2018高考复习极坐标与参数方程 导学案(教师版)

极坐标与参数方程

环节1 明晰高考要求

高考对极坐标与参数方程考查主要突出其工具性的作用，突出极坐标以及参数方程的几何用法，考查学生能根据实际问题的几何背景选择恰当的方法解决问题的能力，命题考查形式以极坐标与直角坐标的互化，参数方程的消参以及极坐标的几何意义与参数方程的参数的几何意义的综合应用。 主要考查四类题型：

① 极坐标系中，极坐标的几何意义的应用

真题示例

题1 (2017年全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐

标方程为cos 4ρθ=.

(1) M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； (2) 设点A 的极坐标为2,

3π?

?

??

?

,点B 在曲线2C 上,求OAB ?面积的最大值. 【解析】(1)设()00,M ρθ,(),P ρθ,则0OM ρ=,OP ρ=,依题意016ρρ=,00cos 4ρθ=,0θθ=,

解得4cos ρθ=,化为直角坐标系方程为()2

2

24x y -+=()0x ≠.

常规方法:曲线1C :4x =,设(),P x y ,()4,M t ,则4tx y =

16=, 将224x y x +=(0x ≠),即点P 的轨迹2C 的直角坐标方程为()2

2

24x y -+=()0x ≠.

(2)连接2AC ,易知2AOC ?为正三角形,OA 为定值. 所以当边AO 上的高最大时,AOB S △面积最大,

如图,过圆心2C 作AO 垂线,交AO 于H 点,交圆C 于B 点,此时AOB S △最大

max 12S AO HB =

?()1

2

AO HC BC =

+2= 别解:设(),B ρθ(0ρ>),由题意知2OA =,4cos ρθ=,

所以OAB ?的面积1sin 2S OA AOB ρ=?∠4cos sin 3πθθ?

?=?- ??

?

2sin 223πθ?

?

=-

≤+ ??

?当12πθ=-时,S

取得最大值2所以OAB ?

面积的最大值为2.

题2 (2015年课标Ⅱ文理)选修44-:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中,曲线1C :cos sin x t y t α

α

=??

=?,(t 是参数,0t ≠),其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为

极轴的极坐标系中,曲线2C :2sin ρθ=,3C

:ρθ=. (Ⅰ) 求2C 与3C 的交点的直角坐标；

(Ⅱ) 若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 的最大值.

【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2

2

20x y y +-=,曲线3C

的直角坐标方程为220x y +-=.

联立2222

20

x y y x y ?+-=??+-=??,解得00x y =??=?

或232

x y ?

=????=??

, 所以2C 与3C 的交点的直角坐标为()0,0

和3,22??

? ???

. (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为θα=(ρ∈R ,0ρ≠),其中0απ≤<. 因为A 的极坐标为()2sin ,αα,B

的极坐标为()

,αα,

所以2sin 4sin 3AB πααα??

=-=-

??

?

,当56

π

α=

时,AB 取得最大值,且最大值为4. ② 直角坐标系中，曲线参数方程的直接应用

真题示例

题 1 (2017年全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,

sin ,x y θθ=??=?(θ为参数),直线l 的参数方程为

4,

1,x a t y t =+??

=-?

(t 为参数).

(1) 若1a =-,求C 与l 的交点坐标；

(2) 若C 上的点到l

,求a .

【解析】(1)1a =-时,直线l 的方程为430x y +-=,曲线C 的标准方程是2

219

x y +=, 联立方程22

430

1

9x y x y +-=???+=??,解得30x y =??=?或21252425x y ?=-????=??

,则C 与l 交点坐标是()3,0和2124,2525??- ???. (2)直线l 一般式方程是440x y a +--=,设曲线C 上点()3cos ,sin P θθ, 则P 到l

距离

d =

=

,其中3

tan 4

?=

. 当40a +≥

即4a ≥-时

,max d ==即917a +=,解得8a =. 当40a +<即

4a <-时,

max d ==解得16a =-.

综上,16a =-或8a =.

题2 (2017年江苏)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参考方程为82

x t t

y =-+??

?=??(

t 为参数),曲线C 的参数方程为2

2x s y ?=??=??(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值. 【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=

,因为P 在曲线C 上,设(

)

2

2,P s ,

故点P 到直线l 的距离

2

24

s d +=

=

当s =

,min d =

, 因此当P 的坐标为()4,4时,曲线C 上的点P 到直线

l ③ 直角坐标系中，直线参数方程的参数t 几何意义的应用

真题示例

题1 【2018全国二卷22】在直角坐标系

中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为

（为参数）． （1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

（1）曲线C 的直角坐标方程为

116

42

2=+y x ． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．

又由①得α

αα2

21cos 31)

sin cos 2(4++-

=+t t ，故， 于是直线的斜率

题2【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且

倾斜角为的直线与交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程． （1）的直角坐标方程为．

当时，与交于两点． xOy C 2cos 4sin x θy θ=??=?

，

θl 1cos 2sin x t αy t α=+??

=+?

，

t C l C l (1,2)l cos 0α≠l tan 2tan y x αα=?+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-xOy O ⊙cos sin x y θθ

=??

