数学(文)二轮复习通用讲义：专题六 第一讲 小题考法——函数的图象与性质 Word含解析
[全国卷3年考情分析
]
第一讲 小题考法——函数的图象与性质
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·重庆模拟)函数y ＝log 2(2x －4)＋1
x －3
的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(2，＋∞) C ．(3，＋∞)
D ．(2,3)∪(3，＋∞)
(2)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝?
???
?
2－
x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1) ( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(－∞，0) [解析] (1)由题意，得????? 2x －4>0，x －3≠0， 解得x >2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋ 1 x －3的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D. (2)法一：①当? ???? x ＋1≤0， 2x ≤0，即x ≤－1时， f (x ＋1) ②当??? x ＋1≤0， 2x >0时，不等式组无解． ③当? ???? x ＋1>0，2x ≤0，即－1 f (x ＋1) ④当????? x ＋1>0，2x >0， 即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意． 综上，不等式f (x ＋1) 法二：∵f (x )＝????? 2－x ，x ≤0， 1，x >0， ∴函数f (x )的图象如图所示． ????? x ＋1<0， 2x <0，2x 结合图象知，要使f (x ＋1) 或? ???? x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] (1)D (2)D [方法技巧] 1．函数定义域的求法 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可． 2．分段函数问题的3种常见类型及解题策略 [演练冲关] 1．(2018·福州模拟)已知函数f (x )＝? ???? log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( ) A ．－15 16 B ．3 C ．－ 63 64 或3 D ．－ 1516 或3 解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－15 16 .故选A. 2．已知函数f (x )＝? ???? 2e x － 1，x <1， x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( ) A ．(1－ln 2，＋∞) B ．(－∞，1－ln 2) C ．(1－ln 2,1) D ．(1,1＋ln 2) 解析：选B 因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)． 3．若函数f (x )＝? ???? 2x ，x ≥3， f (x ＋1)，x <3，则函数f (lo g 26)的值为________． 解析：因为2＝log 24 答案：12 [典例感悟] [典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e － x x 2 的图象大致为( ) (2)(2018·石家庄模拟)已知f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )单调递增，f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( ) A ．{x |0 B ．{x |x <0或x >2} C ．{x |x <0或x >3} D ．{x |x <－1或x >1} (3)已知f (x )＝? ???? |lg x |，x >0， 2|x |，x ≤0，则方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0解的个数是________． [解析] (1)∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数， ∴f (x )＝e x －e －x x 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项． 当x ＝1时，f (1)＝e －1 e >0，排除D 选项． 又e>2，∴1e <1 2 ， ∴e －1 e >1，排除C 选项．故选B. (2)因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝0，又函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f (x )的示意图，如图，则不等式f (x －1)>0可转化为－1 (3)方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝1 2或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知方程解的 个数为5. [答案] (1)B (2)A (3)5 [方法技巧] 1．根据函数解析式识辨函数图象的策略 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于y 轴对称，在对称的区间上单调性相反； (4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点； (5)从特殊点出发，排除不符合要求的选项，如f (0)的值，当x >0时f (x )的正负等． 2．函数图象应用的3个类型 [演练冲关] 1．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( ) 解析：选D 法一：令f (x )＝－x 4＋x 2＋2， 则f ′(x )＝－4x 3＋2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝±2 2， 则f ′(x )>0的解集为????－∞，－ 22∪??? ?0，22， f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为????－22，0∪??? ?22，＋∞，f (x )单调递减，结合图象知选D. 法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A 、B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝1 2时，y ＝ －116＋14＋2＝23 16 >2，所以排除C 选项．故选D. 2．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f (x )＝? ???? |x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0， 2|x －2|，0 存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9，故选C. 3.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P 以1 cm/s 的速度沿A →B →C 的路径向C 移动，点Q 以2 cm/s 的速度沿 B → C →A 的路径向A 移动，当点Q 到达A 点时，P ，Q 两点同时停止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间t 的函数为S ＝f (t )，则f (t )的图象大致为( ) 解析：选A 当0≤t ≤4时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，此时PB ＝6－t ，CQ ＝8－2t ，则S ＝f (t )＝12QC ×BP ＝1 2 (8－2t )×(6－t )＝t 2－10t ＋24； 当4＜t ≤6时，点P 在AB 上，点Q 在CA 上，此时AP ＝t ，P 到AC 的距离为4 5t ，CQ ＝2t －8，则S ＝f (t )＝12QC ×45t ＝12(2t －8)×45t ＝4 5 (t 2－4t )； 当6＜t ≤9时，点P 在BC 上，点Q 在CA 上，此时CP ＝14－t ，QC ＝2t －8， 则S ＝f (t )＝12QC ×CP sin ∠ACB ＝12(2t －8)(14－t )×35＝3 5(t －4)(14－t )． 