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比和比例知识在小学数学解题中的巧妙运用

比和比例知识在小学数学解题中的巧妙运用
比和比例知识在小学数学解题中的巧妙运用

第二讲比和比例

教学目标:

1、比例的基本性质

2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题

3、能够进行各种条件下比例的转化,有目的的转化;

4、单位“1”变化的比例问题

5、方程解比例应用题

知识点拨:

比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用,这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有:

一、比和比例的性质

性质1:若a: b=c:d,则(a + c):(b + d)= a:b=c:d;

性质2:若a: b=c:d,则(a - c):(b - d)= a:b=c:d;

性质3:若a: b=c:d,则(a +xc):(b +xd)=a:b=c:d;(x为常数)

性质4:若a: b=c:d,则a×d = b×c;(即外项积等于内项积)

正比例:如果a÷b=k(k为常数),则称a、b成正比;

反比例:如果a×b=k(k为常数),则称a、b成反比.

二、主要比例转化实例

①x a

y b

=?

y b

x a

=;

x y

a b

=;

a b

x y

=;

②x a

y b

=?

mx a

my b

=;

x ma

y mb

=(其中0

m≠);

③x a

y b

=?

x a

x y a b

=

++

x y a b

x a

--

=;

x y a b

x y a b

++

=

--

④x a

y b

=,

y c

z d

=?

x ac

z bd

=;::::

x y z ac bc bd

=;

⑤x的c

a

等于y的

d

b

,则x是y的

ad

bc

,y是x的

bc

ad

三、按比例分配与和差关系

⑴按比例分配

例如:将x个物体按照:a b的比例分配给甲、乙两个人,那么实际上甲、乙两个人各自分配

到的物体数量与x的比分别为()

:a a b

+和()

:b a b

+,所以甲分配到

ax

a b

+

个,乙分

配到

bx

a b

+

个.

⑵已知两组物体的数量比和数量差,求各个类别数量的问题

例如:两个类别A、B,元素的数量比为:a b(这里a b

>),数量差为x,那么A的元素数

量为

ax

a b

-

,B的元素数量为

bx

a b

-

,所以解题的关键是求出()

a b

-与a或b的比值.

四、比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”,必须根据具体情况,将不同的单位“1”,转化成统一的单位“1”,使数量关系简单化,达到解决问题的效果。在解答分数应用题时,要注意以下几点:

1.题中有几种数量相比较时,要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单

位“1”。

2.若题中数量发生变化的,一般要选择不变量为单位“1”。

3.应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定,然后再确定是成正比

例,还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系,就能找到更好、更巧的解法。

4. 题中有明显的等量关系,也可以用方程的方法去解。

5. 赋值解比例问题

例题精讲:

模块一、比例转化

【例 1】已知甲、乙、丙三个数,甲等于乙、丙两数和的13,乙等于甲、丙两数和的12,丙等于甲、乙两数和的57

,求::甲乙丙. 【解析】由甲等于乙、丙两数和的13,得到甲等于三个数和的113+14=,同样的乙等于甲、丙两数和的112+13=,同样的丙等于甲、乙两个数和的557512

=+,所以115::::3:4:54312

==甲乙丙. 【例 2】已知甲、乙、丙三个数,甲的一半等于乙的2倍也等于丙的23,那么甲的23

、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为多少?

【解析】甲的一半、乙的2倍、丙的23

这三个数的比为1:1:1,所以甲、乙、丙这三个数的比为()121:12:123????÷÷÷ ? ?????即132::22,化简为4:1:3,那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为()214:12:332??????? ? ????

?即83:2:32,化简为16:12:9. 【例 3】如下图所示,圆B 与圆C 的面积之和等于圆A 面积的45

,且圆A 中的阴影部分面积占圆A 面积的16,圆B 的阴影部分面积占圆B 面积的15

,圆C 的阴影部分面积占圆C 面积的13

.求圆A 、圆B 、圆C 的面积之比.

【解析】设A 与B 的共同部分的面积为x ,A 与C 的共同部分的面积为y ,则根据题意有

()()564A B C x y =

+=+,5B x =,3C y =,于是得到()56453B C B C ??+=+ ???

,这条式子可化简为15B C =,所以()5204

A B C C =+=.最后得到::20:15:1A B C =. 【例 4】某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2,分为甲、乙、丙三组.已知甲、乙、丙

三组的人数比是10:8:7,甲组中男、女会员的人数之比是3:1,乙组中男、女会员的人数之比是5:3.求丙组中男、女会员人数之比.

