二次函数与几何图形的综合问题

一师一优课教学设计

【教学目标】

1．知识与能力：一要熟练掌握二次函数和平面几何的基础知识；二要利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，充分挖掘题目中的隐含条件，达到解题的目的。

2．过程与方法：一要通过综合题的训练要求学生熟练掌握待定系数法、分类讨论、数形结合的数学思想方法；二要经历探究利用函数的模型表示线段长或面积的过程。

3．情感态度与价值观：一要通过探究，互相讨论，发表意见等学习过程，培养合作精神和认真倾听的习惯，二要经历探究面积的最值问题体会二次函数的应用价值和二次函数模型对解决最值问题的优越性。

【学情分析】二次函数综合题知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活，因此在解决此类综合题时，要求学生，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的解题技能，三要掌握常用的解题策略。

【教学重点难点】二次函数与几何图形相结合的综合问题

【教学过程】

一：探究问题，交流讨论

1：问题一：如图，在平面直角坐标系中，抛

物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点。

（1）求该抛物线的表达式;

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，

要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行

四边形，求所有满足条件的点P的坐标。

2：合作交流;

分类讨论;

情况一、二 情况三

二：师生互动：（1）设该抛物线的表达式为y=ax 2+bx+c 根据题意，得

a- b+c=0 a=1

3

9a+3b+c=0 解之，得 b=2

3

-

c=-1 c=-1

∴所求抛物线的表达式为y=13x 2-2

3

-x-1

（2）①AB 为边时，只要PQ ∥AB 且PQ=AB=4即可。

又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P

有两个，分别记为P 1,P 2 .

而当x=4时，y=5

3；当x=-4时，y=7，

此时P 1（4，5

3

）P 2（-4,7）

②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可 又知点Q 在Y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1

∴点P 的横坐标为2，这时符合条件的P 只有一个记为P 3 而且当x=2时y=-1 ，此时P 3（2，-1）

综上，满足条件的P 为P 1（4，5

3）P 2（-4,7）P 3（2，-1）

三：解决问题：

问题2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （-4，0），B （0，-4），C （2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．

（3） 若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．

⑴设抛物线的解析式为 y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，则有

1640

4

420

a b c c a b c -+=??

=-??++=?

．解得 a ＝12，b ＝1，c ＝－4． ∴ 抛物线的解析式为 y ＝12

x 2＋x －4……3分 ⑵过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设点M 的坐标为(m ，n ) 则AD ＝m ＋4，MD ＝－n ，n ＝12

m 2＋m －4 ∴S ＝S △AMD ＋S 梯形DMBO －S △ABO

＝12(m ＋4)(－n )＋12(－n ＋4)(－m )－12

×4×

4

＝―2n ―2m ―8

＝―2×(12

m 2＋m －4)―2m ―8 ＝―m 2

―4m (－4＜m ＜0) ……6分 ∴S 最大值＝4……7分

⑶ 满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是

3(4,4)Q -，4(4,4)Q -

，(12Q --+，

(

22Q -+-……11分

⑶的解答过程以OB 为平行四边形的一边时，由()2

1

442

x x x ??+---= ???

得

24160x x +-=，12x =--，22x =-+，得(12,25Q --+，(

22Q -+-；

由()21442

x x x ??+---=- ???

得240x x +=，34x =-，40

x =（舍去），得3(4,4)Q -； 以OB 为平行四边形的对角线时，由图形的中心对称易得4(4,4)Q -．

四：学法指导：

本题主要考查了二次函数解析式的确定，图形面积的求法，二次函数最值的 应用，以及平行四边形的判定和性质。

本题第⑴问用两根式更方便，但不是《数学课程标准》所要求；第⑵问用

S =S △AMO ＋S △BMO ?S △ABO 更简洁；第⑶问用纵坐标之差为4，转化为一元二次方程求解；关键是点的坐标（字母）与线段长度的转换，学生典型错误多表现在分类不全和计算错误上．

