（3）当0＜x1＜x2＜1，0＜s＜1时，试确定t，x1，x2三者之间的大小关系．
25．如图，抛物线与坐标轴分别交于点A（a，0），B（b，0），C（0，c），其中abc=9，a、b、c均为整数，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，以AB为直径作圆R，过抛物线上一点P作直线PD切圆R于D，并与圆R的切线AE交于点E，连接DR并延长交圆R于点Q，连接AQ，AD．
（1）求抛物线所对应的函数关系式；
（2）若四边形EARD的面积为4，求直线PD的函数关系式；
（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EARD的面积等于△DAQ的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
2011年四川省绵阳中学自主招生考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．（3分）的值在（）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
考点：估算无理数的大小；不等式的性质．
专题：推理填空题．
分析：项求出的范围5＜＜6，根据不等式的性质即可求出﹣3的范围，根据﹣3的范围即可求出答案．
解答：解：∵＜＜，
∴5＜＜6，
∴5﹣3＜﹣3＜6﹣3，
∴2＜﹣3＜3，
∴﹣3在2和3之间，
故选B．
点评：本题考查了无理数的大小比较的应用，关键是确定的范围，注意：5＜＜6，题型较好，难度适中．
2．（3分）的平方根与的差等于（）
A．6B．6或﹣12 C．﹣6或12 D．0或﹣6
考点：实数的运算．
分析：首先利用二次根式的性质化简，然后利用实数的运算法则计算即可求解．
解答：解：∵=9，
∴的平方根为±3，
而=3，
∴的平方根与的差等于0或﹣6．
故选D．
点评：此题主要考查了实数的运算，同时也利用了二次根式的性质及平方根的定义，是比较容易出错的计算题．
3．（3分）若x2=4，|y|=3，xy＜0，则x﹣y的值为（）
A．5或﹣5 B．1或﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
考点：有理数的混合运算．
专题：计算题．
分析：由x2=4，开方得到x的值，再由|y|=3，利用绝对值的代数意义求出y的值，又xy＜0，得到x与y异号，确定出x与y的值，代入所求的式子中计算，即可得到结果．
∴x=2或x=﹣2，
∵|y|=3，∴y=3或y=﹣3，
又xy＜0，∴x与y异号，
∴x=2，y=﹣3或x=﹣2，y=3，
则x﹣y=2﹣（﹣3）=2+3=5或x﹣y=﹣2﹣3=﹣5．
故选A．
点评：此题考查了有理数的混合运算，涉及的知识有：一元二次方程的解法，绝对值的代数意义，以及两数相乘的取符号法则，其中根据xy＜0，得到x与y异号是解本题的关键．
4．（3分）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（）
A．9B．13 C．9或13 D．10或12
考点：等腰三角形的性质．
专题：探究型．
分析：题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．
解答：解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，
得或，解得或，
经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为9或13．
故选C．
点评：本题考查的是等腰三角形的性质，根据题意画出图形，列出关于x、y的方程组是解答此题的关键．
5．（3分）已知函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，则关于x的方程ax2+3x﹣b=0的根的情况是（）
A．有两个正根B．有一个正根一
个负根
C．有两个负根D．没有实根
考点：根的判别式；反比例函数的性质．
专题：计算题．
分析：
由函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，根据反比例函数的性质得到ab＞0，则a≠0，可判
断方程ax2+3x﹣b=0是一元二次方程，然后计算△，得到△=32﹣4?a?（﹣b）=9+4ab＞0，根据△的意
义得方程ax2+3x﹣b=0有两个不相等的实数根；再设它两实数根分别为x1，x2，利用根与系数的关
解答：
解：∵函数y=，当x＞0时，y随x增大而减小，
∴ab＞0，
对于方程ax2+3x﹣b=0，
∵a≠0，
∴方程ax2+3x﹣b=0是一元二次方程，
∴△=32﹣4?a?（﹣b）=9+4ab＞0，
∴方程ax2+3x﹣b=0有两个不相等的实数根，设它两实数根分别为x1，x2，
∴x1?x2=﹣＜0，
∴方程ax2+3x﹣b=0有两个异号的实数根．
故选B．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了反比例函数的性
质以及一元二次方程根与系数的关系．
6．（3分）如图，已知∠ABC=41°，一束光线从BC上的D点发出，经BA反射后，反射光线EF恰好与BC平行，则∠EDC=（）
A．82°B．86°C．88°D．90°
考点：平行线的性质．
分析：由题意得：EF∥BC，∠BED=∠AEF，根据平行线的性质，即可求得∠AEF=∠ABC，又由三角形外角的性质，求得∠EDC的度数．
解答：解：根据题意得：EF∥BC，∠BED=∠AEF，
∴∠AEF=∠ABC=41°，
∴∠BED=41°，
∴∠EDC=∠ABC+∠BED=82°．
故选A．
点评：此题考查了平行线的性质、三角形的外角的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=16，BC=12，分别以A、C为圆心，为半径作圆，则阴影部分的周长为（）
A．48 B．
C．8+5πD．96﹣25π
8+
考点：弧长的计算；勾股定理．
专题：数形结合．
分析：在RT△ABC中利用勾股定理求出AC，继而得出圆的半径r，然后求出两端圆弧的长，根据EB+BF=AB+BC﹣2r，可得出EB+BF的长度，继而可得出阴影部分的周长．
解答：
解：在RT△ABC中，AC==20，
故可得出r=10，
两端圆弧的长为：+==5π．
EB+BF=AB+BC﹣2r=16+12﹣20=8，
故可得阴影部分的面积为：8+5π．
故选C．
点评：此题考查了弧长的计算及勾股定理的知识，根据题意求出半径及两端弧长之和是解答本题的关键，难度一般．
8．（3分）如图，是用图象法解某二元一次方程组的图象，则这个二元一次方程组是（）
A．B．
C．D．
考点：一次函数与二元一次方程（组）．
专题：数形结合．
分析：根据图象，求出两条直线的解析式，由这两条直线的解析式组成的方程组即为所求．
解答：解：由图象知，①直线l1过点（0，2）、（2，0），设此直线的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴y=﹣x+2，
整理得：x+y﹣2=0；
②直线l2过点（1，1）、（0，﹣1），设解析式为y=mx+n，
同理可得：2x﹣y﹣1=0；
∴这个二元一次方程组是由直线l1、直线l2的解析式组成，即，
故选B．
点评：本题主要考查的是根据一次函数的图象求一次函数的解析式．
9．（3分）（2009?广州）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（）
A．B．C．D．
考点：锐角三角函数的定义；圆锥的计算．
分析：