【解析】以总人数为1,则甲组男会员人数为103310873110?=+++,女会员为31110310

?=,乙组男会员为8511087535?=+++,女会员为1335525

?=;丙组男会员为33113+210510??-+= ???,女会员为21393+2102550??-+= ???

;所以,丙组中男、女会员人

数之比为19:5:91050

=. 【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设,两个工程

队建设了相同多的一段时间后,分别剩下60%、40%的任务没有完成,已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比3:1,求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.

【解析】(法一)甲工程队以3倍乙工程队建设速度,仅完成了40%的承包任务,而乙工程队

完成了60%,所以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%3180%?=,所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的

180%40%450÷=,所以两个工程队承包的修建公路长度之比为450%:19:2=. (法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比,等于3:1,而他

们分别完成了各自任务的40%和60%,所以两个工程队承包的修建公路长度之比为()()340%:160%9:2÷÷=.

【例 5】某团体有100名会员,男女会员人数之比是14:11,会员分成三组,甲组人数与乙、

丙两组人数之和一样多,各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1,那么丙组有多少名男会员?

【解析】会员总人数100人,男女比例为14:11,则可知男、女会员人数分别为56人、44人;

又已知甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多,则可知甲组人数为50人,乙、丙人数之和为50人,可设丙组人数为x 人,则乙组人数为()50x -人,又已知甲组男、女会员比为12:13,则甲组男、女会员人数分别为24人、26人,又已知乙、丙两组男、女会员比例,则可得:5224(50)5683

x x +-+=,解得18x =.即丙组会员人数为18人,又已知男、女比例,可得丙组男会员人数为218123

?=人. 【例 6】 (2007年华杯赛总决赛)A 、B 、C 三项工程的工作量之比为1:2:3,由甲、乙、

丙三队分别承担.三个工程队同时开工,若干天后,甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一,乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一,丙完成的工作量等于甲未完成的工作量,则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少?

【解析】根据题意,如果把A 工程的工作量看作1,则B 工程的工作量就是2,C 工程的工

作量就是3.

设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为x 、y 、z .经过k 天,则:

()()()

22133213kx ky ky kz kz kx =-??=-??=-?

将⑶代入⑵,得()243

kx ky +=

, 将⑷代入⑴,得2223kx kx +=-,47x k

=, 将47x k =代入⑴,得67y k =.代入⑶,得37z k

=. 甲、乙、丙三队的.工作效率的连比是463::4:6:3777k k k

=. 【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖.已知:①甲、乙两校获一等奖的人数相等;

②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6;③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%;④甲校获

三等奖的人数占该校获奖人数的50%;⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍.那么,乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少?

【解析】由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为6:5,不妨设甲校有60人获奖,则乙

校有50人获奖.由③知两校获二等奖的共有(6050)20%22+?=人;由⑤知甲校获二等奖的有22(4.51) 4.518÷+?=人;由④知甲校获一等奖的有606050%1812-?-=人,那么乙校获一等奖的也有12人,从而所求百分数为

1250100%24%÷?=.

【例 7】①某校毕业生共有9个班,每班人数相等.②已知一班的男生人数比二、三班两

个班的女生总数多1;③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1.那么该校毕业生中男、女生人数比是多少?

【解析】如下表所示,由②知,一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1;由③知,

等,则女生总数等于四个班的人数之和.所以,男、女生人数之比是5:4.

模块二、按比例分配与和差关系

(一)量倍对应

【例 8】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生,甲班比乙班多分到16个,而甲、乙两班的

人数比为13:11,求一共有多少个苹果?

【解析】一共有()()1613111311192÷-?+=个苹果.

【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6,三人一共藏书52本,

求他们三人各自的藏书数量.

【解析】根据题意可知,他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的3346++、4346++、6346++,所以小新拥有的藏书数量为35212346

?=++本,小志拥有的藏书数量为45216346?=++本,小刚拥有的藏书数量为65224346

?=++本. 【巩固】 在抗洪救灾区活动中,甲、乙、丙三人一共捐了80元.已知甲比丙多捐18

元,甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7,则甲捐元,乙捐元,丙捐元.

