特殊四边形的判定知识表格

特殊平行四边形性质和判定归纳表

平行四边形、矩形、菱形、正方形性质和判定归纳如表：类 别 性质判定对称性 平行四边形①对边平行 ②对边相等 ③对角相等 ④对角线互相平分 (⑤邻角互补) ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 ④两组对角分别相等的四边形 ⑤对角线互相平分的四边形 中 心 对 称 矩形①具有平行四边形的 一切性质 ②四个角都是直角 ③对角线相等 ①有一个角是直角的平行四边形 ②有三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 中轴 心对 对称 称 菱形①具有平行四边形的 一切性质 ②四条边都相等 ③对角线互相垂直 (平分每组对角) ①有一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 (④对角线垂直且平分的四边形) 中轴 心对 对称 称 正方形①具有平行四边形、矩 形、菱形的一切性质 (②对角线与边的夹角 为450) ①有一个角是直角且有一组邻边 相等的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形 （④对角线垂直且相等的平行四 边形） 中轴 心对 对称 称 四种特殊四边形的性质 边角对角线对称性 平行 四边形 对边平行 且相等 对角相等互相平分中心对称 矩形对边平行 且相等 四个角 都是直角 互相平分 且相等 轴对称 中心对称 菱形对边平行 四条边相等 对角相等互相垂直平分（且 每条对角线平分一组对角） 轴对称 中心对称 正方形对边平行 四条边相等 四个角 都是直角 互相垂直平分且相等，（每 条对角线平分一组对角） 轴对称 中心对称 四种特殊四边形常用的判定方法： 平行 四边形 ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 ④两组对角分别相等的四边形 ⑤对角线互相平分的四边形 矩形 ①有一个角是直角的平行四边形 ②有三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 菱形 ①有一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 ④对角线垂直且平分的四边形 正方形 ①有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形 ②一组邻边相等的矩形 ③一个角是直角的菱形 ④对角线垂直且相等的平行四边形

判定平行四边形的五种方法

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明. 一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别 例1 如图1，在平行四边形ABCD中,E、Ｆ在对角线AC 上,且ＡＥ=CF,试说明四边形DEＢＦ是平行四边形．分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接ＢD. 解:连接BＤ交AC于点O. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AO＝CＯ,BO=DO. 又ＡE=CF, 所以ＡＯ－AE＝ＣＯ-CF,即EO=FO. 所以四边形DEBF是平行四边形． 二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别 例２如图２,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由. 分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得,故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别． 解：设每根木棒的长为1个单位长度,则AF＝ＢC=1,AＢ=FC ＝1， 所以四边形AＢCF是平行四边形. 同样可知四边形FCDE、四边形ＡCＤＦ都是平行四四边形. 因为ＡE＝DＢ=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形. 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别 例3 如图３,E、F是四边形AＢCD的对角线ＡＣ上的两点,AE=CF，DＦ=BE,DF∥BＥ,试说明四边形AＢCD是平行四边形. 分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知,由已知条件可得△AＤF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件. 解:因为DF∥ＢE，所以∠AFD=∠CＥＢ. 因为AE=CＦ,所以AE+ＥF=CＦ＋EF,即AF＝ＣＥ．又ＤF ＝图1 图2 A B C D E F 图3

中考数学平行四边形的判定经典题型精编

平行四边形的判定 一、【基础知识精讲】 1.平行四边形的判定方法： ① 两组对边分别平行 ② 两组对边分别相等 ③ 一组对边平行且相等 ④ 两组对角分别相等 ⑤ 对角线互相平分 2.平行四边形性质的运用： ① 直接运用平行四边形性质解决某些问题，如求角的度数， 线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等． ② 判别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行． ③ 先判别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题． 二、【例题精讲】 例1．（1）根据下列条件，不能判别四边形是平行四边形的是( ) A ．一组对边平行且相等的四边形 B ．两组对角分别相等的四边形 C ．对角线相等的四边形 D ．对角线互相平分的四边形 （2）下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A ．AB=CD ，AD ∥BC B ．AB=CD ，AB ∥CD C ．AB ∥C D ，AD ∥BC D ．AB=CD ，AD=BC 例2．已知：如图，□ABCD 中，点E 、F 在对角线上，且AE ＝CF ． 求证：四边形BEDF 是平行四边形． 的四边形是平行四边形

