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考点45--曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

考点45--曲线与方程、圆锥曲线的综合应用
考点45--曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

考点45

一、解答题

1.(2014·安徽高考文科·T21)设1F ,2F 分别是椭圆E :2

2221(0)x y

a b a b

+=>>的左、右焦点,过点1

F 的直线交椭圆E 于,A B 两点,11||3||AF BF = (1) 若2||4,AB ABF =?的周长为16,求2||AF ; (2) 若23

cos 5

AF B ∠=,求椭圆E 的离心率.

【解题提示】(1)利用椭圆的定义求解;(2)设1||BF k =,用k 表示22||||AF BF 、利用余弦定理解2ABF D 得出等腰12Rt AF F D

,从而得到a,c 的关系式。 【解析】(1)由11||3||,|AB|=4AF BF =,得11||3||=1AF BF =,

,因为2ABF D 的周长为16,所以由椭圆定义可得12416,||||=2a=8a AF AF =+,故21||=2||=8-3=5AF a AF -。

(2)设1||BF k =,则k>0,且1||3,||4,AF k AB k ==由椭圆定义可得22||=23,||=2,AF a k BF a k --在

2ABF D 中,由余弦定理可得

22222222||||||2||.||cos ,AB AF BF AF BF AF B =+-?

即2

2

2

6

(23)(2)(23)(2)5

a k a k a k a k =-+----(4k), 化简可得()(3)0a k a k +-=,而a+k>0,故a=3k,于是有21||3||,AF k AF ==2||=5k BF ,

因此222

2212||||||BF AF AB F A

F A =+轣,故12AF F D 为等腰直角三角形,从而

22

c c a e a =

?=。 2(2014·安徽高考理科·T19)如图,已知两条抛物线()02:112

1>=p x p y E 和()02:222

2>=p x p y E ,过原点O 的两条直线1l 和2l ,1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点,2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点.

(1)证明:1122//A B A B ;

(2)过原点O 作直线l (异于1l ,2l )与21,E E 分别交于21,C C 两点。记111C B A ?与222C B A ?的面积分别为

1S 与2S ,求

2

1

S S 的值.

【解题提示】(1)设出两条直线的方程,联立抛物线方程,求出点21,A A ,21,B B 的坐标,利用向量证明平行关系;

(2)利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解。 【解析】(1)设直线12,l l 的方程分别为1212,,(,0)y k x y k x k k ==?,则

由11112211122(,)2y k x p p A k k y p x ì=?Tí=??,由12222211222(,)2y k x p p A k k y p x

ì=?Tí=??,

同理可得1122

12222222

2222(

,)(,)p p p p B B k k k k ,, 所以1111112221212222(,)p p p p A B k k k k =-u u u u r ,=12221211111

2(-)p k k k k -,,

2222222221212222(,)p p p p A B k k k k =-u u u u u r ,=22221211111

2(-)p k k k k -,

故11A B u u u u r =1

222

p A B p u u u u u r ,所以1122//A B A B 。 (2)由(1)知1122//A B A B ,同理可得1122//B C B C ,1122//A C A C ,所以11122A B C A B D

相似于,因此2111222||()||S A B S A B =u u u u r u u u u u r ,又由(1)中的11A B u u u u r =1222p A B p u u u u u r 知1112

22||=||A B p p A B u u u u r

u u u u u r ,故211222S p S p = 3. (2014·四川高考理科·T20)已知椭圆C :22

221x y a b

+=(0a b >>)的焦距为4,其短轴的两个端

点与长轴的一个端点构成正三角形.

(1)求椭圆C 的标准方程;

(2)设F 为椭圆C 的左焦点,T 为直线3x =-上任意一点,过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ,Q . ①证明:OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点); ②当

||

||

TF PQ 最小时,求点T 的坐标. 【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想.

【解析】(1

)依条件2

2

22226

24c a a b a b c =??=??=???=?

??-==?

, 所以椭圆C 的标准方程为22

162

x y += (2)设(3,)T m -,11(,)P x y ,22(,)Q x y ,又设PQ 中点为00(,)N x y , ①因为(2,0)F -,所以直线PQ 的方程为:2x my =-, 222

2

2(3)420162x my m y my x y =-???+--=?+=??, 所以222122122168(3)24(1)04323m m m m y y m y y m ?

??=++=+>?

?

+=?+?

-?

=?+?

于是1202

223

y y m

y m +==+,20022262233m x my m m -=-=-=++, 所以2262(,)33m N m m -++.因为3

OT ON m

k k =-=,

所以O ,N ,T 三点共线,

即OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点).

②||TF =

12|||PQ y y =-=

所以2||||TF PQ ==

x =(1x ≥),

则2||2)||TF x PQ x ==+≥(当且仅当22x =时取“=”), 所以当

||||

TF PQ 最小时,2

2x =即1m =或1-,此时点T 的坐标为(3,1)-或(3,1)--.