【解析】由于甲比丙多捐18元,所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元,那么

甲、乙所捐资的和为:18(107)1060÷-?=(元),乙、丙所捐资的和为601842

-=元.所以,甲捐了804238-=(元),乙捐了603822-=(元),丙捐了381820

-=(元).

【巩固】 有120个皮球,分给两个班使用,一班分到的13

与二班分到的12相等,求两个班各分到多少皮球?

【解析】根据题意可知一班与二班分到的球数比11:3:223

=,所以一班分到皮球31207232

?=+个,二班分到皮球1207248-=个. 【例 9】一班和二班的人数之比是8:7,如果将一班的8名同学调到二班去,则一班和二班

的人数比变为4:5.求原来两班的人数.

【解析】原来一班的人数为两班总人数的888715

=+,调班后一班的人数是两班人数的

44459

=+,调班前后一班人数的比值为84:6:5159=,所以一班原来的人数为()865648÷-?=人,二班原来的人数为488742÷?=人.

【例 10】 幼儿园大班和中班共有32名男生,18名女生.已知大班男生数与女生数的比为

5:3,中班男生数与女生数的比为2:1,那么大班有女生多少名?

【解析】由于男、女生人数有比例关系,而且知道总数,所以可以用鸡兔同笼的方法.假设

18名女生全部是大班,则大班男生数:女生数5:330:18==,即男生应有30人,实际上男生有32人,相差2个人;又中班男生数:女生数2:16:3==,以3个中班女生换3个大班女生,每换一组可增加1个男生,所以需要换2组;所以,大班女生有183212-?=(名).

【巩固】 参加植树的同学共有720人,已知六年级与五年级人数的比是3:2,六年级比

四年级多80人,三个年级参加植树的各有多少人?

【解析】假设四年级和六年级人数同样多,则参加植树的同学共有72080800+=人,四、

五、六三个年级的人数比为3:2:3,知道三个量的和及它们的比,就可以按比例分

配,分别求出三个年级参加植树的人数.六年级:3800300323

?=++人;五年级:2800200323

?=++人;四年级:30080220-=人. 【巩固】 圆珠笔和铅笔的价格比是4:3,20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元.问

圆珠笔的单价是每支多少元?

【解析】设圆珠笔的价格为4,那么铅笔的价格为3,则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为

20×4+21×3=143,则单位“1”的价格为71.5÷143=0.5元.所以圆珠笔的单价是O .5×4=2(元).

【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同时从A 点出发,沿长方形的边爬去,结果在

距B 点2厘米的C 点相遇,已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍,求这个长方形的周长.

【解析】两只蚂蚁在距B 点2厘米的C 点相遇,说明乙比甲一共多走了

224?=(厘米).又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的1.2倍,相同时

间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为:1.2:1=6:5,

所以甲爬的路程是()465520÷-?=(厘米),乙爬的路程是20424+=(厘

米),长方形的周长为202444+=(厘米).

【例 12】 甲乙两车分别从A ,B 两地出发,相向而行.出发时,甲、乙的速度比是5∶4,

相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B 地时,乙离A 地还有10千米.问:A ,B 两地相距多少千米?

【解析】甲、乙原来的速度比是5∶4,相遇后的速度比是:[5×(1-20%)]∶[4×(1+

20%)]=4∶4.8=5∶6.相遇时,甲、乙分别走了全程的95和9

4。设全程x 千米,剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5:6,其中相遇后甲行驶了全长的4/9,所以乙行驶了全长的

1586594=?÷,所以乙一共行了全长454415894=+,还剩1-4544=45

1,没有走所以A 、B 全长为450千米. 【例 13】 师徒二人加工一批零件,师傅加工一个零件用9分钟,徒弟加工一个零件用15

分钟.完成任务时,师傅比徒弟多加工100个零件,求师傅和徒弟一共加工了多少个零件?

【解析】师傅与徒弟的工作效率之比是11:5:3915

=,工作时间相同,工作量与工作效率成正比,所以师傅与徒弟分别完成总量的553+和353

+

,师傅和徒弟一共加工了C B

53100(

)4005353

÷-=++个零件 【巩固】 师徒二人共加工零件400个,师傅加工一个零件用9分钟,徒弟加工一个零件

用15分钟.完成任务时,师傅比徒弟多加工多少个零件?