例3．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，EF 过点O 交AD 于E ，交BC 于F ， G 是OA 的中点，H 是OC 的中点，求证：四边形EGFH 是平行四边形． 三、【同步练习】 A 组 1．如图，四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ， 若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD 是______, 根据是_____________________ . 2．在图中，AC=BD ， AB=CD=EF ，CE=DF ， 图中有哪些互相平行的线段？ 3．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ） A ．88°，108°，88° B ．88°，104°，108° C ．88°，92°，92° D ．88°，92°，88° 4．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，AF=CE ． 求证：四边形ABCD 是平行四边形． D

《平行四边形的性质与判定》典型例题

《平行四边形的性质》典型例题 例1一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？ 例2已知：如图，ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，?的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长. ?的周长比BOC AOB 例3 已知：如图，在ABCD中，BD AC、交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由.

例4 已知：如图，ABCD的周长是cm 36，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且cm =.求这个平行四边形的面积. 5 DF3 4 =，cm DE3 例5 如图，已知：ABCD中，BC EAF， ∠60 AE⊥于E，CD = AF⊥于F，若?FD3 =. =，cm BE2 cm 求：AB、BC的长和ABCD的面积.

《平行四边形的判定》典型例题 例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED是平行四边形． 例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF和BE相交于G，CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由． 例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC 的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD.

例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G. 求证：EG=FH. 例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF， ∠BAC=∠DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

《平行四边形的判定》典型例题

《平行四边形的判定》典型例题 例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED 是平行四边形． 例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF 和BE相交于G，CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由． 例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD. 例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF， BE，CF分别交CF，AE于H，G. 求证：EG=FH.

例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

参考答案 例1分析要证四边形AFED是平行四边形，应观察：两组对边是否相等、两组对角是否相等，或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分．但在本题中没有对角线，也没有明显的对角之间的关系，因此可以先考虑去证明四边形AFED的对边是否相等． 事实上，AD=AB=BD，EF是否能等于这三条边中的一条呢？可以看到 ，∴EF=AB=BD．同理DE=AC=AF，因此，所要证的四边形AFED 是平行四边形． 证明，∴， 且，∴，∴ 又，同理．∴AFED是平行四边形． 例2分析若EF、GH互相平分，那么四边形EGFH应是平行四边形．观察已知条件，可以证明四边形EGFH是平行四边形． 证明是平行四边形，∴ 又，∴，且 ∴四边形AECF是平行四边形，∴，∴ 又四边形EDFB是平行四边形，∴，∴ 在四边形GEHF中，， ∴四边形GEHF是平行四边形，∴EF和GH互相平分． 说明：本题中多次使用了平行四边形的性质：对边平行且相等以及平行四边形的判断方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形．通过解题应熟悉平行四边形的性质及判别． 例3 分析平行四边形ABCD被和分别成15个相等的小平行四边形。 而是4个小平行四边形面积的一半，是2个小平行四边形面积的一半。

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定

平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.平行四边形的判定定理： （1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.平行四边形的性质： （1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。 （3）夹在两条平行线间的平行线段相等。 （4）平行四边形的对角线互相平分。 （5）平行四边形是中心对称图形。 4.平行四边形的面积： 面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。） 二、矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 2.矩形的判定定理： （1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 （2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 3.矩形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等。 （4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。 4.矩形的面积： 矩形的面积=长×宽 三、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.菱形的判定定理： （1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。 （3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.菱形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

初中数学判定平行四边形的五种常用方法

判定平行四边形的五种常用方法 名师点金：判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程． 利用两组对边分别平行判定平行四边形 1．如图，在?ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形． (第1题) 利用两组对边分别相等判定平行四边形 2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形． 求证：四边形ADEF是平行四边形． (第2题) 利用一组对边平行且相等判定平行四边形 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE.求证：四边形ACEF是平行四边形． (第3题)

利用两组对角分别相等判定平行四边形 4．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由． (第4题) 利用对角线互相平分判定平行四边形 5．【中考·哈尔滨】如图①，?ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH. (1)求证：四边形EGFH是平行四边形； (2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)． (第5题)

