数学物理方程定解问题作业

数学物理方程定解问题作业

1，一长为l ，横截面积为S 的均匀弹性杆，弹性模量为E ，已知一端（x =0）固定，另一端在杆轴方向上受拉力F 而平衡。在时撤去外力F 。试推导杆的纵振动所满足的方程，边界条件和初始条件。

2，长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是

()2x l x ，试写出其定解问题。

3，一长为l 的均匀金属细杆（可近似看作一维的），其中ρ为体密度，C 为比热，通有恒定电流。设杆的一端（x =0）温度恒为0，另一端（x =l ）恒为u 0，初始时温度分布为0u x l

。试写出杆中温度场所满足的方程，边界条件与初始条件。 提示：热功率为I 2R ，单位时间单位体积产生热量2I R lS

。

数学物理方程作业

热传导方程及MATLAB 在其的应用 摘要：数学物理方程主要是偏微分方程，热传导方程是最为典型的数学物理方程之一。为了对热传导方程有个清晰地理解，论文重新阐述了热传导方程的推导。同时，求解热传导方程的方法也有很多种，但所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，不能直观地表达出其物理意义，为了使这些公式中的物理图像展现出来，论文对MATLAB 在其的应用作了些浅略的探讨。 关键字：数学物理方程 热传导方程 数学物理方程是指在物理学、力学、程 2 2 2 2 2 22 2 2 ( ) u u u u t x y z a ????= + + ????、热传导方程 u t ?= ?斯方程 2 2 2 2 2 2 0u u u x y z ???+ + =???是最为典型的三个方程。 在参考相关文献的基础上，本论文主要对热传导方程及MATLAB 在其的应用做一个简要的介绍。 物体温度分布不均匀，物体内部必然会产生热应力，热应力过于集中，物体就会产生裂变，从而破坏物体原有的形状和结构，工程技术中称此现象为热裂。在建造大坝时，混凝土释放的水化热使大坝的温度分布极不均匀；在浇铸铸件过程中，散热条件不同，会导致铸件各点间温度变化的梯度过大……。此外，还有好多可以产生热裂的现象。为有效防止热裂，就必须清楚物体各点的温度分布情况。[1] 一、热传导方程的导出 物理方程是实际上是寻求不同定解问题的解，而定解问题有定解条件和泛定方程组成。不同的物理问题可能得到同一类方程，但因定

解条件不同，因而就可能得到不同的定界问题。 （一）热传导方程泛定方程的推导 在三维空间中，考虑一均匀、各向同性的物体，物体内部由于温度分布不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象称为热传导。 构建物体热传导物理模型时，我们必须基于两个方面。一是能量守恒定律：物体内部的热量增加等于通过物体的边界流入的热量与物体内部的热源所产生的热量的总和，即： 2 1 Q Q Q Q -= +入 内 其中(1,2)i i Q =表示在i t 时刻物体内部的热量，Q 入表示在12t t ????，时刻内通过边界流入物体的热量，Q 内表示在12t t ????，时刻内物体内部热源产生的热量。 二是热传导傅里叶定理：考察某物体G 的热传导问题时，以函数 ( u x (,,,)x y z 处及t 时刻的温度。在物体内任意 沿法向n 方向，物体在无穷小时段d t 内，流过 d t 、热量通过的面积ds 及温度沿 (,,)u dQ k x y z dsdt n ?=-? 其中，(,,)k x y z 称为物体在(,,)x y z 处的热传导系数，它应该取正值； u n ?? 称为温度的法向导数，它表示温度沿法向n 的方向的变化率；等式中 的负号表示热量是由高温向低温流动，而温度梯度gradu n ? 是由低温

数学物理方程第三版第一章答案(全)

数学物理方程第三版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ????