【解析】师傅与徒弟的工作效率之比是11:5:3915

=,而工作时间相同,则工作量与工作效率成正比,所以师傅与徒弟分别完成总量的553+和353

+,师傅比徒弟多加工零件534001005353???-= ?++??

个. 【例 14】 A 、B 、C 三个水桶的总容积是1440公升,如果A 、B 两桶装满水,C 桶是空

的;若将A 桶水的全部和B 桶水的15,或将B 桶水的全部和A 桶水的13

倒入C 桶,C 桶都恰好装满.求A 、B 、C 三个水桶容积各是多少公升?

【解析】根据题意可知,A 桶水的全部加上B 桶水的15等于B 桶水的全部加上A 桶水的13

,所以A 桶水的23等于B 桶水的45,那么A 桶水的全部等于B 桶水的426535

÷=,C 桶水为B 桶水的617555

+=.所以A 、B 、C 三个水桶的容积之比是67:1:6:5:755

=.又A 、B 、C 三个水桶的总容积是1440公升,所以A 桶的容积是61440480657?=++公升,B 桶的容积是54804006

?=公升,C 桶的容积是74805606

?=公升. 【巩固】 学而思学校四五六年级共有615名学生,已知六年级学生的12

,等于五年级学生的25,等于四年级学生的37

。这三个年级各有多少名学生学生? 【解析】将六年级学生的12,等于五年级学生的25,等于四年级学生的37

,看作一个单位,那么六年级学生人数等于2个单位,五年级学生等于2.5个单位,四年级学生等于73学生,所以六年级、五年级、四年级学生人数的比为57212151423

=::::,所以六年级学生人数为12615121514

?++=180人,五年级学生人数为15615225121514?=++人,四年级学生人数为14615210121514

?=++人 【例 15】 一块长方形铁板,宽是长的45

.从宽边截去21厘米,长边截去35%以后,得到一块正方形铁板.问原来长方形铁板的长是多少厘米?

【解析】如果只将长边截去35%,宽、长之比为()4:5135%16:13?-=????,所以宽边的长度为21(1613)16112÷-?=厘米,所以原来铁板的长为41121405

÷

=厘米. 【巩固】 一个正方形的一边减少20%,另一边增加2米,得到一个长方形,这个长方

形的面积与原正方形面积相等.原正方形的边长是多少米?

【解析】要保证面积不变,一边减少20%,即是原来的45,另一边要变成原来的54,即增

加51144-=,所以原正方形的边长为1284

÷=(米). 【例 16】 一把小刀售价3元.如果小明买了这把小刀,那么小明与小强剩余的钱数之比是

2:5;如果小强买了这把小刀,那么两人剩余的钱数之比变为8:13.小明原来有

多少钱?

【解析】由已知,小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的55257

=+,小明的钱相当于小明、小强买刀后钱数和的888+1321

=,所以小明、小强的钱数的比值为85:8:15217

=,而小明买刀后小明、小强的钱数之比为2:56:15=,所以小明买刀前后的钱数之比为8:64:3=,所以小刀的售价等于小明原来钱数的43144

-=,所以小明的钱数为13124

÷=元。也可这样看,小明买刀与未买刀的钱数比为28:3:4721

=,小明的钱数为()434312?÷-=????(元) 【巩固】 甲、乙两人原有的钱数之比为6:5,后来甲又得到180元,乙又得到30元,

这时甲、乙钱数之比为18:11,求原来两人的钱数之和为多少?

【解析】两人原有钱数之比为6:5,如果甲得到180元,乙得到150元,那么两人的钱数之

比仍为6:5,现在甲得到180元,乙只得到30元,相当于少得到了120元,现在两人钱数之比为18:11,可以理解为:两人的钱数分别增加180元和150元之后,钱数之比为18:15,然后乙的钱数减少120元,两人的钱数之比变为18:11,所以120元相当于4份,1份为30元,后来两人的钱数之和为30(1815)990?+=元,所以原来两人的总钱数之和为990180150660--=元.

【例 17】 一项机械加工作业,用4台A 型机床,5天可以完成;用4台A 型机床和2台B

型机床3天可以完成;用3台B 型机床和9台C 型机床,2天可以完成,若3种机床各取一台工作5天后,剩下A 、C 型机床继续工作,还需要______ 天可以完成作业.