4 (2014·四川高考文科·T20)已知椭圆C :22

221x y a b

+=(0a b >>)的左焦点为(2,0)F -,离心率

3

(1)求椭圆C 的标准方程;

(2)设O 为坐标原点,T 为直线3x =-上一点,过F 作TF 的垂线交椭圆于P ,Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.

【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想.

【解析】(1

)依条件c a =,且2c =226

2

a b ?=???=??,

所以椭圆C 的标准方程为22

162

x y +=. (2)设T 点的坐标为(3-,m ),则直线TF 的斜率0

3(2)

TF m k m -==----.

当0m ≠时,直线PQ 的斜率1

PQ k m

=

,直线PQ 的方程是2x my =-. 当0m =时,直线PQ 的方程是2x =-,也符合2x my =-的形式.

设1122(,),(,)P x y Q x y ,将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得22216

2x my x y =-??

?+=??.

消去x ,得2

2

(3)420m y my +--=.

其判别式2

2

168(3)m m ?=++>0.所以12243m y y m +=

+,122

2

3

y y m -=+, 12122

12

()43

x x m y y m -+=+-=

+. 因为四边形OPTQ 是平行四边形,所以OP QT =u u u r u u u r

,即1122(,)(3,)x y x m y =---.

所以122122123343x x m m y y m m -?

+==-??+??+==?+?

.解得1m =±.

此时四边形OPTQ 的面积

21222142

222()423233

OPTQ OPQ m S S OF y y m m -==???-=-?=++.

5. (2014·重庆高考文科·T21)如图,设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点D

在椭圆上,12112121

,

22,F F DF F F DF F DF ⊥=?的面积为2

2 .

(1)求椭圆的标准方程;

(2)是否存在设圆心在y 轴上的圆,使原在x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由. 【解题提示】(1)直接根据椭圆的定义及题设条件可求出椭圆的标准方程.(2)直接设出交点坐标然后根据椭圆与圆的对称性列出方程组求解.

【解析】(1)设12(,0),(,0),F c F c -其中2

2

2

.c a b =-

由12122F F DF =得1212.22

F F DF c ==

从而122112122

,222

DF F S DF F F c ?=

== 故 1.c = 从而12,DF =

由112DF F F ⊥得222

21129,2

DF DF F F =+=因此232.DF = 所以12222,a DF DF =+=故2,a =

222 1.b a c =-=

因此,所求椭圆的标准方程为2

2 1.2

x y += (2)如图,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2

212

x y +=相交,

()()111222,,,P x y P x y 是两个交点,1211220,0,,y y F

P F P >> 是圆C 的切线, 且1122.F P F P ⊥由圆和椭圆的对称性,易知,2112,.x x y y =-=

由(1)知12(1,0),(1,0),F F -所以11112211(1,),(1

,).F P x y F P x y =+=--u u u u r u u u u r

再由1122.F P F P ⊥得2

211

(1)0.x y -++=由椭圆方程得2

2111(1),2

x x -=+ 即2

11340.x x +=解得14

3

x =-

或10.x = 当10x =时,12,P P 重合,此时题设要求的圆不存在. 当14

3

x =-

时, 过12,P P 分别与1122,F P F P 垂直的直线的交点即为圆心.C 设0(0,)C y 由111,F P CP ⊥得

10111 1.1y y y x x -?=-+ 而1111,3

y x =+= 故05

.3y = 圆C

的半径13CP == 综上,存在满足题设条件的圆,其方程为

6(2014·湖北高考理科·T21)在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1,记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹为C 的方程

(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -,求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点,两个公共

【解析】(Ⅰ)设点(x,y)M ,依题意得MF 1x =+,即1x =+ 化简整理得22()x y x =+

2

2532.39x y ?

?+-= ??

?

故点的轨迹C 的方程为2

4,0

0,0x x y x ≥?=?

(Ⅱ)在点M 的轨迹C 中,记212:4,:y 0(x 0)C y x C ==< 依题意,可设直线l 的方程为1(x 2)y k -=+

由方程组21(x 2)

4y k y x -=+??=?,可得244(2k 1)0ky y -++= ①

(1)当0k =时,此时1y =,把1y =带入轨迹C 的方程,得14

x =

故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1

(,1)4

(2)当0k ≠时,方程①的判别式216(2k k 1)?=-+- ② 设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ,则 由1(x 2)y k -=+,令y 0=,得021

k x k

+=-

③ (ⅰ)若000

x ?

2k >。

即当1

k (,1)(,)2

∈-∞-+∞U 时,直线l 与1C 没有公共点,与2C 有一个公共点,

故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点。

(ⅱ)若000x ?=??

x ?>??≥?由②③解得1{1,}2k ∈-,或1

02k -≤<。

即当1

{1,}2k ∈-时,直线l 与1C 没有公共点,与2C 有一个公共点,

当1

k [,0)2∈-时,直线l 与1C 只有两个公共点,与2C 没有公共点

故当11

k [,0){1,}22

∈--U 时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点。

(ⅲ)若000

x ?>??