答案 1． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，DE ＝BF ，∴DE 平行且等于BF . ∴四边形BFDE 为平行四边形． ∴BE ∥DF .同理，AF ∥CE . ∴四边形FMEN 为平行四边形． 2．证明：∵△ABD ，△BCE ，△ACF 都是等边三角形， ∴BA ＝BD ＝AD ，BC ＝BE ，AF ＝AC ，∠DBA ＝∠EBC ＝60°. ∴∠EBC －∠EBA ＝∠DBA －∠EBA ， 即∠ABC ＝∠DBE . ∴△ABC ≌△DBE .∴AF ＝AC ＝DE . 同理，可证△ABC ≌△FEC ， ∴AD ＝AB ＝EF . ∴四边形ADEF 是平行四边形． 3．证明：过A 作AM ⊥DF 于M . ∵∠ACB ＝90°，ED ⊥BC ， ∴DF ∥AC .∴AM ＝DC . 在Rt △AMF 和Rt △CDE 中， ? ????AM ＝CD ，AF ＝CE ， ∴Rt △AMF ≌Rt △CDE . ∴∠F ＝∠CED .∴AF ∥CE . 又∵AF ＝CE ， ∴四边形ACEF 是平行四边形． 4．解：四边形BFDE 是平行四边形．理由：在?ABCD 中，∠ABC ＝∠CDA ，∠A ＝∠C . ∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ， ∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ，∠CDF ＝∠ADF ＝12 ∠ADC .∴∠ABE ＝∠CBE ＝∠CDF ＝∠ADF .∵∠DFB ＝∠C ＋∠CDF ，∠BED ＝∠ABE ＋∠A ，∴∠DFB ＝∠BED .∴四边形BFDE 是平行四边形． 5．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO . ∵O 是AC 的中点，∴OA ＝OC . 在△OAE 与△OCF 中， ?????∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ， ∴△OAE ≌△OCF ，∴OE ＝OF . 同理OG ＝OH ， ∴四边形EGFH 是平行四边形． (2)解：与四边形AGHD 面积相等的平行四边形有?GBCH ，?ABFE ，?EFCD ，?EGFH .

【精品】初中数学八年级下册《平行四边形的判定》拔高练习

《平行四边形的判定》拔高练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（） A．AB＝CD B．BC∥AD C．∠A＝∠C D．BC＝AD 2．（5分）如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（） A．①②B．②④C．③④D．①③ 3．（5分）下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（） A．3：4：3：4B．3：3：4：4C．2：3：4：5D．3：4：4：3 4．（5分）下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线互相平分 5．（5分）如图，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（） A．AD∥BC，AB＝CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AC为对角线，已知点E、F在AC上，添加一个条件，可使四边形BFDE为平行四边形． 7．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，点E是BC 的中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t为秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形． 8．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有个． 9．（5分）小明做了一个平行四边形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准，小聪用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后说这个纸板是标准的平行四边形，小聪的依据是． 10．（5分）如图，在?ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为10，AB＝4，那么对角线AC+BD＝．

平行四边形的判定教学设计 (1)

《平行四边形的判定》教学设计 柴沟堡二中 张彦春 教学目标： 知识与技能：1、运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的判定方法。 2、理解平行四边形形的判定方法，并学会简单运用。 过程与方法：1、通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动，进一步培 养学生的动手能力、合情推理能力；使学生学会将平行四边形的问题转化为三角形的问题， 渗透化归意识。 2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生 的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过对平行四边形判定方法的探究，提高学生解决 问题的能力。 情感、态度与价值观： 通过对平行四边形判定方法的探究和运用，使学生感受数学思考过程中的合理 性、数学证明的严谨性，认识事物的相互联系、相互转化，学会用辩证的观点分析事物。 重点难点 重点 平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的结合运用。 难点 对平行四边形判定方法的证明以及平行四边形的性质和判定的综合运用。 学情分析： 经过近两年的初中学习，学生推理意识与能力有所加强。在知识储备上，学生已经学习了平 行四边形的性质，对命题与逆命题、定理与逆定理已经有了初步认识。 教学过程： 一、复习、引入新课 复习： 问题（多媒体展示问题） 1、平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 2、平行四边形的性质有哪些？（从三个方面：边、角、对角线，两个角度：文字语言、符 号语言回答） 引入新课 我们知道了平行四边形的性质，那么，有哪些方法可以判断一个四边形是平行四边形呢？ 二、新课 活动一： 1、教师明确平行四边形的第一种判定方法——根据定义。 平行四边形判定定理 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、学生结合图形，用符号语言表述这一定理。 符号语言： ∵AB ∥CD ，AD ∥BC （已知） ∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形 是平行四边形。） 活动二： 1、探究1：如图，将两长两短的四条线段首尾顺次连接，拼成一个四边形，使等长的线段 成为对边，转动这个四边形，使它形状改变。在图形变化过程中，它一直是一个什么四边形？ （如图） A B C D A B C D

平行四边形判定方法.