本题将二次函数、方程、三角形和四边形的知识结合在一起，突出了待定系数法、数形结合思想、方程思想、函数思想、分类讨论思想、符号思想等重要的数学思想方法的考查．第⑴问考查待定系数法，是数学的核心知识之一，可设定二次函数的不同待定形式；第⑵问，由于动点限定在抛物线上，且位于第三象限，动点M 的横坐标m 限制在－4＜m ＜0范围内，使得△AMB 的面积S 关于动点

M 的横坐标m 函数关系式需要附加约束条件．由于△AMB 不是特殊的三角形，求其面积需要进行转化，要求进一步提高；第⑶问，属于双动点问题，仅要求动点P 在抛物线上，动点Q 在直线上，进一步拓展了探究空间．以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，需要分OB 为一边，或者OB 为一条对角线进行讨论，根据图形特点，转化为特殊的点线关系，即可得到要求点的坐标．

本题有效考察学生的探究能力及学生数学思考的真实水平．同时，题目设计以问题的探索为核心，体现了《课程标准》对探究性学习的要求．本题设问自然流畅，且富有变化，层次感较好，随着解答过程中对学生能力要求的逐步提高，较好的考查了学生思维的严谨性、灵活性，有利于激发学生的思维激情和潜能，增强了中考的甄选功能．

五：小结：

破解二次函数与几何图形综合题的策略

二次函数与几何图形结合练习

3.2 与几何图形结合3.2.1 与等腰三角形结合1、如图，直线y=3x+3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交 x 轴于另 一点C （3,0）. ⑴求抛物线的解析式 ; ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 2、如图，已知直线y=x 与交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数 的函数值为y 2．若y 1＞y 2，求x 的 取值范围； （3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB 构成的三角形为等腰三角形？并求出不 少于3个满足条件的点 P 的坐标． y =x 2 y =x 2

3、如图，已知二次函数的图象经过点A （3，3）、B （4，0）和原点O 。P 为二次函数图象 上的一个动点，过点 P 作x 轴的垂线，垂足为 D （m ，0），并与直线OA 交于点C ． （1）求出二次函数的解析式； （2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值； （3）当m ＞0时，探索是否存在点P ，使得△PCO 为等腰三角形，如果存在，求出 P 的坐 标；如果不存在，请说明理由． 3.2.2 与直角三角形结合1、二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点 M 在第二象限，且经 过点A(1，0)和点B(0，l)．(1)试求，所满足的关系式；(2)设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为 C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的 倍时，求a 的值；(3)是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说 明理由． 2 y ax bx c a b 5 4

平面图形与立体图形的认识

【几何图形】 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形分为柱体，锥体，球体 多面体：围城棱柱和棱锥的面都是平的面，像这样的立体图形叫做多面体 欧拉公式：定点数+面数-棱数=2 练习： 1．下面几何体中，不是多面体的是（） A球体 B 三棱锥 C 三棱柱D四棱柱 2．下列判断正确的是 A长方形是多面体B柱体是多面体 C圆锥是多面体D棱柱、棱锥都是多面体 3、将半圆绕它的直径旋转一周形成的几何体是（） A、圆柱 B、圆锥 C、球 D、正方体 【点、线、面、体】 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 例、右侧这个几何体的名称是_______；它由_______个面组成；它有_______个顶点；经过每个顶点有_______条边。 解答：五棱柱，7，10，3 【直线】 1、概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。 2、直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。 （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 3、表示：一条直线可以用一个小写字母表示；或者用两个大写字母表示 练习： 1.经过一点,有______条直线;经过两点有_____条直线,并且______条直线. 2、我们在用玩具枪瞄准时，总是用一只眼对准准星和目标，用数学知识解释为__________________． 【射线】 直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。