=?，

θ(0-，αl O ⊙A B ，αAB P O 221x y +=2

απ

=

l O

当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或． 综上，的取值范围是． （2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足． 于是，．又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是为参数，． ④ 通过互化或消参呈现几何背景，利用相关的几何法解决

真题示例

题5 【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正

半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为

2

2cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；

（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.

（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．

（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．

由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．

当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2

2=，故4

3k =-或0k =．

2απ≠

tan k α=

l y kx =l

O ||1<1k <-1k >(,)42

αππ

∈(,

)24

απ3π

∈α(,

)44

π3π

l cos ,

(sin x t t y t αα

=???

=??44απ3π<<)A B P A t B t P t 2

A B

P t t t +=

A t B

t 2sin 10t α-+

=A B t t α+

=P t α=P (,)x

y cos ,

sin .P P

x t y t αα=???=??

P 2,222x y αα?=

???

?=--??

(α44απ3π<<)

经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4

3

k =-

时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2

2=，故0k =或43

k =

． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4

3

k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4

||23

y x =-

+． 题6 （2017年深圳二模）已知直线l 的参数方程是)(242222

是参数t t y t x ???

???

?+==

，圆C 的极坐标方程为)4

cos(2π

θρ+

=．

（1）求圆心C 的直角坐标；

（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 解析：（I ）θθρsin 2cos 2-= ，

θρθρρsin 2cos 22-=∴， …………（2分） 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分） 即1)22()22(22=++-

y x ，)2

2

,22(-∴圆心直角坐标为．…………（5分） （II ）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是

6224)4(4081)242

222()2222(

2222≥++=++=-+++-t t t t t ， …………（8分） ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 …………（10分） 方法2：024=+-∴y x l 的普通方程为直线， …………（8分）

圆心C 到l 直线距离是

52

|2422

22|

=++，

∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-

环节2 问题自主解决 1回归教材

题组1 人教A 版选修4-4 P12 课本习题编选：

题1 在极坐标系中，132511(4,),(4,

),(4,),(4,)6666ππππ

-表示的点有什么关系？你是如何刻画这些点的位置的？

题2已知点的极坐标分别为2(3,),(2,),(4,),()4322ππππ，求它们的直角坐标

题3已知点的直角坐标分别为7

),(,0),(2,2

--，求它们的极坐标 问题自主探索：

① 极坐标与直角坐标之间的区别与联系是什么？ ② 极坐标的几何意义是什么？

题组2人教A 版选修4-4 P15 课本习题编选：

题1 说明下列极坐标方程表示什么曲线？

（1）5ρ= （2）5()6R πθρ=

∈ （3）2sin ρθ= （4）sin()124

πρθ-= （5）2sin cos ρθθ= （6）2cos24ρθ= 题2 将下列直角坐标方程化成极坐标方程

（1）4x = （2）2320x y +-= （3）2

2

(1)(4x y -+= （4）22

148

x y +

= 题3 在极坐标系中，求适合下列条件的曲线的极坐标方程

（1）过极点，倾斜角是3

π的直线 （2）圆心在(1,)4π

，半径为1的圆

（3）过点(2,)3π，且和极轴垂直的直线 （4）过点)4π

，且与2320x y +-=垂直的直线

题4 设点P 的极坐标为11(,)ρθ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求直线l 的极坐标方程

题 5 已知椭圆的中心为O ，长轴、短轴的长分别2,2(0)a b a b >>，,A B 分别为椭圆上的两点，并且

OA OB ⊥,求证：

2

2

11OA

OB

+

为定值

问题自主探索：

① 实现曲线极坐标方程与直角坐标方程互化的桥梁是什么？

② 求解曲线极坐标方程，你是怎么处理的？它跟直角坐标求点轨迹方程的思路一样吗？ ③ 极坐标的几何意义是如何应用的？

题组3 人教A 版选修4-4 P25-34 课本例题编选

题1把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线

（1

）11x y ?=??=-??t 为参数） （2） sin cos 1sin 2x y θθθ=+??=+?（θ为参数）

题2把下列普通方程化为参数方程，并说明它们各表示什么曲线

（1）2

2

(1)(2)4x y -+-= （2）22

1169

x y +

=

题3 在椭圆22

194

x y +

=上求一点M ,使点M 到2100x y +-=的距离最小，并求出最小距离。

题3 （选讲）已知椭圆22

221x y a b

+=上任意一点M （除短轴两端点外）与短轴两端点12,B B 的连线分别

与x 轴交于,P Q 两点，O 为椭圆的中心，求证：OP OQ 为定值

问题自主探索：

① 用参数表达曲线的普通方程，意义何在？通过消参得到普通方程需要注意什么？ ② 常见圆锥曲线的参数方程怎么表达？

③ 比较用圆锥曲线参数方程与几何通法解决问题，优劣势在哪里？ 题组4 人教A 版选修4-4 P36-37 课本例1例2

题1 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于,A B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到,A B 两点的距离之积。

题 2 经过点(2,1)M 作直线,l 与交椭圆22

1164

x y +

=于,A B 两点，如果M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程

问题自主探索：

① 直线参数方程如何求解？标准的直线参数方程指的是什么？

② 参数t 的几何意义是什么？怎么证明？是不是所有直线参数方程t 都具备几何意义？ ③ 参数t 的几何意义如何应用？

④ 比较用直线参数方程与几何通法解决问题，优劣势在哪里？ 2高考真题精编

题 1 （2017年全国Ⅲ）在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2x t

y kt =+??

