分类汇编2009.2010北京城八区中考及模拟二次函数综合题完整修改版,无重复习题,
2010年北京中考数学模拟分类 二次函数综合题
1.（2010北京中考）24. 在平面直角坐标系xOy 中，拋物线y = -
4
1-m x 2+45m
x +m 2-3m +2 与x 轴的
交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条拋物线上。
(1) 求点B 的坐标；
(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此拋物线上时，求OP 的长；
若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止 运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。
2.( 2010朝阳一模24)已知直线y=kx-3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线
23
4
y x mx n =-++经过点A 和点C,动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个
交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，△PQA 是直角三角形；
（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大，若存在，求出点D 坐标；若
不存在，请说明理由．
3.( 2010东城一模) 23. 已知抛物线C 1：22y x x =-的图象如图所示，把C 1的图象沿y 轴翻折，得
到抛物线C 2的图象，抛物线C 1与抛物线C 2的图象合称图象C 3（1）求抛物线C 1的顶点A 坐标，并画出抛物线C 2的图象； （2）若直线y kx b =+与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠点时,称直线与抛物线相切. 若直线y x b =+与抛物线C 1相切，求
b 的值；
（3）结合图象回答，当直线y x b =+与图象C 3 有两个交点时，b 值范围．
4. （2010丰台一模）23．已知二次函数22-+-=m mx x y ．
（1） 求证：无论m 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴都有两个交点； （2） 当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；
（3） 将直线y =x 向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），一个动点P 自A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．
5. （2010丰台一模）25．已知抛物线22--=x x y ．
（1）求抛物线顶点M 的坐标；
（2）若抛物线与x 轴的交点分别为点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△P AC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
6.（2010海淀一模） 24. 点P 为抛物线222y x mx m =-+(m 为常数，0m >)上任一点，将抛物线
绕顶点G 逆时针旋转90?后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的上方)，点Q 为点P 旋转后的对应点.
(1) 当2m =，点P 横坐标为4时，求Q 点的坐标； (2) 设点(,)Q a b ，用含m 、b 的代数式表示a ；
(3) 如图，点Q 在第一象限内, 点D 在x 轴的正半轴上，点C 为OD 的
中点，QO 平分AQC ∠，2AQ QC =，当QD m =时，求m 的值.
7.（2010海淀一模）23.
关于x 的一元二次方程2
40x x c -+=有实数根，且c 为正整数.
(1) 求c 的值；
(2) 若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中,抛物线24y x x c =-+与x 轴交于A 、B 两点
(A 在B 左侧)，与y 轴交于点C . 点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC 的长； (3) 将(2)中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为(),m n ,当抛物线与(2)中的直角梯形
OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围.
8. （2010石景山一模）25．已知：如图1，等边ABC ?的边长为32，一边在x 轴上且()
0,31-A ，
AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．
（1）直接写出点C B 、的坐标；
（2）若直线()01≠-=k kx y 将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值；
（3）如图2，过点C B A 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点
()0,2-G 作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两
个结论：
① CDM GNM ∠=∠ ②DCM MGN ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．
图1 图
2
9.（2010西城一模） 23．已知关于x 的方程032)1(32=-+--m x m mx ．
（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称． ①求这个二次函数的解析式；
②已知一次函数222-=x y ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值y 1≥y 2均成立；
（3）在（2）的条件下，若二次函数y 3＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点（－5，0），且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值y 1≥y 3≥y 2均成立．求二次函数y 3＝ax 2＋bx ＋c 的解析式.