【解析】由于用4台A 型机床5天可以完成;用4台A 型机床和2台B 型机床3天可以完

成,所以2台B 型机床3天完成的量等于4台A 型机床2天完成的量,则A 、B 两种机床每天完成的量的比为()()23:423:4??=,即A 型机床每天完成的量为3,B

型机床每天完成的量为4,该项作业总量为34560??=,那么C 型机床每天完成的量为()6024392÷-?÷=,3种机床各取一台工作5天后,剩下的工作量为()60342515-++?=,A 、C 型机床还需继续工作()15323÷+=天.

【例 18】 动物园门票大人20元,小孩10元.六一儿童节那天,儿童免票,结果与前一天

相比,大人增加了60%,儿童增加了90%,共增加了2100人,但门票收入与前一天相同.六一儿童节这天共有多少人入园?

【解析】前一天大人与小孩的人数比为1:(60%2)5:6?=,六一那天增加的大人与增加的小

孩人数比为()()560%:690%5:9??=,大人增加的人数为5210075014

?=人,小孩增加的人数为21007501350-=人,大人的总数为75060%7502000÷+=人,小孩的总人数为135090%13502850÷+=人,总人数为200028504850+=人.

【例 19】 某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是1:2,第一天售出苹果的20%,

售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是1:3;第二天售出苹果18吨,桃子12吨,这样一来,所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的415

,问原有苹果和桃子各有多少吨?

【解析】法一:设原来苹果有x 吨,则原来桃子有2x 吨,得:

(120%)184********

x x ?--=?-+,解得37x =.所以原有苹果37吨,原有桃子37274?=(吨).

法二:原来苹果和桃子的吨数的比是1:2,把原来的苹果的吨数看作1,则原来桃

子的吨数为2,第一天后剩下的苹果是41(120%)5?-=,剩下的桃子是332132

?=+,所以此时剩下的苹果和桃子的重量比是43:8:1552

=.现在再售出苹果18吨,桃子12吨,所剩的苹果与桃子的重量比是4:15.这就相当于第一天后剩下的苹果和桃

子的重量比是8:15,先售出桃子12吨,苹果83212155

?=吨,此时剩下的苹果和桃子的重量比还是8:15,再售出32581855

-=吨苹果,剩下的苹果和桃子的重量比变为4:15,所以这585相当于844-=份,最后剩下的桃子有581587542

?=吨,那么第一天后剩下的桃子有871111222+=吨,原有桃子111374213

÷=+吨,原有苹果74237÷=吨.

(二)利用不变量统一份数

【例 20】 有一个长方体,长和宽的比是2:1,宽与高的比是3:2.表面积为272cm ,求这

个长方体的体积.

【解析】由条件长方体的长、宽、高的比6:3:2,则长方体的所有视面,上面、前面、左面

的面积比为()()()63:62:3218:12:63:2:1???==,这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一,所以,长方体的上面的面积为2137218cm 2321

??=++,前面的面积为2127212cm 2321??=++,左面的面积为2117206cm 2321

??=++,而218126129636??==,所以36即是长、宽、高的乘积,所以这个长方体的体积为

336cm .

【巩固】 有一个长方体,长与宽的比是2:1,宽与高的比是3:2.已知这个长方体的全

部棱长之和是220厘米,求这个长方体的体积.

【解析】由条件宽与高的比为23:21:3=,所以这个长方体的长、宽、高的比为22:1:3

即6:3:2,由于长方体的所有棱中,长、宽、高各有4条,所以长方体的长为

16220304632??=++厘米,宽为132********

??=++厘米,高为12220104632

??=++厘米,所以这个长方形的体积为3015104500??=立方厘米. 【例 21】 (2009年第七届“希望杯”二试六年级)某高速公路收费站对于过往车辆收费标

准是:大型车30元,中型车15元,小型车10元.一天,通过该收费站的大型车和

中型车数量之比是5:6,中型车与小型车之比是4:11,小型车的通行费总数比大

型车多270元.(1)这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆?(2)

这天的收费总数是多少元?

【解析】⑴大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比,如果能将5:6中的6与4:11中的

4统一成[]4,612=,就可以得到大型车、中型车、小型车的连比.由5:610:12=和

4:1112:33=,得到10:12:33=大型车:中型车:小型车.以10辆大型车、12辆中

型车、33辆小型车为一组.因为每组中收取小型车的通行费比大型车多

1033301030?-?=(元),所以这天通过的车辆共有270309÷=(组).所以这天通

过大型车有10990?=(辆),中型车有129108?=(辆),小型车有339297?=(辆).