先根据扇形的面积公式S=L?R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
解答：解：根据圆锥的底面半径为5cm，则底面周长是10π．
根据扇形的面积公式S=L?R，则65π=?10π?R，
∴R=13，因而sinθ=．
故选B．
点评：本题意在综合考查学生对圆锥的侧面展开图和三角函数等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想等数学思想方法的考查．
10．（3分）如图，在圆O中有折线ABCO，BC=12，CO=7，∠B=∠C=60°，则AB的长为（）
A．17 B．18 C．19 D．20
考点：垂径定理；等边三角形的性质．
分析：作OD⊥AB垂足为D，利用垂径定理得AB=2BD，作OE∥AB交BC于E，构造等边△COE，过E点作EF⊥AB，垂足为F，得Rt△BEF，而∠B=60°，可得BF=BE，再根据BD=BF+DF
求BD．
解答：解：如图，作OD⊥AB垂足为D，OE∥AB交BC于E，过E点作EF⊥AB，垂足为F，
∵OD⊥AB，EF⊥AB，∴DF=OE=7，BE=BC﹣CE=5，
在Rt△BEF中，∵∠B=60°，∴BF=BE=，
∴BD=BF+DF=+7=，
由垂径定理，得AB=2BD=19．
故选C．
点评：本题考查了垂径定理，等边三角形的性质．关键是通过作辅助线，得出等边三角形，30°的直角三角形，利用垂径定理求AB．
11．（3分）在两行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别刻有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退．如图，现从左上角一格翻动到右下角一格，则骰子最终朝上的点数不可能是（）
A．2B．3C．4D．5
考点：专题：正方体相对两个面上的文字．
专题：常规题型．
分析：根据图形分别求出四种翻动情况下的最后结果即可得解．
解答：解：翻转的路径有4种：①右﹣右﹣下，最后朝上的是4；
②右﹣下﹣右，最后朝上的是6；
③下﹣右﹣右，最后朝上的是3；
④下﹣右﹣上﹣右﹣下，最后朝上的是2；
故最后朝上的可能性有2，3，4，6，而不会出现1，5．
故选D．
点评：本题考查了正方体相对面上的文字问题，注意分析出所有的可能情况，找出最终朝上的点数的可能情况．
12．（3分）现有2011个人排队，第一个人站在点P1（1，1），第二个人站在点P2（2，1）…，第k个人站在点P k （x k，y k），当k≥2，，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[0.6]=0，[1.9]=1，
照此站下去，第2011个人站的点的坐标是（）
A．（5，2011）B．（2011，1）C．（2，402）D．（1，403）
考点：取整计算．
专题：规律型．
分析：先计算横坐标，x1=1，x2=2，x3=3，x4=4，x5=5，x6=5+1﹣5（1﹣0）=1，x7=2…，再计算纵坐标，y1=1，y2=1，y3=1，y4=1，y5=1，y6=1+1﹣0=2，y7=2，y8=2，y9=2，y10=2，y11=3，
y12=3…从而发现规律，进而可计算出第2011个人站的点的坐标．
解答：解：由题意可得：x1=1，x2=2，x3=3，x4=4，x5=5，x6=5+1﹣5（1﹣0）=1，x7=2，x8=3…
故横坐标5人一个循环，
∵=402…1，
∴第2011个人站的点的横坐标是：1．
由题意得：y1=1，y2=1，y3=1，y4=1，y5=1，y6=1+1﹣0=2，y7=2，y8=2，y9=2，y10=2，y11=3，y12=3…
故纵坐标5个人一个循环，且每次循环纵坐标加1，
∵=402…1，
∴第2011个人站的点的横坐标是：403，
综上可得第2011个人站的点的坐标是（1，403）．
故选D．
点评：此题考查了取整函数的知识，解答本题的关键在于计算出前面几个点的横坐标和纵坐标，从而得出横坐标和纵坐标的变化规律，有一定的难度，注意规律的总结．
二、填空题
13．（3分）已知方程组，张三看错了a，得到的解是；而李四看错了b，得到的解是，
那么原方程组的正确的解是．
考点：二元一次方程组的解．
专题：计算题．
分析：
由于张三看错了a，故可将代入3x﹣by=﹣1，求出b的值；由于李四看错了b，故可将代
入ax+5y=﹣5，求出a的值，然后得到方程组，解方程组即可．
解答：
解：将代入3x﹣by=﹣1得，6﹣7b=﹣1，b=1，
将代入ax+5y=﹣5得，﹣5a+5=﹣5，a=2，
所以原方程组为，
解得：，
故答案为：．
点评：此题考查的知识点是二元一次方程组的解，关键明确方程组的解符合方程组中的每个方程，将解代入方程即可求出未知系数．
14．（3分）关于x的不等式（2a﹣b）x﹣3a+2b＞0的解集是x＜，则不等式ax+b＞0的解集是x＜﹣．
考点：解一元一次不等式．
专题：计算题．
分析：由已知不等式及解集的特点，得到2a﹣b＜0，移项并把x系数化为1后，根据解集得到关于a与b的关系，整理后得到a=2b，代入2a﹣b＜0中，得到b＜0，然后把a=2b代入所求的不等式中，两边同时除
以b，不等号方向改变，得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可．
解答：解：（2a﹣b）x﹣3a+2b＞0，
移项得：（2a﹣b）x＞3a﹣2b，
由已知解集为x＜，得到2a﹣b＜0，
变形得：x＜，
可得：=，整理得：a=2b，
∴2a﹣b=4b﹣b=3b＜0，即b＜0，
∴不等式ax+b＞0可化为2bx+b＞0，
两边同时除以b得：2x+1＜0，
解得：x＜﹣，
则不等式ax+b＞0的解集是x＜﹣．
故答案为：x＜﹣．
点评：此题考查了一元一次不等式的解法，利用了转化及代入的数学思想，熟练掌握不等式的基本性质2（在不等式两边同时乘（除）以同一个负数时，不等号方向改变）是解本题的关键．
15．（3分）如图，某人工湖两侧各有一个凉亭A、B，现测得AC=70m，BC=30m，∠ABC=120°，则AB=50m．
考点：解直角三角形的应用．
专题：计算题．
分析：过C点作CD⊥AB于点D．先在Rt△CDA中求得AD、CD的长，再利用勾股定理求得BD的长，AB=BD ﹣AD．
解答：解：如图，作CD⊥AB于点D．
在Rt△CDB中，BC=30，∠CBD=180°﹣∠ABC=180°﹣120°=60°．
∴CD=AC?sin∠CBD=30?sin60°=15．
AD=BC?cos∠CBD=30?cos60°=15．
在Rt△CDA中，∵AC=70，AD2=AC2﹣CD2，
∴AD==65．
∴AB=AD﹣BD=65﹣15=50（m），
故答案为：50m．
点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键明确解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
16．（3分）有一列数a1、a2、a3、…、a n，从第二个数开始，每一个数等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2014=2．
考点：规律型：数字的变化类．
分析：本题可分别求出n=2、3、4…时的情况，观察它是否具有周期性，再把2014代入求解即可．
解答：
解：依题意得：a1=2，a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1+1=2；
周期为3；
2014÷3=671 (1)
所以a2014=a1=2．
故答案是2．
点评：本题考查了找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．而具有周期性的题目，找出周期是解题的关键．