10.（2010宣武一模）24．已知：将函数y x =的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图
像．
(1)求这个新的函数的解析式；
(2)若平移前后的这两个函数图象分别与y 轴交于O 、A 两点，与直线
x =C 、B 两点．试判断以A 、B 、C 、O 四点为顶点的
四边形形状，并说明理由；
(3)若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数2
122
2
++-=b bx x y 的图象的一部分，求满足条件的实数b 的取值范围．
11. （2010崇文一模） 2５．已知抛物线21y ax bx =++经过点A （1，3）和点B （2，1）．
（1）求此抛物线解析式；
（2）点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值；
（3）过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点,再沿
FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE ,试确定点F 的位置,使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明）
12（2010崇文一模）23．已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．
（1）求b 的值；
（2）判断关于x 的一元二次方程2
21x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，
请说明理由；
（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无
交点，求k 的最小值．
13.（2010朝阳二模）25．（本小题8分）
如图，边长为2的正方形ABCO 中，点F 为x 轴上一点，CF=1，过点B 作BF 的垂线，交y 轴于点E ． （1）求过点E 、B 、F 的抛物线的解析式；
（2）将∠EBF 绕点B 顺时针旋转，角的一边交y 轴正半轴于点M ，另一边交x 轴于点N ，设BM 与（1）中抛物线的另一个交点为点G ，且点G 的横坐标为5
6
，EM 与NO 有怎样的数量关系？请说明你的结论．
（3）点P 在（1）中的抛物线上，且PE 与y 轴所成锐角的正切值为2
3
，求点P 的坐标．
14（2010朝阳二模）22．（本小题5分）
已知抛物线222m mx x y +-=与直线x y 2=交点的横坐标均为整数，且2＜m ，求满足要求的m 的整数值．
15.（2010东城二模）24．如图，二次函数过A （0，m ）、B （3-，0）、C （12，0），过A 点作x 轴
的平行线交抛物线于一点D ，线段OC 上有一动点P ，连结DP ，作PE ⊥DP ，交y 轴于点E ． （1）求AD 的长；
（2）若在线段OC 上存在不同的两点P 1、P 2，使相应的点1E 、2E 都与点A 重合，试求m 的取值范围．
（3）设抛物线的顶点为点Q ，当6090BQC ?≤∠≤?时，
求m 的变化范围．
16.（2010海淀二模）23. 已知：抛物线2(2)2y x a x a =+--(a 为常数. 且0a >). (1) 求证：抛物线与x 轴有两个交点；
(2)
x 轴的两个交点分别为A 、B (A 在B 左侧). 与y 轴的交点为C .
① 当AC =. 求抛物线的解析式； ② 将①中的抛物线沿x 轴正方向平移t 个单位(t >0). 同时将直线l :3y x =沿y 轴正方向平移t 个单位.平
移后的直线为'l . 移动后A 、B 的对应点分别为'A 、'B .当t 为何值时. 在直线'l 上存在点P . 使得△''A B P 为以''B A 为直角边的等腰直角三角形?
17（2010海淀二模）25.
如图. 在平面直角坐标系xOy 中. 点B 点D 在x 轴的正半
轴上. 30ODB ∠=?. OE 为△BOD 的中线. 过B 、E 两点的抛物线2
y ax
c
=+与x 轴相交于A 、F
两点(A 在F 的左侧). (1) 求抛物线的解析式；
(2) 等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上. 求AE 及AM 的长； (3) 点P 为△ABO 内的一个动点. 设m PA PB PO =++.
请直接写出m 的最小值, 以及m 取得最小值时, 线段AP 的长. (备用图)
18（2010石景山二模）23. 已知关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x . (1) 求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根.
(2) 若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2
的图象1C 的一个交点的横坐标为2,
求关于x 的一元二次方程()0312
=-+--m x m x 的解.
(3) 在(2)的条件下，将抛物线()312
-+--=m x m x y 绕原点旋转?180，得到图象2C ，点P 为x 轴上
的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别与图象1C 、2C 交于N M 、两点，当线段MN 的长度最小时，求点P 的坐标.
19.（2010石景山二模）25. 已知：如图，抛物线2552+
+-=b ax ax y 与直线b x y +=2
1
交于点)0,3(-A 、点B ，与y 轴交于点C .
