第27章《相似》全章教案

第27章《相似》全章教案

27．1

第一课时

一、

(一)

通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别

(二)

通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，能用

(三)

二、

引导学生观察图形，并从中获取信息，培养他们的观察、分析及归纳

三、

四、

一、创设情境，导入新课：

观察教材第36页的两组图形，你能发现它们之间有什么关系?

二、师生互动，探索新知：

1、观察下列几组几何图形，你能发现它们之间有什么关系?

从而得出：具有相同形状的图形叫相似形．（出示课题——图形的相似）

2、对(2)中的3组图形，通过图形的缩小或放大，再利用图形的平移或旋转等变换，使它与另一个图形能够重合，从而加以验证它们是相

3

三、试一试：利用课本后面的网格或格点图纸设计出几组相似的图形，并利用幻灯片加以

四、探究：

1、思考教科书第37页观察中的问题，哈哈镜里看到的不同镜像它们相似吗？

2、观察下图中的3组图形，它们是不是相似形?为什么?

(激发学生的求知欲，为下一节课“相似图形的特征”做好准备)

五、

完成课本第37页练习第1、2

六、

这节课你哪些收获?

1、根据今天所学的内容，请你收集或设计一些相似的图案．

2、习题27.1第1、2题．

27．1 图形的相似

第二课时

一、

(一)

通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别

(二)

1、经历对相似图形观察、分析、欣赏以及动手操作、画图、测量等过程，能用所学的知识去解决问题；

2、回顾相似图形的性质、定义，得出相似三角形的定义及其基本性质。

(三) 德育目标

通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，在获得知识的过程中培养学习的自信心．发展审美能力，增强对图形欣赏的意识。

1．情境导入

播放多媒体——教材中的图27．1．l-4 （1）（用投影幻灯片或用教学挂图展示）．观察相似三角形的特征，得出：三角相似的对应角相等、对应边成比例以及相似比．

2．课前热身

分组活动：（5分钟）复习相似变换图形，掌握相似形的基本特征：对应角相等，对应

边的比相等．

3．合作深究

（1）整体感知

从回顾旧知“相似多边形性质”入手定义相似三角形，认识符号相似于“∽”，会用数学语言表达两个三角形相似——从课本第41页中“习题27.1第5题”，通过测量得到DE∥BC时，△ADE∽△ABC－一给出三角形相似的定义．

（1） 四边互动

课本第38页中图27．1．1-4．这两个图形有何共同特征？ 明确 图上所展示的两个相似图形中，∠A=∠A ＇，∠Ｂ＝∠Ｂ＇，

∠Ｃ＝∠Ｃ＇，

''''''

AB BC AC

A B B C A C ==． 定义相似比：两个相似三角形对应边的比叫相似比．

注意：相似比是有顺序的，△ABC 与△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇的相似比为k ，则△A ＇B ＇C ＇与△ＡＢＣ的相似比为

1k

． 课本中第39页图27.1-5．△ABC 与△ADE 的三个角对应相等吗？为什么？

△ABC 与△ADE 的三边对应成比例吗？量量看．

（动手测量得出结论并与同伴交流） 师：△ABC 与△ADE 相似吗？

明确 在同学交流、评判的过程中，老师进一步阐述，平行于三角形一边的直线截其他两边或其延长线所得的三角形与原三角形相似． 4．达标反馈

课本第40页练习第 l －3 题．

注：（１）题中找对应边应考虑长边与长边、中边与中边、短边与短边是否对应成比例及大角与大角、小角与小角、中角与中角是否对应相等．

5．学习小结 （１）内容总结

相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．

两个相似三角形对应边的比称为相似比，相似比是有顺序的．△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的相似比为k ，则△A ＇B ＇C ＇与△ABC 的相似比为

1

k

． 平行于三角形一边的直线截三角形的另两边，所得对应线段成比例．

（2）方法归纳

学会动手画平行线，动手测量、计算、观察、猜想总结规律；重在培养学生的合作、交流与探索的能力． （3）作业

课本第41页习题27．1第4、7题．

27．2．1相似三角形的判定

第一课时

教学目标

(一)知识与技能

1、了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法“平行于

三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角

形相似”；

2、掌握“如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三

角形相似”的判定定理。

(二)过程与方法

培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。

（三）德育目标

让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。

〔教学重点与难点〕

教学重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1

教学难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程

教学过程

新课引入：

1．复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义2．回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。

