浙江省永嘉县楠江中学高三数学(选修4-5)《第四讲 第一节 数学归纳法》教案

一、知识回顾：

数学归纳法： 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．

二、课堂练一练

1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ∈N ，n ≥3)，第一步应验证( )

A ．n ＝1

B ．n ＝2

C ．n ＝3

D ．n ＝4

2．(教材习题改编)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋ (1)

＝2???

?1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )

A ．n ＝k ＋1时等式成立

B ．n ＝k ＋2时等式成立

C ．n ＝2k ＋2时等式成立

D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n ＋1＝2n ＋2－1(n ∈N *)的过程中，在验证n ＝1时，

左端计算所得的项为________．

4．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1

1)”，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是________．

数学归纳法的应用

(1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n ＝k ＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．

(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．

三、典题导入

[例1] 设f (n )＝1＋12＋13＋ (1)

(n ∈N *)． 求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．

[自主解答] (1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，

右边＝2???

?1＋12－1＝1， 左边＝右边，等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即

f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，那么，当n ＝k ＋1时，

f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k

＝(k ＋1)???

?f (k ＋1)－1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．

由(1)(2)可知：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．

变式练习：用数学归纳法证明：对任意n ∈N *，11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n 2n ＋1

. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13

，左边＝右边，所以等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立，即有

11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1

， 则当n ＝k ＋1时，

11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)

＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)

＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1

， 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，对一切n ∈N *等式都成立．

[例2] 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．

(1)求r 的值；

(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＞n ＋1成立． [自主解答] (1)由题意，S n ＝b n ＋r ，

当n ≥2时，S n －1＝b n －

1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －

1(b －1)． 由于b ＞0且b ≠1，

所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．

又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，

∴a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r

＝b ，解得r ＝－1. (2)证明：由(1)知a n ＝2n －

1， 因此b n ＝2n (n ∈N *)，

所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1. ①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2， 左式＞右式，所以结论成立．

②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，

2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1

， 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋3

2k ＋1≥k ＋2. 即证2k ＋32

≥(k ＋1)(k ＋2)， 由基本不等式知2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2

≥(k ＋1)(k ＋2)成立， 故2k ＋3

2k ＋1≥k ＋2成立， 所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．

由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n

＞n ＋1成立． 变式练习：用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n

(n ∈N *，n ≥2)． 证明：(1)当n ＝2时，1＋122＝54＜2－12＝32

，命题成立． (2)假设n ＝k 时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2＜2－1k

. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＜2－1k ＋1(k ＋1)2＜2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1k

－1k ＋1

＝2－1k ＋1命题成立．

浙江省温州市永嘉中学2017年自主招生选拔考试语文试卷(带答案)

温州市永嘉中学2017年自主招生选拔考试语文试卷 2017.2 一、基础知识积累与运用。(20分) 1．下列各组词语中，加点的字的注音全部正确的一项是（） A．掂．量diān 滇．剧diān 踮．脚diǎn 惦．念diàn B．着．急zhāo 爪．牙zhǎo 昭．彰zhāo 沼．泽zhǎo C．怪癖．pǐ琥珀．pò绷．脸bēng 钉．纽扣dìng D．佣．金yòng 佣．工yōng 供．认gōng 供．不应求gōng 2、下列词语中没有错别字的一项是（） A、妖饶好高骛远禁锢廓然无累 B、秘诀专心致志摇蓝恪守职守 C、喧响与日具增陨落无精打采 D、惘然斩钉截铁繁衍鞠躬尽瘁 3、下列句子加点的成语使用不正确的一项是（） A、这部文学名著塑造了众多的人物形象，其中不少形象个性鲜明，血肉丰满，呼之欲出 ．．．．，给读者留下了深刻的印象。 B、由于环境受到严重污染，这个曾经风光秀丽、游人如织的著名风景区，近年来，已经 无人问津 ．．．．了。 C、阳平镇有一处大型的露天蔬菜批发市场。这里每天门庭若市 ．．．．，来来往往的人们忙着采购各种新鲜蔬菜。 D、经北京市公安部门的全力侦破，轰动一时的故宫文物失窃案终于水落石出 ．．．．，出人意料的是偷窃文物者竟然是一个普通游客。 4、下列对病句的修改不正确的一项是（） A、一个人能取得卓越的成就，并不在于他就读的学校是重点还是普通，而在于他是否具 备成功的特质。（在“一个人能”后面加“否”） B、纪录片《舌尖上的中国》不仅引发了人们对“文化认同”和“软实力输出”的思考， 而且让人怀念童年时的美味。（将“文化认同”和“软实力输出”互换位置） C、弗洛伊德认为梦的材料来自三个方面：一是身体；二是白天经历的事情；三是儿童时 期的经历。（在“身体”后面加“的状态”） D、喜欢游泳的人大多有这种体验：不管天气很热，可是刚从水里出来时会感到有点凉， 有时甚至还会打一下寒战。（把“不管”改成“尽管”） 5．用成语替换下面句子中划线部分的内容，选出正确的一项是（）（3分）