平行四边形的判定 【知识要点】 同学们都知道，平行四边形具有对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分等性质， 并且我们得到了平行四边形的五种判定方法： ①定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ④对角线互相平分的四边形是平行四边形. ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 【能力解读】 1. 掌握平行四边形的判定方法，会利用平行四边形的性质和判定进行有关线段的证明和角 的计算。 2. 将平行四边形转化成三角形来研究，深入理解平行四边形的性质和判定。 3. 平行四边形的性质和判定是中考命题的热点，特别是平行四边形的判定多与其他知识点 结合命题，以平行四边形为基架而精心设计的的中考题更是璀璨夺目，精彩四射。 【平行四边形判定方法的选择】 判定平行四边形的五种方法各有妙用，我们应仔细观察题目所给出的条件，仔细选择合 适于题目的判定方法进行解答。在解题时，如何有针对性的选择使用这些方法呢？这里列表 例1（条件开放题）如图1，四边形ABCD 中，BC AD =， 要使四边形ABCD 为平行四边形，还需补充的一个条件是 ． 课标剖析：熟练地掌握平行四边形的判定方法是解题的关键。 解：答案不唯一，如：(1)AB CD =(2)AD BC ∥(3) ?=∠+∠180B A ,(4) ?=∠+∠180D C . 例2．（结论开放题）如图2，在□ABCD 中，两条对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别 是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，以图中的任意四点（即点A 、B 、C 、D 、 E 、 F 、 G 、 H 、O 中的任意四点）为顶点画两种不同的平行四边形． 课标剖析：：根据平行四边形的判定方法④解答. 【解】第一种：可画为□EFGH 第二种：可画为□DEBG （或画为□AHCF ） 分析：□ABCD 可得OA=OC ，OB=OD ，又因为点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD D 2 D C 图1

平行四边形的判定典型题备课讲稿

平行四边形的判定 例题1：BD 是平行四边形ABCD 的对角线，点E 、F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需要添加的一个条件是_________ 练习：1、如图， 已知：E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，并且AE=CF 。 求证：四边形BFDE 是平行四边形。 2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，P 1、P 2是对角线BD 的三等分点，求证：?四边形AP 1CP 2是平行四边形． 3、如图所示，在四边形ABCD 中，M 是BC 中点，AM 、BD 互相平分于点O ， 那么请说明AM=DC 且AM ∥DC 例题2：（2013?镇江）如图，AB∥CD，AB=CD ，点E 、F 在BC 上，且BE=CF ． （1）求证：△ABE≌△DCF； （2）试证明：以A 、F 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形． O A B D

练习：1、11、如图，在□ABCD 中，已知两条对角线相交于点O ，E 、F 、G 、 H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形 2．（2012?惠城区模拟）如图，D 是AB 上的一点，DF 与AC 相交于E ，DE=EF ，CF∥BA． 求证：四边形ADCF 是平行四边形． 3、已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD?相交于点 O ，EF 经过点O 并且分别和AB 、CD 相交于点E 、F ，又知G 、H 分别为OA 、OC 的中点． 求证：四边形EHFG 是平行四边形． 例题3：、如图4.4-17，等边三角形ABC 的边长为a ，P 为△ABC 内一点，且PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，那么，PD+PE+PF 的值为一个定值.这个定值是多少?请你说出这个定值的来历. H G F E O A B C D H G F E O A B C D H G F E O A B C D H G F E O A B C D

平行四边形的判定教学设计(1)