17．（3分）（2005?内江）桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，这个几何体最多可以由13个这样的正方体组成．
考点：由三视图判断几何体．
分析：主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
解答：解：易得第一层最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以此几何体共有13个正方体．故答案为：13．
点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
18．（3分）对于x＞0，规定f（x）=，例如f（2）=，f（）=，那么f（）+f（）+…+f （）+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2011）=2010.5．
考点：分式的混合运算．
专题：规律型．
分析：
根据f（2）=可知f（x）=，根据f（）=可知f（）=，以此类推可分别求
f（）、f（）、…、f（）、f（）、f（1）、f（2）、…f（2011）的值，再把结果相加，又发现
除外，其它的数能两两组成1，据此可知有个1，进而可求出答案．
解答：
解：原式=++…++++…+=1×2010+=2010.5．
故答案是2010.5．
点评：
本题考查了分式的混合运算，解题的关键是寻找规律，比如：根据f（x）=来计算正整数时的值；
根据知f（）=来计算分数时的值，再根据结果可发现以为对称中心的两个数相加等于1．
三、解答题
19．先化简，再求值：3xy﹣．其中x=4sin45°﹣2cos60°，
y=．
考点：分式的化简求值；二次根式的化简求值；特殊角的三角函数值．
专题：计算题．
分析：先根据分式混合运算的法则把原式化简，再根据特殊角的三角函数值及二次根式混合运算的法则求出x、y的值，把所得结果代入原式进行计算即可．
解答：
解：原式=3xy﹣×+（x﹣y）
=3xy﹣×+x﹣y
=3xy﹣xy+x﹣y
=2xy+x﹣y，
x=4×﹣2×=2﹣1，
y=﹣×=﹣1=﹣1=﹣1=﹣1
原式=2（2﹣1）×（﹣1）+2﹣1﹣（﹣1）+1
=2﹣4+2﹣1+1+1
=﹣2+3．
点评：本题考查的是分式的化简求值，二次根式的化简求值及特殊角度的三角函数值，能根据题意把原式化为最简形式是解答此题的关键．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，△A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称，A′B与DC相交于点E，连接AA′．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不另加字母）；
（2）求证：A′E=CE．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；轴对称的性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据对称性质求出A′D=AD，A′B=AB，推出△A′DA、△A′BA是等腰三角形，根据△A′DE≌△CEB推出DE=BE即可；
（2）根据对称图形的性质和平行四边形性质推出A′D=BC，∠C=∠DA′B，根据AAS证△A′DE≌△CEB即可．解答：（1）解：等腰三角形有△DA′A，△A′BA，△EDB．
（2）证明：∵平行四边形ABCD，
∴∠C=∠DAB，AD=BC，
∵A′BD与△ABD关于BD所在的直线对称，
∴△A′DB≌△ADB，
∴AD=A′D，∠DA′B=∠DAB，
∴A′D=BC，∠C=∠DA′B，
在△A′DE和△CEB中
，
∴△A′DE≌△CEB，
∴A′E=CE．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行四边形性质，轴对称的性质等知识点的应用，关键是能灵活运用这些性质进行推理，题目比较典型．
21．如图，点C是圆O的直径AB延长线上一点，点D在圆O上，且BC=BD=OB，E是劣弧AD上一点，BE交AD于F．
（2）若△DEF的面积为12，cos∠BFD=，求△ABF的面积．
考点：切线的判定；解
直角三角形．
分析：（1）首先连接
OD，由
BC=BD=OB，即
可判定△OBD是
等边三角形，然
后利用等边三
角形与等腰三
角形的性质，即
可求得
∠ODB=60°，
∠BDC=30°，则
可证得CD是圆
O的切线；
（2）由AB是
⊙O的直径，可
得∠ADB=90°，
又由
cos∠BFD=，即
可得DF：BF=2：
3，然后判定
△DEF∽△BAF，根
据相似三角形
的面积比等于
相似比的平方，
即可求得△ABF
的面积．
解答：（1）证明：连
接OD，
∵BD=OB，
OD=OB，
∴△OBD是等边
三角形，
∴∠DBO=∠ODB
=60°，
∵BC=BD，
∴∠CDB=∠DCB，
∠BCD，
∴∠C=∠CDB=30°
，
∴∠ODC=∠ODB
+∠BDC=90°，
即OD⊥CD，
∵点D在圆O
上，
∴CD是圆O的
切线；
（2）解：∵AB
是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴cos∠BFD==
，
∵∠E=∠A，
∠EFD=∠AFB，
∴△DEF∽△BAF，
∴
，
∵S△DEF=12，
∴△ABF的面积
为27．
点评：此题考查了切
线的判定、等边
三角形的判定
与性质、等腰三
角形的性质、三
角函数的定义
以及相似三角
形的判定与性
质．此题综合性
较强，难度适
中，解题的关键
是准确作出辅
助线，掌握数形
用．
22．某县组织30辆汽车装运甲、乙、丙三种苹果到外地销售．要求同一辆汽车只能装同一种苹果，且30辆汽车都必须装满，这样每次总共装运150吨．根据下表提供的信息，解答以下问题：
苹果品种甲乙丙
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4
每吨苹果获利（百元） 12 16 10
（1）设运甲、乙两种苹果的车辆数分别为x、y，求y与x之间的函数关系式；
（2）若运每种苹果的车辆数都不少于6辆，那么车辆安排方案有几种？写出每种安排方案；
（3）若要使这次销售获利最大，应采用哪种方案？并求出利润的最大值．
考点：一次函数的应
用．
专题：应用题；图表
型．
分析：（1）等量关系
为：车辆数之和
=30，每次总共
装运150吨；
（2）关系式为：
装运每种苹果
的车辆数≥6；
（3）总利润为：
装运A种苹果
的车辆数
×6×12+装运B
种苹果的车辆
数×5×16+装运C
种苹果的车辆
数×4×10，然后
按x的取值来判
定．
解答：解：（1）根据题
意，运甲、乙两
种苹果的车辆
数分别为x、y，
那么装运C种
苹果的车辆数
为（30﹣x﹣y），
则有：6x+5y+4
（30﹣x﹣y）
=150
整理得：y=﹣
2x+30；
（2）由（1）知，
装运甲、乙、丙
为x，﹣2x+30，x．
由题意得：
，
解得：6≤x≤12，因为x为整数，所以x的值为6，7，8，9，10，11，12所以安排方案共有7种．方案一：装运甲种苹果6车，乙种苹果18车，丙种苹果6车
方案二：装运甲种苹果7车，乙种苹果16车，丙种苹果7车；方案三：装运甲种苹果8车，乙种苹果14车，丙种苹果8车，方案四：装运甲种苹果9车，乙种苹果12车，丙种苹果9车，方案五：装运甲种苹果10车，乙种苹果10车，丙种苹果10车，方案六：装运甲种苹果11车，乙种苹果8车，丙种苹果11车；方案七：装运甲种苹果12车，乙种苹果6车，丙种苹果12车；