综上，函数f (t )对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A. [典例感悟] [典例] (1)(2018·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(2，＋∞) D ．(5，＋∞) (2)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50 [解析] (1)由x 2－4x －5>0，解得x >5或x <－1， 又函数f (u )＝log a u (a >1)在(0，＋∞)上是增函数， 而函数u (x )＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数， 结合定义域，可知函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间为(5，＋∞)．故选D. (2)法一：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)． 由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 法二：由题意可设f (x )＝2sin ????π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由 图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2. [答案] (1)D (2)C [方法技巧] 函数3个性质的应用 1．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ????12＋f ????－12的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D ．2log 21 3 解析：选A f (x )的定义域为(－1,1)，由f (－x )－1＝1－f (x )知f (x )－1为奇函数，则f ???? 12－1＋f ????－12－1＝0，所以f ????12＋f ??? ?－1 2＝2. 2．(2018·开封模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( ) A ．5 B ．1 2 C ．2 D ．－2 解析：选D 由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D. 3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若 ??? ?f (ln x )－f ????ln 1x 2 A.??? ?0，1 e B ．(0，e) C.????1e ，e D ．(e ，＋∞) 解析：选C ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (ln x )－f ??? ?ln 1 x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，∴ ??? ? f (ln x )－f ????ln 1x 2 ∞)上单调递增，∴－1 e 4．(2019届高三·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1 f (x )， 当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ??? ?－11 2＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f ????－112＝f ????52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，∴f ????52＝5 2 ，∴f ????－112＝52. 答案：52 [必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干 [主干知识要记牢] 函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． [二级结论要用好] 1．函数单调性和奇偶性的重要结论 (1)当f (x )，g (x )同为增(减)函数时，f (x )＋g (x )为增(减)函数． (2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． (3)f (x )为奇函数?f (x )的图象关于原点对称； f (x )为偶函数?f (x )的图象关于y 轴对称． (4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数． (5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0. (6)f(x)＋f(－x)＝0?f(x)为奇函数； f(x)－f(－x)＝0?f(x)为偶函数． 2．抽象函数的周期性与对称性的结论 (1)函数的周期性 (2)函数图象的对称性 3．函数图象平移变换的相关结论 (1)把y＝f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数)． (2)把y＝f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数)． [易错易混要明了] 1．求函数的定义域时，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被 开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不能遗漏． 2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，不能用集合或不等式代替． 3．判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响． 4．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题． [针对练1] 已知函数f (x )满足f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________________. 解析：令t ＝cos x ，且t ∈[－1,1]，则f (t )＝1－t 2，t ∈[－1，1]，即f (x )＝1－x 2，x ∈[－1,1]． 答案：1－x 2，x ∈[－1,1] 5．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数． [针对练2] 已知函数f (x )＝? ???? e x ，x <0，ln x ，x >0，则 f ????f ????1e ＝________. 解析：f ????1e ＝ln 1e ＝－1，f ????f ????1e ＝f (－1)＝e －1＝1e . 答案：1 e [课时跟踪检测] A 级——12＋4提速练 一、选择题 1．函数f (x )＝3x 2 1－x ＋lg (3x ＋1)的定义域是( ) A.????－1 3，＋∞ B.????－1 3，1 C.??? ?－13，13 D ．[0,1) 解析：选D 要使函数有意义，需? ???? lg (3x ＋1)≥0， 1－x >0.即0≤x <1. 2．(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝????? x ＋1x －2，x >2， x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝( ) A ．－1 2 B ．2 C ．4 D ．11 解析：选C ∵f (1)＝12＋2＝3，∴f [f (1)]＝f (3)＝3＋1 3－2 ＝4.