二次函数与几何综合压轴题题型归纳 学生版

标准实用 二次函数综合压轴题型归类、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系教学目标：1 2、掌握特殊图形面积的各种求法 1、利用图形的性质找 点重点、难点： 2、分解图形求面积 一、二次函数和特殊多边形形状二、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总????22x?AB??yy?x：1、两点间的距离公式BAAB x?xy?y??BABA，ABC??的坐标为：：线段的中点2 、中点坐标 22??y?kx?bk?0y?kx?bk?0）的位置关系：）与（（直线212112??k?bk?kb?k）两直线相交 且（1）两直线平行（2212112??kk?b?1bk?k? 3（）两直线重合（4）两直线垂直且2121213、 一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ?和参数的其他要求确定参数的取值范围；①用②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、 二次根式） ③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 ??22mxm5＜m02m?1＝x?mx－的值。为整数，求例：关于的一元二次方程有两个整数根，且 x轴的交点为整数点问题。（方法同上）、4二次函数与??2mx3x?y?mx?3m1?为正整数，试确定轴交于两个不同的整数点，且例：若抛物线与此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 文案大全． 标准实用 2mxm0?2m?mx3?3(m?1)x?为何值，方程总为实数）（已知关于，求证：无论的方程有一个固定的根。1x0?m?时，解：当；??3?1?m?3??2x?2?x?1?x0?m0??3m??；、时，当，， 12m2m m为何值，方程总有一个固定的根是1。综上所述：无论 6、函数过固定点问题，举例如下： 2mm2?my?x??mx为何值，该抛物线总经过一个固已知抛物线（，求证：不论是常数）定的点，

二次函数综合应用题(有答案)

解：(1) y=50- x (0≤x ≤160，且 x 是 10 的整数倍)。 2 2(3) W= - x +34x +8000= - (x -170) +10890， ∴当 x=160 时，W 最大=10880，当 x=160 时，y=50- x=34。答：一天订住 34 个房间时， （ （ 函数综合应用题 题目分析及题目对学生的要求 1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。 需要注意的是： (1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下) (2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。 2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项 式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。 一般式化为定点式） 最值的求法： (1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。 (2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。 3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起 来。 推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出 x 的取值范围。 备选思路一：先将不等号看做等号，求出 x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后 x 的取值范围； 备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。这一问里需要注意的是在 注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。 一、求利润的最值 1. (本题满分 10 分) 某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时， 房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对 游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元。设每个房间的房价每天增加 x 元(x 为 10 的正整数倍)。 (1) 设一天订住的房间数为 y ，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式； (3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 1 10 1 1 (2) W=(50- x)(180+x -20)= - x 2 +34x +8000； 10 10 1 1 10 10 当 x<170 时，W 随 x 增大而增大，但 0≤x ≤160， 1 10 宾馆每天利润最大，最大利润是 10880 元。 2． 本题满分 10 分）某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件； 如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件 商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接 写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？

平面图形与立体图形教案

4．1几何图形 4.1.1立体图形与平面图形 【教学目标】 1、能从实物图形中抽取出几何图形；能在生活中寻找出相应的几何图形；会认识多见的平面几何图形和立体几何图形。 2、通过实物抽取几何图形的体验，培养自己的几何图形感，能用几何图形描述生活中的物体。 3、通过对多彩多姿的图形世界体验，激发自己对几何学习的兴趣，也体会学习的喜悦。 【教学重难点】 1．重点： （1）掌握立体图形与平面图形的关系，学会它们之间的相互转化；?初步建立空间观念． （2）理解几何图形是从实物图形中抽象出来的。 （3）从实际出发，用直观的形式，让学生感受图形的丰富多彩，激发学生学习的兴趣． 2．难点： （1）立体图形与平面图形之间的互相转化． （2）从现实情境中，抽象概括出几何图形 【教具准备】 长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等几何体模型，墨水瓶包装盒（每个学生都准备一个），及多媒体教学设备和课本图4．1-5的教学幻灯片． 【教学过程】

一、引入新课 由多媒体展示美丽的图形世界 在同学们所观看中，有哪些是我们熟悉的几何图形？ 二、新授 1．学生在回顾刚才所看到的图片，充分发表自己的意见，?并通过小组交流，补充自己的意见，积累小组活动经验． 2．指定一名学生回答问题，并能正确说出这些几何图形的名称． 学生回答：有圆柱、长方体、正方体等等． 教师活动：纠正学生所说几何图形名称中的错误，并出示相应的几何体模型让学生观察它们的特征． 3．立体图形的概念． （1）长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形． （2）学生活动：看课本图4．1-3后学生思考：这些物体给我们什么样的立体图形的形象？（棱柱和棱锥） （3）用多媒体放映课本4．1-4的幻灯片 （4）提出问题：在这个幻灯片中，包含哪些简单的平面图形？ （5）探索解决问题的方法． ①学生进行小组交流，教师对各小组进行指导，通过交流，得出问题的答案． ②学生回答：包含的平面图形有长方形、圆、正方形、多边形和三角形等．4．平面图形的概念． 长方形、正方形、三角形、圆等都是我们十分熟悉的平面图形．