（3）设利润为W（百元）则：W=6x×12+5（﹣2x+30）
×16+4x×10=﹣48x+2400
初中升高中-学校自主招生选拔考试-数学试题
数学试卷 一、选择题（30分） 1．在0，-2, 1，-3这四个数中，最小的数是( ). A ．0 B ．-2 C ．1 D ．-3 2. 函数中，自变量的取值范围是( ). A ．x≥1 B ．x≤1 C ．x≥-1 D ．x≤-1 3．把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( ). A ． B ． C ． D ． 4．如图，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个圆圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是( ). A ．必然事件（必然发生的事件） B ．不可能事件（不可能发生的事件） C ．确定事件（必然发生或不可能发生的事件） D ．不确定事件（随机事件） 5. 若x1、x2是一元二次方程的两个根，则x12的值是( ). A.3 3 C.2 2 6．我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图，从图的左面看这个几何体的左视图是( ). A ． B ． C ． D ． 7．已知 ，我们又定义 ，， ，……，根据你观察的规律可推测出＝( ). 1 0 1 0 1 0 1 0
A. B. C. D. 8．如图，在矩形中，M、N分别为边、边的中点， 将矩形沿折叠，使A点恰好落在上的点F处， 则∠的度数为( ). A．20°B．25 °C．30°D．36° 9.为了解某区九年级学生课外体育活动的情况，从该年级学生中随机 抽取了4%的学生，对其参加的体育活动项目进行了调查，将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图.下列结论：①被抽测学生中参加羽毛球项目人数为30人；②在本次调查中“其他”的扇形的圆心角的度数为36°；③估计全区九年级参加篮球项目的学生比参加足球项目的学生多20%；④全区九年级大约有1500名学生参加乒乓球项目.其中正确结论的个数是( ). A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个 10．如图，等腰△中，∠90°，4，⊙C的半径为1，点P在斜边上，切⊙O于点Q，则切线长长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.4 二、填空题（18分） 11．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O
中考自主招生数学试卷(含解析)
2018年山东省枣庄实验高中自主招生数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处） 1．如图，数轴上点A表示数a，则|a﹣1|是（） A．1B．2C．3D．﹣2 2．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜﹣1D．k＜﹣1或k＝0 3．在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为（） A．84株B．88株C．92株D．121株 4．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（） A．﹣＝4B．﹣＝4 C．﹣＝4D．﹣＝4 5．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（）
A．B． C．D． 6．如图在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树稍的仰角分别是45°与60°，∠DCA＝90°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°，若房屋的高BC＝5米，则高DE的长度是（） A．6米B．6米C．5米D．12米 7．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（） A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵 C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵
中学自主招生考试数学试卷试题
2010年科学素养测试 数学试题 【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、计算= . 2、分解因式：= . 3、函数中，自变量x的取值范围是. 4、已知样本数据x1，x2，…，x n的方差为1，则数据10x1＋5，10x2＋5，…，10x n＋5的方 差为. 5、函数的图像与坐标轴的三个交点分别为（a, 0）(b, 0)（0, c)，则a+b+c的值等 于. 6、在同一平面上，⊙、⊙的半径分别为2和1，＝5，则半径为9且与⊙、⊙都相切的圆有 个． 7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为3 cm和4 cm， 则斜边长为cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
则第10个图案中有白色地面砖块. 9、将函数的图像平移，使平移后的图像过C（0，-2），交x轴于A、B两点，并且△ABC 的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是. 10、如图，平行四边形ABCD中，P点是形内一点，且△P AB的面积等于8 cm2，△P AD的 面积等于7 cm2，，△PCB的面积等于12 cm2，则△PCD的面积是cm2. （第10题图）（第11题图） 11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，其主视图与左视图均为如图所 示的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是. 12、正△ABC内接于⊙O，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE交⊙O与F, 连接BF交 AC于点P,则. 二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分） 13、已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9 求：①a∶b∶c②
自主招生数学试卷(含答案)
中学自主招生数学试卷 一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分） 1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（） A．B．D． 2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（） A．2πB．4πC．2D．4 3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（） A．15 B．20 C．25 D．30 5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（） A．B．2C．3D．6 二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分） 6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是． 7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为． 8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两