故选C. 3．函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( ) 解析：选A 令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2 2<0，排除选项B ，故选A. 4．已知函数f (x )＝? ???? x 2 ＋1，x >0， cos (6π＋x )，x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )是偶函数 B ．函数f (x )是减函数 C ．函数f (x )是周期函数 D ．函数f (x )的值域为[－1，＋∞) 解析：选D 由函数f (x )的解析式，知f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数．当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且f (x ) ∈[－1,1]．所以函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D. 5．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( ) A ．2 B ．4 C ．－2 D ．－4 解析：选C 由题意，知f (－6)＝－f (6)＝－(log 28－1)＝－3＋1＝－2，故选C. 6．(2018·武汉调研)已知奇函数f (x )在R 上单调递增，若f (1)＝1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4] D ．[1,3] 解析：选D 因为f (x )为奇函数，且f (1)＝1，所以f (－1)＝－1，故f (－1)＝－1≤f (x －2)≤1＝f (1)，又函数f (x )在R 上单调递增，所以－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3，故选D. 7．函数f (x )＝???? 12x 2－x －1 的单调递增区间为( ) A.? ????－∞，1－52 B ．????－∞，12 C.???? ??1＋52，＋∞ D.??? ?1 2，＋∞ 解析：选A 由x 2 －x －1≥0，可得函数f (x )的定义域为?????? ???? x |x ≤1－52或x ≥1＋52.令t ＝ x 2－x －1，则y ＝????12t ，该指数函数在定义域内为减函数．根据复合函数的单调性，要 求函数f (x )＝??? ? 12x 2－x －1 的单调递增区间，即求函数t ＝ x 2－x －1的单调递减区间，易 知函数t ＝x 2 －x －1的单调递减区间为? ????－∞，1－52.所以函数f (x )＝????12x 2－x －1 的单 调递增区间为? ?? ??－∞，1－52，故选A. 8．(2019届高三·河北五个一名校联考)已知奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (1－x )，若当x ∈(－1,1)时，f (x )＝lg 1＋x 1－x ，且f (2 018－a )＝1，则实数a 的值可以是( ) A.911 B ．119 C ．－911 D ．－119 解析：选A ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴f (x )＝f (2－x )，又函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (2＋x )＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )为周期函数，周期为4.当x ∈(－1，1)时，令f (x )＝lg 1＋x 1－x ＝1，得x ＝911，又f (2 018－a )＝f (2－a )＝f (a )，∴a 可以是911，故选A. 9．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝? ???? e x －a ，x ≤0， 2x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个 零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(－∞，1] 解析：选A 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0≤1－a <1，即00时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上0 10．(2018·成都模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0且当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( ) A ．f (log 27) B ．f (log 27) C ．f (－5) D ．f (－5) 解析：选C f (x ＋2)＋f (x )＝0?f (x ＋2)＝－f (x )?f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数． 又f (－x )＝－f (x )，且有f (2)＝－f (0)＝0， 所以f (－5)＝－f (5)＝－f (1)＝－log 22＝－1，f (6)＝f (2)＝0. 又2 4 <1， f (lo g 27)＋f (log 27－2)＝0?f (log 27)＝－f (log 27－2)＝－f ????log 274＝－log 2????log 27 4＋1＝－log 2????log 272，又1 2 <2，所以0 11．若函数y ＝f (x )的图象上的任意一点P 的坐标(x ，y )满足条件|x |≥|y |，则称函数f (x )具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是( ) A ．f (x )＝e x －1 B ．f (x )＝ln(x ＋1) C ．f (x )＝sin x D ．f (x )＝tan x 解析：选C 不等式|x |≥|y |表示的平面区域如图中阴影部分所示，函 数f (x )具有性质S ，则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，f (x )＝e x －1的图象分布在区域①和③内，f (x )＝ln(x ＋1)的图象分布在区域② 和④内，f (x )＝sin x 的图象分布在区域①和②内，f (x )＝tan x 在每个区域都有图象，故选 C. 12．(2018·吉林省实验中学模拟)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f (x )>0，满足f (x ·y )＝f (x )·f (y )，且在区间(0，＋∞)上单调递增，若m 满足f (log 3m )＋f ??? ?log 13m ≤2f (1)，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1,3] B ．????0，1 3 C.??? ?0，1 3∪(1,3] D.????13，1∪(1,3] 解析：选D 由于f (x ·y )＝f (x )·f (y )，f (x )>0，则令x ＝y ＝1可得f (1)＝[f (1)]2，即f (1)＝1.令x ＝y ＝－1，则f (1)＝[f (－1)]2＝1，即f (－1)＝1.令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )f (－1)＝f (x )，即f (x )为偶函数．由f (log 3m )＋f ? ?? ?log 13 m ＝2f (1)得2f (log 3m )≤2f (1)，得f (|log 3m |)≤f (1)．由 于f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，则|log 3m |≤1，且log 3m ≠0，解得m ∈???? 13，1∪(1,3]． 二、填空题 13．若f (x )＝2x ＋2－ x lg a 是奇函数，则实数a ＝________. 