平行四边形的判定教学设计（1） 学情分析 认知基础：本节课是学习了三角形的相关知识、平行四边形的定义、性质的基础上进行学习的，在教学内容上起着承上启下的作用。它既是对前面所学的全等三角形和平行四边形性质的一个回顾和延伸，又是以后学习特殊平行四边形的基础，同时它还进一步培养学生简单的推理能力和图形迁移能力；从思想方法上讲，通过平行四边形和三角形之间的相互转化，渗透了化归思想。 学生在初一学习平行线、三角形全等证明及本学期学习勾股定理、平行四边形性质的过程中已经初步掌握的简单几何推理，也初步体会到解决四边形问题转化为三角形问题的转化思想。但对于几何逻辑尚处于起始阶段的八年级学生来讲，推理的认知与规范证明难度仍然较大。 活动经验基础：在学习平行四边形性质的过程中，学生的观察、测量、画图、模型操作、拼摆等的能力有了很大的提高，在活动中学生有了体验和经验，同时活动中培养了学生良好的情感态度。教材的地位和作用 “平行四边形的判定”是初中数学几何部分一节十分重要的内容。主要体现在知识技能和思想方法两个方面。 从知识技能上讲，它既是对前面所学的全等三角形和平行四边形性质的一个回顾和延伸，又是以后学习特殊平行四边形的基础，同时它还进一步培养学生简单的推理能力和图形迁移能力；从思想方法上讲，通过平行四边形和三角形之间的相互转化，渗透了化归思想。 数学思维品质。 教学目标 1、经历平行四边形判别条件的探索过程，在活动中发展学生的合情推理意识和主动探究的习惯，使学生。 2、学生能归纳平行四边形判定方法并且能运用它判定是否是平行四边形 3、培养学生动手、独立思考、归纳概括、创新的能力，激发学生探究创新的热情。 教学重点 平行四边形的判定涉及平行四边形的元素各个方面同时又与平行四边形的性质联系，判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四边形性质解决其它问题的基础。 教学难点 1、能寻求多种方法画平行四边形。 2、对已解决的问题加以归纳总结判定方法。 设计理念 现行教材中的定理教学，多数是沿用“定义——定理——证明——应用”这样的模式。按照这

专训3 特殊平行四边形性质与判定的灵活运用

专训3特殊平行四边形性质与判定的灵活运用名师点金：特殊平行四边形的性质区别主要从边、角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件方面进行判定． 矩形的综合性问题 a．矩形性质的应用 1．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF. 求证：四边形AECF是菱形． (第1题) b．矩形判定的应用 2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证： (1)四边形OCED是矩形； (2)OE＝B C. (第2题)

c．矩形性质和判定的应用 3．问题情境：如图①，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM. 探究展示： (1)求证：AM＝AD＋M C. (2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图②，探究展示(1)(2)中的结论是否成立．请分别作出判断，不需要证明． (第3题) 菱形的综合性问题 a．菱形性质的应用 4．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接E C. (1)求证：AE＝E C. (2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由． (第4题)

b．菱形判定的应用 5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(t>0)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF. (1)求证：AE＝DF. (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． (第5题) c.菱形性质和判定的应用 6．【中考·江西】(1)如图①，在纸片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D 的形状为() A．平行四边形B．菱形 C．矩形D．正方形 (2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D. ①求证：四边形AFF′D是菱形； ②求四边形AFF′D的两条对角线的长． (第6题)

《平行四边形的判定(2)》参考教案

18.1.2 平行四边形的判定（2） 一、教学目标 1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题． 3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力． 二、重点、难点 1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法． 2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用． 3．难点的突破方法： 本节课是平行四边形判定的第二节课，本节课在上节课的基础上，学习平行四边形的判定方法，使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明，并且通过本节课的学习，继续培养学生的分析问题、寻找最佳解题途径的能力．本节课的知识点不难，但学生灵活运用判定定理去解决相关问题并不容易，在以后的教学中还应加强一题多解和寻找最佳解题方法的训练． （1）平行四边形的判定方法4不是性质的逆命题．它可以用平行四边形定义或平行四边形判定方法1或3来证明，可以看作是巩固前面两个判定方法的一个很好的练习题．教学中可引导学生用不同的方法进行证明，以活跃学生的思维．（2）注意强调：判定方法是“一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形”，而“一组对边平行另一组对边相等的四 边形不一定是平行四边形”．例如：如图，AD∥BC，AB＝ DC，但四边形ABCD不是平行四边形． （3）学过本节后，应使学生掌握平行四边形的四个(或五个)判定方法，这些判定的方法是： 从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

《平行四边形的判定》典型例题知识讲解

《平行四边形的判定》典型例题

《平行四边形的判定》典型例题 例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED是平行四边形． 例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF 和BE相交于G，CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由． 例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD. 例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G. 求证：EG=FH.