=?

(t 为参数),直线2l 的参数方程为

2x m

m y k =-+??

?

=??

(m 为参数),设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C . (1) 写出C 的普通方程；

(2) 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设3l :(

)cos sin 0ρθθ+=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径.

【解析】(1)将参数方程转化为一般方程,得1l :()2y k x =-…① 2l :()1

2y x k

=+…② ①?②消k 可得224x y -=,即P 的轨迹方程为224x y -=. ⑵将参数方程转化为一般方程3l

:0x y +=…③

联立22

4

x y x y ?+=??-=??,消去y

得6=,

解得x =所以M

的坐标为??,

所以ρ==即M

题2 已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C 2的极坐标方程为，曲线C 1、C 2相交于A 、

B 两点．（p ∈R ）

（Ⅰ）求A 、B 两点的极坐标；

（Ⅱ）曲线C 1与直线（t 为参数）分别相交于M ，N 两点，求线段MN 的长度．

【解答】解：（Ⅰ）由得：，

∴ρ2=16，

即ρ=±4．

∴A 、B 两点的极坐标为：

或

．

（Ⅱ）由曲线C 1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2（cos 2θ﹣sin 2θ）=8， 得到普通方程为x 2﹣y 2=8．

将直线代入x 2﹣y 2=8，

整理得．

∴|MN|=

=．

题3.(2015年湖南理)已知直线l

:5212

x y t ?=+???

?=??(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.

(Ⅰ) 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(Ⅱ) 设点M

的直角坐标为(,直线l 与曲线C 的交点为,A B ,求MA MB ?的值. 【解析】(Ⅰ) 2cos ρθ=即22cos ρρθ=,即222x y x +=,所以曲线C :2220x y x +-=.

(Ⅱ)将直线l

:512

x y t

?=+????=??代入曲线C

中可得2180t ++=,设这个方程的两个实数根分别为12

,t t ,则1218MA MB t t ?==.

题4选修44-:坐标系与参数方程选讲(2016年全国Ⅲ理)

在直角坐标系xOy 中,曲线1C

的参数方程为sin x y θ

θ

?=??=??(θ为参数),以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为

极轴,建立极坐标系,曲线2C

的极坐标方程为sin 4πρθ??

+= ??

?

(Ⅰ) 写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；

(Ⅱ) 设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.

【解析】(Ⅰ)1C 的普通方程为2

213

x y +=,2C 的直角坐标方程为40x y +-=. (Ⅱ)依题意,

设)

,sin P

αα,因为2C 是直线,所以PQ 的最小值即为P 到2C 的距离d 的最小值

,

23d πα?

?=

=+- ??

?,

当且仅当26

k π

απ=+

(k ∈Z )时,d

此时P 的直角坐标为31,22??

???

. 环节3 经典考题选讲

题1 在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C

的圆心坐标为4C π?

??

l

的极坐标方程为sin()4

πρθ+=

. （1）求圆C 的极坐标方程；

（2）若圆C 和直线l 相交于,A B 两点，求线段AB 的长.

题2 在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为???==?

?

sin cos b y a x （0>>b a ，?为参数），在以O 为极点，x 轴

的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点)2

3

,1(M 对应的参数3

π

?=

，射线3

π

θ=

与曲线2C 交于点)3

,

1(π

D ．

（I ）求曲线1C ，2C 的方程；（II ）若点),(1θρA ，)2

,(2π

θρ+

B 在曲线1

C 上，求

22

2

1

1

1

ρ

ρ

+

的值．

（I ）将)23,1(M 及对应的参数3π?=，代入??

?==??sin cos b y a x ，得???????

==3sin

2

33cos 1ππb a ，即???==12b a ， 所以曲线1C 的方程为???==?

?sin cos 2y x （?为参数），或1422

=+y x . 设圆2C 的半径为R ,由题意,圆2C 的方程为θρcos 2R =,(或2

2

2

)(R y R x =+-). 将点)3

,

1(π

D 代入θρcos 2R =,

得3

cos

21π

R =,即1=R .

(或由)3,

1(π

D ,得)2

3

,21(D ,代入222)(R y R x =+-,得1=R ), 所以曲线2C 的方程为θρcos 2=,或1)1(2

2

=+-y x . （II ）因为点),(1θρA ，)2

,(2π

θρ+

B 在在曲线1

C 上

,

所以

1sin 4

cos 2

21

221=+θρθ

ρ,

1cos 4

sin 22

2222=+θρθ

ρ,

所以45)cos 4sin ()sin 4cos (1

1

222

222

21=+++=+θθθθρρ

题 3 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过

点()2,4P --的直线l 的参数方程为

:2,4x y ?

=-??

?

?=-??直线l 与曲线C

分别交于,M N

(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;

(2)若||PM ，||MN ，||PN 成等比数列,求a 的值. (1)22,2y ax y x ==-

(2)1a =

【解析】(1)对于直线l 两式相减，直接可消去参数t 得到其普通方程， 对于曲线C ，两边同乘以

ρ,再利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==可求得其普通方程.