解析：∵函数f (x )＝2x ＋2－x lg a 是奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝0，即2x ＋2－x lg a ＋2－x ＋2x lg a ＝0，(2x ＋2－x )(1＋lg a )＝0，∴lg a ＝－1，∴a ＝110 . 答案： 110 14．已知a >0，函数f (x )＝????? sin π2x ，x ∈[－1，0)，ax 2＋ax ＋1，x ∈[0，＋∞)，若f ????t －13>－1 2，则实数t 的取值范围为________． 解析：当x ∈[－1,0)时，函数f (x )＝sin π 2x 单调递增，且f (x )∈[－1,0)，当x ∈[0，＋∞) 时，函数f (x )＝ax 2＋ax ＋1，此时函数f (x )单调递增且f (x )≥1，综上，当x ∈[－1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，由f (x )＝sin π2x ＝－12得π2x ＝－π6，解得x ＝－13，则不等式f ????t －13>－12，等价于f ????t －13>f ????－13，∵函数f (x )是增函数，∴t －13>－1 3 ，即t >0.故t 的取值范围为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 15．(2018·山东潍坊模拟)已知奇函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，且f (1)＝1，f (2)＝2，则f (2 017)＋f (2 018)＝________. 解析：因为f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，所以当x ＝－3时，有f (3)＝f (－3)＋f (3)，即f (－3)＝0，又f (x )为奇函数，所以f (3)＝0，所以f (x ＋6)＝f (x )，函数f (x )是以6为周期的周期函数，f (2 017)＋f (2 018)＝f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＝f (1)＋f (2)＝3. 答案：3 16．(2018·济宁模拟)已知函数f (x )＝min{2x ，|x －2|}，其中min{a ，b }＝? ?? ?? a ，a ≤ b ， b ，a >b ，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，且它们的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1·x 2·x 3的最大值是________． 解析：因为函数f (x )＝min{2x ，|x － 2|} ＝????? 2x ，0≤x ≤4－23， 2－x ，4－23 x －2，2≤x ≤4＋23，2x ，x >4＋23， 作出其大致图象如图所示，若直线y ＝m 与函数f (x )的图象有三个不同的交点，则0 4；同理，2－x 2＝m ，所以 x 2＝2－m ；x 3－2＝m ，所以x 3＝2＋m ，所以x 1·x 2·x 3＝m 2 4(2－m )(m ＋2)＝m 2(4－m 2)4≤ 14 ? ?? ??m 2＋4－m 222 ＝1，当且仅当m 2＝4－m 2，即m ＝2时取等号． 答案：1 B 级——难度小题强化练 1．(2018·山东临沂模拟)函数f (x )＝ln ???? ??2x ＋2－x 2x －2－x 的图象可能是( ) 解析：选A 易知函数f (x )是偶函数，故其图象关于y 轴对称，排除选项C.函数的定义 域是x ≠0，排除选项D.??????2x ＋2－x 2x －2－x ＝??????4x ＋14x －1＝? ????? 1＋24x －1>1，所以f (x )>0，排除选项B.故 选A. 2．(2018·洛阳模拟)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)?x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)?x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2 <0.给出下列四个函数， ①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3； ③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )． 其中为“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选B 由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数． 对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B. 3．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝0，f (x )＋f (1－x )＝1，f ????x 3＝1 2f (x )，且当0≤x 1 A.1 2 018 B ． 12 017 C.1128 D.1256 解析：选C 在f (x )＋f (1－x )＝1中，令x ＝1，得f (1)＝1，令x ＝1 2 ，得f ????12＝12，在f ????x 3＝12f (x )中，令x ＝1，得f ????13＝12，由此得f ????13＝f ??? ?12，再根据当0≤x 1 2 f (3x )，故f ????12 018＝12f ????32 018＝122f ????322 018＝123f ????332 018＝…＝12n f ????3n 2 018.设13≤3n 2 018≤12，即2 018 3 ≤3n ≤1 009，由36＝729,37＝2 187，得n ＝6，所以f ????12 018＝126f ????7292 018＝126×12＝1128. 4.(2018·安庆二模)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速竖直向上移动，且在t ＝0时，圆O 与l 2相切于点A ，圆O 被直线l 2所截得到的两段圆弧中，位于l 2上方的圆弧的长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( ) 解析：选B 如图所示，设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α，在R t △AOM 中，|AO |＝1－t ，cos x 2＝|OA ||OM |＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2x 2－1 ＝2(t －1)2－1(0≤t ≤1)．故其对应的大致图象应为B. 5．对于实数a ，b ，定义运算“?”：a ?b ＝? ???? a 2 －ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(x －4)?????7 4x －4，若关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意得，f (x )＝(x －4)?????74x －4＝??? －3 4 x 2＋3x ，x ≥0，21 16x 2 －3x ，x <0， 画 出函数f (x )的大致图象如图所示． 因为关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R )，即f (x )＝m ±1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数 根，所以两直线y ＝m ±1(m ∈R )与曲线y ＝f (x )共有四个不同的交点，则????? m ＋1>3，0 ????? 0 m ＋1＝3， m －1＝0， 得2 6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈R )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈R )，y ＝h (x )满足：对任意的x ∈R ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________． 