数学物理方法第二次作业答案

第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=?????∈-∈===0 ] ,2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变力t F ωsin 0的作用而振动。”则该定解问题为( B )。 A ．?????===<<-=-===0 ,0,0)0(,)(sin 0000 2 t l x x xx tt u u u l x x x t F u a u ρ δω u x h 2 /l 0 u 图〈1〉

数学物理方程小结

数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。 §7.1数学物理方程的导出 一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。 （一） 三类典型的数学物理方程 （1）波动方程： 0 :) ,(:) ,(:22 2222 22==??-??=?-??→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.） （2）输运方程： 0 :).(:) ,(:2 2 2 2 ==??-??=?-??→f 无外源时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。

（3）Laplace 方程： . 0(:0 :) .程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==?=?→ 稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。 §7.2定解条件 定解条件包含初始条件与边界条件。 （1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。 例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）,而Laplace 方程没有初始条件。 （2） 三类边界条件 第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3 二阶线性偏微分方程分类 判别式 , ,0,,0, ,022112 1222112 12 22112 12抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=?<-=?>-=? 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.

数学物理方程有感

书本个人总结： 由于物理学，力学和工程技术等方面的许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题，而在数学物理方程这门课上，我们的主要任务便是求解这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解。 而我们的常用的解决偏微分方程的方法的统一思路是将一个偏微分方程的求解设法转化成一个常微分方程问题的求解。 而我们在学习过程中接触到的常用方法有：分离变量法，行波法，积分变换法和拉普拉斯方程的格林函数法 第二章： 本章主要介绍了分离变量法，介绍了有界弦的自由振动，有限长杆上的热传导，圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题等泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解，还介绍了非齐次方程的解法，非齐次边界条件的处理等等。 A ． 其中泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解步骤，取有界弦的自由振动的方程求解作为例子，定解问题为： 第一步：分离变量 目标：分离变量形式的非零解)()(),(t T x X t x u = 结果：函数)(x X 满足的常微分方程和边界条件以及)(t T 满足的常微分方程 条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的 第二步：求解本征值问题 利用0)()(''=+x X x X λ和边界条件0)0(=X 和0)(=l X 求出本征值和本函数： 本征值： 本征函数： 第三步：求特解，并叠加出一般解 ? ??????====<<>??=??) ()0,(),()0,(,0),(),0(0 ,0 ,22222x x u x x u t L u t u L x t x u a t u t ψ?0 )(2 )(''=+t T a t T λ ,3,2,1 2)(==n l n n πλx l n πsin (x)X n =x l n at l n D at l n C t x u n n n πππsin )cos sin (),(1∑∞ =+=

数学物理方程资料

数学物理方程考点 一. 分离变量法：知识点见课本1618P P - 1.已知初边值问题： 2000 0,0,0 00,sin 2tt xx x x x l t t t u a u x l t u u x u u l π====? ?-=<<>?? ==?? ?==?? （1） 求此问题的固有函数（特征函数）与固有值（特征值）； （2） 求此初边值问题的解。 解：（1）令 (,)()()u x t X x T t = （1.1），其中(,)u x t 不恒零，将其代入方程得到： '' 2 '' ()()()()0X x T t a X x T t -= 将该式分离变量并令比值为λ-有： ''''2 ()() ()() T t X x a T t X x λ==- 则有： '' 2 ()()0T t a T t λ+= （1.2） '' ()()0X x X x λ+= （1.3） 由原初边值问题的边界条件知： 方程（1.3）满足边界条件 ' (0)0,()0X X l == （1.4） ()I 当0λ<时，方程（1.3）的通解为 12()X x C C e =+，由边界条件（1.4） 知： 1200 C C C C +=???-=?? ? 120 C C =?? =? ()0X x ∴ = 由（1.1）知：(,)0u x t =，0λ<应舍去； ()II 当0λ=时，方程（1.3）的通解为 12()X x C C x =+，由边界条件（1.4）知： 120 C C =?? =? 同理0λ=应舍去； ()III 当λ>0时，则方程的通解为： 12X()x C C =+ 由边界条件(0)0X =知：10C = 即 2()X x C = 又由'()0X l = 知：0C = ， 令20C ≠ ，则0=