02k <<

即当11

k (1,)(0,)22

∈--U 时,直线l 与1C 有两个公共点,与2C 有一个公共点

故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点。

综合(1)(2)可知,当1

k (,1)(,){0}2

∈-∞-+∞U U 时,直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点;

当11

k [,0){1,}22

∈--U 时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点;

当11

k (1,)(0,)22

∈--U 时,直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点。

7. (2014·湖北高考文科·T13)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点F(1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹C 的方程.

(2)设斜率为k 的直线l 过定点P(-2,1).求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.

【解题指南】(1)设出M 点的坐标,直接由题意列等式,整理后即可得到M 的轨迹C 的方程.

(2)设出直线l 的方程为y-1=k(x+2),和(1)中的轨迹方程联立化为关于y 的一元二次方程,求出判别式,再在直线y-1=k(x+2)中取y=0得到x 0=-21

k k

+,然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x 0<0求解使直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.

【解析】(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,

即||1x =+, 化简整理得y 2=2(|x|+x). 故点M 的轨迹C 的方程为y 2=4,0,

0,0.x x x ≥??

(2)在点M 的轨迹C 中,记C 1:y 2=4x,C 2:y=0(x<0). 依题意,可设直线l 的方程为y-1=k(x+2). 由方程组2

1(2),4,

y k x y x -=+??

=?可得ky 2-4y+4(2k+1)=0.①

①当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C 的方程,得x=1

4

. 故此时直线l:y=1与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4

. ②当k ≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k 2+k-1).②

设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0),则 由y-1=k(x+2),令y=0,得x 0=-21

k k

+.③ (ⅰ)若00,0,

x ?

1

2.

即当k ∈(-∞,-1)∪1

(,)2

+∞∪{0}时,直线l 与C 1没有公共点,与C 2有一个公共点, 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点. (ⅱ)若00,0,x ?=??

x ?>??≥?由②③解得k ∈1{1,}2-,或-1

2≤k<0.

即当k ∈1

{1,}2

-时,直线l 与C 1只有一个公共点,与C 2有一个公共点. 当1[,0)2

k ∈-时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2没有公共点. 故当k ∈1[,0)2-∪1{1,}2

-时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点. (ⅲ)若00,0,

x ?>??

2.

即当k ∈1(1,)2--∪1(0,)2

时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2有一个公共点, 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.

综合(1)(2)可知,当k ∈(-∞,-1)∪1

(,)2

+∞∪{0}时,直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点;当k ∈

1[,0)2-∪1{1,}2-时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点;当k ∈1(1,)2--∪1

(0,)2

时,直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.

8. (2014·湖南高考理科·T21)(本小题满分13分)

如图,O 为坐标原点,椭圆22

122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,离心

率为1e ;双曲线22

222:1x y C a b

-=的左、右焦点分别为34,F F ,离心率为2e

.已知12e e =且

24||3 1.

F F =-

(1)求12,C C 的方程;

(2)过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB 的中点.当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.

【解题提示】(1)利用离心率公式和c b a ,,的关系解方程组就可解;

(2)联立方程组,求得弦长AB ,及P,Q 到AB 的距离,列得面积的函数,再求最小值。

【解析】(1)由题意可得22

12221,1b b e e a a =-=+,且22122F F a b =-,

因为123

e e =

,且222224F F a b a b =+--, 所以43112222=???

? ??+???? ??-a b a b 且2222

31a b a b +--=-, 解得2,1,2===a b b a ,所以椭圆1C 方程为22

12x y +=,双曲线2C 的方程为2212

x y -=. (2)由(1)可得()21,0F -,因为直线AB 不垂直于y 轴,所以设直线AB 的方程为1x ny =-, 联立直线与椭圆方程可得()222210n y ny +--=, 则222

A B n y y n +=

+,则22+=n n

y M

, 因为AB 为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得

()

2

1

222222222221++=+++=n n x x AB ,

因为(),M M M x y 在直线AB 上,所以2222122M n x n n -=-=++,即??

? ??++-2,22

22n n n M .

则直线PQ 的方程为2

M M y n

y x y x x =

?=-,

联立方程组???????=--=1

2

222y x x n y ,消去y 整理得,,242

2

n x -= ,2222n n y -= 设点()P P y x P ,,()Q Q y x Q ,,

则点P ,Q 到直线AB 的距离之和为2

2

1111n

ny x n

ny x h Q Q P P ++-+

++-=

,

因为P ,Q 在直线AB 的两侧,且关于原点对称, 所以()()011<+-+-Q Q P P ny x ny x ,且Q P Q P y y x x -=-=,, 所以2

2

1111n

ny x n

ny x h Q Q P P ++-+

++-=

()()

2

111n

ny x ny x Q Q P P ++--+-=

()

=

+-=

2

122n

ny x P P ()

()()

2

2

2

2

221222122222n n n n

n n

n n +-+=

+???

?

?