解析：根据“对称函数”的定义可知，h (x )＋ 4－x 2 2 ＝3x ＋b ，即h (x ) ＝6x ＋2b － 4－x 2，h (x )>g (x )恒成立，等价于6x ＋2b － 4－x 2> 4－x 2，即3x ＋b >4－x 2恒成立，设y 1＝3x ＋b ，y 2＝ 4－x 2，作出两 个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d ＝ |b | 1＋32 ＝|b | 10 ＝2，即|b |＝210， ∴b ＝210或b ＝－210(舍去)，若要使h (x )>g (x )恒成立，则b >210，即实数b 的取值范围是(210，＋∞)． 答案：(210，＋∞) 函数对称性的解题方法归纳 讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。 1. 函数自身的对称性探究 设函数 )2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f （1）试判断函数)(x f y =的奇偶性； （2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。 分析：由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得：函数图象既关于x ＝2对称，又关于x ＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。 定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -= 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -= 定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是 b x a f x f 2)2()(=-+ 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。 定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。 高中数学常见函数图像1. 2.对数函数： 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k π π=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 中考数学分类试题 函数及其图象 考点1：常量与变量、函数的意义、 相关知识： 1．常量与变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在某一变化过程中保持数值不变的量叫做常量． 2．函数：在某一变化过程中的两个变量x 和y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么y 就叫做x 的函数，其中x 做自变量，y 是因变量． 考点2：函数自变量取值范围 相关知识：函数自变量的取值范围必须也只要同时考虑以下几点： 1.整式函数自变量的取值范围是全体实数． 2.分式函数自变量的取值范围是使分母不为0的实数． 3.二次根式函数自变量的取值范围是使被开方数是非负数的实数。 4.若涉及实际问题的函数，除满足上述要求外还要使实际问题有意义． 1. （2011湖北十堰，2，3分）函数4y x 中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B.x≥4 C.x≤4 D.x＞4 【答案】B 2. （2011四川广安，13，3分）函数5Y =-中自变量x 的取值范围是____ 【答案】x ≤2 3．（2011四川眉山，3，3分）函数y= 2 x 1 -中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≠一2 B ．x ≠2 C. x <2 D ．x >2 【答案】B 4. （2011广西来宾，3，3分）使函数1 x y x = +有意义的取值范围是（ ） A.1x ≠- B. 1x ≠ C. x ≠1且x ≠0 D.1x ≠- 且x ≠0 【答案】 A 5. （2011内蒙古呼和浩特市，11,3分）函数y =中，自变量x 的取值范围___________. 【答案】3x >- 6. （2011贵州毕节，8，3分）函数1 2 -+= x x y 中自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥-2 B ．x ≥-2且x ≠1 C．x ≠1 D．x ≥-2或x ≠1 【答案】B 7. （2011内蒙古包头，4，3分）函数3 2 +-=x x y 中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥2且x≠－3 B ．x≥2 C ．x ＞2 D ．x≥2且x≠0 【答案】B 8. （201１四川广元，9，3分）在函数 y = x 的取值范围在数轴上表示为（ ） 函数图象B1 .函数y = a| x | (a > 1)的图象是( ) B（） B3．当a>1时，函数y=log a x和y=(1－a)x的图象只可能是（） A4．已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示 则函数F(x)=f(x)·g(x)的图象可以是(A) B5．函数(1) || x xa y a x =>的图像大致形状是（）D A B C D D 7．函数x x y cos -=的部分图象是( ) A 8．若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是 （ ） A 9．一给定函数) (x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0 (1∈a ，由关系式) (1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （ ） A B C D C 10．函数y=kx+k 与y=x k 在同一坐标系是的大致图象是（ ） A D C A 12． 当a >1时，在同一坐标系中，函数y =a － x 与y =log a x 的图像（ ） B 13. 函数1 1 1--=x y 的图象是（ ） D 14．函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10>< 函数对称性的探究 绍兴县越崎中学数学组徐民江 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2.函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 推论：函数y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a 函数及其图象 易错点1：求函数自变量取值范围时注意：①二次根式中被开方数为非负数；②分式中分母不等于零；零指数幂中底数不等于零. 易错题：使函数y＝ 1 (1)(2) x x -+ 有意义的自变量x的取值范围是 _____________. 错解：x＞﹣2 正解：x＞﹣2且x≠1 赏析：本题错误的原因是对分式中分母不为零的条件没有考虑全面，分式中分母不为零的条件应是x≠﹣2且x≠1.本题中的函数应满足被开方数为非负数且分母不为零这两个条件，同时要与不等式的解集综合求解. 易错点2：在函数解析式中混淆各个待定系数表示的意义，如一次函数y＝kx+b（k≠0）中的k、b；二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的a、b、c. 易错题：在一次函数y＝（2－k）x＋1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是_________. 错解：k＞0 正解：k＞2 赏析：错误的原因是以为﹣k是一次项的系数，由﹣k＜0得到错解.本题中一次项系数应是2－k，由2－k＜0得到正解. 易错点3：用待定系数法求函数解析式时由条件建立错误从而使求解不正确. 易错题：将直线y＝﹣3x－4向左平移2个单位长度后，其解析式为___________________. 错解：y＝﹣3x－6 正解：y＝﹣3x－10 赏析：本题可设平移后函数解析式为y＝kx+b，由平移中平行的关系可得k＝﹣3,错误的原因是由向左平移2个单位长度得到错误条件直线过点（﹣2,0），代入解析式从而求得错解.