数理方程总结完整终极版

00 |()()t t u x u x t ?ψ===????=?? ?k z j y i x ?????+??+??= ?u u ?=grad 拉普拉斯算子：2222222 z y x ??+??+??=???=?2 2 22 2y u x u u ??+??=? 四种方法: 分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题： 初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条

波动方程的边界条件:

(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 定解问题的分类和检验：(1) 初始 问题：只有初始条件，没有边界条 件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只 有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也 有边界条件的定解问题。 ?解的存在性：定解问题是 否有解； ?解的唯一性：是否只有一 解； ?解的稳定性：定解条件有 微小变动时，解是否有相应的微小变动。 分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等

分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题 常用本征方程齐次边界条件 2''0 (0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X x λλββπβ+=?? ==? ====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ

非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。解出齐次问题。求出任意非齐次特解。叠加成非齐次解。 行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2.关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。3.适用范围：无界域内波动方程，等…

《数学物理方程》习题精练

《数学物理方程》习题精练5 (椭圆型方程的边值问题) 内容 1.分离变量法 2.调和函数的性质与极值原理 3.Dirichlet 问题的Green 函数法 1. 分离变量法 (1)Poisson 方程边值问题的“特解法” Poisson 方程描述稳恒场的分布情况，对于Poisson 方程的边值问题，虽不像波动方程和热传导方程那样有所谓的Duhamel 原理，但若能找到Poisson 方程的一个特解，常可把它转化成Laplace 方程的边值问题来求解，这便是所谓的“特解法”. 今有边值问题 (*)??????∈=∈=+?D y x y x u D y x y x f u u D yy xx ),( ),,(),( ),,(? 设),(y x w 是Poisson 方程的一个解(特解)，),(y x u 是所给边值问题的解.令 ),(),(),(y x w y x v y x u +=， 则),(y x v 满足如下的边值问题 (**)??????∈-=∈=+??D y x w y x v D y x v v D D yy xx ),( ,),(),( ,0? 亦即),(y x v 是域D 上的调和函数.这样，就把Poisson 方程的边值问题(*)转化成Laplace 方程的边值问题(**).对于特殊的区域D ，我们还可以用分离变量法来求解(**). 例1 求解Poisson 方程的边值问题 ??? ? ?=<+-=+=+.0)( ,2 22222a y x yy xx u a y x xy u u 解 ①先寻求Poisson 方程的一个特解),(y x w . 显然，xy xy y x -=+- ?)](12 1[33 ，于是得到一个特解为 θθρcos sin 12 1 )(121)(121),(42233-=+-=+-=xy y x xy y x y x w . 令 θθθρ2sin 24 1 cos sin 1214-=-=+=v v w v u ， 则新的未知函数v 满足如下的定解问题：

数学物理方程习题解答案

数学物理方程习题解 习题一 1，验证下面两个函数： (,)(,)sin x u x y u x y e y == 都是方程 0xx yy u u += 的解。 证明：（1 ）(,)u x y = 因为322 2 22 2222 2222 22 322 222 2222 2222 222222 222222 1 1()22 () 2()()11()22()2()()0()() x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-? ?=- +++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++ 所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。 （2）(,)sin x u x y e y = 因为 sin ,sin cos ,sin x x x xx x x y yy u y e u y e u e y u e y =?=?=?=-? 所以 sin sin 0x x xx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。 2，证明：()()u f x g y =满足方程 0xy x y uu u u -=

其中f 和g 都是任意的二次可微函数。 证明：因为 ()()u f x g y = 所以 ()(),()()()() ()()()()()()()()0 x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??= 得证。 3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。 解：令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ= 所以2 (),()x xx u f u f ξλξλ'''=?=? (),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=?== 将上式带入原方程得2 (43)()0f λλξ''-+= 因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以2 -430 λλ+=从而12 =3,1λλ=， 故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解，12,f f 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有 12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。 4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相 同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x 轴。在杆上任意截取位于 [,]x x x +?的一段微元，杆的截面积为s ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应 变）分别是 (,)u x t x ??与(,)u x x t x ?+??，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ??与()(,)u SE x x x x t x ?+?+??，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：()(,)()(,)u u SE x x x x t SE x x t x x ??+?+?-??

