2008年4月皖西学院学报
A pr.,2008第24卷第2期
Jo urnal o f West Anhui U niv er sity
Vo l.24 NO.2
Rutherford 散射公式的理论研究
孙 瑞,汤玉泉,郭美灵,张穗萌
(皖西学院数理系,安徽六安237012)
摘 要:讨论和比较了用不同理论方法导出卢瑟福散射公式;分析了低能电子入射单电离氦原子(e,2e)反应中的卢瑟福散射;尤其是通过卢瑟福公式给出了有效核电荷的表达式。
关键词:卢瑟福散射;(e,2e)反应;有效核电荷
中图分类号:O 411.1 文献标识码:A 文章编号:1009-9735(2008)02-0154-03*
引言
作为证明原子核式模型的Ruther f or d 散射实验,在人类探索自然的过程中,曾经起过十分重要的作用,因此,是物理学发展史上具有重大意义的实验项目之一[1]。近百年过去了,直到当代,利用入射粒子与靶原子、分子的弹性和非弹性散射,来研究原子和分子内各种相互作用的强度以及物质的结构,仍然是人们探索自然、揭示微观规律的重要手段。当然,随着科学技术的发展和实验手段的改进,作为研究微观结构的 炮弹 ,入射粒子已经远不局限于 粒子,可以是质子、中子、电子、光子等各种微粒[2];在散射的末通道,可以将靶粒子完全电离,也可以将靶粒子部分电离或激发[3],但是在不同的碰撞过程中,人们还常常可以看到 Rutherf or d 的影子[4] 。正因为如此,所以对R uther f o rd 散射公式,直到现在还常常有人对它进行研究和探讨[5-8]。本文拟对前人在这方面的工作,做一个概括性的总结,分析不同理论方法的优劣,并在此基础上,从R uther f ord 散射公式出发,导出低能电子入射单电离氦原子的(e,2e)过程中,出射电子感受到的有效电荷的解析表达式,从而为(e,2e)反应的理论研究奠定基础。1 Ruther f or d 散射的理论推导
1.1 Ruther f or d 散射公式不同推导方法的比较
自核式模型提出以来,人们从不同的考虑入手,可以用很多不同的方法导出Ruther f or d 散射公式,归纳起来,不外乎以下几种方法:!牛顿第二定律的方法[5];?用动量和角动量守恒定律的方法[6-7];#不变速度方法[8];?量子力学方法[5];%量子场论方法[5]。下面我们以一种典型的方法导出Ruther f or d 散射公式,再对不同方法加以比较、
评述。
如上图,荷电粒子以瞄准距离b,速度v &入射,在r &
处受力为:
F &
=
Z 1Z 2e 24 0r
2r &。
(1)
式中:r &。
为r &方向的单位矢量。运用牛顿定律,可得:
z 1z 2e 24 0r
r &。=m d &
v t
(2)
在方程(2)中插入角坐标!可得:
r &。
为r &
方向的单位矢量。运用牛顿定律,可得:
z 1z 2e 24 0r
2r &。=m d &
v t d !?d !
d t (3)
在有心力作用下,系统角动量守恒,即:
mr 2
d !
dt
=mv 0b =L (4)
将方程(4)代入方程(3)得:
d &
v t =
Z 1Z 2e 24 0L
r &。
d !(5)
另一方面,库仑力是保守力,故运动过程中入射粒子机械能守恒:
12mv 20=12mv 2((6)
亦即:
v 0=v (=v (7)
取x 轴水平向右,y 轴竖直向上;将方程(5)两边积分
可得:
)
v &(v &0
dv &
t =
z 1z 2e 24 0L
)
-?0
(i &
cos !+j &
sin !)d !
(8)
154
*
收稿日期:2008-02-26
基金项目:安徽省教育厅重大科研项目基金(ZD2007002-1);皖西学院学生研究性学习重点项目基金(校团[2007]30号)。作者简介:孙瑞、汤玉泉、郭美灵:物理学专业06级学生;张穗
萌:教授,指导教师。
注意到:
v &
0=v(-i &
);v &
(=v(-i &
)cos ?+vj &
sin ?(9)
则方程(8)积分后即得:
b =
z 1z 2e 24 0(2E 0)
ctg ?2=a 2ctg
?