(1) 求抛物线与直线的解析式；
(2) 在直线AB 上方的抛物线上有一点D ，使得△DAB 的面积是8，求点D 的坐标； (3) 若点P 是直线1=x 上一点，是否存在△PAB 是等腰三角形.若存在， 求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
20（2010西城二模）23．已知：关于x 的一元二次方程04)4(2=-++-m x m x ，其中40< （1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）； （2）设抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），若点D 的坐标为（0，-2）， 且AD ·BD =10，求抛物线的解析式； （3）已知点E （a ，1y ）、F （2a ，y 2）、G （3a ，y 3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有1y 、y 2、 y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由． 21. （2010西城二模）25． 在平面直角坐标系中，将直线l ：2 3 43--=x y 沿x 轴翻折，得到一条 新直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将抛物线1C ：2 3 2x y 沿x 轴平移，得到一条新抛物线2C 与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F ． （1）求直线AB 的解析式； （2）若线段DF ∥x 轴，求抛物线2C 的解析式； （3）在（2）的条件下，若点F 在y 轴右侧，过F 作FH ⊥x 轴于点G ，与直线l 交于点H ，一条直线m （m 不过△AFH 的顶点）与AF 交于点M ，与FH 交于点N ，如果直线m 既平分△AFH 的面积，求直线m 的解析式． 22. （2010宣武二模）25. 对于任意两个二次函数: y 1=a 1x+b 1x+c 1; y 2=a 2x+b 2x+c 2, 其中a 1?a 2≠0 . 当Ⅰa 1Ⅰ=Ⅰa 2Ⅰ时, 我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线. 现有△ABM, A(-1,0) B(1,0). 我们记过三点的二次函数的图象为“C□□□”(“□□□”中填写相应三个点的字母). 如过点A 、B 、M 三点的二次函数的图像为CABM. (1) 如果已知M(0,1), △ABM≌△ABN. 请通过计算判断CABM 与CABN 是否为全等抛物线; (2) ① 若已知M(0, n), 在图中的平面直角坐标系中, 以A 、B 、M 三点为顶点, 画出平行四边形. 求抛物线CABM 的解析式, 然后请直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM 全等的抛物线解析式. ② 若已知M(m,n), 当m,n 满足什么条件时, 存在抛物线CABM? 根据以上的探究结果, 在图中的平面直角坐标系中, 以A 、B 、M 三点为顶点, 画出平行四边形. 然后请列出所有满足过平行四边形中三个顶点且能与CABM 全等的抛物线C□□□”. 23.（2010丰台二模）23．（本小题满分7分） 已知：关于x 的一元二次方程0)1(222=++-m x m x 有两个整数根，m <5且m 为整数． （1）求m 的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数22)1(2m x m x y ++-=的图象沿x 轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式； （3）当直线y =x +b 与（2）中的两条抛物线有且只有三个．．交点时，求b 的值． 24（2010丰台二模）25．（本小题满分8分） 已知：如图，四边形OABC 是矩形，4OA =，8OC =，将矩形OABC 沿直线AC 折叠，使点B 落在点D 处，AD 交OC 于点E ． （1）求OE 的长； （2）求过O D C ，，三点的抛物线的解析式； （3）若F 为过O D C ，，三点的抛物线的顶点，一动点P 从点A 出发，沿射线AB 以每秒1个单位长度 的速度匀速运动，当运动时间t （秒）为何值时，直线PF 把FAC △分成面积之比为1:3的两部分？ 25（2010崇文二模）24．如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 、B 的坐标分别为A(0,3) 和B(5,0)，连结AB ． （1）现将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°，得到△COD ，（点A 落到点C 处），请画出△COD ，并求 经过B, C, D 三点的抛物线对应的函数关系式； （2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B 的对应点为点E ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 F ．P 为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连结PE , PF ，当PE-PF 的绝对值取得最大值时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴上运动时， 是否存在点P 使△EPF 为直角三角形？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 26（2010崇文二模）23．已知一元二次方程2 10x px q +++=的一根为 2． （1）求q 关于p 的函数关系式； （2）求证：抛物线2 y x px q =++与x 轴有两个交点； （3）设抛物线2 1y x px q =+++与x 轴交于A 、B 两点（A 、B 不重合），且以AB 为直径的圆正好经过该抛物线的顶点．求,p q 的值． 2009年北京中考数学模拟分类——二次函数综合题 27.（2009朝阳一模）24. 抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物 线顶点为M ，连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴于点Q ，且点Q 到x 轴的距离为6. （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，求出点D 的坐标； （3）抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得S △PAM =3S △ACM ，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由. 28.（2009东城一模）24．(本题满分7分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第 二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A (0，2)，点C (－1，0)，如图所示，抛物线y ＝ax 2＋ax －2经过点B ． (1)求点B 的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否还存在点P (点B 除外)，使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 29（2009丰台一模）25．