黑龙江省大庆实验中学2021届高三上学期开学考试 文科数学

大庆实验中学2021届高三数学（文）上学期开学考试试题 一、单选题 1．已知集合{} 02A x x =≤≤，{ }1B x x =>．则( )A B =R （） A ．[0，1] B ．（1．2] C ．(],2-∞ D ．[ )0,+∞ 2．函数21 ()log f x x x =- 的零点所在区间为( ) A ．10,2?? ??? B ．1,12?? ??? C ．1,2D ．()2,3 3．设函数()f x 在1x =处存在导数为2，则0 (1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-=?（ ）. A ． 23B ．6C ．13 D ．1 2 4．已知命题:11p x ->，命题:1ln q x ≥，则p 是q 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（） A.2 B.3 C.4D ．5 6．在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为 （ ） A ． 44π-B ．4 πC ．3 4π-D ．24π- 7．下列说法正确的个数 有（ ）

①用2 2 12 1 () 1() n i i i n i i y y R y y ∧ ==-=- -∑∑刻画回归效果，当2R 越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好； ②命题“x R ?∈，210x x +-<”的否定是“x R ?∈，210x x +-≥”； ③若回归直线的斜率估计值是2.25，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是 2.254y x ∧ =-； ④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。 A ．1个B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．已知1a b >>，01c <<，下列不等式成立的是（） A ．a b c c >B ．ac bc < C ．log log c b a c > D ．c c ba ab < 9．函数()sin ln f x x x x =-的图象大致是（） A ． B ． C ． D ． 10．已知()2 ln f x a x x =-在区间()0,1内任取两个不相等的实数p q 、，不等式 ()()1 f p f q p q ->-恒成立,则实数a 的取值范围为 （ ） A ．()3,5B ．(],3-∞C ．(]3,5D ．[ )3,+∞ 11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()x f x e x =+，则()2a f =-， ()2log 9b f =，(5c f =的大小关系为（） A ． a b c >> B ． a c b >> C ． b a c >> D ． b c a >> 12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当11x -≤≤时，()2x f x =，函数

高中数学归纳法大全数列不等式精华版

§数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．

5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n

2019.2 Z20联盟考试信息试卷

绝密★考试结束前（高三返校联考） 浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届第二次联考 技术试题卷 信息命题：浙江元济高级中学周加峰刘洪杰审校：海宁高级中学陈跃桐乡高级中学范建农校对： 通用命题：永嘉中学杨和云、金雪红审校：嘉善高级中学鲍建国瑞安中学林长春校对： 第一部分：信息技术 一、选择题（本大题共12小题, 每小题2分, 共24分。每小题给出的四个选项中，只有一个符合 题目要求, 不选、多选、错选均不得分） 1．下列关于信息的说法不正 ．．确．的是 A．“无中生有”体现了信息的真伪性 B．在12306网站注册时设置复杂密码是为了提高信息的准确性 C．计算机内的信息采用二进制代码表示 D．同一条信息可以通过不同的载体保存和传播 2．下列属于静态图像压缩标准的是 A．JPEG B．ASCII C．MP3 D．MPEG 3．使用 Word 软件编辑某文档，部分界面如图所示。 下列说法正确的是 A．文档中图片的环绕方式是“嵌入型” B．删除批注，正文中的“建筑类”同时删除 C．取消修订状态，依然可以对之前的修订进行拒绝或者接受的操作 D．拒绝所有修订，最后一行文字为“这就形成了医疗行业的卖方市场。” 4．使用Access软件编辑数据表，其设计视图的部分界面如图所示。 下列说法正确的是 A.数据表名称为“books.accdb” B.“ID”字段值可以手工输入 C.“作者”字段值允许有重复 D.“单价”字段值可输入“28元”