数理方程题库

第一部分分离变量法 一、(1) 求解特征值问题 (2) 验证函数系关于内积 正交，并求范数 二、用分离变量法求解定解问题 的解的表达式，写出具体的分离变量过程. 进一步，当时，求和时的 值. 三、（方程非齐次的情形）求定解问题 四、（边界非齐次的情形）求定解问题 五、（Possion方程）求定解问题 六、求定解问题： 注意： 1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：

2) 3) 4) 2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件）； 3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三题）可以用Laplace 变换求解。 第二部分 积分变换法 一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题 ()()22222 00 ,, 0, ,t t u u a x t t x u x x u x x t ?ψ==???=-∞<<∞>????? =-∞<<∞????=-∞<<∞??? (1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式 (2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式 二、用积分变换法求解定解问题 22 3 01,1, 0, 1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==??=>>?????=≥?? =>??? 注意：只考应用Fourier 变换和Laplace 变换求解方程的问题 第三部分 特征线问题 一、判断方程 的类型. 二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中 (1) 若初始位移()x ?和初始速度()x ψ为奇函数，则(),00u t = (2) 若初始位移()x ?和初始速度()x ψ为偶函数，则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题

数理方程期末试题B答案

数理方程期末试题B答 案 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷 （B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3．设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为 零，又没有外力作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ， 并由此求出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题

[ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n πsin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得 以及 设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7．证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。

数学物理方程作业

习题2.1 2. 长为L ，均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b 静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆做自由振动。试写出方程的定解条件。 解： 边界条件：u(x,t)|0=x =0 自由端x=L ，u x |L x ==0 初始条件：u(x,t)|0=t =x L b u t |0=t =0 习题2.2 1. 一根半径为r ，密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为1u 的介质发生热交换，且热交换的系数为1k 。试导出杆上温度u 满足的方程。 解：热传导的热量=温度升高吸收的热量+侧面热交换的热量 rdxdt u u k t x u dt t x u dx r c dt t x u t dx x u r k x x πρππ2)()],(),([)],(),([1122-+-+=-+即为： rdxdt u u k dt dxu r c dxdt u r k t xx πρππ2)(1122-+= )(211u u k ru c kru t xx -+=ρ 所以温度u 满足的方程为 r c u u k u c k u xx t ρρ)(211--=- 习题2.3 4. 由静电场Gauss 定理?????= ?V dV dS E ρε 1 ,求证： ερ = ??E ，并由

此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。 证明： ???S dS E =??????=??V V dV EdV ρε 1 所以 ερ = ??E 又因为 ερ???=-?=-???=????-?=2)(E E 习题2.4 2. （2）032=-+yy xy xx u u u 解： 特征方程：032)( 2=--dx dy dx dy ，则有1-3或=dx dy 即为 13c x y += 2c x y +-= 令x y +=η x y 3-=ξ 则由：ηηξηξξu u u u xx +-=69 ηηξηξξu u u u xy +--=23 ηηξηξξu u u u yy ++=2 推得 0=ξηu 则解得 )()3()()(x y g x y f g f u ++-=+=ηξ （5）031616=++yy xy xx u u u 解：由特征方程：0316)(162=+-dx dy dx dy 解得 4 1 43或=dx dy 则可令 x y -=4ξ x y 34-=η

北京大学数学物理方法(下)课件_12数学物理方程和定解条件(精)