?----,

所以四边形APBQ 的面积为

(

)

(

)

()

()()

2

2

2

2

2

223

122122*********n n n n n n h AB S -+

-=+-+?

++?=?= 因为2202≤-

9. (2014·上海高考文科·T22)在平面直角坐标系xoy 中,对于直线l :0

ax by c ++=和点111222(,),(,),P x y P x y 记1122)().ax by c ax by c η=

++++(若η<0,则称点21,P P 被直线l 分隔。若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点21P P ,被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.

⑴ 求证:点),(),(012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔;

⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线,求实数k 的取值范围;

⑶动点M 到点)(2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为E ,求E 的方程,并证明y 轴为曲线E 的分隔线.

【解题指南】

1222(1)41.(3).P P y kx x y E =-=根据点,被直线分隔的定义可证得.(2)根据曲线分隔线的定义,若与没有交点,则直线为曲线的分隔线首先根据定义求出曲线的方程,再根据曲线分隔线的定义来判断 【解析】

22222222(1)1,2-1,01,1+2-1-1-1=-40(1,2),(1,0)1041(2),(14)1,11

-0,22(3)(,),1,(2))1(1)

0,x y A B x y x y k x y kx

k k M x y E x y x x +-?<∴-+-=?-=-=?=?∴≤∴≤-≥

=+-==Q 将(),()分别代入得:()()点被直线分隔;

联立得依题意,方程无解

14k 或设故曲线的方程为(y 轴为显然与12(12),(12)0,=1-10,0P P E x x η-=?<∴=方程(1)联立无解,

又,,为上两点,且代入有()是一条分隔线;

10和点111222(,),(,),P x y P x y 记1122)().ax by c ax by c η=

++++(若η<0,则称点21,P P 被直线l 分隔。若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点21P P ,被直线l 分隔,则称直线

l 为曲线C 的一条分隔线.

⑴ 求证:点),(),(012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔;

⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线,求实数k 的取值范围; ⑶动点M 到点)(2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为E , 求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E 的分割线. 【解题指南】

1222(1)41.(3)0.

P P y kx x y E x =-==根据点,被直线分隔的定义可证得.(2)根据曲线分隔线的定义,若与没有交点,则直线为曲线的分隔线首先根据定义求出曲线的方程,再对要求直线分类讨论,若直线斜率不存在,易得是一条分隔线,若斜率存在,根据零点存在定理可得直线与曲线始终有公共点,不符合要求,所以舍去

【解析】

22222222(1)1,2-1,01,1+2-1-1-1=-40(1,2),(1,0)1041(2),(14)1,11

-0,22(3)(,),1,(2))1(1)

x y A B x y x y k x y kx

k k M x y E x y x +-?<∴-+-=?-=-=?=?∴≤∴≤-≥

=+-=Q 将(),()分别代入得:()()点被直线分隔;

联立得依题意,方程无解

14k 或设故曲线的方程为(当斜率不存在时,直线122432243222220,1(12),(12)0,=1-10,0,1)4410

()(1)4(41),(0)1,(1)143(2),(1)143(2)x P P E x x y kx x kx x f x x kx x f f k k k f k k k k η=-=?<∴==+-+-==+-+-=-=+-+=--=+++=+≠为显然与方程()联立无解,又,,为上两点,且代入有()是一条分隔线;

当斜率存在时,设直线为代入方程,得:(k 令k 则:

当2(1)0,(0)(1)0,()00,1=2(0)(-1)0,()0-0f f f f x y kx E k f f f x y kx E y kx E ><=∴=<=∴=∴=时,故即在()之间存在实根与曲线有公共点

当时,即在(1,)之间存在实根与曲线有公共点

直线与曲线始终有公共点,故不是分隔线

综上,所有通过原点的直线中,有且仅有一条直线x=0是E 的分隔线.

.

高中数学全参数方程知识点大全

高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中,参数t 不具备标准式中t 的几何意义,若a 2 +b 2 =1,②即为标准式,此 时, | t |表示直线上动点P 到定点P 0的距离;若a 2+b 2 ≠1,则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +|t |. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) 若P 1、P 2是l 上的两点,它们所对应的参数分别为t 1,t 2,则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α); (2)|P 1P 2|=|t 1-t 2|; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ,则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离|PP 0|=|t |=|2 2 1t t +| (4)若P 0为线段P 1P 2的中点,则 t 1+t 2=0.

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式:2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =- = 或12AB y y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程: 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?