5 A ．26 9 B ．28 11 C ．30 9 D ．30 11 6．某同学对音频素材“伴奏.wav ”依次做以下处理： ①“伴奏.wav ”压缩为“伴奏1.mp3” ②“伴奏1.mp3”压缩为“伴奏.rar ” ③“伴奏.rar ”解压缩为“伴奏2.mp3” 下列说法不正确．．．的是 A ．过程①为有损压缩，过程②为无损压缩 B ．“伴奏2.mp3”和“伴奏1.mp3”的音质相同 C ．过程①可使用GoldWave 软件实现 D ．“伴奏.wav ”和“伴奏.rar ”文件大小相同 7．使用UltraEdit 软件查看字符内码，部分界面如图所示。 其中，缺失的内码依次为 A ．68 3E 7A B ．6E 3E 7A C ．6E 8A 80 D ．68 8A 80 8．利用会声会影软件进行作品制作，部分操作界面如图所示。 下列说法不正确．．． 的是 A ．该作品使用了3个视频素材 B ．视频播放时，“3.mp4”会遮挡“5.mp4” C ．可以在视频轨或者覆叠轨上添加swf 格式的动画素材 D ．该作品添加的标题内容是“高三（5）主题班会” 9．使用Flash 软件编辑某按钮元件，部分界面如图所示。 下列操作可使按钮有效的是 A ．复制“背景”图层弹起帧，粘贴至点击帧 B ．在“背景”图层按下帧处执行清除关键帧操作 C ．在“文字”图层按下帧处执行插入帧操作 D ．删除“声音”图层点击帧

黑龙江省大庆实验中学2021届高三综合训练(三)数学(理)试题

黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（三）数学（理） 试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1 ．已知集合{ |A x y ==， {}2|76<0B x x x =-+，则()R C A B ?=（ ） A ．{}|1<<3x x B ．{}|1<<6x x C ．{}|13x x ≤≤ D ．{}|16x x ≤≤ 2．i 是虚数单位，复数z = ，则（ ） A ．122 z - = B ．z = C ．32z = D ．34z = + 3．下列命题中是真命题的是（ ） ①“1x >”是“21x ”的充分不必要条件； ②命题“0x ?>，都有sin 1x ”的否定是“00x ?>，使得0sin 1x >”； ③数据128,, ,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x ---的平均数是6； ④当3a =-时，方程组23210 6x y a x y a -+=??-=? 有无穷多解. A ．①②④ B ．③④ C ．②③ D ．①③④ 4．二项式2 6 1()2x x - 的展开式中3x 的系数为（ ） A ．52- B ． 52 C ． 1516 D ．316 - 5 ．设不等式组00 x y x +≥???≤??表示的平面区域为Ω，若从圆C ：22 4x y +=的内部随 机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（ ） A ． 524 B ． 724 C ． 1124 D ． 1724 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为（）

2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高一12月月考数学(详细答案版)

2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高一12月月考数学 一、选择题：共12题 1．= A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查特殊角的三角函数值和诱导公式的应用. , 故选D. 2．函数的最小正周期是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查正切函数的周期性. 根据正切函数的周期公式可得，故选A. 3．单位圆中弧长为1的弧所对圆心角的正弧度数是 A. B.1 C. D.不能确定 【答案】B 【解析】本题主要考查弧长公式的应用. 根据弧长公式可得,故选B. 4．函数的图像的一条对称轴方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的对称性. 根据题意，令,解得,

当k=0时，， 故选A. 5．函数在区间上的最小值为 A. B.0 C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查三角函数的最值.考查数形结合的数学思想. 根据正弦函数的图象可知，当时，y=sin x单调递增， 故,, 故最小值为1， 故选C. 6．把函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像所表示的函数是A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要三角函数图象的变换. 根据题意，把函数的图像向左平移个单位， 可得, 故选B. 7．下列关系中正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查利用三角函数的诱导公式和单调性比较大小. ,y=sin x在上单调递增， .