(2)这天收取的总费用为:309015108297107290?+?+?=元.

【例 22】

6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高,4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分硬币摞在一起一样高.用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体,并且三个圆柱体一样高,共用了124枚硬币,问:这些硬币的币值为多少元?

【解析】由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为6:5,壹分硬币和伍分硬币的数量比为

4:36:4.5=,所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为6:5:4.5,即

12:10:9,因此壹分硬币的数量为121244812109

?=++枚,贰分硬币的数量为101244012109?=++枚,伍分硬币的数量为91243612109

?=++枚,这些硬币一共有481402365308?+?+?=分,即币值为3.08元.

【例 23】 某工地用3种型号的卡车运送土方.已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6,

速度比为6:8:9,运送土方的路程之比为15:14:14,三种车的辆数之比为10:5:7.工程开始时,乙、丙两种车全部投入运输,但甲种车只有一半投入,直

到10天后,另一半甲种车才投入工作,一共干了25天完成任务.那么,甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少?

【解析】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为151414∶

∶,速度之比为689∶∶,所以它们运送1次所需的时间之比为1514145714689249

=∶∶∶∶,相同时间内它们运送的次数比为:2495714

∶∶.在前10天,甲车只有一半投入使用,因此甲、乙、丙的数量之比为557∶∶.由于三种卡车载重量之比为1076∶∶,所以三种卡车的总载重

量之比为50

3542∶∶.那么三种卡车在前10天内的工作量之比为:2495035422020275714?????????= ? ? ???????

∶∶∶∶.在后15天,由于甲车全部投入使用,所以在后15天里的工作量之比为402027∶∶.所以在这25天内,甲的工作量与总工作量之比为:2010401532202027104020271579

?+?=++?+++?()(). 【例 24】 将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友.原计划甲、乙、丙三人所得糖果数

的比为5:4:3.实际上,甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5,其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果.那么这位小朋友是(填“甲”、“乙”或“丙”),他实际所得的糖果数为块.

【解析】方法一:原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的512,412,312

;实际甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的718,618,518

,只有丙占总数的比例是增加的,所以这位小朋友是丙.糖果总数为53155401812??÷-= ???

(块),丙实际所得的糖果数为554015018

?=(块). 方法二:化通比为:甲乙丙总数为

原计分配为5:4 : 312份

实际分配为7:6:518份

化通比为15:12:936份

14:12:1036份

对比分析甲15——14,乙12——12,丙9——10,发现多得糖果的是丙

所以15÷(10—9)×10=150(块)

【巩固】 今年儿子的年龄是父亲年龄的14,15年后,儿子的年龄是父亲年龄的511

.今

年儿子多少岁?

【解析】 方法一:今年儿子的年龄相当于父子年龄差的

11413=-,15年后儿子的年龄相当于父子年龄差的551156=-,所以15年相当于父子年龄差的511632-=,年龄差为115302÷=岁.今年儿子30310÷=岁. 方法二:今年儿子的年龄是父亲年龄的14,所以儿子:父亲=1:4;15年后,儿子的年龄是父亲年龄的511,所以儿子:父亲=5:11。因为在年龄问题中年龄差不变所以列表分析为: 儿子父亲年龄差 1:43 5:116

根据不变量化通比为2:86

5:116

对比分析为:15÷(5—2)×2=10(岁)

【例 25】 一个周长是56厘米的大长方形,按图⑴与图⑵所示意那样,划分为四个小长方

形.在图⑴中小长方形面积的比是:1:2A B =,:1:2B C =.而在图⑵中相应的比例是':'1:3A B =,':'1:3B C =.又知长方形'D 的宽减去D 的宽所得到的差与'D 的长减去D 的长所得到差之比为1:3.求大长方形的面积.

(1)⑵

【详解】因为:1:2A B =,:1:2B C =,所以:1:4A C =;

因为':'1:3A B =,':'1:3B C =,所以':'1:9A C =,

设长方形的宽为a ,长为b ,得:32143943

105

a a

b b -=-. 得:2:5a b =.又56228a b +=÷=,所以8a =,20b =.

所以长方形面积208160=?=.