22 222b b p a a 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是( ) A 、双曲线; B 、双曲线的一支; C 、两条射线; D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时,S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时,S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?) (6)、记住焦半径公式:(1)00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为 “左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ,1342 22 2=+y x ;两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什 么?如果有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,

高三数学 圆锥曲线的应用

第六节 圆锥曲线的应用 一、基本知识概要: 解析几何在日常生活中应用广泛,如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键,而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用常用方法。本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用,说明数学建模的方法,理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。 二、例题: 例1、 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨 道的焦点处,当此慧星离地球相距m 万千米和m 34万千米时,经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32π π和,求该慧星与地球的最近距离。 解:建立如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点)0,(c F -处,椭圆的方程为12222=+b y a x (图见教材P132页例1)。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3 π 时,由椭圆的几何意义可知,彗星A 只能满足)3 (3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。作m FA FB Ox AB 3 221B ==⊥,则于 故由椭圆第二定义可知得???????+-=-=)32(3 4)(22 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .32.32m c c a m c ==-∴=∴

答:彗星与地球的最近距离为m 3 2万千米。 说明:(1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点,该椭圆的两个焦点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到恒星的距离一个是c a -,另一个是.c a + (2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外,数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题,善于挖掘隐含条件,有意识地训练数学思维的品质。 思考讨论:椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少?怎样证明? 例2:A ,B ,C 是我方三个炮兵阵地,A 在B 正东6Km ,C 在B 正北偏西ο30,相距4Km ,P 为敌炮阵地,某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号,由于B ,C 两地比A 距P 地远,因此4s 后,B ,C 才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1s Km /,A 若炮击P 地,求炮击的方位角。(图见优化设计教师用书P249例2) 解:如图,以直线BA 为x 轴,线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系,则)32,5(),0,3(),0,3(--C A B ,因为PC PB =,所以点P 在线段BC 的垂直平分线上。 因为3-=BC k ,BC 中点)3,4(-D ,所以直线PD 的方程为)4(31 3+=-x y (1) 又,4=-PA PB 故P 在以A ,B 为焦点的双曲线右支上。设),(y x P ,则

文科圆锥曲线专题练习及问题详解

文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,12PF F ?是底角为30的等腰三 角形,则E 的离心率为( ) () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想,是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形, ∴322c a = ,∴e =3 4 , ∴0260PF A ∠=,212||||2PF F F c ==,∴2||AF =c , 2.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,AB =;则C 的实轴长为( ) ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为:4x =,设等轴双曲线方程为:222x y a -=,将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2, ∴C 的实轴长为4,故选C. 3.已知双曲线1C :22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2,则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点:圆锥曲线的性质 解析:由双曲线离心率为2且双曲线中a ,b ,c 的关系可知a b 3=,此题应注意C2的焦点在y 轴上,即(0,p/2)到直线x y 3=的距离为2,可知p=8或数形结合,利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为 (A ) 2211612x y += (B )221128x y += (C )22184x y += (D )22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ,从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=,由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==,所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠=

圆锥曲线方程知识点总结

§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程:i. 中心在原点,焦点在x 轴上:)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点,焦点在y 轴上:)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程:)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程:12 22 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x (一象限θ应是属于20π θ ). ⑵①顶点:),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴:对称轴:x 轴,y 轴;长轴长a 2,短轴长b 2. ③焦点:)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距:2221,2b a c c F F -==. ⑤准线:c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率:)10( e a c e =. ⑦焦点半径: i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a b y a x =+上的一点,21,F F 为左、右焦点,则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点,21,F F 为上、下焦点,则 由椭圆第二定义可知:)0()(),0()(0002 2002 01 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ,方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数,)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆:12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b (用 余弦定理与a PF PF 221=+可得). 若是双曲线,则面积为2 cot 2θ ?b . ?-=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF

高考数学(精讲+精练+精析)专题10_4 圆锥曲线的综合应用试题 文(含解析)

专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题 文 【三年高考】 1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中,当P (x ,y )不是原点时,定义P 的“伴随点”为 '2222 ( ,)y x P x y x y -++;当P 是原点时,定义P 的“伴随点”为它自身,现有下列命题: 若点A 的“伴随点”是点'A ,则点'A 的“伴随点”是点A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. 若两点关于x 轴对称,则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 线分别为2222( ,)0y x f x y x y -=++与 2222 (,)0y x f x y x y --=++的图象关于y 轴对称,所以②正确;③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上,故③正确;对于④,直线 y kx b =+上取点后得其伴随点2222 ( ,)y x x y x y -++消参后轨迹是圆,故④错误.所以正确的为序号为②③. 2.【2016高考山东文数】已知椭圆C :(a >b >0)的长轴长为4,焦距为2 . (I )求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)过动点M (0,m )(m >0)的直线交x 轴与点N ,交C 于点A ,P (P 在第一象限),且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ,延长线QM 交C 于点B . (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k',证明为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>,由()0,M m ,可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率 002m m m k x x -= = ,直线QM 的斜率0023'm m m k x x --==-.此时'3k k =-,所以' k k 为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ,直线PA 的方程为y kx m =+,直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立 22142 y kx m x y =+???+ =?? ,整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+可得()()212 02221m x k x -=+ ,所以() ()2112 02221k m y kx m m k x -=+= ++,同理() ()() ()22222 2 2262,181181m k m x y m k x k x ---= = +++.所以 () ()() ()() ()()2222212 2 2 2 00 22223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----= - = ++++, ()()()()()()()() 2 2 2 2 21 2 2 2 2 622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ,所以2212161116.44AB y y k k k x x k k -+??===+ ?-?? 由00,0m x >>,可知0k >,所以1626k k +≥,等号当且仅