提出问题：

如图27·2-1，在?ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E ，?ADE与?ABC有什么A

B D E

C F

关系？

分析：观察27·2-1易知AD=12AB ，AE=1

2

AC ，∠A=∠A ，∠ADE=∠ABC ，

∠AED=∠ACB ，只需引导学生证得DE=1

2

BC 即可，学生不难想到过

E 作

EF ∥AB 。?ADE ∽?ABC ，相似比为1

2

。 延伸问题：

改变点D 在AB 上的位置，先让学生猜想?ADE 与?ABC 仍相似，然后再用几何画板演示验证。

归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 探究方法： 探究1

在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？

分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流）

在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。 分析：作A 1D=AB ，过D 作DE ∥B 1C 1，交A 1C 1于点E ? ?A 1DE ∽?A 1B 1C 1。用几何画板演示?ABC 平移至?A 1DE 的过程

?

A 1D=A

B ，A 1E=A

C ，DE=BC ??A 1DE ≌?ABC ?

?ABC ∽?A 1B 1C 1

归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

A

B

C

A 1

B 1

C 1

D E

符号语言：若11AB A B =11BC B C =11

CA

k C A = ，则?ABC ∽?A 1B 1C 1

运用提高：

1．P 47练习题1（2）。 2．P 47练习题2（2）。

课堂小结：说说你在本节课的收获。 布置作业：

1．必做题：P 55习题27·2题2（1），3（1）。 2．选做题：P 55习题27·2题4，5。 3．备选题：

如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延

长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（ ） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对

A

B

C

A 1

B 1

C 1

27．2．1相似三角形的判定

第二课时

教学目标：

(一)知识与技能

1、掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理；

2、掌握两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似的

判定定理。

(二)过程与方法

会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。

(三)德育目标

1、从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培

养学生用类比的方法展开思维；

2、通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数

学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣。

教学重点：

掌握两个判定定理，会运用两个判定定理判定两个三角形相似

教学难点：

1、探究两个三角形相似的条件；

2、运用两个三角形相似的判定定理解决问题。

教学过程

新课引入：

1、复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的

区别与联系：

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（相似的判定方法1）

2、回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程 探究两个三角形相似判定方法2的途径 提出问题：

利用刻度尺和量角器画?ABC 与?A 1B 1C 1，使∠A=∠A 1，11AB A B 和11

AC

A C 都

等于给定的值k ，量出它们的第三组对应边BC 和B 1C 1的长，它们的比等于k 吗？另外两组对应角∠B 与∠B 1，∠C 与∠C 1是否相等？

（学生独立操作并判断）

分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC 和B 1C 1的比都等于k ，另外两组对应角∠B=∠B 1，∠C=∠C 1。 延伸问题：

改变∠A 或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。） 探究方法： 探究2

改变∠A 或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？ 归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）

符号语言：若∠A=∠A 1，

11AB A B =11

AC

A C =k ，则?ABC ∽?A 1

B 1

C 1

辨析：对于?ABC 与?A 1B 1C 1，如果11AB A B =11

AC

A C ，∠B=∠

B 1，

这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。） 应用新知：

例1：根据下列条件，判断 ?ABC 与?A 1B 1C 1是否相似，并说明理由：

A

B

C

A 1

B 1

C 1

（1）∠A ＝1200，AB=7cm ，AC=14cm ， ∠A 1＝1200，A 1B 1= 3cm ，A 1C 1=6cm 。 （2）∠B ＝1200，AB=2cm ，AC=6cm ， ∠B 1＝1200，A 1B 1= 8cm ，A 1C 1=24cm 。 分析: （1）

11AB A B =11AC A C =7

3

,∠A=∠A 1＝1200

?ABC ∽?A 1B 1C 1

（2）

11AB A B =11AC A C =1

4

,∠B=∠B 1＝1200

但∠B 与∠B 1不是AB ﹑AC ﹑ A 1B 1 ﹑A 1C 1的夹角， 所以?ABC 与?A 1B 1C 1不相似。 课堂小结：说说你在本节课的收获。 布置作业：