即， 故选B. 8．若函数是奇函数，则的值可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查三角函数的奇偶性和三角函数的图象. 由于函数是奇函数，故, 当k=1时，, 故选D. 9．已知函数为定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用. 为定义在上的奇函数，在上单调递增， 故在R上为增函数， , 解得, 故选D. 10．使在区间至少出现2次最大值，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查正弦函数的图象．属基础题． 要使在区间至少出现2次最大值， 只需要满足， ， ，

高考真题突破：数学归纳法

专题十三 推理与证明 第三十九讲 数学归纳法 解答题 1．（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈* N ． 证明：当n ∈* N 时 （Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1 122 n n n n x x x x ++-≤ ； （Ⅲ）1211 22 n n n x --≤≤． 2．(2015湖北) 已知数列{}n a 的各项均为正数，1 (1)()n n n b n a n n +=+∈N ，e 为自然对数的 底数． （Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1 (1)n n +与e 的大小； （Ⅱ）计算 11b a ，1212 b b a a ，123123 b b b a a a ，由此推测计算12 12n n b b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令112()n n n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <． 3．(2014江苏)已知函数0sin ()(0) x f x x x =>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ． （Ⅰ）求()() 122222 f f πππ+的值； （2）证明：对任意的n *∈N ，等式()( ) 1444n n nf f -πππ+=成立． 4．（2014安徽）设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈． （Ⅰ）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p +>+1)1(； （Ⅱ）数列{}n a 满足p c a 11>，p n n n a p c a p p a -++-= 111， 证明：p n n c a a 1 1>>+． 5．（2014 重庆）设1 11,(*)n a a b n N +==+∈

浙江省温州永嘉县普通中学和小学在校学生数量3年数据专题报告2019版

浙江省温州永嘉县普通中学和小学在校学生数量3年数据专题报告2019版

序言 温州永嘉县普通中学和小学在校学生数量数据专题报告从普通中学在校学生数量，小学在校学生数量等重要因素进行分析，剖析了温州永嘉县普通中学和小学在校学生数量现状、趋势变化。 借助对数据的发掘及分析，提供一个全面、严谨、客观的视角来了解温州永嘉县普通中学和小学在校学生数量现状及发展趋势。温州永嘉县普通中学和小学在校学生数量专题报告数据来源于中国国家统计局等权威部门，并经过专业统计分析及清洗而得。 温州永嘉县普通中学和小学在校学生数量数据专题报告以数据呈现方式客观、多维度、深入介绍温州永嘉县普通中学和小学在校学生数量真实状况及发展脉络，为需求者提供必要借鉴及重要参考。

目录 第一节温州永嘉县普通中学和小学在校学生数量现状 (1) 第二节温州永嘉县普通中学在校学生数量指标分析 (3) 一、温州永嘉县普通中学在校学生数量现状统计 (3) 二、全省普通中学在校学生数量现状统计 (3) 三、温州永嘉县普通中学在校学生数量占全省普通中学在校学生数量比重统计 (3) 四、温州永嘉县普通中学在校学生数量（2016-2018）统计分析 (4) 五、温州永嘉县普通中学在校学生数量（2017-2018）变动分析 (4) 六、全省普通中学在校学生数量（2016-2018）统计分析 (5) 七、全省普通中学在校学生数量（2017-2018）变动分析 (5) 八、温州永嘉县普通中学在校学生数量同全省普通中学在校学生数量（2017-2018）变动对 比分析 (6) 第三节温州永嘉县小学在校学生数量指标分析 (7) 一、温州永嘉县小学在校学生数量现状统计 (7) 二、全省小学在校学生数量现状统计分析 (7) 三、温州永嘉县小学在校学生数量占全省小学在校学生数量比重统计分析 (7) 四、温州永嘉县小学在校学生数量（2016-2018）统计分析 (8) 五、温州永嘉县小学在校学生数量（2017-2018）变动分析 (8)

浅谈数学归纳法在高考中的应用

1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++??????=?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发

大庆实验中学2020-2021上学期高三期末考试数学(理)试题

大庆实验中学2020-2021上学期高三期末考试数学（理）试题答案 一．选择题 ACDBB DABBA AB 二．填空题 13.3log 2±；14.1215；15.2；16.8 三．解答题 17.【解析】（1）当n ＝1时，12a =，当2n ≥时a 1＋a 2＋a 3＋…＋1n a -＝12n -② ①-②得1 2n n a -=经检验1a 不符合上式 ∴12,1 2,2n n n a n =-=??≥?.（6分） （2）由（1）得当n ＝1时12b = 当2n ≥时()()n 2n b n 1log a 11n n =+=+-（）, ∴( )()()n 1111 12b 11211n n n n n ?? ==-≥ ?-+-+??. ()n 12n 1 11521 ...b b b 421 n S n n +∴=+++=-+.（12分） 18.【解析】（1）4656 56666676 0.010100.020100.04510222x +++=??+??+?? 7686 8696 0.020100.0051022+++??+?? 70=.（3分） （2）由题意样本方差2100s = ，故10σ≈=. 所以2(70,10)X N ， 由题意，该厂生产的产品为正品的概率(6090)(6070)(7090)P P X P X P X =<<=<<+<< 1 (0.68270.9545)0.81862=+=.（6分） （3）X 所有可能为0,1,2,3. ()0335385028C C P X C === ()12 353815 128 C C P X C ===