最新高考数学二轮专题综合训练-圆锥曲线(分专题-含答案)

圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程: 1、(1)已知双曲线1C 与椭圆2C :22 13649 x y +=有公共的焦点,并且双曲线的离心率1e 与椭 圆的离心率2e 之比为7 3,求双曲线1C 的方程. (2)以抛物线2 8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ,求P 点的轨迹方程. (1)解:1C 的焦点坐标为(0, 27e = 由127 3 e e = 得13e =设双曲线的方程为2 2 221(,0)y x a b a b -=>则22222 13 139a b a b a ?+=??+=? ? 解得229,4a b == 双曲线的方程为 22194y x -= (2)解:设点00(,),(,)M x y P x y ,则00 62 2 x x y y +? =????=??,∴00262x x y y =-??=?. 代入2008y x =得:2 412y x =-.此即为点P 的轨迹方程. 2、(1)ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.(2)△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5 3 sinA,求点A 的轨迹方程. 解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a , 8=c ,有6=b ,故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x .设()y x A ,,()y x G '',,则()013610022≠'='+'y y x . ①由题意有???????='='33 y y x x ,代入①,得A 的轨迹方程为 ()01324 9002 2≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点).

圆锥曲线与方程 知识点详细

椭圆 1、椭圆的第一定义:平面一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意:若)(2121 F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ;若)(2121F F PF PF <+,则动点P 的 轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1).当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ,其中222b a c -=; 2).当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程:122 22=+b x a y )0(>>b a ,其中222b a c -=; 注意:①在两种标准方程中,总有a >b >0,并且椭圆的焦点总在长轴上; ②两种标准方程可用一般形式表示: 221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆:122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 (1)对称性:对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a :是以x 轴、y 轴 为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对 称中心称为椭圆的中心。 (2)围:椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形,所以椭圆上点的坐标满足a x ≤,b y ≤。 (3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆 122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ,),0(1b B -,),0(2b B 。 ③线段21A A ,21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,a A A 221=,b B B 221=。 a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 (4)离心率:①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ,所以e 的取值围是)10(<>),且已知椭 圆的准线方程为2 a x c =±,试推导出下列式子:(提示:用三角 函数假设P 点的坐标e PM PF PM PF == 2 21 1

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ,与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 (1)求证:抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =+; (2)求证:112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F (1,0),动点P 在y 轴上运动,过点P 作PM 交x 轴于点M ,并延长MP 到点N ,且.||||,0PN PM PF PM ==? (1)动点N 的轨迹方程; (2)线l 与动点N 的轨迹交于A ,B 两点,若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且,求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图,椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ,P 为双曲线134:222=-y x C 右支上(x 轴上方)一点,连AP 交C 1于C ,连PB 并延长交C 1于D ,且△ACD 与△PCD 的面积 相等,求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -,动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . (Ⅰ)求W 的方程;

(Ⅱ)若,A B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) (Ⅰ)若曲线C 是椭圆,求k 的取值范围; (Ⅱ)若曲线C 是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程; (Ⅲ)满足(Ⅱ)的双曲线上是否存在两点P ,Q 关于直线l :y=x -1对称,若存在,求出过P ,Q 的直线方程;若不存在,说明理由。 6. 如图(21)图,M (-2,0)和N (2,0)是平面上的两点,动点P 满足: 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程; (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠=,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点,直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ,与椭圆交于点,A B . (I )若3 MON π∠= ,双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 (II )若0OM MN ?=(O 为坐标原点),1 3 FA AN =,求椭圆的离心率e 。

圆锥曲线与方程单元知识总结

圆锥曲线与方程单元知识总结、公式及规律 一、圆锥曲线 1.椭圆 (1)定义 定义1:平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点). 定义2:点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 数=<<时,这个点的轨迹是椭圆. e (0e 1)c a (2)图形和标准方程 图-的标准方程为:+=>>图-的标准方程为:+=>>811(a b 0) 821(a b 0) x a y b x b y a 222 2222 2 (3)几何性质

2.双曲线 (1)定义 定义1:平面内与两个定点F F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点 1、

的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点). 定义2:动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e>1)时,这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点). (2)图形和标准方程 图8-3的标准方程为: x a y b 2 2 2 2 -=>,> 1(a0b0) 图8-4的标准方程为: y a x b 2 2 2 2 -=>,> 1(a0b0) (3)几何性质

3.抛物线 (1)定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线. (2)抛物线的标准方程,类型及几何性质,见下表: ①抛物线的标准方程有以下特点:都以原点为顶点,以一条坐标轴为对称轴;方程不同,开口方向不同;焦点在对称轴上,顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离. ②p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离. ③弦长公式:设直线为=+抛物线为=,=y kx b y 2px |AB|212+k |x x ||y y |2121-=-11 2+ k 焦点弦长公式:|AB|=p +x 1+x 2 4.圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e 表示,当0<e <1时,是椭圆,当e >1时,是双曲线,当e =1时,是抛物线. 二、利用平移化简二元二次方程 1.定义 缺xy 项的二元二次方程Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0(A 、C 不同时为0)※,通过配方和平移,化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程,称为利用平移化简二元二次方程. A =C 是方程※为圆的方程的必要条件. A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件. A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件. A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件.

圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式: 2121 tan 1k k k k α-= + (3)弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离:12AB x =- = 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程2a = 参数方程:cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程 :|2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 22 222b b p a a 椭圆:;双曲线:;抛物线: (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足 221=-MF MF 则动点M的轨迹是( ) A、双曲线;B 、双曲线的一支;C 、两条射线;D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时,S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时,S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?) (6)、记住焦半径公式:(1) 00 ;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有

圆锥曲线在生活中的应用(高2012级43班 叶容杉)

圆锥曲线在生活中的应用 班级:高2012级43班 姓名:叶容杉 指导老师:何志开

圆锥曲线在生活中的应用 高2012级43班 叶容杉 指导老师:何志开 摘要:在初等数学中,圆锥曲线主要指:椭圆、双曲线、抛物线,它是平面解析几何的核心内容,又是高中数学的重点和难点,因而成为高考中必不可少的考查内容。本文总结了三类圆锥曲线的基本概念,并将它在日常生活中的应用进行了简要说明。 关键词:圆锥曲线;基本概念;生活应用 正文: 一、基本概念 圆锥曲线是用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当截面与圆锥的轴夹角不同时,可得到的不同的截口的曲线,分别是: ①椭圆: 定义1:平面内与两定点F 1、F 2的距离的和等于常数|)|2(221F F a a >的动点P 的轨迹叫做椭圆。即a PF PF 2||||21=+ 定义2:动点M 到定点)0,(c F 的距离和它到直线l :c a x 2=的距离的比是常数a c ,)0(>>c a 时,M 点的轨迹即为椭圆。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值)10(<

等于常数2a |)|2(21F F a <的点的轨迹叫做双曲线,即a PF PF 2||||21=- 定义2:动点M 到定点)0,(c F 的距离和它到直线l :c a x 2=的距离的比是常数a c ,)0(>>a c 时,M 点的轨迹即为椭圆。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值)1(>e e 的点的轨迹叫椭圆。我们把定值a c e =)1(>e ,叫做椭圆的离心率。 ③抛物线: 定义1:平面内与一个定点和一条直线(定点不在定直线上)的距离相等的点的轨迹,叫做抛物线。 定义2:与椭圆、双曲线第2定义相似,仅比值e 不同,当1=e 时为抛物线。 二、在生活中的应用 随着新课程理念的深入,一些以圆锥曲线在生活和生产实际中的应用为背景的应用问题已经进入了我们的教材,并且越来越受到重视.利用椭圆、双曲线、抛物线可以有效地解决数学、物理及生活实际中的许多问题.下面举例说明圆锥曲线在实际生活中的应用 1、生活中的椭圆:油罐车的横截面。 圆柱形的容器在同样容器的要求下,它的表面积最小也就是容器所用的材料最少,在装入物品后尤其是液体,对罐内壁各部分的受力大小情况也比较平均,而在高度和宽度(即车的允许高度和车的宽度)都有限制的情况下,其横截面作成椭圆形就可以达到既节省了罐体材料,也保证了容积,由利用了有限的“空间”和保证了罐体的稳定性。 2、双曲线的应用:火电厂及核电站的冷却塔

(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题专题强化训练

第3讲 圆锥曲线中的综合问题 专题强化训练 1.已知方程x 2 2-k +y 2 2k -1 =1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是( ) A.? ?? ??12,2 B .(1,+∞) C .(1,2) D.? ?? ??12,1 解析:选C.由题意可得,2k -1>2-k >0, 即? ????2k -1>2-k ,2-k >0,解得1