正确的解法是：先由平行得k＝﹣3，再由直线y＝﹣3x－4过点（0，﹣4），将此点 向左平移2个单位长度得到点（﹣2，﹣4），再把点（﹣2，﹣4）及k＝﹣3代入所设解析式从而求得正解. 易错点4：利用图象求不等式（组）的解集与方程（组）的解时，混淆函数图象的增减性与解（解集）的关系. 易错题：已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝m x （m≠0）的图象相交于A、B 两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是……………………（） A.x＜﹣1或0＜x＜3 B.﹣1＜x＜0或0＜x＜3 C.﹣1＜x＜0或x＞3 D.0＜x＜3 错解：D 正解：A 赏析：错解的原因是对函数图象及其增减性的分析理解不够透彻，没有完全弄清楚图象增减性与不等式解集的关系，从而漏掉x的一部分取值范围.正确的解法是：由题目条件，画出两个函数的大致图象，如图： 2 以交点A、B及原点O为界，把两个函数图象各分成四个部分，从左到右每部分图象所对应的自变量取值范围依次是：①A点左侧：x＜﹣1；②点A与原点O之间：﹣1＜x＜0； ③原点O与B点之间：0＜x＜3；④B点右侧：x＞3.每部分中位于上方的图象所对应的函数值较大，因此，由y1＞y2可得，自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3. 易错点5：二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的位置与a，b，c的关系. 易错题：已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④am2＋bm＋a＞0（m≠﹣1）.其中正确的个数是…………………………………………………………………………………… 一次函数 二次函数 反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质： 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 指数函数y=a x (a＞0，a≠1) 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数； 当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 考点跟踪训练11 函数及其图象 一、选择题 1．(2011·广州)当实数x 的取值使得x －2有意义时，函数y ＝4x ＋1中y 的取值范围是( B ) A ．y ≥－7 B ．y ≥9 C ．y ＞9 D ．y ≤9 答案 解析 x －2≥0，x ≥2.由y ＝4x ＋1得x ＝y －14，y －1 4≥2，y －1≥8，y ≥9. 2．(2011·盐城)小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系．下列说法错误的是( D ) A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 答案 解析 公交车的速度应该是(8000－1000)÷(30－16)＝7000÷14＝500m/min ，而不是350m/min. 3．(2011·天津)一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A 以每分0.1元的价格按上网所用时间计算；方式B 除收月基费20元外，再以每分0.05元的价格按上网所用时间计费．若上网所用时间为x 分．计费为y 元，如图是在同一直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函数的图象，有下列结论： ①图象甲描述的是方式A ： ②图象乙描述的是方式B ； ③当上网所用时间为500分时，选择方式B 省钱． 其中，正确结论的个数是( A ) A. 3 B．2 C．1 D. 0 答案 解析方式A：y A＝0.1x；方式B：y B＝0.05x＋20；当x＝400时，y A＝y B.当x>400时，y B 初二数学函数及图象基础知识训练 第一讲函数及坐标系 【知识要点】 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，取值始终保持不变的量，称为常量2、函数的概念 如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有的唯一值与之对应，就说x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数。 3、函数关系式的表示 表示函数关系的方法通常有三种：解析法、列表法、图象法。解析法是最常见的表示方法。 4、平面直角坐标系的概念 在平面上画两条原点重合，互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系，其中水平的一条数轴叫做x轴或者横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或者纵轴，取向上为正方向;两数轴的交点O叫做坐标原点。 5、平面直角坐标系上的点及其特征 在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。 （1）象限内点的坐标特点： （2）坐标轴上的点不属于任何象限， 0,0 x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，原点可表示为() （3）对称点的坐标特点： 关于x轴对称的两个点的横坐标相等(不变)，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的两个点的纵坐标相等(不变)，横坐标互为相反数； 关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数。 6、画函数的图像 画函数图象的方法可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为三步法画函数图像。 画函数图像本质上就是把函数由解析法或列表法向图像法转换的过程。 函数图像上的每一个点，点的横坐标代入自变量，纵坐标代入因变量，这两个量必须满足函数解析式，或在列表中对应，反之，对应的一组自变量和因变量，作为一组有序实数对，则它所对应的点，必然在函数的图像上。 题型一：函数概念及表示 例1、（1）甲、乙两地相距S千米，某人行完全程所用的时间t（时）与他的速度v（千米/时）满足vt=S，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（） A．S是变量B．t是变量C．v是变量D．S是常量 （2）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（） A、y=0.05x B、y=5x C、y=100x D、y=0.05x+100（3） （3）表格列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高度落 这种关系（单位）（） 、、 、、 (4) 如图，是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张 老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（） 下列各曲线中不能表示y是x的函数是（）。 专题一 函数图象 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1．函数图象作图方法 （1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与x 、y 轴的交点，端点，极值点等））、连线（注 意关键线：如；对称轴，渐近线等） （2）利用基本函数图象变换。 2．图象变换（由一个图象得到另一个图象）：平移变换、对称变换和伸缩变换等。 （1）平移变换 ① 水平平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； ② 竖直平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到． （2）对称变换 ① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到； ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到； ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到； （3）翻折变换 ① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； ② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． （4）伸缩变换 ① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的 1 a 倍得到． 3．函数图象的对称性：对于函数)(x f y =，若对定义域内的任意x 都有 ①)()(x a f x a f +=-（或))2()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线a x =对称； ②b x a f x a f 2)()(=++-（或)2)2()(b x a f x f =-+，，则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三角函数）的图象 5、作函数图象的一般步骤： （1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利 函数对称性的探究 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2.函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 推论：函数y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a ≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 函数及其图像 典题探究 例1： 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y （千米）与快车行驶时间t （小时）之间的函数图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 例2： 2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家．其中x 表示童童从家出发后所用时间，y 表示童童离家的距离．下图能反映y 与x 的函数关系式的大致图象是（ ） 例3： 函数3 y x = -自变量x 取值范围是（ ） A ．1x ≥且3x ≠ B ．1x ≥ C ．3x ≠ D ． 1x >且3x ≠ 例4： 已知二次函数2 (1)y a x c =--的图像如图2所示，则一次函数y ax c =+的大致图像可能是（ ） A B C D 课后练习 A 组 【确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围】 1.函数1 2 y x =-的自变量x 的取值范围是 2.在函数1 2-=x x y 中，自变量x 的取值范围是______________________ 3.在函数52-=x y 中，自变量x 的取值范围是 4.在函数2 1-= x y 中，自变量x 的取值范围是___________________ 5. 函数y = 中，自变量x 的取值范围是 ． 6. 在函数x x y 2 -=中，自变量x 的取值范围是_______________________________ 7. 在函数y = 中，自变量x 的取值范围是 ． 【求函数值】 8.如果一次函数y=-x+b 经过（0，-4），则b= 9.函数1 3y x = +中，当x=-1时，y= 10. 函数21 y x =+x=-4时，y= 11.已知函数y=kx+b 的函数图像与y 轴交点的纵坐标为-5，且当x=1时，y=2,则x=3时， y= B 组 【用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系】 12.水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）向一个容器注水，最后把容器注满，在注 水过程中，水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示（图中OABC 为一折线)，这个容器的形状是图中（ ） 13.如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回.点P 在运动过程 A . B C D 八年级数学一次函数图象题（行程问题） 1．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③ B、仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③ 2、甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．上图2是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）请将图中的（）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度； （2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离． 3．甲船从A 港出发顺流匀速驶向B 港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B 港．乙船从B 港出发逆流匀速驶向A 港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A 港的距离y 1、y 2（km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象如图所示． （1）写出乙船在逆流中行驶的速度． （2）求甲船在逆流中行驶的路程． （3）求甲船到A 港的距离y 1与行驶时间x 之间的函数关系式． （4）求救生圈落入水中时，甲船到A 港的距离． 4、某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y 甲（千米）、y 乙（千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图像．请根据图像所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时； （2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定． 高中数学常见函数图像 1.指数函数： 定义 函数 (0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数 2.对数函数： 定义 函数 log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数 图象 1a > 01a << 定义域 (0,)+∞ 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数 x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y =x y O (1,0) 1 x =log a y x =x y O (1,0) 1 x =log a y x = 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 4. 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ? ?