2(10)
这就是著名的Ruther f or d 散射公式,式中E 0是入射能,a 是库仑散射因子。
在上述理论推导中我们看到:整个推导过程使用了三个经典的力学定律,即:牛顿第二定律、角动量守恒定律、机械能守恒定律;事实上,上述文献[5]和文献[6]与本文使用的方法都是基本相同的,没有本质的差异。文献[7]声称使用动量守恒定律,通过对动量变化三角形的各边,使用正弦定理而得到物理量之间的关系;事实上,动量守恒是该文一个错误的提法。我们知道:在有心力场中运动的粒子,其动量是不守恒的!该文之所以能得到正确的结论,是因为他实际上是应用了散射的初、末态动量大小不变,即:上述方程(7),其本质是能量守恒。所以,文献[7]本质上也是使用了:牛顿第二定律、角动量守恒定律和机械能守恒定律;并没有提出新的方法。文献[8]在经典物理范围内,给出了一种全新的方法,但是求解过程比较繁杂。可见,综合上述推导方法,在经典力学范围内,Ruther f or d 散射公式实质上只有两种推导方法!
量子力学中可以采用分波法和Bor n 近似法分别得到Ruther f or d 散射公式
[9](P 85-90)
;量子场论则利用两带电粒子
相应的场之间的相互作用,得到相对论情况下的散射公式,在非相对论近似下,与经典理论的结果完全一致
[5]
。量子力学、
量子场论的推导运用了与经典物理完全不同的思路和方法,却可以得到与经典物理完全相同的结论!正是物理理论内在自洽性的表现。
1.2 微分散射截面公式的推导
为了对Ruther f or d 核式模型的理论结果方程(10)进行实验验证,必须将Rutherf or d 散射公式中的瞄准距离b 用宏观量来取代。为此,我们用形象的方法来推导微分散射截面的计算公式。
1.2.1 单核的散射面积
如图所示,考察只有一个靶核存在的情况,瞄准距离在b b -db 之间的a 粒子必定被散射到:? ?+d ?之间的空间的锥体之中,因此,图中阴影部分面积为
:
ds = b 2- (b -db )2 2 b d b (11)
亦即
ds =2 a 2ctg ?
2
-
a
4
d ?
sin 2?2=2 a 2sin ?d ?
16sin 4
?2
(12)
另一方面,根据立体角的定义,图中d ?空心锥体对应的立体角为: d #=圆环面积r 2=2 (r sin ?)?(r d ?)
r 2
=2 sin ?d ?(13)
所以
ds =
a 2d #
16sin
4
?
2
(14)
1.2.2 薄靶的总散射面积
设:薄靶的总面积为A ,靶上单位体积内的原子数为n,靶的厚度为t,则靶上总原子数为:nA t,因此,入射a 粒子被散射到?方向、d #立体角的总散射面积为:
S =tnA d s =
A nta 2d #
16sin 4
?
2
(15)
由此可得:入射a 粒子被散射到?方向d #内的概率为: dp (?)=靶的总散射面积靶的总面积=S A =dN
N
=
nta 2d #
16sin 4
?2
(16)
式中:N 是入射的a 粒子总数;dN 是被散射到d #中的a 粒子数。
1.2.3 微分散射截面
由上述(16)式我们得到,这一散射过程的微分散射截面为:
d ?d #=?c (?)=dN N ntd #
=a 2
16sin
4
?
2
(17)
它表示了:a 粒子散射到?方向,单位立体角内,每个靶原子的有效散射截面。这一关系是可以直接用实验验证的。2 结果和讨论
2.1 低能(e,2e)反应中的有效电荷
在电子入射单电离靶原子的(e,2e)反应中,当靶原子的电荷数大于1时,出射电子将在剩余离子的库仑场中运动,末态的三体关联度决定了出射电子的截面分布。而这种关联在本质上就是末态各粒子之间库仑相互作用的强弱,换句话说,就是出射电子感受到的有效库仑场。因此,正确地给出出射电子感受到的有效电荷,是精确求解(e,2e)反应中截面分布的重要条件[10]。
低能电子被靶核的小角度散射,实质上就是Ruther f or d 散射[4],所以我们可以借助于Ruther f or d 散射公式分析小角度出射电子感受到的剩余离子的有效电荷随入射能和出射角的变化规律。
根据上面的推导,Rutherf or d 散射公式为:b =
12E 0Z 1Z e f f e 24 0
ctg
?