点，且=m，=n，则+=． 9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个． 10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=． 11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是． 三、简答题（共4小题，满分50分） 12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分． 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由： 班级内环中环外环
重点高中自主招生考试数学试卷集大全集)
6.如图，点A 在函数=y x 6 -)0( 则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ． 16.如图，E 、F ABCD 的边AB 、CD 上 的点，AF 与DE 相交于点 P ，BF 与CE 相交于 点Q ，若S △APD 15 =2cm ，S △BQC 25=2cm ， 则阴影部分的面积为 2cm ． . 19.将背面相同，正面分别标有数字 1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率； （2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．． ），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则 组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳 动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数. 21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、 D 的点， 若10 10 sin = ∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠. 22.如图，抛物线的顶点坐标是?? ? ??892 5，－，且经过点) 14 , 8 (A . (1)求该抛物线的解析式； (2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边）， 试求点B 、C 、D 的坐标； (3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ．试判断：PB PA +与BC AC +23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点(第21题图) N (第22题图) C D F （第16题图） 2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！ （2）请在背面的答题纸上作答。另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图．图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C o ．下面叙述不 正确的是 A ．各月的平均最低气温都在0C o 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C o 的月份有5个 2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A ．1x <-或5x > B ．5x > C ．15x -<< D ．无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温 3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图 2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p c q = ，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成； 4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ，然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9 【解析】难度简单，直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?， 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是 【答案】 454 【解析】 8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2 n ），如果n 是奇数，则将它乘以3 加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】 高中自主招生考试数学试卷 亲爱的同学： 欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学，有雄厚的师资，优秀的学生，先进的育人理念，还有美丽的校园，相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分，考试时间为70分钟。 2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ） A ．313 - B ． 33 C ．314 - D ． 12 3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++= b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ） A ．N M > B ．N M = C ．N M < D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 4 1 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。 6．下列名人中：①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） A ．①④⑦ B ．②④⑧ C ．②⑥⑧ D ．②⑤⑥ 7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方 式如下表所示： 欲购买的 商品 原价（元） 优惠方式 A B C D B ' D C ' 上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分) １1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案: 2017高中自主招生考试数学模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）． 