圆锥曲线的综合应用及其求解策略

圆锥曲线的综合应用及其求解策略 有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有:①、定点与定值问题;②、最值问题;③、求参数的取值范围问题;④、对称问题;⑤、实际应用问题。 解答圆锥曲线的综合问题,应根据曲线的几何特征,熟练运用圆锥曲线的相关知识,将曲线的几何特征转化为数量关系(如方程、不等式、函数等),再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。 一、定点、定值问题: 这类问题通常有两种处理方法:①、第一种方法:是从特殊入手,先求出定点(或定值),再证明这个点(值)与变量无关;②、第二种方法:是直接推理、计算;并在计算的过程中消去变量,从而得到定点(定值)。 ★【例题1】(2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分)已知双曲线222x y -=的右焦点为F ,过点F 的 动直线与双曲线相交于A 、B 两点,又已知点C 的坐标是(10),.(I )证明CA 〃CB 为常数;(II )若动 点M 满足CM CA CB CO =++(其中O 为坐标原点),求点M 的轨迹方程. ◆解:由条件知(20)F , ,设11()A x y ,,22()B x y ,. (I )当AB 与x 轴垂直时,可求得点A 、B 的坐标分别为(2 ,(2, ,此时则有 (12)(11CA CB =?=-,. 当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±.代入222x y -=,则有 2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=.则12x x ,是上述方程的两个实根, 所以212241k x x k +=-,2122421 k x x k +=-,于是 212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2) CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2 2 2 1212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++22222 22 (1)(42)4(21)4111 k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-. ∴ 综上所述,CA CB 为常数1-. (II )设()M x y ,,则(1)CM x y =-,,11(1)CA x y =-,,22(1)CB x y =-,,(10)CO =-,,由 CM CA CB CO =++得:121213x x x y y y -=+-??=+?,即1212 2x x x y y y +=+??+=?,于是AB 的中点坐标为222x y +?? ???,.

圆锥曲线综合练习试题(有答案)

圆锥曲线综合练习 一、 选择题: 1.已知椭圆221102 x y m m +=--的长轴在y 轴上,若焦距为4,则m 等于( ) A .4 B .5 C .7 D .8 2.直线220x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为( ) A B .12 C .2 3 3.设双曲线22 219 x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=,则a 的值为( ) A .4 B .3 C .2 D .1 4.若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是( ) A B C D 5.已知双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>,,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N , 两点,O 为坐标原点.若OM ON ⊥,则双曲线的离心率为( ) A B 6.已知点12F F ,是椭圆2 2 22x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,那么12||PF PF +u u u r u u u u r 的最小值是( ) A .0 B .1 C .2 D .7.双曲线221259 x y -=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为( ) A .22或2 B .7 C .22 D .2 8.P 为双曲线22 1916 x y -=的右支上一点,M N ,分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点, 则||||PM PN -的最大值为( ) A .6 B .7 C .8 D .9 9.已知点(8)P a ,在抛物线24y px =上,且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( ) A .2 B .4 C .8 D .16 10.在正ABC △中,D AB E AC ∈∈,,向量12DE BC =u u u r u u u r ,则以B C ,为焦点,且过D E ,的双曲线离心率为( ) A B 1 C 1 D 1 11.两个正数a b ,的等差中项是92,一个等比中项是a b >,则抛物线2b y x a =-的焦点坐标是( ) A .5(0)16- , B .2(0)5-, C .1(0)5-, D .1 (0)5 , 12.已知12A A ,分别为椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ,的点P

圆锥曲线方程知识点总结

§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程:i. 中心在原点,焦点在x 轴上:)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点,焦点在y 轴上:)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程:)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程:122 2 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x (一象限θ应是属于20π θ ). ⑵①顶点:),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. > ②轴:对称轴:x 轴,y 轴;长轴长a 2,短轴长b 2. ③焦点:)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距:2221,2b a c c F F -==. ⑤准线:c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率:)10( e a c e =. ⑦焦点半径: i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12222 b a b y a x =+ 上的一点,21,F F 为左、右焦点,则 》 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点,21,F F 为上、下焦点,则 由椭圆第二定义可知:)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ,方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数,)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆: 12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b (用 ? -=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF

圆锥曲线的综合应用

圆锥曲线的综合 【复习目标】 1、在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识的内在联系,灵活运用解析几何的常用方法解决问题,培养运用各种知识解决问题的能力; 2、通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想。 【教学重点、难点】 1.灵活运用圆锥曲线的几何性质解决问题; 2.理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想,通过问题解决的过程中,提高分析问题、解决问题的能力,同时培养运算能力。 【教学过程】 一、圆锥曲线的几何性质在高考中的地位 圆锥曲线的几何性质是在每年的高考中必考的一个知识点,这一类问题的考查大多数出现在填空题中,属于中低档题,有时也会出现在解答题的第一、第二问中,分值大约在4至8分。 【相关知识链接】 1.椭圆、双曲线第一、第二定义各是什么? 2.圆锥曲线的标准方程形式反应了其怎样的特点? 3.椭圆、双曲线中c b a ,,存在什么样的等量关系? 4.性质中的不等关系: 对于圆锥曲线标准方程中变量y x ,的范围、离心率的范围等,在求与圆锥曲线有关的一些量的范围,或者求这些量的最大值,最小值时,经常用到这些不等关系。 5.求椭圆、双曲线的离心率问题的一般思路: 求椭圆、双曲线的离心率时,一般是依据题设得出一个关于c b a ,,的等式(或不等式),利用c b a ,,之间的等量关系消去b ,即可求得离心率(或离心率的范围)。 题型一 活用圆锥曲线的几何性质 1.若椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -(, 以点2F 为圆心,半径为c 画圆,圆2F 交椭圆于点M ,直线1MF 与圆2F 相切,则该椭圆离心率为

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