()21353815256C C P X C === ()3035381356 C C P X C ===.（10分） X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 528 1528 1556 156 ()9 8E X =.（12分） 19.【解析】（1）取BC 的中点F ，连接EF ，HF . ∵H ，F 分别为AC ，BC 的中点， ∴HF ∥AB ，且AB ＝2HF . 又DE ∥AB ，AB ＝2DE ，∴HF ∥DE 且HF ＝DE ， ∴四边形DEFH 为平行四边形．∴EF ∥DH ， 又D 点在平面ABC 内的正投影为AC 的中点H ， ∴DH ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ，∵EF BCE ?面∴ECB ABC ⊥面面.（5分） （2）∵DH ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴以C 为原点，建立空间直角坐标系,则B (0,2,0)，D ????1 2，0，1，()0,1,1E 设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，CD ＝????12，0，1，CE ＝()0,1,1， 则1 020 x z y z ? +=???+=?取y ＝1，则x ＝2，z ＝-1.∴n ＝(2,1,1)， ∵1 ,2,12BD ??=- ???∴214 sin cos ,21BD n BD n BD n α=== ∴BD 与面CDE 夹角的余弦值为385 .（12分） 20.解析：【解析】（1）由题意

2020-2021学年黑龙江大庆实验中学高一上期末数学试卷

【最新】黑龙江大庆实验中学高一上期末数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，则集合 （ ） A ． B ． C ． D ． 2．根据表格内的数据，可以断定方程的一个根所在区间是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若，则的大小关系是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 4．某工厂生产某种产品的月产量y 和月份x 满足关系0.5x y a b =+.现已知该厂1月份、 2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为（ ） x x c b x a x ln ln 2,) 2 1(,ln ),1,0(===∈c b a ,,a b c >>b a c >>b c a >>c b a >>

A ．1.75万件 B ．1.7万件 C ．2万件 D ．1.8万件 5．已知，且，则下列各式中正确的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 6．已知为锐角，，则的值是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 7．已知非零向量 ，且，则 与的夹角是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、8．已知函数给出函数的下列五个结论： （1）最小值为； （2）一个单调递增区间是； （3）其图像关于直线对称； （4）最小正周期为； （5）将其图像向左平移 后所得的函数是偶函数. 其中正确结论的个数是（ ） A 、 4 B 、3 C 、2 D 、1 9．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 若对满足的，有 ，则 =（ ） A ． B ． C ． D ． 10．若，则 （ ） A 、1 B 、 C 、 D 、 R y x ∈,2323x y y x --+>+0x y ->0x y +<0x y -<0x y +>A n A m A =-=+)cos 1lg(,)cos 11 lg(A sin lg b ,a =)2(b a a +⊥3π2 π 23π56π? ??<≥=x x x x x x x f cos sin ,cos cos sin ,sin )()(x f 2 2- )2 ,43(ππ- )(4 Z k k x ∈+=π ππ24 π 7 tan 3tan πα=sin()75cos() 14 π απα-=-21314 1