1、必做题：P 55习题27·2题2（2），3（2）。

2、选做题：P 56习题27·2题8。

27．2．1相似三角形的判定

第三课时

教学目标

(一)知识与技能

掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

(二)过程与方法

培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。

(三)德育目标

让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。

〔教学重点与难点〕

教学重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用

教学难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程

教学过程：

新课引入：

复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS ﹑SAS）的区别与联系：

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法2）

提出问题：

观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。

如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？

延伸问题：

作?ABC与?A

1B

1

C

1

，使得∠A=∠A

1

，∠B=∠B

1

，这时它们的第三角满

足∠C=∠C 1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算

11AB A B ﹑11

BC

B C ﹑11

AC

A C ，你有什么发现？（学生独立操作并判断） 分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足 ∠C=∠C 1，

11AB A B =11BC B C =11

AC

A C 。 分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。） 探究方法： 探究3

分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。）

归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，

那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）

符号语言：

若∠A=∠A 1，∠B=∠B 1 ，则?ABC ∽ ?A 1B 1C 1

应用新知：

例2 如图27·2-7，弦AB 和CD 相交于⊙O

内一点P ，

求证：PA ·PB=PC ·PD 。 分析：欲证PA ·PB=PC ·PD ，只需

PA PC PD PB =，欲证PA PC

PD PB

=只需?PAC ∽?PDB ，欲证?PAC ∽?PDB ，只需∠A=∠D ，∠C=∠B 。

C

B

A

B C

A 1

B 1

C 1

运用提高： 1、P 49练习题1。 2、P 49练习题2。

课堂小结：说说你在本节课的收获。 布置作业：

1、必做题：P 55习题27·2题2(3)。

2、选做题：P 57习题27·2题11。

3、备选题：

如图AD ⊥AB 于D ，CE ⊥AB 于E 交AB 于F ，

则图中相似三角形的对数有

对。

27．2．2相似三角形应用举例

教学目标 (一)知识与技能

让学生学会运用两个三角形相似来解决实际问题。 (二)过程与方法

1、让能学生综合运用相似的知识，加深对相似三角形的理解和认识。

2、让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。

C

(三)德育目标

培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力；发展学生的数学应用意识。

教学重点：运用两个三角形相似解决实际问题 教学难点：在实际问题中建立数学模型 教学过程 新课引入：

1、复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义

2、回顾相似三角形的概念及判定方法 提出问题：

利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题？（学生小组讨论）

“相似三角形对应边的比相等”?四条对应边中若已知三条则可求第四条。 一试牛刀：

例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。

如图27．2-8，如果木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度BO 。

分析：BF ∥ED ?∠BAO=∠EDF 又∠AOB=∠DFE=900

??ABO ∽?DEF ?

BO OA EF FD =?201

23

BO = 二试牛刀：

B

例4：如图27．2-9，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得

QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ。

分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P

??PQR∽?PST

?

8 1.6 6.4

512 1.610.4

FH

FH

-

==

+-

，即

PQ QR

PQ QS ST

=

+

，

60

4590

PQ PQ =

+

，

90(45)60

PQ PQ

?=+?。解得PQ=90

三试牛刀：

例5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？

分析：,

AB l CD l

⊥⊥?AB∥CD，?AFH∽?CFK。

?FH AH

FK CK

=，即

8 1.6 6.4

512 1.610.4

FH

FH

-

==

+-

，解得FH=8。

课堂小结：说说你在本节课的收获。布置作业：

1、必做题：P

56习题27

·

2题9，10，11。

2、选做题：P

57习题27

·

2题15。

S

27．2．3相似三角形的周长与面积

第一课时

教学目标： (一)知识与技能

1、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。

2、探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。 (二)过程与方法

经历探索相似三角形性质“相似三角形周长的比等于相似比” 、“面积比等于相似比的平方”的过程。 (三)德育目标

在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决实际问题策略的多样性。 教学重点：

理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。 教学难点：

探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。 教学过程： 新课引入：

1．回顾相似三角形的概念及判定方法。

2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。 提出问题：

如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论）

?ABC ∽?A 1B 1C 1，相似比为k ?