一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题

2012届一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题 1、某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是 会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书， 若每月租书数量为x 册. （1）写出零星租书方式应付金额y 1(元)与租书数量x （册）之间的函数关系 式； （2）写出会员卡租书方式应付金额y 2(元 )与租书数量x (册)之间的函数关 系式； （3）小军选取哪种租书方式更合算？ 2、某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知 大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购 车总费用为y （万元）． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最 省的方案，并求出该方案所需费用． 3、如图，抛物线y = 2 1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． 4、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物 线交x 轴于另一点C （3,0）. 第3题图

⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求 出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 5、已知双曲线x k y 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积, 6、已知函数y=mx 2－6x ＋1（m 是常数）． ⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 7、如图所示，二次函数y =-x 2+2x +m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一 个交点为B ，且与y 轴交于点C ． 第5题图

二次函数综合题经典习题(含答案及基本讲解)

二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2

P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x

二次函数与几何图形结合题及答案

1.如图，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标; （2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积; （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得2 10x -= 解得1x =± 令0x =，得1y =- ∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ……………………3分 （2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O= 45 ∵A P ∥CB ， ∴∠P AB = 45 过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则?A P E 为等腰直角三角形 令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a + ∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴2 11a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3……………………………………………………………………………5分 ∴四边形ACB P 的面积S =12AB ?O C +12AB ?P E =11 2123422 ??+??=………………………………6分 (3)． 假设存在 ∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC ∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC =2 在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 ………8分 设M 点的横坐标为m ，则M 2 (,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时，有 AG PA =MG CA ∵A G=1m --，MG=2 1m -即2322 = 解得11m =-（舍去） 23m =（舍去）………9分 G M C B y P A o x

二次函数和几何综合压轴题题型归纳

学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 课 题 函数的综合压轴题型归类 教学目标 1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 2、 掌握特殊图形面积的各种求法 重点、难点 1、 利用图形的性质找点 2、 分解图形求面积 教学内容

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。

二次函数综合大题压轴题Word版

姓名学生姓名填写时间 学科数学年级初三教材版本人教版 阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）课时共（ 2）课时 课题名称二次函数综合大题（压轴题） 课时计划 第（ 1、2 ） 课时 共（ 4 ）课时 上课时间 教学目标 同步教学知识内容学校同步学到圆周角，1对1提前学到圆结束 个性化学习问题解决二次函数综合大题（压轴题） 教学过程 教师活动 二次函数综合大题（压轴题） 一、经典例题精讲 面积类 例1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．

（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．

二次函数与几何图形综合题(可编辑修改word版)

二次函数与几何图形综合题 类型 1 二次函数与相似三角形的存在性问题 1．(2015·昆明西山区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2) 三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P 为线段BC 上的一个动点，过P 作PE 垂直于x 轴与抛物线交于点E，设P 点横坐标为m，PE 长度为y，请写出y 与m 的函数关系式，并求出PE 的最大值； (3)D 为抛物线上一动点，是否存在点D 使以A、B、D 为顶点的三角形与△COB 相似？若存在，试求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

2．(2013·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝x＋4 与坐标轴分别交于A，B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c.点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式； (2)当DE＝4 时，求四边形CAEB 的面积； (3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由． 3．(2015·襄阳)边长为 2 的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD，点E 在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB 为对称轴的抛物线过C，E 两点．

(1)求抛物线的解析式； (2)点P 从点C 出发，沿射线CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点P 作PF⊥CD 于点F.当t 为何值时，以点P，F，D 为顶点的三角形与△COD 相似？ (3)点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型 2 二次函数与平行四边形的存在性问题 1．(2014·曲靖)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 与坐标轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D