++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留 给读者） 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a －b是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得： f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称， ∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得： f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a －b）－x代x得 f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且 中考数学专题复习函数及其图像 考点3.1 位置与坐标 序号考查内容考查方式学习目标 考点 位置与坐 标坐标与象限 1、坐标值的几何意义 2、特殊点的坐标特征 3、两点之间距离的求法 4、能根据图形建立适当坐标系并写出关键点的坐标 5、能根据点的坐标值确定其余各点的坐标 6、用极坐标表示点的位置 考点3.2 函数的表示 序号考查内容考查方式学习目标 考点一函数的取值范围分式或根式何时有意义 考点二 函数及其图像实际问题与函数图像1、能根据具体情况识别函数图象 2、能从函数图象中读出关键信息 考点3.3 一次函数 序号考查内容考查方式学习目标 考点一一次函数 图像和性 质 一次函数图 像和性质综 合应用 1、能熟练判断出图像中的k b取值范围 2、能根据k,b的取值范围熟练画出函数图象的草图 3、能判断出函数图的共存 4、能用待定系数法熟练求出函数解析式过程完整 考点二 一次函数 的应用结合一次函 数图像解决 实际问题 1、能正确解释交点坐标在实际问题中的意义 2、能正确分割三角形和多边形的 面积进而求出其面积 3、能正确理解和应用简单的分段函数图象及其代表的意义 考点3.4 反比例函数 序号考查内容考查方式学习目标 考点一 反比例函数解析式 的确定确定比例系数 1、能从不同的表达式中分离出比例系数 2、能根据比例系数画出函数草图 待定系数法求解析式 利用比例系数的几何意义确定反 比例函数解析式 k值的几何意义反映到函数中要结合具体 的象限来确定值k 考点二反比例函数的应用 一次函数与反比例函数的综合应 用 考点3.5 二次函数 序号考查内容考查方式学习目标 考点一二次函数图像和性质确定二次函数图像的对称轴和 顶点、与x轴的交点的坐标 1、能准确化为一般形式，并指出其系数 2、能熟练进行配方写出其顶点坐标式 3、能熟练从三种解析式几个方面值的确定 考点二二次函数的应用画二次函数图像及应用能熟练画出草图并进行分析应用 考点三二次函数与实际问题 （二次函数的应用 题） 确定解析式、求极值（解答题）能根据已知条件熟练写出解析式，并进行五个方 面的相关计算 考点3.6 用函数观点看方程（组）和不等式 序号考查内容考查方式学习目标 考点一函数与方程二次函数与一元二次方程理解二次函数与一元二次方程的联系，并能正确地 将二次函数问题转化为一元二次方程，能用一元二 次方程的根解释图象中的交点坐标 考点二 函数与不等 式一次函数与一元一次不等式1、能根据图象正确判断不等式的解集 2、理解交点坐标的意义 3、能根据交点坐标正确写出方程或方程组反比例函数与不等式 一次函数、反比例函数与不等式同上 2019-2020年高一数学反函数一新课标人教版教学目标 1.使学生了解反函数的概念； 2.使学生会求一些简单函数的反函数； 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点 1.反函数的概念； 2.反函数的求法。 教学难点 反函数的概念。 教学方法 师生共同讨论 教具装备 幻灯片2张 第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）； 第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。 教学过程 （I）讲授新课 （检查预习情况） 师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？ 生：（略） （学生回答之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点： （1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ（y）； （2）对于y在c中的任一个值，通过x= φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。 师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？ 生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y 是自变量，x是函数值。） 在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？ 考点跟踪突破10函数及其图象一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(2014·济宁)函数y＝ x x＋1 中自变量x的取值范围是( A ) A．x≥0 B．x≠－1 C．x＞3 D．x≥0且x≠－1 2．(2014·衡阳)小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家．如图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用的时间t(分)之间的函数关系．根据图象，下列信息错误的是( A ) A．小明看报用时8分钟 B．公共阅报栏距小明家200米 C．小明离家最远的距离为400米 D．小明从出发到回家共用时16分钟 3．(2014·白银)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x(0.2≤x≤0.8)，EC＝y，则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是( C ) 4．(2013·玉林)均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满，在注水过程中，水面高度h 随时间t的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的( B ) 5．(2014·菏泽)如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系是( A ) 二、填空题(每小题6分，共30分) 6．(2014·凉山州)函数y ＝x ＋1＋2 x 中，自变量x 的取值范围是__x ≥－1且x ≠0__． 7．(2012·恩施)当x ＝__－2__时，函数y ＝3x 2－12 x －2 的值为零． 8．(2012·丽水)甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中l 甲 、l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象， 则每分钟乙比甲多行驶__3 5 __千米． 9．将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小 角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是__2y －x ＝180(或y ＝1 2 x ＋90)__． 10．(2014·金华)小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y(米)与时间t(分)的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行__80__米． 三、解答题(共40分) 11．(10分)某班师生组织植树活动，上午8时从学校出发，到植树地点植树后原路返校，如图为师生离校路程s 与时间t 之间的图象．请回答下列问题： (1)求师生何时回到学校？ (2)如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进时，早半小时到达植树地点，请在图中，画出该三轮车运送树苗时，离校路程s 与时间t 之间的图象，并结合图象直接写出三轮车追上师生时，离学校的路程； (3)如果师生骑自行车上午8时出发，到植树地点后，植树需2小时，要求14时前返回到学校，往返平均速度分别为每时10 km ，8 km .现有A ，B ，C ，D 四个植树点与学校的路程分别是13 km ，15 km ，17 km ，19 km ，试通过计算说明哪几个植树点符合要求．《函数对称性的解题方法归纳》
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