2(18)
其中:Z 1是入射电子的电荷数;Z ef f 是出射电子感受到的剩余靶离子的有效电荷,这与方程(10)中Z 2表示靶核的电荷
155
数具有完全不同的含义。考虑到核外电子对靶核的屏蔽度不同,所以Z ef f 将在1到靶的核电荷数Z 之间,即:
1?Z e f f ?Z (19)
下面我们以电子入射单电离氦原子为例,来研究这个有
效电荷。
我们知道:氦原子的半径约为0.93A +
,我们假设电子以给定的能量E 0入射,将靶核敲出一个电子后,沿?方向出射,则由Ruther f or d 散射公式知:它感受到的有效电荷数为:
Z ef f =
8E 0b 0
Z 1e 2ctg
?
2
(20)
此式中:四个变量E 0;b,?;Z e f f 都是不确定的,但是它们受这一方程的约束,只有三个变量是独立的。所以认真分析各量的变化范围和变化趋势,对于我们正确设计有效电荷的解析关系是有帮助的。
正如文献[4]所描述的那样,假设E 0=64.4e V,当电子出射角取定为?=15+时,如果我们取Z e f f =2,则由上式可以求得:瞄准距离为b =1.69A ;这显然是不合理的,因为只有当b <0.93A +
时,入射电子才有可能将另一个电子敲出;当我们取b =0.93A +时,由于剩余电子对核的屏蔽作用,所以:Z e f f ,1 1;若取Z ef f =1,可以反推出b =0.84A +
;同样的方法我们可以分析四个变量中任意两个量取定后,另外两个量之间的变化规律,这正好与电子入射单电离氦原子的(e,2e)反应中,不同的几何条件相对应。
当然,在研究电子入射单电离氦原子的(e,2e)反应时,我们不仅要考虑剩余离子中束缚电子对核的屏蔽效应,还需要考虑敲出电子与散射电子彼此间的屏蔽效应,情况远比这里要复杂得多!但是,这里的分析至少为我们正确设计两个出射电子感受到的有效电荷提供了可靠的依据。2.2 结论
在这篇文章中,我们对Ruther f or d 散射公式的推导方法
进行了归纳、总结,分析了不同方法的优劣;通过直观、形象的方法导出了微分散射截面的计算公式;并利用Ruther f or d 散射公式定量分析了电子入射单电离氦原子的(e,2e)反应中,散射电子感受到的剩余离子有效电荷的变化规律,为下一步正确设计这一有效电荷的解析表达式奠定了良好的基础。参考文献:
[1]曹肇基.卢瑟福散射与原子的有核模型[J].大学物理,1999,18(12):34-36.
[2]陈学俊,郑延友..电子动量谱学的进展和应用前景[J].物理学进展,1994,14(3):303-305.
[3]X.G.Ren,C.G.N ing,,et al.Io nization excitat ion of helium by t he (e.2e)reactio n[J].PH YSICA L R EV IEW A,2005,72:042718-042722.
[4]陈长进,徐克尊.低能(e,2e)反应中的卢瑟福散射效应[J].原子与分子物理学报,1999,16(2):229-233.
[5]尹建武.卢瑟福散射公式的几种推导方法[J].黄冈师范学院学报,2003,3(3):31-34.
[6]吕延会.用动量矩守恒定律推导卢瑟福散射公式[J].科技信息,2007,(3):22.
[7]夏景峰,袁亚萍.卢瑟福散射公式推导[J].景德镇高专学报,2003,18(4):16-17.
[8]董文山.用不变速度推导卢瑟福散射公式[J].大学物理,2003,22(8):19-20.
[9]Ru K eng Su,Bin Wang.Advanced Quantum M echanics
[M ].Shanghai:Fudan U niver sity Press,2004.
[10]Sui M eng Zhang ,M o mentum cor relat ion in t he three body
Co ulomb continuum pro blem [J].J.Phy s.2000,B33:3545-3554.
A Theoretical Study on the Rutherford Scattering Formula
SU N Rui,T A N G Yu quan,GU O M ei ling ,ZH A N G Sui meng
(Dep ar tment of M athematics and Phy sics W est A nhui University ,L u ?an 237012,China)
Abstract:T his w or k discusses and compares the methods of deriving the Rutherfor d scatter ing for mula,and analy ses the R uther fo rd scatter ing in the low ener gy (e,2e)r eactions thr ough the study on electro n impact ionizatio n o f helium.Especially ,T he effec t ive nuclea r charg e is co nsidered by the Ruther for d scatter ing for mula.Key words:R uther ford scattering ;(e,2e)reactio ns;effective nuclear char ge
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