已知抛物线22 3 y x bx c =-++与x 轴交于不同的两点()10A x ，和()20B x ，， 与y 轴交于点C ，且12x x ，是方程2 230x x --=的两个根（12x x <）． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A 作AD ∥CB 交抛物线于点D ，求四边形ACBD 的面积； （3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线l 交BC 于点Q ，那么在x 轴上是否存在点R ，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由． 30.（2009海淀一模）25．已知抛物线经过点A (0，4)、B (1，4)、C (3，2)，与x 轴正半轴交于点D ． (1)求此抛物线的解析式及点D 的坐标； (2)在x 轴上求一点E ，使得△BCE 是以BC 为底边的等腰三角形； (3)在(2)的条件下，过线段ED 上动点P 作直线PF ∥BC ，与BE 、CE 分别交于点F 、G ，将△EFG 沿FG 翻折得到△E ′FG ．设P (x ，0)，△E ′FG 与四边形FGCB 重叠部分的面积为S ，求S 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围． 31.（2009西城一模）24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线64 3 +-=x y 与x 轴、y 轴的 交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C． (1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形?若存在，求 出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出｜QA－QO｜的取值范围． 32.（2009宣武一模）25．如图，矩形OABC的边OC、OA分别与x 轴、y轴重合，点B的坐标是(3，1)，点D是AB边上一个动点(与 点A不重合)，沿OD将△OAD翻折后，点A落在点P处． (1)若点P在一次函数y＝2x－1的图象上，求点P的坐标； (2)若点P在抛物线y＝ax2图象上，并满足△PCB是等腰三角形，求 该抛物线解析式； (3)当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M， 使DM＋BM最小，并求出这个最小值． 33.（2009崇文一模）24．(本小题满分7分)如图，抛物线y＝ax2＋ bx－3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA． (Ⅰ)求抛物线的解析式； (Ⅱ)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由； (Ⅲ)直线13 1 +- =x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若∠DBC ＝α ，∠CBE ＝β ，求α －β 的值． 34（2009石景山一模）21．已知：如图，直角三角形AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和 y 轴的负半轴上，C 为线段OA 上一点，OC ＝OB ，抛物线y ＝x 2－(m ＋1)x ＋m (m 是常数，且m ＞1)经过A 、C 两点． (1)求出A 、B 两点的坐标(可用含m 的代数式表示)： (2)若△AOB 的面积为2，求m 的值． 35.（2009朝阳二模）23．（本小题7分）如图，点A 在x 轴的负半轴上，OA=4，将△ABO 绕坐标原点O 顺时针旋转90°，得到△O B A 11，再继续旋转90°，得到△O B A 22.抛物线y= ax 2 +bx+3经过 B 、1B 两点. （1）求抛物线的解析式； （2）点2B 是否在此抛物线上，请说明理由； （3）在该抛物线上找一点P ，使得△2PBB 是以2BB 为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标； （4）在该抛物线上，是否存在两点M 、N ，使得原点O 是线段MN 的中点，若存在，直接写出这两点的坐标； 若不存在，请说明理由. 36.（2009崇文二模）25．（本小题满分８分） 在平面直角坐标系中，抛物线c x ax y ++=2经过直线42+=x y 与坐标轴的两个交点B C 、，它与x 轴的另一个交点为A ．点N 是抛物线对称轴与x 轴的交点，点M 为线段AB 上的动点． （1）求抛物线的解析式及点A 的坐标； （2）如图①，若过动点M 的直线BC ME //交抛物线对称轴于点E ．试问抛物线上是否存在点F ，使得以点F E N M ,,,为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图②，若过动点M 的直线AC MD //交直线BC 于D ，连接CM ．当CDM ?的面积最大时，求点M 的坐标？ 图1 图2 37.（2009东城二模）24. 定义{},,a b c 为函数2y ax bx c =++的 “特征数”．如：函数223 y x x =-+的“特征数”是{}1,2,3-，函数23y x =+的“特征数”是{}0,2,3,函数y x =-的“特征数”是{}0,1,0- （1）将“特征数”是?? ? ?????1,33,0的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式； （2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线3=x 分别交于D 、C 两点， 判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状,请说明理由并计算其周长． （3）若（2）中的四边形与“特征数”是211,2,2b b ??-+???? 的函数图象的有交点，求满足条件的实数 b 的取值范围？ 38（2009海淀二模）23、已知：关于x 的一元二次方程x 2＋（n －2m ）x ＋m 2－mn=0① (1)、求证：方程①有两个实数根： （2）、若m －n －1=0,求证方程①有一个实数根为1； （3）、在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a 。当x=2时，关与m 的函数 y 1=nx ＋am 与y 2=x 2 ＋a(n －2m)x ＋m 2 －mn 的图像交与点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线L 与y 1、y 2的图像分别交与点C 、D.当L 沿AB 由点A 平移到点B 时，求线段CD 的最大值. 39.（2009海淀二模）24、如图，已知抛物线y=（3－m ）x 2＋2 （m －3）x ＋4m －m 2 的顶点A 在双曲线y=3 x 上，直线y=mx ＋b 经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交与点C. （1）、确定直线AB 的解析式： （2）、将直线AB 绕点O 顺时针旋转900 ，与x 轴交与点D ，与y 轴交与点E ，求sin ∠BDE 的值； （3）、过点B 作x 轴的平行线与双曲线交与点G ，点M 在直线BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为6.设点N 在直线BG 上，请直接写出使得∠AMB ＋∠ANB=450 的点N 的坐标. 40.（2009西城二模）24.