（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程可知，212212112||||||,||||,||||PM PN t t MN t t t t t t ==--=,借助韦达定理可建立关于a 的方程，求出a 的值.

题4 在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为(为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相

同的长度单位，且以原点O 为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为θρsin 52=． (Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程；

(Ⅱ)设圆C 与直线交于点A ，B ．若点的坐标为(3

，求与PA PB -． 解：(Ⅰ)由ρ=θ，得ρ2

=sin θ，∴x 2

+y 2

=2,

所以．

(Ⅱ)直线的一般方程为，容易知道P 在直线上，又，所以P 在圆外，联立圆与直线方程可以得到：，所以|PA|+|PB|=|AB|+2|PA|=

.

同理，可得PA PB -=

l 3,2

2

x y ?=-????=??t x l P PA PB +5)5(5)552(2

222=-+?=+-+y x y y x 03553=-+-?-=-y x y x 5)55(32

2

>-+)25,1(),15,2(--B A 23222=+

题5 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为4cos ()3sin x y ?

??=??

=?

为参数．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴

的极坐标系中．曲线2C 的极坐标方程为sin()4

π

ρθ+

=

（Ⅰ）分别把曲线12C C 与化成普通方程和直角坐标方程；并说明它们分别表示什么曲线． （Ⅱ）在曲线1C 上求一点Q ，使点Q 到曲线2C 的距离最小，并求出最小距离．

，

题6 (2015年课标Ⅰ理)在直角坐标系xOy 中,直线1C :2x =-,圆2C :()()2

2

121x y -+-=,以坐标原点为极点,

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ) 求1C ,2C 的极坐标方程；

(Ⅱ) 若直线3C 的极坐标方程为4

π

θ=

(ρ∈R ),设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ?的面积.

【解析】(Ⅰ)因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-. 2C :2

2

2440x y x y +--+=,对应极坐标方程为2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=.

(Ⅱ)将4

π

θ=

代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得240ρ-+=,

解得1ρ=,2ρ=故12ρρ-即MN =由于2C 的半径为1,所以2C MN ?的面积为

12

. 环节4 规律总结

1. 2. 3. 4.

环节5 考题精选精做

题1 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：

，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，

x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．已知直线 l ：ρ（2cos θ﹣sin θ）=6． （Ⅰ）试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的参数方程；

（Ⅱ）在曲线C 1上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值．

【解答】解：（Ⅰ）曲线C

：，

1

设θ为参数，令x=cosθ，y=2sinθ，

的参数方程为（θ为参数）；

则曲线C

1

又直线 l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6，

即2ρcosθ﹣ρsinθ﹣6=0，

化为直角坐标方程是2x﹣y﹣6=0；

上求一点P，设P（cosθ，2sinθ），

（Ⅱ）在曲线C

1

则P到直线l的距离为d==，

∴cos（θ+）=﹣1，即P（﹣，1）时，

点P到直线l的距离最大，最大值为=2．

题2 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；

（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．

【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），

直线的普通方程为，

极坐标方程为．

曲线C的普通方程为，极坐标方程为…（5分）

（Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为（2，θ）

∴，

∵

∴，

∴射线OM的极坐标方程为．联立，

解得ρ=3．

∴|MN|=|ρ

N ﹣ρ

M

|=1．

题3 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）设，，若l

1，l

2

与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面

积．

【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程是（α为参数），

∴将C的参数方程化为普通方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，

即x2+y2﹣6x﹣8y=0．…（2分）

∴C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ．…（4分）

（2）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，

∴．…（6分）

把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，

∴．…（8分）

∴S

△AOB

===．…（10分）

题4 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．

（1）求C的普通方程和l的倾斜角；

（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．

【解答】解：（1）由消去参数α，得

即C的普通方程为

由，得ρsinθ﹣ρcosθ①

将代入①得y=x+2

所以直线l的斜率角为．

（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数），

代入并化简得

设A，B两点对应的参数分别为t

1，t

2

．

则，所以t

1＜0，t

2

＜0

所以．

题5 在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．

（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；

（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程得ρ2﹣4ρcosθ=0，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4…（1分）

∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．

∵直线l过点P（﹣2，0），当l的斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点，

∴直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0．

直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离，

得，

α∈[0，π），

∴α的取值范围是．

（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，

故其参数方程为（θ为参数）．

∵M（x，y）为曲线C上任意一点，

∴，

，

∴，

因此，的取值范围是[﹣2，6]．

题6 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）求|OA|?|OB|的最小值．

【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）化为直角坐标方程为：．再转化为极坐标方程为：．

（2）根据题意：射线O的极坐标方程为或

所以：|OA|=，=，

所以：|OA||OB|=ρ

1ρ

2

=，

当且仅当sin2α=cos2α，

即时，函数的最小值为．

题7 已知曲线C的参数方程为，其中α为参数，且，在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）设T是曲线C上的一点，直线OT与曲线C截得的弦长为，求T点的极坐标．