2020黑龙江大庆实验中学理综物理

二、选择题：本题共8小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但选不全得3分，有选错的得0分。 14．下列说法正确的是（ ） A ．只要照射到金属表面上的光足够强，金属就一定会发出光电子 B ．4141612781He N O H +→+是卢瑟福发现质子的核反应方程 C ．放射性物质的半衰期不会随温度的升高而变短 D ．一个处于量子数n=4能级的氢原子，最多可辐射出6种不同频率的光子 15．两物体分别在某行星表面和地球表面上由静止开始自由下落相同的高度，它们下落的时间之比为2:3．已知该行星半径约为地球的2倍，则该行星质量与地球质量之比约为（ ） A ．9:1 B ．2:9 C ．3:8 D ．16:9 16．如图，在倾角为α的固定光滑斜面上，有一用绳子栓着的长木板，木板上站着一只猫.已知木板的质量是猫的质量的2倍。当绳子突然断开时，猫立即沿着板向上跑，以保持其相对斜面的位置不变.则此时木板沿斜面下滑的加速度为（ ） A ．sin 2g α B ．sin g α C ．32sin g α D ．2sin g α 17．如图所示，A 、B 为竖直放置的平行板电容器的两个极板，G 为静电计，E 为恒压电源. 则下列说法正确的是（ ） A ．保持开关S 闭合，仅将A 板缓慢竖直上移一小段距离，则静电计指针张开的度将大 B ．保持开关S 闭合，仅将A 板缓慢向B 板靠近，则静电计指针张开的角度将变大 C ．开关S 闭合后断开，仅将A 板缓慢远离B 板，则静电计指针张开的角度将不变 D ．开关S 闭合后断开，仅将A 板缓慢竖直上移一小段距离，则静电计指针张开的角度将变大 18．水平地面上两个质点甲和乙，同时由同一地点沿同一方向作直线运动，它们的v -t 图线如图所示。下列判断正确的是（ ） A ．甲做匀速运动，乙做匀加速运动 B ．2s 前甲比乙速度大，2s 后乙比甲速度大

永嘉中学天文社(2015年2016年)

永嘉实验中学天文社（2015年—2016年）本社是一个由学生自主管理，自我约束的社团。目前，社团设有社长一名。社员共有24名，指导教师三名。 天文社为每一个天文爱好者提供了一个学习、成长、交流的舞台。所有社员都能够在此获取知识，发挥各自的才华，团结互助，增进友谊。 社团的目的是普及天文科学，丰富学生课余生活，激发大家热爱科学、勇于探索、乐于奉献、敢于创新的精神。 在全体社员的共同努力下，我们有信心，把社团的明天建设的更好，在校园的社团中增加自己的一抹亮色。 天文社主要成员： 天文社负责老师：李永旺（校天文台管理员） 尤爱惠（总顾问、浙江省优秀天文指导师） 朱拓（负责初一段社员）、潘微芳（负责初二段社员） 天文社负责学生：天文社社长：谢承明（15级12班）， 天文社副社长：陈浩（15级13班）、叶茂树（15级6班） 天文社活动时间：星期三下午第三、四节 天文社会员章程 第一章总则 第一条本章程是文学社开展活动的基本准则。 第二章第二条文学社接受实验中学校团委的直接领导，坚决执行学校行政会的相关决议。 第三条天文学社旨在提高我校的人文素养，在社内营造一种人文氛围，扩大广大学生的视野，加强与外界的交流和合作，为大家提供一个展现个性风采 的青春舞台。 第四条如无特别说明，社员专指一般社员。 第二章社员 第五条社员义务 （一）有努力学习、遵守校纪校规、维护学校形象的义务。 （二）有自觉遵守文学社纪律，严格执行文学社决议，热心本职工作，努力完成文学社交派的义务。 （三）有宣传天文社、维护天文社形象的义务。 （四）有推荐文学爱好者加入天文社的义务。 （五）有按期向天文社交递个人作品、推荐外学生优秀作品的义务。 第六条社员权利 （一）享有参与天文社内的选举、被选举和表决的权利。 （二）享有向天文社提出工作建议、监督天文社内工作的权利。 （三）享有向天文社组织的有关讲座、培训及其他活动的权利。 （四）享有向社刊投稿优先发表、作品向校外刊物优先推荐的权利。

浙江省温州市永嘉县岩头镇中学2019——2020学年七年级上学期期中科学试题

浙江省温州市永嘉县岩头镇中学2019——2020学年七年级上 学期期中科学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．如下图，哪个标志显示物质有腐蚀性（） A．B． C．D． 2．如表格所示，对四种动物进行分类的依据是（） A．是否会生长 B．有无脊椎 C．是否属于哺乳动物 D．是否属于食草动物 3．下列实验操作规范的是（） A．液体倒入试管 B．点燃酒精灯 C．滴加液体 D．读取液体体积 4．小强在野外采集了4种植物P、Q、R、S，并设计以下的二歧式检索表来分辨这些植物如图所示，这些植物中有一株是马铃薯，它是（）