如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为A （0，1），与x 轴的一个交点B 的坐标为（2， 0），点P 在抛物线上，其横坐标为2n （0＜n ＜1），作PC ⊥x 轴于C ，PC 交射线AB 于点D （1）求抛物线的解析式 （2）用n 的代数式表示CD 、PD 的长，并通过计算说 明PD OC CD OB 与的大小关系 （3）若将原题中“0＜n ＜1”的条件改为“n ＞1”，其他条件不变，请通过计算说明（2）中结论是否仍然成立 41.（2009宣武二模）23.（本题满分7分）已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是C 1． （1）求C 1关于点R （1，0）中心对称的图象C 2的函数解析式； （2）在（1）的条件下，设抛物线C 1、C 2与y 轴的交点分别为A 、B ，当AB=18时，求a 的值． 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 （） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点 和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（10分）（2015?佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画． （1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标； （2）小球的落点是A，求点A的坐标； （3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积； （4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）． 【解析】 试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标； （2）联立两解析式，可求出交点A的坐标； （3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解； （4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直 线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛 物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标． 试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4， 故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）； （2）联立两解析式可得：，解得：，或． 故可得点A的坐标为（，）； （3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B． S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA =×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣×× =4+﹣ =； （4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积． 设直线PM的解析式为y=x+b， ∵P的坐标为（2，4）， ∴4=×2+b，解得b=3， ∴直线PM的解析式为y=x+3． 由，解得，， ∴点M的坐标为（，）． 考点：二次函数的综合题 二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3） （1）求该二次函数所对应的函数解析式； （2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值； （3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为 2 4 ；（3）M点坐标为可以为（2， 3），（55 2 + ，3），（ 55 2 - ，3）． 【解析】 【分析】 （1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式． （2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值． （3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解． 【详解】 解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c）， ∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0）， ∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）． 又∵点D（4，3）在二次函数上， ∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3， ∴解得：a＝1． ∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3． 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】 中考试题分类汇编——二次函数 一、选择题 1、（天津市）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：① ；②；③；④；⑤，（ 的实数）其中正确的结论有（）B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、（2007南充）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）．B （A）②④（B）①④（C）②③（D）①③ 3、（2007广州市）二次函数与x轴的交点个数是（）B A．0B．1C．2D．3 4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）A 5、（2007四川资阳）已知二次函数（a≠0）的图象开口向上，并经过点（-1，2），（1，0）。下列结论正确的是（）D A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大 B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小 C. 存在一个负数x0，使得当x 二次函数分类汇编及答案解析 一、选择题 1．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ） A ．16 B ．15 C ．12 D ．11 【答案】B 【解析】 【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值． 【详解】 解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ， ∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°， ∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ， ∴△FEH ∽△EBA ， ∴ ,HF HE EF AE AB BE == G Q 为BE 的中点， 1 ,2 FE GE BE ∴== ∴ 1 ,2 HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD == ∴HF 1 ,4,2 x EH = = ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ???∴=+- 11111(8)8(4)422222x x x x =++?--?? 2 141644 x x x x = +--- 2 116,4 x x = -+ ∴当 1 2 124 x -=- =? 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=?-+= 故选：B ． 【点睛】 本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键． 2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 历届中考二次函数试题精选 一、填空题 1．（2012?烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．（2012泰安）设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．213y y y >> B ．312y y y >> C ．321y y y >> D ．312y y y >> 3．（2012潜江）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0； ④8a+c＞0．其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 4. （2011湖北襄阳）已知函数12)3(2 ++-=x x k y 的图象与x 轴有交 点，则k 的取值范围是（ ） A.4 A ．31≤≤-x B ．31<<-x C ．31>- 二次函数中考试题分类汇编 一、选择题 1、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结 论有（ ）B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．B （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③ 3、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）B A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数 2y ax bx =+的图象可能为（ ）A 5、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )D A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小 C. 存在一个负数x 0，使得当x 1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标； （4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求d（点O，△ABC）； （2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围； （3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长； （2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点 H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值； （3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标． 江门数学二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x ﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值； （3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值 为4；（3）Q的坐标为（5 3 ，﹣ 28 9 ）或（﹣ 11 3 ， 92 9 ）． 【解析】 【分析】 （1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解； （2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2），进而根据S ＝S△PHB+S△PHC＝1 2 PH?（x B﹣x C），进行计算即可求解； （3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解． 【详解】 解：（1）对于直线y＝1 2 x﹣2， 令x＝0，则y＝﹣2， 令y＝0，即1 2 x﹣2＝0，解得：x＝4， 故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4）， 将点C的坐标代入上式并解得：a＝1 2 ， 故抛物线的表达式为y＝ 1 2 x2 ﹣ 3 2 x﹣2①； （2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H， 设点P（x， 1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2），则点H（x， 1 2 x﹣2）， S＝S△PHB+S△PHC＝ 1 2 PH?（x B﹣x C）＝ 1 2 ×4×（ 1 2 x﹣2﹣ 1 2 x2+ 3 2 x+2）＝﹣x2+4x， ∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4； （3）①当点Q在BC下方时，如图2， 延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形， 则点C是RQ的中点， 在△BOC中，tan∠OBC＝ OC OB ＝ 1 2 ＝tan∠ROC＝ RC BC ， 则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22 (2) x x 5＝BQ， 在△QRB中，S△RQB＝ 1 2 ×QR?BC＝ 1 2 BR?QK，即 1 2 2x?2x＝ 1 2 5， 解得：KQ 5 ∴sin∠RBQ＝ KQ BQ 5 5x ＝ 4 5 ，则tanRBH＝ 4 3 ， 2020年中考数学模拟试题分类汇编——二次函数 一、选择题 1．(2018年山东宁阳一模)在平面直角坐标系中，先将抛物线22-+=x x y 关于x 轴作轴对称变换，再将所得抛物线关于y 轴作轴对称变换，通过两次变换后所得的新抛物线解析式为〔 〕 A ．22+--=x x y B ．22-+-=x x y C ．22++-=x x y D ．22++=x x y 答案：C 2．(2018年江西省统一考试样卷)假设抛物线y =2x 2 向左平移1个单位，那么所得抛物线是〔 〕 A ．y =2x 2＋1 B ．y =2x 2－1 C ．y =2〔x ＋1〕2 D ．y =2〔x －1〕2 答案：C 3. 〔2018年河南中考模拟题1〕某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高 与水平的距离 ，那么该运动员的 成绩是( ) A. 6m B. 10m C. 8m D. 12m 答案：D 4．〔2018年河南中考模拟题4〕二次函数2 y ax bx c =++〔0a ≠〕的图象如下图，那么正确的选项是( ) A ．a ＜0 B ．b ＜0 C ．c ＞0 D ．以答案上都不正确 答案：A 5.〔2018年河南中考模拟题3〕二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像如下图，那么以下条件正确的选项是〔 〕 A ．