1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（） A ． m＞3 B．m≥3C．m≤3D． m＜3 2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（） （2）（3）A．B．C．D． 3．（3分）（2011?南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（） A．到CD的距离保持不变B．位置不变 C． 等分 D．随C点移动而移动 4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（） A． 2﹣1 B． 4﹣2 C． 3﹣2 D． 2﹣2 5．（3分）（2010?泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（） A．B．C．D． 6．（3分）如图（6），已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（） A． 6圈B．圈C． 7圈D． 8圈 7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图（7），则以下结论正确的有：①abc＞0； ②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（） （6）（7）（8）A． 2个B． 3个C． 4个D． 5个 8．（3分）如图8，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果，那么△ABC的内切圆半径为（） A． 1 B．C． 2 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）与是相反数，计算=_________． 10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=_________． 11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则= _________． （11）（12） 12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为_________． 数学素质考查卷 一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ） A.2322()x y y y x y -=- B.424(2)(x x x x -=+ C.21 1(1)x x x x x --=-- D.21(2)(1)(3)a a a --=-- 2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ） A.换元法 B.配方法 C.数形结合法 D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1 4x - 的值是（ ） A.-2 B.1 C.-1或2 D.-2或1 4、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数k y x =的图像还必过点（ ） A. (-1,6) B.(1,-6) C.(-2,-3) D.(2,12) 5、现规定一种新的运算：“*”：*()m n m n m n -=+，那么51 *22＝（ ） A. 54 B.5 C.3 D.9 6、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝ （ ） A.180° B.150° C.160° D.170° 7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ） A.不增不减 B.增加4％ C.减少4％ D.减少2％ 2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学 三校联合自主招生考试试题 （数学部分） 1．（仅文科做）02 απ<< ，求证：sin tan ααα<<．（25分） 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02 x π<< 时，()1cos 0f x x '=->．于是 ()f x 在02x π << 上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0 g x x x =->． (0)0g =，当02 x π<< 时，2 1()10 cos g x x '= ->．于是()g x 在02 x π<< 上单调增． ∴在02 x π<< 上有()(0)0g x g >=．即tan x x >． 注记：也可用三角函数线的方法求解． 2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB 2 （25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面 直角坐标系． ⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1 m ax AB O P PR =<； ⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）． 不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使A B 最大的B 点必位于线段PQ 上． 且当B 从P 向Q 移动时，A B 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2B R B A ≥．于是 22max AB R P R Q == 小升初自主招生考试数学试题 一、填空。（16分，每空1分） 1、南水北调中线一期工程通水后，北京、天津、河北、河南四个省市沿线约60000000人将直接喝上水质优良的汉江水（横线上的数读作）。其中河北省年均调水量配额为三十四亿七千万立方米（横线上的数写作，省略亿位后面的尾数， 约是亿）， 2、 直线上A 点表示的数是（ ），B 点表示的数写成小数是（ ）， C 点表示的数写成分数是（ ）。 3、分数a 8 的分数单位是（ ），当a 等于（ ）时，它是最小的假分数。 4、如下图，把一个平行四边形剪成一个三角形和一个梯形。如果平行四边形的高是0.5厘米，那么三角形的面积是（ ）平方厘米，梯形的面积是（ ）平方厘米。 5、寒暑表中通常有两个刻度——摄氏度和华氏度，他们之间的换算关系是：摄 氏度×5 9 ＋32＝华氏度。当5摄氏度时，华氏度的值是（）；当摄氏度的值是 （）时，华氏度的值等于50。 6、赵明每天从家到学校上课，如果步行需要15分钟，如果骑自行车则只需要9分钟，他骑自行车的速度和步行的速度比是（ ）。 7、把一个高6.28厘米的圆柱的侧面展开得到一个正方形，这个圆柱的底面积是 （ ）平方厘米。 8、按照下面图形与数的排列规律，下一个数应是（ ），第n 个数是（ ）。 二、选择。（把正确答案的序号填在括号里）（16分、每题2分） 1、一根铁丝截成了两段，第一段长37米，第二段占全长的3 7 。两端铁丝的长度比较（ ） A 、第一段长 B 、第二段长 C 、一样长 D 、无法比较 2、数a 大于0而小于1，那么把a 、a 2、 a 1 从小到大排列正确的是（ ）。 