12.4 边界条件与初始条件初始条件研究质点的性质时嬬单由微分方程嬬并不能求出质点性质随时间的变化孼即任何时刻质点的性质嬮例如嬬根据孎孥孷孴孯孮定律并不能确定质点的运动孼它在任意时刻的位置和速度嬬我们还需要知道质点的初始位置和初始速度嬮对于描述介质运动的偏微分方程嬬同样需要给出介质的初始状态嬬才能决定介质以后任意时刻的物理状态嬮介质的初始状态即由初始条件给出嬮对于波动方程嬬它是关于时间的二阶偏微分方程嬬所以应该给出介质初始时刻各点的位移 u|t=0 嬽φ嬨x, y, z 嬩和初始时刻各点的速度嬬即对时间的一阶偏导数?u ?t 嬽ψ 嬨x, y, z 嬩 t=0 对于热传导方程嬬由于方程中只出现对 t 的一阶偏导数嬬所以初始条件只需给出初始时刻各点温度 u嬨x, y, z 嬩的值 u|t=0 嬽φ嬨x, y, z 嬩稳定问题与时间无关嬬则没有初始条件嬮边界条件对于介质嬬情况比质点还要复杂嬺除了初始条件嬬还需要有边界条件嬮这是因为介质有内部和表面嬮在推导介质满足的数理方程时嬬只考虑了介质内部的点嬮介质表面的点与介质内部的点不同嬺首先嬬它只在一侧与介质内其它点相互作用嬻其次嬬在另一侧与外界有相互作用嬮因此介质表面所满足的方程与介质内部所满足的方程不同嬬应另外推导嬮我们把介质表面各点满足的方程称为边界条

件嬮先以一维振动为例嬬其边界由两端点组成嬮 Example 12.4 Solution 弦的横振动如果弦的两端嬨由外界嬩固定嬬那么边界条件就是 u|x=0 嬽嬰 u|x=l 嬽嬰Example 12.5 Solution 杆的纵振动如果 x 嬽嬰端固定嬬而另一端 x 嬽 l 受嬨x 方向的嬩外力作用嬬设单位面积上的力是 F 嬨t嬩 P 嬨l ? 孤x嬩S O l ? 孤x u|x=0 嬽嬰 l F 嬨t嬩S x 嬽嬰端边界条件仍是嬨嬱嬳嬩 x 嬽 l 这一端的边界条件并不能直接看出嬮模仿推导方程的方法嬬在端点 x 嬽 l 处截取一小段杆嬬长度为孤x嬮根据孎孥孷孴孯孮定律?2u ?2u F 嬨t嬩S ? P 嬨l ? 孤x, t嬩S 嬽孤m 2 嬽ρS 孤x 2 ?t ?t 因为孤x → 嬰 F 嬨t嬩嬽 P 嬨l, t嬩嬶 根据孈孯孯孫孥定律 P 嬽E 所以?u ?x 如果 x 嬽 l 端是自由的嬬 F 嬨t嬩嬽嬰嬬则?u ?x 如果外力为弹簧提供的弹性力嬬 F 嬨t嬩嬽?k 孛u嬨l, t嬩? u0 孝u0 为端点的平衡位移嬬则?u k 嬫u ?x E 再举一个三维例子嬬其边界为一闭合曲面嬮 Example 12.6 Solution 热传导问题嬽x=l ?u ?x 嬱 F 嬨t嬩 E 嬨嬱嬴嬩嬽 x=l 嬽嬰 x=l 嬨嬱嬵嬩 k u0 E 嬨嬱嬶嬩第一种类型是边界上各点的温度已知嬨由外界给定嬩u|Σ 嬽φ嬨嬆, t嬩嬨嬱嬷嬩这里嬬我们用嬆表示边界上的各点嬬同时也表示相应点的坐标嬮第二种类型是介质与外界通过表面嬨边界嬩有热量的交换嬬单位时间内嬬通过单位面积的边界面流入的热量已知嬬为ψ 嬨嬆, t嬩嬬由外界给定?qn |Σ 嬽ψ 嬨嬆, t嬩 n 为表面的法向嬬负号表示方向与法向相反嬮qn Σ? n ?qn Σ 嬆?嬆这时嬬我们可在边界嬆的内侧截取一小薄层的介质嬬它的另一个底面在介质内部嬬其上的点用嬆?表示嬮当介质薄层的厚度d → 嬰时嬬则两底面的面积相等嬬而侧面面积可忽略嬮所以流入介质薄层的热量为两底面流入热量之和嬮根据能量守恒定律嬬应该等于这一块介质薄层温度升高所需要的热量嬮假设薄层的底面积为单位面积qn |Σ? ? qn |Σ 嬽热容量 ×温度升高但介质薄层的厚度→ 嬰时嬬显然其热容量→ 嬰嬬所以qn |Σ? ? qn |Σ 嬽嬰嬷 即通过介质表面流入的热量嬬应当全部通过薄层的另一底面流向介质内部嬮由孆孯孵孲孩孥孲定律嬬热流密度矢量 q 嬽?k ? u 而 qn 嬽 q · n 嬽?k n ·嬨?u 嬩嬽?k 其中法向导数定义为? ≡n·? ?n 所以?k ?k 嬆?→ 嬆嬬故?u ?n 如果边界