【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，其中α为参数，且，

转化为直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1）．

所以曲线C的极坐标方程为：ρ=2sinθ，（）

（2）由题意知：．

令，

解得：，

所以：点T的极坐标为：（，）．

题8 在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若

曲线C

1的极坐标方程为ρsinθ=﹣1，曲线C

2

的参数方程为（θ为参数），设P是曲

线C

1上任一点，Q是曲线C

2

上任一点．

（1）求C

1与C

2

交点的极坐标；

（2）已知直线l：x﹣y+2=0，点P在曲线C

2

上，求点P到l的距离的最大值．

【解答】解：（1）曲线C

1的极坐标方程为ρsinθ=﹣1，转化为C

1

的直角坐标方程为y=﹣1，

曲线C

2的参数方程为（θ为参数），转化为C

2

的普通方程为x2+（y+2）2=4

由，

得或

又∵，

所以C

1与C

2

的交点极坐标为与

（2）圆C

2

的圆心（0，﹣2）到直线l的距离为，

圆半径为2

所以点P到l的距离的最大值为．

题9 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρ2=，θ∈[0，π]，直线l：（t是参数）

（1）求出曲线C的参数方程，及直线l的普通方程；

（2）P为曲线C上任意一点，Q为直线l上任意一点，求|PQ|的取值范围．

【解答】解析：（1）曲线C的普通方程为：（y≥0），

∴曲线C的参数方程（θ为参数，θ∈[0，π]）

直线l：（t是参数）

转化成普通方程为：，

（2）设P（2cosθ，sinθ）

P到直线l的距离d==，

∵θ∈[0，π]

∴，

则：，

∴

∴，

∴．

题10 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线kl的极坐标方程为cosθ）=3．

（1）求C的极坐标方程；

（2）射线OM：θ=θ

1（θ＜θ

1

）与圆C的交点为O，P，与直线Ll的交点为Q，求|OP|?|OQ|

的范围．

【解答】（1）圆C的参数方程为（φ参数），转化为圆C的普通方程是（x﹣1）2+y2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，

所以圆C的极坐标方程是：ρ=2cosθ．

（2）设P（ρ

1，θ

1

），则有，

设Q（ρ

2，θ

2

），且直线l的方程是cosθ）=3．

则有，

所以|OP||OQ|=ρ

1?ρ

2

==，

由于：，

则：tanθ

1

＞0，所以0＜|OP||OQ|＜6．

题11 已知直线l的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数）．

（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求|x﹣y﹣4|的最小值．

【解答】解：（1）直线l的极坐标方程是，

转化为直角坐标方程为：x﹣y﹣4=0．

曲线C的参数方程为（α为参数）．

转化为直角坐标方程为：．

（2）M（x，y）为曲线C上任意一点，

则：|x﹣y﹣4|=|2cosα﹣sinα﹣4|=，

所以最小值为：．

题12 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C

1

的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C

1

上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．

（1）求点P的轨迹C

2

的直角坐标方程；

（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C

2

交于点，求直线l的斜率．

【解答】解：（1）设点P的极坐标（ρ，θ）（ρ＞0），点M的极坐标（ρ

1，θ）（ρ

1

＞0），

由题意可知，

由|OP||OM|=4得曲线C

2

的极坐标方程为ρ=2sinθ（ρ＞0），

∴点P的轨迹C

2

的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1（y≠0）；（2）法一：由直线的参数方程可知，直线l过原点且倾角为α，则直线l极坐标方程为θ=α，联立，

∴A （2sin α，α）， ∴，

∴或， ∴

或

， ∴直线l 得斜率为或

；

法二：由题意

分析可知直线l 的斜率一定存在，且由直线l 的参数方程可得，

直线l 过原点，设直线l 的普通方程为y=kx ， ∴C 2到l 的距离，

可得

，

∴直线l 得斜率为或

．

题13 在直角坐标系xOy 中,

过点3

)2

P 作倾斜角为α的直线l 与曲线22:1C x y +=相交于不同的两点N M ,.

(Ⅰ) 写出直线l 的参数方程; (Ⅱ) 求11PM PN

+ 的取值范围.

解析：

（Ⅰ）cos 23sin 2x t y t αα?=+????=+?? （t 为参数）…………… 4分

（Ⅱ）cos 23sin 2x t y t αα?=+????=+?? （t 为参数）代入221x y +=，得

23sin )20t t αα+++=

，0sin()6

π

α?>?+

>

(

]

3

,2)6sin(32)sin 3cos 3(1111212121∈+=+=+=+=+παααt t t t t t PN PM

高考数学极坐标与参数方程(基础精心整理)教师版

第7讲 极坐标与参数方程(教师版 ) 【基础知识】 一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换?：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ?=>??=>??的作用下对应到点 ///(,)P x y ，则称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 二.极坐标知识点 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐 标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点 1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲 线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程 （1）圆的参数方程可表示为. （2）椭圆的参数方程可表示为. （3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）. 注意：t 的几何意义 3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导： 1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有： (,)P x y () () x f t y f t =?? =?2 2 2 )()(r b y a x =-+-)(.sin , cos 为参数θθθ? ??+=+=r b y r a x 122 22=+b y a x )0(>>b a )(. sin ,cos 为参数??????==b y a x px y 22 =)(.2, 22为参数t pt y pt x ? ? ?==),(o o O y x M αl ? ? ?+=+=.sin , cos o o ααt y y t x x t y x , ) 0(n t , sin , cos , 222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ

2018年高考备考极坐标与参数方程专题

专题1 极坐标与参数方程 【基本方法】 1．两大坐标系：直角坐标系(普通方程、参数方程)；极坐标系(极坐标方程)； 2．基本转化公式： cos sin x y ρθ ρθ = ? ? = ? ， 222 (0) tan x y x y x ρ θ ?=+ ? ≠ ? = ?? ； 3．参数方程： () () x f t y g t = ? ? = ? ，消去参数t得关于,x y的普通方程，引入参数t得参数方程； 4．直线的参数方程0 0cos sin x x t y y t αα =+ ? ? =+ ? (t为参数)，注意参数t的几何意义；5．用转化法解决第(1)问，用图形法解决第(2)问. 【三年真题】 1．(2017全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos, sin, x y θ θ = ? ? = ? (θ为参数)，直线l的 参数方程为 4, 1, x a t t y t =+ ? ? =- ? （为参数）. (1)若1 a=-，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l a. 2．(2016全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 cos 1sin x a t y a t = ? ? =+ ? (t为参数， a>).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ. (I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (II)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

3．(2015全国I)在直角坐标系xOy 中，直线1C : x =-2，圆2C ：()()22 121x y -+-=，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为()4 θρπ =∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积. 【自主研究】 4．(2016届佛山二模)已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3 ρθπ =-，以极点为原点， 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ． (I)求曲线C 的直角坐标方程； (II)若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )?? (其中)?∈R ，求PQ 的最大值． 5．(2016届河南八市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为333x y θ θ ???=??＝cos sin (θ为参 数)，以原点O 为起点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2，－3 π )， 直线l 的极坐标方程为ρcos(3 π ＋θ)＝6． (Ⅰ)求点P 到直线l 的距离； (Ⅱ)设点Q 在曲线C 上，求点Q 到直线l 的距离的最大值． 6．(2016年全国卷II )在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2 2 (6)25x y ++=． (Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t α α=??=? (t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的 斜率．

(极坐标与参数方程)教学案( 4 )

高二数学 (极坐标与参数方程)教学案( 4 ) 常见曲线的极坐标方程 一、课前自主预习 1.将下列极坐标方程化为直角坐标方程 ⑴5=ρ, ⑵sin 2ρθ=, ⑶πθ4 3 =, 2.写出下列特殊图形的直线方程 图3 图1 _________________ _________________ ____________________ 图5 图4 ______________ ________________ 3.写出下列特殊图形圆的极坐标方程 . 图3 图2 图1 O ____________________ ________________ ________________________ 图5 图4 _____________________ ____________________

4. 若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：_____________ 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：__________________________________ 二、课堂合作探究 例1：按下列条件写出它的极坐标方程: ⑴求过极点，倾角为π/4的射线的极坐标方程.⑵求过极点, 倾角为π/4的直线的极坐标方程.⑶求过极点及??? ??6, 6πA 的直线方程.⑷求过点?? ? ??6,6πA 平行于极轴的直线⑸求过点?? ? ??6,6πA 且倾斜角为32π的直线方程.. 例2、:按下列条件写出圆的极坐标方程: (1)以()0,3A 为圆心,且过极点的圆(2)以?? ? ??2, 8πB 为圆心,且过极点的圆 (3)以极点O 与点()0,4-C 连接的线段为直径的圆(4)圆心在极轴上,且过极点与点??? ? ? 6,32πD 的圆 例3、自极点O 作射线与直线4=θρsos 相交于点M,在OM 上取一点P,使得OM ·OP=12,求点P 的轨迹方程.

高考文科数学复习专题极坐标与参数方程精选

高考文科数学复习专题极坐标与参数方程 (1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴． (2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ， ． 极角的M 称为点，θ极径的M 称为点ρ决定一个点的位置．其中，)θ 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一 点的极坐标却不是唯一的． (3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．直线的极坐标方程． 如下图所示． ，0 φ－π＝θ和0 φ＝θ角的直线方程是0 φ过极点且与极轴成(1)

(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a ，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a ，如下图所示． (3)与极轴平行且在x 轴的上方，与x 轴的距离为a 的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a ，如下图所 示． 3．圆的极坐标方程． 所示． 1如图，r ＝ρ的圆的方程为r 半径为，以极点为圆心(1) 所示． 2如图，θ_2rcos ＝ρ的圆的方程为r 半径为，圆心在极轴上且过极点(2) 所 3如图，θ_sin 2r ρ的圆的方程为r 过极点且半径为，的射线上π 2 圆心在过极点且与极轴成3)(示． 4．极坐标与直角坐标的互化．

