2018届湖南省株洲市高三年级教学质量统一检测(二)理科数学Word版含答案

株洲市 2018 届高三年级教学质量统一检测（二）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,集合,则( )

A．，或 B． C． D．

2.设为虚数单位，，则实数( )

A．2 B．1 C．0 D．-1

3. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。其书中的更相减损法的思路与右边的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的，分别为 12，15，则输出的等于( )

A．3 B．4 C．6 D．8

4.设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象一部分可以是( )

A． B． C.D．

5. 魔术师用来表演的六枚硬币ａ，，，，，中，有 5 枚是真币，1 枚是魔术币，它们外形完全相同，

但是魔术币与真币的重量不同，现已知和共重 10 克，，共重 11 克，，，共重 16 克，则可推断魔术币为( )

A． B． C. D．

6.展开式中的系数为( )

A．14 B．-14 C.56 D．-56

7. 在面积为 1 的正方形中任意取一点，能使三角形，，，的面积

都大于的概率为( )

A． B． C. D．

8. 某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的外接球的表面积为

A． B． C. D．

9.已知函数, 其图象与直线相邻两个交点的距离为若

对恒成立，则的取值范围是( )

A． B． C. D．

10. 已知抛物线上的两个动点和，其中且.线段的垂直

平分线与轴交于点，则点 C 与圆的位置关系为( )

A．圆上 B．圆外 C.圆内 D．不能确定

11. 已知，若恰有两个根,则的取值范围是( )

A． B． C. D．

12. 有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料，其各棱长都为2，已知分别为上，下底面的中心，为的中点，过，，三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为( ) A． B． C. D．2

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为．

14. 在平行四边形中，∠°，为的中点．若，则的

为．

15.已知中，，则过点且以为两焦点的双曲线的离心率为．

16.已知正的中心为，边长为，且平面内一动点满足，记的面积分别为，则的最小值为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列满足 .

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)证明：.

18. 如图，在四棱锥中，，且∠∠°.

(Ⅰ)证明：平面平面；

(Ⅱ)若∠°,求二面角的余弦值.

19. 在党的第十九次全国代表大会上，习近平总书记指出：“房子是用来住的，不是用来炒的”．为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令．某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区 50 户住户进行调查，各户人平均月收入（单位：千元，）的户数频率分布直方图如下图：

其中，赞成限购的户数如下表：

人平均月收入

赞成户数 4 9 12 6 3 1

(Ⅰ)求所抽取的 50户的人平均月收入的平均数；

(Ⅱ) 对于所抽取的 50 户的住户，从人平均月收入在的用户中，随机抽取两户，设为赞成楼市限购令的用户数，求的分布列；

(Ⅲ)若将小区人平均月收入不低于7千元的住户称为“高收入户”，人平均月收入低于7千元的住户称为“非高收入户”．已知条件完成如图所给的列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.

非高收入户高收入户总计

赞成

不赞成

总计

附：临界值表

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

2.072 2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：.

20. 在平面直角坐标系中，已知，为椭圆的左焦点，且椭圆过

.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ) 是否存在平行四边形，同时满足下列两个条件：

①点在直线上；②点，，在椭圆上且直线的斜率等于1.如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由.

21. 设函数，其中为实常数，其图像与轴交于两点，且. （I）求的取值范围；

（II）设，证明：.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为：,以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1) 若把曲线上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，求的极坐标方程；

(2) 直线的极坐标方程是,与曲线交于、两点，求三角形的面积.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数

(1)当时，求该函数的最小值；

(2) 解不等式：.

2018届株洲市高三检测（二）试题参考答案及评分标准

(理科数学)

一、选择题

1-5:DCAAC 6-10:BCADC 11、12：BB

二、填空题

13.5 14. 12 15. 25+ 16.

2

1 三、解答题

17. ①由１可知列}1

{

n

a 为等差数列，且首项为21，公差为2，故n a n 21

=

② 依题可知 11141141)21(

222

-??

＝)1

11(41n

n -- 所以)1

1131212111(412

2

32221n

n a a a a n

--++-+-+<

++++ 故2

12

232221<

++++n a a a a 18.

【解析】

① 90BAP CDP ∠=∠=?，所以PD CD AP AB ⊥⊥,, 又 AB CD ∥，所以PD AB ⊥

所以 平面ＰＡＤ⊥AB ,又 平面ＰＡＢＡＢ?, 故平面PAB ⊥平面PAD ；

②取ＡＤ的重点 ，建立如图所示的空间直角坐标系，令 ,则ＰＯ＝a OA OD PO 2===

，则

)2,0,0(),0,2,2(),0,,2(),0,0,2(a P a a C a a B a A -…………7分

所以

)2,2,2(),2,,2(),2,0,2(a a a C P a a a B P a a A P --=-=-=

D

C

P

z

令平面 的法向量为),,(1111z y x n = ，则有???=?=?00

1

1n B P n A P

所以)1,0,1(1=n 令平面 的法向量为),,(2222z y x n = ，则有???=?=?0

022n B P n PC 所以)2,34,32(2

=n ， 则32cos =θ，故二面角A PB C --的余弦值为3

2-

19.解：（1）千元

(1)由直方图知：月收入在的住户共有8户，赞成楼市限购令的有4户，从中随机抽取两户，设为赞成楼市限购令的用户数.