A 、a ＜a 2＜a 1 B 、 a ＜a 1＜a 2 C 、a 1＜a ＜a 2 D 、a 2＜a ＜a 1 3、用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到， 从左面看到（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、无法确定 4、一次小测验，甲的成绩是85分，比乙的成绩低9分，比丙的成绩高3分。那么他们三人的平均成绩是（ ）分。 A 、91 B 、87 C 、82 D 、94 5、从2、3、5、7这四个数中任选两个数，和是（ ）的可能性最大。 A 、奇数 B 、偶数 C 、质数 D 、合数 6、观察下列图形的构成规律，按此规律，第10个图形中棋子的个数为（ ） 第2题 自主招生考试 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点： 1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。 2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。做在试题卷上无效。 3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。 4．答题过程不准使用计算器。 【 祝你成功! 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个 符合题目要求） 1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为 A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定根的情况 2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形 P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< $ C S S S 132<< D S S S 123== 3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是 A π－1 B π－2 C 121-π D 22 1 -π … 4．由325x y a x y a x y a m -=+??+=??>??>?得a>－3,则m 的取值范围是 A m>－3 B m ≥－3 C m ≤－3 D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB 2017年自主招生数学试题 (分值: 100分 时间:90分钟) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1、若对于任意实数a ，关于x 的方程0222 =+--b a ax x 都有实数根，则实数b 的取值范围是（ ） A b ≤0 B b ≤2 1 - C b ≤81- D b ≤-1 2、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，已知S △BDE ∶S △CDE =1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为（ ） A ．1∶3 B ．1∶4 C ．1∶9 D ．1∶16 3、某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高(如图所示)。已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD) 恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为300 ，在C 处测得电线杆 顶端A 得仰角为450，斜坡与地面成600 角，CD=4m ，则电线杆的高(AB)是（ ） A ．)344(+m B ．)434(-m C ．)326(+m D ．12m 4、如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=3．点 E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG ．同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当经过（ ）秒时，直线MN 和正方形AEFG 开始有公共点。 A ．53 B ． 12 C ．43 D ．23 (第2题图) (第3题图) (第4题图) 5、如图，在反比例函数x y 2 - =的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC=BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数x k y =的图 象上运动，若tan ∠CAB=2，则k 的值为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6、如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA=3，OB=4，OC=5．将线段OB 绕点B 逆时针 旋转600得到线段O′B，则下列结论：①△AO′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转600 得 到；②∠AOB=1500 ；③633AOBO'S =+四边形93 6AOB AOC S S +=△△（ ） 一.选择题 1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（ ） A ．16900 B ．17900 C ．18900 D ．前三个答案都不对 2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（ ） A ．3524 B ．3624 C ．3724 D ．前三个答案都不对 3.已知x ∈[0,2 π]，对任意实数a ，函数y=2cos x ?2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．前三个答案都不对 4.已知2010?202是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．前三个答案都不对 5.在凸四边形ABCD 中，BC=4，∠ADC=60°，∠BAD=90°，四边形ABCD 的面积等于 2 AB CD BC AD ?+?，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（ ） A ．6.9 B ．7.1 C ．7.3 D ．前三个答案都不对 二.填空题 6.满足等式120151 11+)(1)2015 x x +=+（的整数x 的个数是_______． 7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则2 2222()()() ab cd a d b c +++ 的最大值与最小值的和为___________ 8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,的最大整数是__________ 9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=222 2b a c ba +-,且x+y+z=1，则201520152015x y z ++的值为___ 10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ?|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________ 三．解答题 11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值 12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a 13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC 的三边满足a >b>c ， 求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B + 14.从O 出发的两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点，且AOB S ?=c(c 为定值),记AB 的中点为X ， 求证：X 的轨迹为双曲线 15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足：1210...a a a +++=30，1210...a a a <21，求证：i a ?，使得i a <1 ##Answer## 罗田县第一中学2008年自主招生考试 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分） 1. 若M＝3x2－8xy+9y2－4x+6y+13(x,，y是实数)，则M的值一定是( ). (A) 零(B) 负数(C) 正数(D)整数 2.已知sin＜cos，那么锐角的取值范围是（） A．300＜＜450 B. 00＜＜450 C. 450＜＜600 D. 00＜＜900 3．已知实数满足＋＝，那么－20082值是（） A．2009 B. 2008 C. 2007 D. 2006 4．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于（）． A. B. C. D. 5.二次函数的图象如图所示，是 图象上的一点，且，则的值为（）． A. B. C.－1 D.－2 6.矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于（）． A. 7．若，则一次函数的图象必定经过的象限是（）（A）第一、二象限（B）第一、二、三象限（C）第二、三、四象限（D）第三、四象限 8．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形 BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=， 那么AC的长等于() (A) 12 (B) 16 (C) (D) 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 9.已知,那么代数式的值是 . 10.已知为实数，且，则的取值范围为． 11.已知点A（1，3），B（5，-2），在x轴上找一点P，使│AP-BP│最大，则满足条件的点P的坐标是 _______． 12．设…，为实数，且满足 ...=...=...=...= (1) 则的值是． 13．对于正数x，规定f（x）= , 计算f（）+ f（）+ f（）+ …+ f（）+ f（）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（98）+ f（99）+ f（100）= ． 14.如果关于的方程有一个小于1的正数根，那么实数的 取值范围是． 15.在Rt△ABC中,∠C＝900,AC＝3,BC＝4.若以C点为圆心, r为半径所作的圆与斜边AB 浙江萧山中学自主招生考试数学试卷(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 1 / 8 数学试卷 满分为100分，考试时间为70分钟。 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ） A ．313 - B ． 33 C ．314 - D ． 12 3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++= b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ） A ．N M > B ．N M = C ．N M < D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 4 1，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。 6．下列名人中：①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） A ．①④⑦ B ．②④⑧ C ．②⑥⑧ D ．②⑤⑥ 7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠 方式如下表所示： 欲购买的 商品 原价（元） 优惠方式 一件衣服 420 每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券 A B C D B ' D ' C ' 2009年鄂州高中自主招生考试数学试题 一、选择题（3分*12=36分） 1、已知a=2009x+2008，b=2009x＋2009，c=2009x+2010，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为 （） A、0 B、1 C、2 D、3 2、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2＋2x＋2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） 3、第二象限有一点P（x , y），且，则点P关于原点的对称点的坐标是（） A、（－5，7） B、（5，－7） C、（－5，－7） D、（5，7） 4、若方程x2＋（4n＋1）x＋2n=0（n为整数）有两个整数根，则这两个根（） A、都是奇数 B、都是偶数 C、一奇一偶 D、无法判断 5、如右下图，等边ΔABC外一点P到三边距离分别为h1，h2，h3，且h3＋h2－h1=3，其中PD= h3， PE= h2，PF= h1。则ΔABC的面积SΔABC=（） A、B、C、D、 6、某班有50人，在一次数学考试中，得分均为整数，全班最低分为48分，最高分为96分，那么 该班考试中（） A、至少有两人得分相同 B、至多有两人得分相同 C、得分相同的情况不会出现 D、以上结论都不对 7、若实数a 满足方程，则=（），其中表示不超过a的最大整数。 A、0 B、1 C、2 D、3 8、在⊿ABC中，P、Q分别在AB、AC上，且，则PQ一定经过⊿ABC的（） A、垂心 B、外心 C、重心 D、内心 9、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每 隔9千米经过一个速度监控仪，刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么，第二次同时经过这两种设施是在（）千米处。 A、36 B、37 C、55 D、91 10、已知x2－ax＋3－b=0有两个不相等的实数根，x2＋（6－a）x＋6－b=0有两相等的实数根，x22019高中自主招生数学试题
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