高考数学分类汇编-极坐标与参数方程

高考数学分类汇编-极坐标与参数方程 题型160 极坐标方程化直角坐标方程 1. (安徽理7）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）. A. ()0θρ=∈R 和cos 2ρθ= B. ()π 2 θρ=∈R 和cos 2ρθ= C. ()π 2 θρ= ∈R 和cos 1ρθ= D. ()0θρ=∈R 和cos 1ρθ= 2.(天津理11）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=,圆心为C ,点P 的极坐标为π4,3 ?? ??? ,则 CP = . 3. (重庆理15）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线2 3 x t y t ?=??=??（t 为参数）相交于A B ，两点,则AB = . 4.（湖北理16） 在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ? ?=?? =? (?为参数,0a b >>),在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为 sin 4 π ρθ+ = （m 为非零数） 与b ρ=．若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与员O 相切,则椭圆C 的离心率为 ． 5.（福建理21） 在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已 知点A 的极坐标为π4???,直线l 的极坐标方程为πcos 4a ρθ? ?-= ???,且点A 在直 线l 上．

（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆C 的参数方程为)(sin , cos 1为参数a a y a x ? ? ?=+=,试判断直线l 与圆C 的位置关系. 6.（2014 重庆理 15）已知直线l 的参数方程为23x t y t =+??=+?（t 为参数）,以坐标原点为极 点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 ()2sin 4cos 00,0π2πρθθρ-=<,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________. 7.（2014 天津理 13）在以O 为极点的极坐标系中,圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于,A B 两点.若AOB △是等边三角形,则a 的值为___________. 8.（2014 陕西理 15）C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,点π2,6?? ???到直线 πsin 16ρθ? ?-= ?? ?的距离是 . 9.（2014 湖北理 16）（选修4-4:坐标系与参数方程） 已知曲线1C 的参数方程是??? ??= =33t y t x ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,则1C 与2C 交点的直角坐标为________. 10.（2014 广东理 14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 . 11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐 标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l 的参数方程是1 3x t y t =+??=-?（t 为参数）, 圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）. A. B. C. D.

极坐标参数方程导学案(一)

极坐标参数方程复习学案（一） 【高考要求】：（1）坐标系 ①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变 化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角 坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标 中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的 方程。理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义 (2)参数方程 ①了解参数方程，了解参数的意义 ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 【教学目标】： 1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将 极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极 坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。 } 2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系 的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立 坐标系有哪些方便之处。 3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的 兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应 用意识和实 践能力。 【自主探究】 已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ =??=?． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程； （2）化圆的方程为普通方程； （3）求直线l 被圆截得的弦长． )

【巩固练习】 1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=??=?（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值； （2）弦长|AB|; （3） 弦AB 中点M 与点P 的距离。 , 、

(完整版)极坐标与参数方程近年高考题和各种类型总结

极坐标与参数方程（近年高考题和各种类型总结） 一、最近6年极坐标与参数方程题型归纳 （2016）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB = 求l 的斜率. (2015）【极坐标方程求长度】 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos , :sin , x t C y t αα=?? =? （t 为参数,且0t ≠ ）, 其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 23:2sin ,:. C C ρθρθ== （I ）求 2C 与3C 交点的直角坐标； （II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3 C 相交于点B ,求AB 最大值. （2014）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程 为2cos ρθ=， 0,2πθ??∈???? . （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确 定D 的坐标. （2013）【轨迹问题】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =?? =?(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． （2012）【参数坐标求最值、范围】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数?? ? ?? ?==，以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系， 曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为 (2,)3 π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1 C 上任意一点，求 2222 PA PB PC PD +++的取值范围。

-全国卷极坐标与参数方程高考题汇编

极坐标与参数方程（全国卷高考题） 1、（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y αα =?? =+?（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲 线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 π θ=与C 1的异于 极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解：（I ）设P(x,y),则由条件知M( 2 ,2Y X ).由于M 点在C 1上，所以 ??? ???????????+=?=sin 222,cos 22y x 即 ? ?? ????+=?=sin 44cos 4y x 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y α α =??=+?（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。 射线3 π θ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3 π ρ=， 射线3 π θ= 与2C 的交点B 的极径为28sin 3 π ρ=。 所以21||||AB ρρ-== 2、（2012）已知曲线C 1的参数方程是??? x ＝2cos φ y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的 顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。 【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2, )3636 ππππ

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．

极坐标与参数方程教案

极坐标与参数方程 【教学目标】 1、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程 （2）掌握参数方程与一般方程的转化 2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性． 3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法． 【教学重点】 1、极坐标的与一般坐标的转化 2、参数方程和一般方程的转化 3、几何证明的整体思路 【教学难点】 极坐标意义和直角坐标的转化 【考点分析】 坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比较容 易的题，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分．根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立．有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定． 【基本要点】 一、极坐标和参数方程： 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ．有序数对) ,(θρ

叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点．极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3．极坐标与直角坐标的互化： 4．圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ； 在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是θρ2acos =； 在极坐标系中，以 )2 , a (C π (a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =； 5．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个 变数t 的函数? ??==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在 这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 6．圆2 2 2 r )b y ()a x (=-+-的参数方程可表示为)(.rsin b y , rcos a x 为参数θθθ? ??+=+=. 椭圆1b y a x 22 22=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(. bsin y ,acos x 为参数??????==. 抛物线2px y 2 =的参数方程可表示为)t (. 2pt y , 2pt x 2为参数?? ?==. 经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为???+=+=. tsin y y , tcos x x o o αα（t 为参数）．

高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）

（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.