二次函数与几何综合--面积问题

二次函数与几何综合--面积问题 知识点睛 1.“函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，__________________． 2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________ ． 2___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3．二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ． 例题示范例1：如图，抛物线y =ax 2+2ax -3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C ，且OA =OC ，连接AC ． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值． （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ， E ， F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的 点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 第一问：研究背景图形 【思路分析】 读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，可以求解A (-3，0)，B (1，0)，对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ，可得C (0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式． 再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形． 【过程示范】 解：（1）由2 23y ax ax a =+-(3)(1) a x x =+-可知(30)A -，，(10)B ，， ∵OA OC =， ∴(03)C -，， 将(03)C -，代入2 23y ax ax a =+-， 第二问：铅垂法求面积 【思路分析】 （1）整合信息，分析特征： 由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在1()2 APB B A S PM x x =??-△

二次函数最经典综合提高题

周村区城北中学二次函数综合提升寒假作业题 一、顶点、平移 1、抛物线y ＝－(x ＋2)2 －3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 2、若,,,,,123351A y B y C y 444??????- ? ? ??????? 为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是 A.123y y y << B. 213y y y << C.312y y y << D.132y y y << 3、二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为（ ）A ． B ．2 C ． D ． 4、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y = (x ? 2)2 + 1 B ．y = (x + 2)2 + 1 C ．y = (x ? 2)2 ? 3 D ．y = (x + 2)2 ? 3 5、将二次函数2 45y x x =-+化为2 ()y x h k =-+的形式，则y = ． 6二次函数与y=kx 2﹣8x +8的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ＜2 B ．k ＜2且k ≠0 C ．k ≤2 D ．k ≤2且k ≠0 7、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x C ．其最小值为1 D ．当3

(完整版)二次函数与几何图形综合题.doc

二次函数与几何图形综合题 类型 1二次函数与相似三角形的存在性问题 1． (2015 ·明西山区一模昆)如图，已知抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－ 1， 0)， B(4， 0)， C(0 ，2) 三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P 为线段 BC 上的一个动点，过P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线交于点 E，设 P 点横坐标为 m， PE 长度为 y，请写出 y 与 m 的函数关系式，并求出PE 的最大值； (3)D 为抛物线上一动点，是否存在点 D 使以 A、B、D 为顶点的三角形与△ COB 相似？若存在，试求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．

2． (2013 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝ x＋ 4 与坐标轴分别交于A， B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－ x2＋ bx＋ c.点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CD⊥ x 轴于点 C，交抛物线于点 E. (1)求抛物线的解析式； (2)当 DE＝ 4 时，求四边形CAEB 的面积； (3)连接 BE，是否存在点 D ，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，说明理由．

3．(2015 襄·阳 )边长为 2 的正方形O ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接 CD ，点 E 在第一象限，且DE⊥ DC ， DE ＝DC.以直线 AB 为对称轴的抛物线过C， E 两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点 P 作 PF ⊥ CD 于点 F .当 t 为何值时，以点P， F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似？ (3)点 M 为直线 AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M， N，使得以点M，N， D， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

几何图形与平面图形

课题 4.1.1几何图形与平面图形 一、学习目标 1、通过观察生活中的大量图片或实物，经历把实物抽象成几何图形的过程； 2、能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状； 3、能识别一些简单几何体，正确区分平面图形与立体图形。 学习重点：识别简单的几何体 学习难点：从具体事物中抽象出几何图形 二、自主探究 1、几何图形 （1）仔细观察图4.1-1,让同学们感受是丰富多彩的图形世界； （2）出示一个长方体的纸盒，让同学们观察图4.1-2回答问题： 从整体上看，它的形状是 从不同侧面看，你看到的图形是 看棱得到的是 看顶点的到的是 。 我们见过的长方体、圆柱、圆锥、球、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的。我们把这些图形称为几何图形。 2、立体图形 说一说下面这些几何图形有什么共同特点？ 有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是 .(如： ） 请再举出一些立体图形的例子. 想一想 生活中还有哪些物体的形状类似于这些立体图形呢？ 3、平面图形 （1）纸盒 （1）长方体 （2）长方形 （3）正方形（4）线段 点