ac ＜0 B.b 2 －4ac ＜0 C. b ＞0 D. a ＞0、b ＜0、c ＞0 答案：D 6．(2018年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示． y x O x= 1 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 2017中考数学分类试题汇编 二次函数图像信息题 1. （2017黄石市）如图是二次函数2 y ax bx c =++的图象，对下列结论：①0ab >；②0abc >；③241ac b <，其中错误的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. （2017年烟台市）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论： ①0 二次函数压轴题精讲 1．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 例1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分 别为A、B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围． 2．如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线 段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△为直角三角形时点P的坐标． 2017二次函数中考试题分类汇编 一、选择题 1、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如下图1所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1 ≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、如上图2是二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0）， 对称轴为 x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中 正确结论 是（ ）．（A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③ 3、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ） 5、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( ) A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小 C. 存在一个负数x 0，使得当x 一、选择题 1、已知二次函数 实用标准文案 2017 二次函数中考试题分类汇编 y ax 2 bx c a 的图象如下图 1 所示，有下列 5 个结论：① abc 0 ； ② b a c ；③ 4a 2b c 0 ；④ 2c 3b ；⑤ a b m (a m b ) ，（ m 1 的实数）其中 正确的结论有（ ）A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 2、如上图 2 是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点 A （－3，0），对称轴为 x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论 是（ ）．（A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③ 3、二次函数 y x 2 2 x 1与 x 轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、在同一坐标系中一次函数 y ax b 和二次函数 y ax 2 bx 的图象可能为（ ） y y y y O x O x O x O x A B C D 5、已知二次函数 y ax 2 bx c (a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论 正确的是( ) A. 当 x >0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大 ( 0) B. 当 x >0 时，函数值 y 随 x 实用标准文案 的增大而减小 C. 存在一个负数 x ，使得当 x 中考二次函数压轴题分类汇编 一．极值问题 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标． 分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解； （3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标． 解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，）， 根据题意得：，解得：， 则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1； （2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）． ∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+， 则当x=﹣时，MN的最大值为； （3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分， 即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC， 即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1， 故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分． 点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用 二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题． 2.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式． （2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值． （3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值； （3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论． 解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中， 得， 解得 ∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4． （2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x 1=﹣4，x 2 =2， ∴A（﹣4，0），S △ABC =ABOC=12． 设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x． ∵PE∥AC， ∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA， ∴△PBE∽△ABC， ∴，即， 化简得：S △PBE =（2﹣x）2． 