A．P B．Q C．R D．S 5．小刚在室温为20℃的实验室内测量一杯热水的温度，当他将水银温度计的玻璃泡浸入热水中时，发现温度计内的水银柱很快上升。当某时刻水银面经过35℃这一刻度时，这示数表示( ) A．此时刻热水的温度B．此时刻房间内气温 C．此时刻玻璃泡内水银温度D．不能表示任何物体的温度 6．科学实验中，我们用显微镜观察微小的物体，用天文望远镜观测遥远的星体。我们在科学研究中借助这两种仪器是为了（） A．完成观察任务 B．得到观察结果 C．延长观察时间 D．拓展人们的观察力 7．阿基米德是古希腊伟大的科学家。一次国王故意为难阿基米德，他在众臣面前一定要让阿基米德说出眼前池塘里的水有多少桶，阿基米德略加思索后回答：若桶跟池塘一样大的话，池塘里的水就只有一桶；若桶跟池塘的十分之一大的话，池塘里的水就有十桶；若……这则故事说明了（） A．测量总是有误差的 B．测量所能达到的准确程度由刻度尺的最小刻度决定 C．测量工具的大小决定了物体的大小 D．测量前应该选择合适的测量工具 8．下列所列举的各个细胞中，功能最强的是（） A．人的一个脑细胞 B．树叶上的一个细胞 C．猫头鹰眼睛里视网膜上的一个细胞

大庆实验中学2015-2016高三上学期期末数学试题(理)

大庆实验中学2015—2016高三上半学年数学（理） 期末考试 第Ⅰ卷(选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{ } 2 ,12B y y x x ==--≤≤，则A B 等于（ ） A ．R B ．{}0 C ．{} ,0x x R x ∈≠ D ．? 2. 化简 2 24(1)i i ++的结果是（ ） A.2i + B.2i -+ C.2i - D.2i -- 3. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ） A ．32 B.323 C.48 D. 163 4. 在ABC △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD = （ ） A. 2133b c - B.5233c b - C. 2133b c + D.1233b c + 5. 若点(2,0)P 到双曲线22 221x y a b -= 则双曲线的离心率（ ） C. D. 6.函数f (x )＝sin()x ω(ω>0)在区间[0, ]4π 上单调递增，在区间[,]43 ππ 上单调递减，则ω为( ) A.1 B.2 C ． 3 2 D ． 23 7.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在2 [2,3]a a --上的偶函数，那么a ＋b 的值是 ( ) A ．3 B. －1 C. －1或3 D ． 1

8. 已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是1123x x ?? - <<-???? ，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( ) A. {} 23x x << B. {} 23x x x ≤≥或 C. 1132x x ??<??? ?或 9. 已知变量x ，y 满足条件???? ? x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0， y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取 得最大值，则a 的取值范围是（ ） A.1 [,)2+∞ B. 1[,)3+∞ C.1(,)3+∞ D. 1(,)2 +∞ 10. 将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，则三棱锥C ABD -的外接球表面积为（ ） A. 16π B. 12π C. 8π D. 4π 11. 已知数列{}n c 的前n 项和为n T ，若数列{}n c 满足各项均为正项，并且以(,)n n c T (n ∈N * ) 为坐标的点都在曲线2,022 a a ay x x b a = ++（为非常数）上运动，则称数列{}n c 为“抛物数列”.已知数列{}n b 为“抛物数列”，则（ ） A. {}n b 一定为等比数列 B. {}n b 一定为等差数列 C.{}n b 只从第二项起为等比数列 D. {}n b 只从第二项起为等差数列 12. 已知函数()f x 在0,2π?? ??? 上处处可导，若[()()]tan ()0f x f x x f x '--<，则（ ）． A.3 3(ln )sin(ln )22f 一定小于550.6(ln )sin(ln )22 f B. 33(ln )sin(ln )22f 一定大于550.6(ln )sin(ln )22 f C. 33(ln )sin(ln )22f 可能大于550.6(ln )sin(ln )22 f

2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期复习考试数学(文)试题(解析版)

2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期复习考试 数学（文）试题 一、单选题 1．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -?--===--?-Q 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限. 故选B. 点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．设全集U =R ，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =I （ ） A ．{|1}x x ≥ B ．{|12}x x ≤< C ．{}1 D ．{}0,1 【答案】D 【解析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可. 【详解】 由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =. 又(2) {|2 1}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=?-≤ 所以02x ≤≤,故{}{0,1 },|02A B x x ==≤≤ , 所以{}0,1A B =I . 故选D. 【点睛】 本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围.