111111

AB BC CA

k A B B C C A === ?AB=kA 1B 1,BC=kB 1C 1,CA=kC 1A 1 ?

111111

111111111111

AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++++==++++

进而得到结论：相似三角形周长的比等于相似比

延伸问题：

探究：

（1）如图27．2-11（1），?ABC∽?A

1B

1

C

1

，相似比为k

1

，它们的面积

比是多少？

B C

D

B

D

B

C1

D1

（1）（2）

图27．2-11

分析：如图27．2-11（1），分别作出?ABC和?A

1

B

1

C

1

的高AD和A

1

D

1

。

∠ADB=∠A

1

D

1

B

1

=900又∠B=∠B

1

??ABD∽?A1B1D1

?

1111

1

AD AB

k

A D A B

==

?

111

ABC

A B C

S

S

=111111

11111111

11

22

11

22

BC AD K B C K A D

B C A D B C A D

==k12

进而得到结论：相似三角形面积比等于相似比的平方

（2）如图27．2-11（2），四边形ABCD相似于四边形A

1

B

1

C

1

D

1

，相似比

为k

2

，它们的面积比是多少？

分析：

111

ABC

A B C

S

S

=

111

ACD

A C D

S

S

= k22

?

1111

ABCD

A B C D

S

S

=

四边形

四边形111111

ABC ACD

A B C A C D

+

+

S S

S S

= k22

?相似多边形面积比等于相似比的平方

应用新知：

例6：如图27．2-12，在?ABC和?DEF中，

AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，?ABC的周长是

24，面积是48，求?DEF的周长和面积。

图27．2-12分析：?ABC和?DEF中，AB=2DE，AC=2DF

B

D

E F

A

C

?

1

2

DE DF

AB AC

==又∠A=∠D

??ABC∽?DEF，相似比为1 2

??DEF的周长=1

2

?24=12，面积=1()

2

2?48=12。

运用提高：

1、P

54

练习题1

2、P

54

练习题2

课堂小结：说说你在本节课的收获。布置作业：

1、必做题：P

54

练习题3，4

2、选做题：P

57习题27

·

2题12，13，14。

27.3 位似

第一课时

教学目标：

(一)知识与技能：

1、掌握位似图形的定义；

2、掌握位似图形的性质；

(二)过程与方法：

学生经历将一个图形放大或缩小的方法，并且在学习和运用过程中发展数学应用意识。

(三)德育目标：

培养学生动手操作的良好习惯，以积极进取的思想探究数学学科知识，体会本节知识的实际应用价值和文化价值。

教学重点：

能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。

教学难点：

位似图形的画法。

教学过程：

一、创设情境操作引入

1、展示课件：两组图片，一是万里长城雄伟壮丽的画面，二是神州飞船首飞成功的邮票，演示两组图片的缩放过程。

（回顾相似多边形的有关概念和性质，为新课引入进行铺垫，同时渗透爱国主义教育，激发学生的学习兴趣和爱国热情）

2、操作实验：指导全班同学动手操作、进行实验，每位同学拿出自备的两个相似图形纸片，位置任意摆放，连接对应点，观察对应点的连线是否经过一点。同时请三位同学上黑板前台选取不同类型的相似图形（三角形、四边形、五边形）进行演示，供班级同学参考并猜想。

3、这几副图片表示出了图形之间的什么特殊的关系？

引出课题——位似。教师板书。

二、自主活动实践感知

1、建构新知：位似图形及其有关概念

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过

同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

2、让学生进一步操作，亲身感受位似图形与相似图形的联系与区别。通过观察、思考、交流、讨论得出如下结论：

位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必都能构成位似关系。

（引导学生动手、动脑，观察、思考，感悟知识的生成和变化）

3、认一认：

见课本P66页图27．3-2（1）、（2）、（3）辨认位似图形，并指认位似中心。

（从正反两个方面强化学生对位似图形的认识）

4、练一练：

例1 下列说法正确的是（）

A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；

B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似；

C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；

D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。

例2 下列每组图中的两个多边形，是位似图形的是（）

例3下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（）

A. 点E

B. 点F

C.点G

D.点D

例4 已知上图中，AE∶ED=3∶2，则四边形ABCD与四边形EFGD的