说一说下面这些几何图形又有什么共同特点？ 平面图形的概念 线段、角、三角形、长方形、圆等它们的各部分都在同一平面内，它们是 。 请再举出一些平面图形的例子。 思考：立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，它们的区别在哪里？它们有什么联系？ 三、课堂练习 课本119页练习 四、要点归纳 1、 2、平面图形与立体图形的关系： 立体图形的各部分不都在同一平面内，而平面图形的各部分都在同一平面内； 立体图形中某些部分是平面图形。 五、拓展训练 1.下列几种图形：①长方形；②梯形；③正方体；④圆柱；⑤圆锥；⑥球. 其中属于立体图形的是（ ） A. ①②③； B. ③④⑤； C. ① ③⑤； D. ③④⑤⑥ 【总结反思】 现实物体 几何图形 平面图形 立体图形 看外形

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

二次函数综合题类型

二次函数综合题常见题型 一、线段最值 1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）． （1）求直线BC与抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．

7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截2、如图，二次函数的图象经过点D(0，3 9 得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

3、如图，已知直线 1 1 2 y x =+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2 1 2 y x bx c =++与直 线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。 ⑴求该抛物线的解析式； ⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|| AM MC -的值最大，求出点M的坐标。

4、如图，已知ABC =,点A、C在x轴上，点B坐标 ∠=?，AC BC ACB ?为直角三角形，90 为（3，m）（0 m>），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ Array并延长交AC于点F，试证明：() FC AC EC +为定值．

二次函数与几何图形动点问题--答案

二次函数与几何图形 模式1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC // 1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.

2、如图1，抛物线322 ++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．

模式2：梯形 分类标准：讨论上下底 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC // 3、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线 x y 3 2 -=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)抛物线c bx ax y ++=2 经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

《立体图形与平面图形》练习题

4.1 多姿多彩的图形(1) 几何图形 长方形的是（）1．如图所示，水平放置的下列几何体，从正面看到的视图不是 ．． 2．下列几何体中，直棱柱的个数是（） A．5 B．4 C．3 D．2 3．直四棱柱、长方体和正方体之间的包含关系是（） A B C D 4．若一个棱柱有10个顶点，则下列说法正确的是（） A．这个棱柱有4个侧面 B．这个棱柱有5条侧棱 C．这个棱柱的底面是十边形 D．这个棱柱是一个十棱柱 5．小明用如下左图所示的胶漆滚从左到右滚涂墙壁，下列平面图形中符合胶漆滚涂出的图案是（） A B C D 6．举出两个俯视图为圆的实物例子: 、． 7．写出下列立体图形的名称（从左到右依次写出）： ． 8．如果直六棱柱的其中一条侧棱长为4cm，那么它的所有侧棱长度之和为 cm． 9．分别画出图中的物体的三个视图： 10．如图①②③④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题．

（1）数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表： （2）根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系； （3）如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数． 参考答案 1．答案: B 解析：B答案中圆锥的主视图是三角形． 2．答案: C 解析：直棱柱的侧面应是矩形，符合这个条件的有第一个，第五个和第六个．故选C．

3．答案:A 解析：正方体是特殊的长方体，长方体又是特殊的直四棱柱，故选A．4．答案:B 解析：一个棱柱有10个顶点，则它是五棱柱，五棱柱有5个侧面，有5条侧棱，底面是五边形．故选B． 5．答案:A 解析：由胶漆滚得图形可得，最左边中间为一小黑正方形，胶漆滚从左到右，则最先留下印记的即为中间有一小黑正方形的图形．故选A． 6．圆柱，球，圆锥． 7．从左到右依次为：圆柱、长方体、四棱锥、圆锥． 8．直六棱柱的其中一条侧棱长为4cm，那么它的所有侧棱长度之和为6×4=24cm．故答案为24． 9．三个视图如下： 10．解：（1）结和图形我们可以得出： 图①有4个顶点、6条边、这些边围成3个区域； 图②有7个顶点、9条边、这些边围成3个区域； 图③有8个顶点、12条边、这些边围成5个区域； 10个顶点、15条边、这些边围成6区域．