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

7.1数学物理方程的导出

§7.1 数学物理方程的导出 1、拿图7-7的B 段弦作为代表，推导弦振动方程． 解答：如图 图7-7 B 段弦的动力学方程：112222112222 c o s c o s 0s in s in ()()T T d u d u T T d m d s d t d t ααααρ-=???-==?? ， 考虑微小振动，有10α≈、20α≈、1c o s 1α≈、2 c o s 1α ≈、11s in ta n x u x αα?≈=-?、22s in ta n x d x u x αα+?≈=- ?， ∴12T T T ==，2 2 x x d x u u u d u T T T d x d s x x x x d t ρ+??????-+== ???????， 又d s d d d x = ==≈，得2 2 2 2 0d u u T d t x ρ ?-=?， 若令2 T a ρ = ，则 2 2 2 2 20d u u a d t x ?-=?． 3、弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受阻力t F R u =-（比例常数R 叫作阻力系数），试推导弦在这阻力介质中的振动方程． 解答：如图，对于纵振动弦，阻力F 作用在纵向， B 段弦的动力学方程：221122221122 c o s c o s 0s in s in ()()T T d u d u T T F d m d s d t d t ααααρ-=???-+==?? ，考虑微小振动，有10α≈、 20α≈、1c o s 1α≈、2c o s 1α≈、11s in ta n x u x αα?≈=?、22s in ta n x d x u x αα+?≈= ?，

数学物理方程答案 作业

3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） ??? ? ???==??=??=+=-).()(0022 222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 所以 F(x)=)2 (x ψ-G(0). G （x ）=)2 (x ?-F(0). 且 F （0）+G(0)=).0()0(ψ?= 所以 u(x,t)=( ?)2at x ++)2 (at x -ψ-).0(? 即为古尔沙问题的解。 9．求解波动方程的初值问题。 ??? ? ?? ?+==++===200222 11|,0|)1(x u u x tx u a u t t t xx tt 解： ???-+--+-+++=t t a x t a x at x at x d d d a t x u 0) ()(2 22) 1(1121),(τττξξξτ αα ?+---+=+at x at x at x arctg at x arctg d )()(11 2αα ???-+---+--+-=+t t a x t a x t t a x t a x d d d 0) ()(20)()(22])1(21[)1(τξττξξξτττττ =?-++--++t d t a x t a x 022])) ((1)((1[21τττττ =??-++-+++---x at x x at x du u a u at x du u a u at x ) 1(21)1(212 222