2020二次函数 一、选择题 1. （2020?广东，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是 （） A ．函数有最小值B ． 对称轴是直线x = C ．当x ＜，y随x的增大而减 小 D ． 当﹣1＜x＜2时，y＞0 考点：二次函数的性质． 分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A； 根据图形直接判断B； 根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断 C； 根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则 y＜0，从而判断D． 解答：解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意； B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合 题意； C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小， 正确，故本选项不符合题意； D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选 项符合题意． 故选D． 点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题． 2. （2020?广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数 y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是 （） A ． B ． C ． D ． 考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象． 分析： 先根据二次函数的图象得到a ＞0，b ＜0，c ＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置． 解答： 解：∵抛物线开口向上， ∴a ＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x = ﹣＞0， ∴b ＜0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴c ＜0， ∴一次函数y =cx +的图象过第二、三、四象限，反比例函数y =分布在第二、四象限． “二次函数”中考试题分类汇编(含答案)-绝对经典 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 二次函数 中考题汇编 要点一、二次函数的表达式 一、选择题 1、（2010·芜湖中考）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝ a x与正比例函数y＝（b ＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（） 2、（2010·安徽中考）若二次函数5 2+ + =bx x y配方后为k x y+ - =2)2 (则b、k的值分别为（） A .0 5 B .0. 1 C.-4. 5 D.-4. 1 3、（2009·庆阳中考）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点） 离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．2 2 y x =-B．2 2 y x =C．2 1 2 y x =-D．2 1 2 y x = 4、（2008·济宁中考）已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（） A．223 y x x =-+B．223 y x x =-- C．223 y x x =+-D．223 y x x =++ 5.（2008·庆阳中考）若2 y ax bx c =++，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（） x1-01 2 ax1 图（1） 2ax bx c ++ 8 3 Ａ．2 43y x x =-+Ｂ．2 34y x x =-+Ｃ．2 33y x x =-+ Ｄ．2 48y x x =-+ 6、（2007·巴中中考）巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高为1米的喷水管喷水 最大高度为3米，此时喷水水平距离为 1 2 米，在如图4所示的坐标系中，这支喷泉满足的函数关系式是（ ）A ）21()32y x =--+ （B ）2 13()12 y x =-+（ C ）2 1 8()32 y x =--+ （D ）2 18()3 2 y x =-++ 二、填空题 7、（2009·襄樊中考）抛物线2 y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为 ． 8、（2009·安徽中考）已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14 -），且图象与x 轴的另一交点到原点的 距离为1，则该二次函数的解析式为 . 9、（2008·苏州中考）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2 y ax bx c =++的图象时，列了如下表格： x … 2- 1- 0 1 2 … y (1) 6 2- 4- 1 22 - 2- 122 - … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数2 y ax bx c =++在3x =时，y = ． 三、解答题 10、（2010?宁波中考）如图，已知二次函数c bx x y ++- =2 2 1的图象经过A （2，0） 、B （0，－6）两点。 （1）求这个二次函数的解析式 （2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连结BA 、BC ，求△ABC 的面积。 y x C A O 中考数学二次函数分类汇编试题含答案 一、选择题 1、（2007天津市）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ） B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、（2007南充）如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．B （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③ 3、（2007广州市）二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）B A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数 2y ax bx =+的图象可能为（ ）A 5、（2007四川资阳）已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下 列结论正确的是( )D A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小 C. 存在一个负数x 0，使得当x 2018年中考数学真题汇编：二次函数(含答案)
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