则

所以的分布列为：

0 1 2

P

（3）依题意，

列联表如下

所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.

20.(Ⅰ)由题意得： 所以 ，椭圆的方程为. （Ⅱ）不存在满足题意的平行四边形， 理由如下：

假设存在满足题意的平行四边形.

(20.0540.160.1580.12100.06120.02)2 6.4x =?+?+?+?+?+??=[)139，ζ143

0P 282

4===c c ）（ζ741P 281

4

14=?==c c c ）（ζ14

3

2P 2824===c c ）（ζζζ14

3

7

414

322

50(2510510)400 6.35 6.6353515302063

K ??-?==≈

??=+=1

3122

22b

a c 1,3==

b a M 2213x y +=ABCD ABCD 非高收入户

高收入户 总计 赞成 25 10 35 赞成 5 10 15 总计

30

20

50

设直线的方程为，，，线段的中点，点.

由得. 由 ，解得 因为 ， 所以 . 因为 四边形为平行四边形，所以 是的中点. 所以 点的纵坐标. 因为 点在椭圆上，

所以 .这与矛盾. 所以 不存在满足题意的平行四边形. 21.解：(1)

①若 最多一个交点，与题意矛盾。

②若，所以

又函数图像与x 轴有两个交点，则，

又，当故

(2)由题可知 所以 要证，则只需要证

，下面证明：，令

则上式可化简为，

BD y x m =+11(,)B x y 22(,)D x y BD 00(,)Q x y (,2)A t 2233,x y y x m

?+=?=+?224230y my m -+-=()()

2

221630m m ?=-->22m -<<122m

y y +=

1

2024

y y m y +==ABCD Q AC C 022212

C m

y y =-=-<-C M 1C y ≥-1C y <-ABCD a e x f x -=

')(轴图像与)(在Ｒ上单调递增，)(,0)(,0x x f x f x f a >'≤a x x f a ln 则,0)(,0=='>）上单调递减ln ，在（－)(a x f ∞)ln 2()(ln )(）单调递增，则,ln 在（min a a a f x f a -==+∞2,0)ln 2(e a a a >?

<-0)(ln ,0)1(<>=a f e f ,0)(时，>+∞→x f x ),(2

+∞∈e a 1221122

10

0x x e e a a ax e a ax e x x x x --=

????=+-=+-1

201

2

2

1)(x x e e e

x f x

x x x ---

=

'0)(0<'x f >--1

21

2

x x e e x

x 2

1x x e

2

1

22

11

2

x x x

x e

x x e e +≥--)0(,2

1

2>=-t t x x t e

e

t

t

21

≥-

=)(构造t g t e

e t

t 21

--

则

所以，而

，所以

故 ，即.

22.（1）设曲线 上任意一点 （ ， ）经过坐标变化后得到，依题意：

所以：

故曲线 的标准方程为

，极坐标方程为：

(2)（法一）直线 与曲线 的交点为 、 ，则 、 的极坐标满足方程组：

解之得： （ ， ）、 （ ，

，

（法二）直线 与曲线 C 1的交点为 、 ，则A 、B 的直角坐标满足方程组：

联立方程可得: （ ，）、 （ ， ）,所以， 边上的高为，

23.

（1）当时， （2），即： （1）当时， （2）当时，

①当，不等式可化为：，则 ②当，不等式可化为：，无解 ③当，不等式可化为：，则

综上可知，不等式的解集为：当时，；当时，

0)0()(,单调递增),0(在)(所以,021

)(=>+∞>-+

='g t g t g e

e t g t

t 2

1

22

11

2

x x x x e

x x e e +≥--212

12

x x x x >

+>+2

2

1x x e

2

1x x e

>--1

21

2

x x e e x

x 2

1x x e

0)(0<'x f ），（y x p '''??

?='='2y

y x

x ??

?='='θ

θ

2sin y 2cos x 4y x 22=+2=ρ??

?

?

?=+=33sin 2）（πθρρ33

sin 2221s AOB

=???=∴?π

?????=+=+3

2342

2y x y x 32AB =33322

1

s AOB =??=∴?1a =31212)(=++-≥++-=x x x x x f a x f 5)(≥5a a x 2a -x ≥++0a a -5a a x 2a -x ≥++3a x ≥3a x -2a x ≥≤∴或0a {}3a x -2a x |x ≥≤或