高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案(含解析)

高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案（含解析） 考向一：极坐标方程 极坐标 一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 极坐标与直角坐标的互化 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： ??? ?? x ＝□01ρcos θ，y ＝□ 02ρsin θ；? ?? ?? ρ2＝□ 03x 2＋y 2，tan θ＝□04y x x ≠0. 1、［2016?全国Ⅱ，23］在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2 ＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是??? ? ? x ＝t cos α，y ＝t sin α (t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10， 求l 的斜率． 解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2 ＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2 ＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ2 2 －4ρ1ρ2 ＝144cos 2 α－44. 由|AB |＝10得cos 2 α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为 153或－153 . 解法二：将l 的参数方程代入C 的方程得 于是t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. |AB |＝|t 1－t 2|＝144cos 2 α－44 由|AB |＝10得cos 2 α＝38，tan α＝±153 .

高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案

第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。

高中数学选修44极坐标与参数方程知识点与题型

选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2 －2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．

改极坐标与参数方程互化训练教案资料

改极坐标与参数方程 互化训练

精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 极坐标与参数方程例1、在极坐标系中，点?? ? ??62π,到直线的距离π1=6-θρ)sin( 例2、圆锥曲线的焦点坐标是为参数)t (t y t x ?????2==2 例3、直线相交的弦长为与圆θ2=ρ1=θρ2cos cos 例4、直线3x-4y-1=0被曲线所截得弦长为为参数)(sin y cos x θ? ??θ2+1=θ2= 例5、直线l ：)(,sin y cos :C )t (,sin t y cos t x 为参数，与圆为参数θ???θ =θ=???α=α+1=x 的位置关系不可能的是 例6、若圆C 的极坐标方程为，π0=13 -θρ4-ρ2-)cos(则圆心的直角坐标是 例7、已知1C 的极坐标方程是m )cos(=3+θρπ曲线2C 的方程是 ， 为参数)(,sin y cos ,θ???θ 2=θ2+2=x 若两曲线有公共点，则实数m 的取值范围是 例8、已知直线l ：x+y-2=0与圆C ：，为参数)(,sin y cos θ?? ???θ2+1=θ2+1=x 则它们的公共点个数是 例9、已知直线l ：y=x 与圆C ：θ4=ρcos 相交于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆的面积为 例10、曲线1C 的参数方程为)(,sin y cos x 为参数θ???θ 3=θ3=，曲线2C 的极坐标是3=θρ+θρsin cos ，曲线1C 与2C 交于A,B 两点，则AB 的长为 例11、在极坐标系中，圆2=ρ上的点到直线)sin (cos θ3+θρ=6的距离的最小值为

高中数学极坐标与参数方程高考题型全归纳题型部分

2019极坐标与参数方程高考题型全归纳 一.题型部分 (一) 极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化,极坐标与参数 方程的转化 1. 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ= 。 2. 参数方程： 直线参数方程：0 0cos () sin x x t t y y t θ θ =+?? =+?为参数 00(,) x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程： 圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ =+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆2 2221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θ θθ =??=?为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ =?? =?为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=? =?为参数 (二)有关圆的题型 题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较 相离，无交点；:r d >个交点；相切，1:r d =个交点；相交，2:r d < 用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= ，算出d ，在与半径

比较。 题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法） 思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= 第二步：判断直线与圆的位置关系 第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d = 题型三：直线与圆的弦长问题 弦长公式2 22 d r l -=，d 是圆心到直线的距离 延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义” (三）距离的最值： ---用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 例如：在直角坐标系xOy 中，曲线1 C 的参数方程为()sin x y α αα?=?? =?? 为参数，以坐标原 点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为

极坐标与参数方程高考题含答案

极坐标与参数方程高考题 1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2 2 2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π R 4 θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （Ⅱ）将= 4 π θ代入2 2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得 240 ρ-+=，解得1ρ=， 2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN V 的面积o 1 1sin 452 ?=12 . 2.已知曲线194:2 2=+y x C ，直线???-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 |4cos θ+3sin θ-6|,

则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α= 43 . 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小 值,. 3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐 标方程为ρ=2cos θ02πθ?? ∈???? ，, (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θ θ=+??=? (0≤θ ≤π). (2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ,θ= 3 π .故D 的 直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程; (2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.

2017参数方程学案.doc

第2讲 参数方程 【考情分析】 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 基础梳理 1．参数方程的意义 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数??? x ＝f (t )，y ＝f (t )， 并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为??? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参 数)． 设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P → 的数量． (2)圆的参数方程??? x ＝r cos θ， y ＝r sin θ(θ为参数)． (3)圆锥曲线的参数方程 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． 双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)． 抛物线y 2＝2px 的参数方程为??? x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． 双基自测 1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程??? x ＝－1－t ， y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别 是( )．

A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D ．圆、直线 解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆． 又∵??? x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线． 答案 D 2．若直线??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析 参数方程??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线 4x ＋ky ＝1垂直可得－32×? ???? －4k ＝－1，解得k ＝－6. 答案 －6 3．二次曲线??? x ＝5cos θ， y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________． 解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 2 9＝1左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0) 4．(2011·广州调研)已知直线l 的参数方程为：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极 坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________． 解析 将直线l 的参数方程：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22 sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为 2－1 1＋4 ，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交． 答案 相交