例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

参考答案 例1分析要证四边形AFED是平行四边形，应观察：两组对边是否相等、两组对角是否相等，或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分．但在本题中没有对角线，也没有明显的对角之间的关系，因此可以先考虑去证明四边形AFED的对边是否相等． 事实上，AD=AB=BD，EF是否能等于这三条边中的一条呢？可以看到，∴EF=AB=BD．同理DE=AC=AF，因此，所要证的四边形AFED是平行四边形． 证明，∴， 且，∴，∴ 又，同理．∴AFED是平行四边形． 例2分析若EF、GH互相平分，那么四边形EGFH应是平行四边形．观察已知条件，可以证明四边形EGFH是平行四边形． 证明是平行四边形，∴ 又，∴，且 ∴四边形AECF是平行四边形，∴，∴ 又四边形EDFB是平行四边形，∴，∴ 在四边形GEHF中，， ∴四边形GEHF是平行四边形，∴EF和GH互相平分． 说明：本题中多次使用了平行四边形的性质：对边平行且相等以及平行四边形的判断方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形．通过解题应熟悉平行四边形的性质及判别． 例3 分析平行四边形ABCD被和分别成15个相等的小平行四边形。 而是4个小平行四边形面积的一半，是2个小平行四边形面积的一半。

数学八年上册第四章第二节《平行四边形的判别》教案

课时课题: 第四章第二节平行四边形的判别（2） 课型: 新授课 教学目标： 1．经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法. 2．探索并了解平行四边形的判别方法：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.能根据判别方法进行有关的应用. 3．在探索过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯. 教法及学法指导： 本节应用“自主探究-小组合作”教学模式，引导学生对设计的问题进行仔细观察、主动思考、小组讨论、主动探究，最后自己得出结论，学会解决问题的方法.这节课是在上节课的基础上继续研究平行四边形的判定方法，学生利用全等三角形的知识可以轻松的推出有关的结论，关键是用性质定理和判定定理去解决实际问题. 教学准备： 教具：多媒体课件三角板 学具：学生准备的牙签课本练习本 教学过程： 一、创设情境，导入新课 师：上节课我们学习了平行四边形，怎样的四边形称为平行四边形呢？ 生：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 师：这句话可以作为定义，还可以作为什么呢？ 生：它不仅是定义，还可以作为判定． 师：平行四边形还有哪些其它性质？ 师：今天我们继续探究，是否还有其它的判别平行四边形的判定方法呢？ 设计意图：教师提出问题，由学生独立思考，并口答得出定义正反两方面的作用， 总结出判定四边形是平行四边形的几个条件．对比平行四边形的性质，猜测平行四边形的判定还可能有其他的方法. 二、探究新知：

D A C 探究活动（一） 师：每位同学桌上已经准备了两根牙签和两根棉签．你能在平面内将它们首尾顺次相接，组成一个平行四边形吗？请同学们动手试试看． 请哪个到台前来操作． 师：请你告诉大家，你是如何拼接的？ 生：把两根牙签和两根棉签分别作为四边形的对边． 师：也就是说，你认为如果一个四边形有两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形？ 师：我们得到了这样一句话：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 这句话成立吗？ 生：是的． 师：怎么才能说明它的道理呢？ 生：度量法. 生：还有可以证明． 师：证明之前，我们要做些什么准备工作？ 生：根据题意画出图形，写出已知和求证． 师：已知和求证如何来写？ 生：“已知：四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．” 师：现在，我们有没有方法来证明这是一个平行四边形呢？ 生：可以根据定义来证明． 师：很好，请你说说你的证明思路． 生：连接AC ，证明ABC ?≌CDA ? 师：好，下面请大家再写出证明过程． 生：练习本上快速的完成（小组内交流讨论） 师：这样我们就得到了第二个判定平行四边形的方法，作为判定定理1： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 几何语言描述为： ∵AB ＝CD ，AD ＝BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 师：它们之间有什么样的关系？ 生：它们是互逆的． 设计意图：通过学生动手拼摆图形来提高学生参与的积极性，同时让学生分析证明的过 程，让学生知道几何说理的必要性，锻炼了学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力. 探究活动（二） 师：你还能猜想出其他的判别方法吗？

平行四边形的定义,性质及判定方法

一、平行四边形知识结构及要点小结 平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边开形是平行四边形。性质：1、平行四边形的两组对边分别平行。 2、平行四边形的两组对边分别相等 3、平行四边形的两组对角分别相等 4、平行四边形的两条对角线互相平分。 判定方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 定理；三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 二、解题方法及技巧小结： 证明线段相等或角相等的问题用过去所学的全等知识也可完成，但相对比而言，应用平行四边形的性质求证较为简单。另外平行四边形对角线是很重要的基本图形，应用它的性质解题可开辟新的途径。

