平均值不等式11
高二年级班第组学生姓名组评：
编写时间：年月日授课时间：年月日共2 课时
课题：
§3平均值不
等式
主备人王显臣审核人
学习目标1．掌握定理1和定理2及其证明，并能灵活应用．2．理解定理3和定理4及其证明，并能简单应用．3．会用相关定理解决简单的最大(最小)值问题．
学习重难点对定理1和定理2的理解
课时安排 2 教学用具
教学过程
师生笔记学习
流程
学习内容
自
主
学
习
自
主
预
习
学
案
1．二元均值不等式
(1)定理1：
对任意实数a，b，有a2＋b2≥____(此式当且仅当a＝b时取“＝”号)．
(2)定理2：
对任意两个正数a，b，有______≥ab(此式当且仅当a＝b时取“＝”号)．
我们称______为正数a与b的算术平均值，______为正数a与b的几何平均值．
定理2可叙述为：两个正数的__________不小于它们的__________．
【做一做1－1】函数y＝
1
x－3
＋x(x＞3)的最小值是( )．
A．5 B．4 C．3 D．2
【做一做1－2】“a＞b＞0”是“ab＜
a2＋b2
2
”的( )．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件[来源:学科网ZXXK]
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．三元均值不等式及其推广
(1)定理3：[来源:https://www.wendangku.net/doc/4617637787.html,]
对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥____(此式当且仅当a＝b＝c时取“＝”
号)．
(2)定理4：
对任意三个正数a，b，c，有
a＋b＋c
3
≥
3
abc(此式当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．定理4可叙述为：三个正数的__________不小于它们的__________．
(3)n个正数的算术几何平均不等式：
一般地，对n个正数a1，a2，…，a n(n≥2)，我们把数值______________，__________分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值，且有______________≥
n
a1a2…a n，此式当且仅当____________时取“＝”号，即n个正数的算术平均值不小于它们的__________．
【做一做2】设x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1．求证：
1
x
＋
4
y
＋
9
z
≥36．
预习展示
探究交流【例1】若x＞0，y＞0，x＋y＝1，求证：????
1＋
1
x?
?
?
?
1＋
1
y≥9
【例2】设x≥0，y≥0，x2＋
y2
2
＝1，求x1＋y2的最大值．
【例3】求函数f(x)＝x(5－2x)2?
?
??
?
0 5 2 的最大值． 【例4】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底面宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a m，高为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60 m2，问当a，b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A，B孔的面积忽略不计) 训练达标 1下列结论正确的是( )． A．当x＞0且x≠1时，lg x＋ 1 lg x ≥2 B．当x＞0时，x＋ 1 x ≥2 C．当x≥2时，x＋ 1 x 的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x－ 1 x 无最大值 2已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则 1 a ＋ 1 b ＋ 1 c 与9的大小关系是( )．A． 1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ≥9 B． 1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ＜9 C． 1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ＝9 D．不确定 3若x，y是正数，则? ? ?? ? x＋ 1 2y 2＋ ? ? ?? ? y＋ 1 2x 2的最小值是__________．4设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1)，画面的上、下各留8 cm的空白，左、右各留5 cm的空白．怎样确定画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张面积最小？ 课内 小结作业布置 教学 反思 备注