数学物理方程 2-3章课后部分习题答案 李明奇主编 电子科技大学出版社

数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社 2-3章部分习题答案 习题2.1 4.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。试写出定解问题。 解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。 化简之后，可以得到定解问题为：??? ? ??? -==========)(|,0|0 |,0|)/(0002L x I u u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。 习题2.2 3.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ?， 。试写出边界条件。 解：由Fourier 热传导实验定律dSdt n u k dQ ??-=1 ，其中1k 称为热传导系数。可得dSdt u k dSdt n u k )(441?-=??-， 即可得边界条件： )(44 1 ?-- =??u k k n u s 。 习题2.3

4.由静电场Gauss 定理??????= ?V s dV dS E ρε0 1 ，求证：0 ερ = ??E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。 证明：?????????= ?=?V V s dV dV divE dS E ρε0 1 ， 所以可以得到：0 ερ =divE 。 由E divE ??=与u E -?=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程： 2 ερ -=?u 。 习题2.4 2.求下列方程的通解： （2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u 解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dx dy dx dy 解得： 1-=dx dy 和3=dx dy 。 那么令：???-=+=y x y x 3η?， ? ? ????-=??????=1311y x y x Q ηη??， 所以： ?? ? ???=??????-??????-??????-=??????=??????-088011313111131112212 1211 2212 1211 Q a a a a Q a a 01=-=??c L b ，02=-=ηηc L b ，0==f c 。 可得：0=?ηu 。解之得)3()(21y x y x u -++=??。 （5）：特征方程：03)(16)( 162=+-dx dy dx dy

数理方程

1.一根水平放置长度为L 的弦(两端被固定) ，其单位长度的重力为ρg ，其中ρ是弦的线密度，g 是重力加速度。若弦的初始形状如图所示： （1）推导出弦的微振动方程； （2）写出定解问题。 解：(1)水平方向有：1122cos cos 0T T α-α=又120α→0,α→得：12T T =令12T T T == 竖直方向有：211222sin sin u T T mg m t ?α-α-=? 又m x =ρ?得： 2122(sin sin )u T xg x t ?α-α-ρ?=ρ??……① 当120α→0,α→时，11sin tan ,α≈α22sin tan α≈α 则： 221212sin sin tan tan ||()x x x u u u u x x x x x +?????α-α≈α-α=-=?=?????……② u 0 x x x+△x 1 u L/2 L x

由①②可得：22222u u a g t x ??=-??(其中2T a =ρ ) (2) 由已知条件可知：0|0x u ==， |0x L u ==，0|0t u t =?=?由几何求解可得 ： 故定解方程为： 2.设有一个横截面积为S ，电阻率为r 的匀质导线，内有电流密度为j 的均匀分布的直流电通过。试证明导线内的热传导方程为： 222u u c k j r t x ??ρ-=?? 其中c ，ρ ，k 分别为导线的比热，体密度，及热传导系数。 证明：根据傅里叶实验定律可得：1|x u Q kS x ?=-??t ，2|x x u Q kS x +??=-??t 由比热的定义式1Q c m u ?=?可得：温度变化?u 吸收的热量3Q c S =ρ??x u 单位时间内通过S 的电流：jS I t =? 又电阻为：R rS x =?，则t ?时间内电流产生的热量为： 222()r x Q I R t jS t j rS x t S ?=?=?=?? 由1230Q Q Q Q --+=得 2|(|)x x x u u kS kS c S rS x x +???-?--?-ρ??????t t x u +j x t =0 又 22|(|)||)()x x x x x x u u u u u u k S k S k S k S k S x x x x x x x +?+???????-?--?=?-=??=?? ??????t t t (t t 0|t u == 2,02 h L x x L ≤≤222,h x h x L L L - +≤≤0|t u ==2,02 h L x x L ≤≤222,h x h x L L L - +≤≤22222,0,0u u a g x L t t x ??=-<<>??0|0,t u t =?=?,0|0,|0,0 x x L u u t ====>0x L ≤≤