特殊的平行四边形知识结构及要点小结 矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 性质：1、具有平行四边形的所有性质。 2、矩形有四个角都是直角。 3、矩形有对角线相等。 4、矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 判定方法：1、定义 2、对角线相等的平行四边形是矩形。 3、有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 性质；1、具有平行四边形所有性质。 2、菱形有四条边都相等。 3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 4、菱形是轴对称图形。 判定方法：1、定义 2、对角线互相垂直的平行四边形 3、四边相等的四边形 正方形：定义；一组邻边相等的矩形 性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质 判定：1、定义 2、有一个内角是直角的菱形 3、对角线相等的菱形 4、对角线互相垂直的矩形 解题方法及技巧小结 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形。它们的性质既有区别又有联系，它们的判定方法虽然不同，但有许多相似之处，因此要用类比的思想，将学到的知识总结出相关规律。

平行四边形的判定典型基础题

1 4 3 2 1图3 F E D C B A 人教版八年级下册 平行四边形的判定及中位线定理 判定一：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 1．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD 是不是平行四边形． 2、如图所示，已知□ABCD 中，AE 、CF 分别是∠DAB 、∠BCD 的平分线，求证：四边形AFCE 是平行四边形。 判定二：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形。 1.如图，平行四边形ABCD 中，AF ＝CH ，DE ＝BG 。 求证：EG 和HF 互相平分。 2.如图，在ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK =CM 、BL =DN ，则四边形KLMN 为平行四边形吗？说明理由. 判定三：一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。 1．已知如图19-1-55所示，在□ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点 .求证：（1） △AFD≌△CEB．（2）四边形AECF 是平行四边形． 2.如图所示，在四边形ABCD 中，M 是BC 中点，AM 、BD 互相平分于点O ，那么请说明AM=DC 且AM ∥DC 判定四：两组对角分别相等的四边形叫做平行四边形。 1.如图，在平行四边形ABCD 中,∠ABC 的平分线交CD 于点E,∠ADC 的平分线交AB 于点F.试证明四边形DFBE 为平行四边形. . H G 图20.1.3-1 F E D C B A

2 C 判定五：两条对角线互相平行的四边形叫做平行四边形。 1. 如图， 已知：E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，并且AE=CF 。求证：四边形BFDE 是平行四边形 2.如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC 交AB 于点E ，EF ∥AC 交BC 于点F ，那么BE=CF ，请你说明理由. 三角形的中位线定理 1．如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ， BC ，CD ，AD 的中点，?则四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？ 2．如图所示，在△ABC 中，AC=6cm ，BC=8cm ，AB=10cm ，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，求△DEF 的面积． 3．如图所示，A ，B 两点被池塘隔开，在A ，B 外选一点C ，连接AC 和BC ，?并分别找出AC 和BC 的中点 M ，N ，如果测得MN=20m ，那么A ，B 两点间的距离是多少？

判定平行四边形的五种方法

判定平行四边形的五种方法 平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。 一、 两组对边分别平行 如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF (1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明； (2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。 解：（1）选证△BDE≌△FEC 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACD=60° ∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC 是等边三角形 ∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60° ∴∠BDE=∠FEC=120° 又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC （2）四边形ABDF 是平行四边形 理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF 都是等边三角形 ∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60° ∴AB∥DF，BD∥AF ∵四边形ABDF 是平行四边形。 点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。 二、 一组对边平行且相等 例2 已知：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG 并延长交DE 于F (1)求证：△BCG≌△DCE； A F B D C E 图1

(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形并说明理 由。 分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。 解：（1）∵ABCD是正方形， ∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE （2）∵△DCE绕D顺时针 旋转90°得到△DAE′， ∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′， ∵四边形ABCD是正方形 ∴BE′∥DG，AB=CD ∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG ∴四边形DE′BG是平行四边形 点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形 三、两组对边分别相等 例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。 求证：四边形DAEF是平行四边形； 分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。 解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形 ∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60° ∴∠DBF=∠ABC 又∵BD=BA，BF=BC ∴△ABC≌△DBF ∴AC=DF=AE同理△ABC≌△EFC ∴AB=EF=AD ∴四边形ADFE是平行四边形 点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行