3．已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是 3 4 ，则此椭圆的标准方程是（ ） A ．22 1167 x y += B ．22 1716x y += C ．22 16428 x y += D ．22 12864 x y += 【答案】A 【解析】由椭圆的长轴长及离心率的值，可求出,,a b c ，进而结合椭圆的焦点在x 轴上，可得出椭圆的标准方程. 【详解】 由题意知，28a =，∴4a =，又3 4 e = ，∴3c =，则2227b a c =-=. 因为椭圆的焦点在x 轴上时，所以椭圆方程为221167 x y +=. 故选：A . 【点睛】 本题考查椭圆标准方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 4．如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘， O 为圆心，阴影部分所对的圆心角为90?；图②是正六边形，点Р为其中心)各有一个 玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（ ） A ． 1 16 B ． 1124 C ． 1324 D ． 516 【答案】B 【解析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率，由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果. 【详解】 图①小球落在阴影部分的概率为：2122 13 21446 4P πππ-??=?=?

补写的魅力

补写的魅力 浙江省永嘉中学金晓忠 师：读到小说最后，我们才知道最后一片常春藤叶是假的，是贝尔曼画上去的，但贝尔曼如何画叶子却没有具体描写出来，请大家结合最后一段苏艾叙述的内容，展开想象，把这个细节补写出来。（10分钟时间） 师：我找三个同学展示所写的内容。 生：风杂夹着雨,怒号着，翻滚着，天阴沉地可怕。老贝尔曼匆匆披了件雨衣，拿起笔和调色板、颜料，提着一个灯笼就冲出了门外。天暗得犹如怪物张开的血盆大口，雨似乎更大了，肆虐着打在贝尔曼瘦弱的身躯上，那最后一片常春藤叶早已不知吹飞到哪里去了。贝尔曼走到角落，一点点吃力地挪动着梯子，雨实在是太大了，他拖动沉重的梯子，梯子“吱呀吱呀”地叫唤着，在凄风苦雨中似乎也摇摇欲坠。老贝尔曼一步一步地爬上去，没走几步就得停下来喘上几口，再一点点上移。当他终于等到梯顶的时候，却不顾风雨把雨衣给脱下了，因为他知道这会影响他绘画，而使叶子丧失了真实性。他低下头，用画笔一点点地勾勒、描摹、上色，雨毫不留情地打在他的眉毛上、脖子上、身体上，刺骨的，冰冷的，强硬地侵入他的身体内，衣服和鞋子在雨中全湿透了，他只是在手快僵住的时候朝手上呼几口气，嘴里喃

喃自语：“哦，可怜的琼珊啊……”灯笼里柔和的灯光，在风雨中点亮这贝尔曼虚弱的脸庞，点亮着墙壁上最后的那片染上黄色的深绿的叶…… 生：在风雨里，老贝尔曼铆足了劲把梯子摆到了琼珊的病房对面的墙上。灯笼在寒风中摇曳，火光肆意地蹿动，映红了贝尔曼疲惫的脸。他一手持着灯笼，一手紧紧抓着早已调好颜色的调色板与几支画笔。他用冰冷的手指一丝不苟地勾勒出常春藤叶，叶柄颜色涂上了深绿，锯齿形的边缘用黄色渲染。停笔，结束了。老贝尔曼如释重负，虚弱的身躯无法再承受风雨的侵袭。他倒下了，却留下了那最后一片常春藤叶。 生：老贝尔曼站在窗前，一手拿着博朗姆酒瓶，盯着树上的最后一片叶子，他看见它就像弱不禁风的孩子被风雨卷走了。“哦，真想不通，这该死的叶子……”贝尔曼醉醺醺地咕哝着。突然，他眼中闪过一丝坚毅，他转过摇晃的身子，拿起画板前积了灰的画笔颜料和调色板“真是太蠢啦！”贝尔曼埋怨着，却拿起桌上点燃的灯笼，头也不回地撞向门外，闯进了寒风呼啸的黑夜。贝尔曼从别处移来梯子，架在常春藤树后的墙上，用微弱的火光照着树干映射到墙的地方。“嘿……没错，是这儿。”贝尔曼的灰白的头发湿乎乎地紧贴在粗糙宽大的额上。他脱下破旧的马甲外套遮盖在墙上，拿起画笔，在隐秘而寂静的黑夜里，在梯子上细细作画。凄凉而凶悍的冰凉的刀剑刮在贝尔曼背上，