【例 26】 北京中学生运动会男女运动员比例为19:12,组委会决定增加女子艺术体操项目,

这样男女运动员比例变为20:13;后来又决定增加男子象棋项目,男女比例变为30:19,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多15人,则总运动员人数为多少?

【解析】将运动会最初的运动员人数设为“1”,那么男运动员人数为1919191231

=+,女运动员人数为1231,而增加女子艺术体操项目,男运动员人数不变,仍然是1931

,所以这时女运动员人数为19247201331620

÷?=,增加男子象棋项目,女运动员人数保持不变,仍然是247620

,所以男运动员人数增加为24739193062062÷?=.女子艺术体操项目人数为24712762031620-=,男子象棋项目的人数为39191623162

-=,男子象棋项目运动员比D C B A D'

C'B'A'

女子艺术体操运动员多173********-=,原来总运动员人数为3153100620

÷=人,男子象棋项目运动员有131005062?=人,女子艺术体操运动员有7310035620

?=人,所以现在的总运动员人数为310050353185++=人.

【巩固】 袋子里红球与白球的数量之比是19:13.放入若干只红球后,红球与白球数量

之比变为5:3;再放入若干只白球后,红球与白球数量之比变为13:11.已知放入的红球比白球少80只.那么原来袋子里共有只球.

【解析】根据第一次操作白球的数量不变,把19:13改写成57:39,5:3改写成65:39.第

二次操作相对于第一次操作红球数量不变,把13:11改写成65:55,这时我们可以看出,经过两次操作后,红球共增加了65578-=份,白球增加了553916-=份.原来红球有()8016857570÷-?=个,白球有()8016839390÷-?=个.两种球共570390960+=个.

【例 27】 有若干个突击队参加某工地会战,已知每个突击队人数相同,而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的718

,以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员,而且全是男队员,于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的817

,问开始共有多少支突击队参加会战?

【解析】由于每个队的女队员的人数是该队的男队员的718

,所以原来全体女队员的人数是全体男队员的718,即原来女队员的人数占所有队员人数的725

,调走第一突击队的一半队员后,女队员的人数占剩下的队员总数的825

,由于调走的全是男队员,女队员的人数没有变化,所以调走后的队员总数与调走前的队员总数之比为2525:7:887=,即调走的队员人数占原来队员总人数的18

,而调走的队员为第一突击队的一半,且每个突击队人数相同,11428

÷=,故开始共有4支突击队参加会战. (三)利用等量关系列方程解比例

【例 28】 某学校入学考试,参加的男生与女生人数之比是4:3.结果录取91人,其中男

生与女生人数之比是8:5.未被录取的学生中,男生与女生人数之比是3:4.问报考的共有多少人?

【解析】(法1)录取的学生中男生有8915658

?=+人,女生有915635-=(人),先将未录取的人数之比3:4变成44:43?,又有356424

?=(人),所以每份人数是()442354333??-÷?-= ???

(人),那么未录取的男生有4312?=(人),未录取的女生有443163

??=(人).所以报考总人数是()()56123516119+++=(人). (法2)设未被录取的男生人数为3x 人,那么未被录取的女生人数为4x 人,由于录

取的学生中男生有8915658

?=+人,女生有91563-=(人),则()()563:3544:3x x

++=,解得4x =.所以未被录取的男生有12人,女生有16人.报考总人数是()()56123516119+++=(人).

【例 29】 有甲、乙两块含铜率不同的合金,甲块重6千克,乙块重4千克,现在从甲、乙

两块合金上各切下重量相等的一部分,将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分

一起熔炼,再将乙块上切下的部分与甲块的剩余的部分一起熔炼,得到的两块新合金的含铜率相同,求切下的重量为________.

【解析】设切下的部分重量为x 千克,则甲切下的x 千克与乙剩下的(4)x -千克混合.由于

得到的两块新合金的含铜率相同,所以若将这两块新合金混合,得到的大块合金的含铜率应与原来的两块新合金的含铜率相同,而这一大块合金是由6千克甲块合金与4千克乙块合金混合而成的,所以x 千克甲块合金与(4)x -千克乙块合金混合后的含铜率与6千克甲块合金与4千克乙块合金混合后的含铜率相同,而甲、乙两块

合金含铜率不同,所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同,即644

x x =-,所以:464x x =(-),解得 2.4x =.

课后练习:

a) 右图是一个园林的规划图,其中,正方形的34是草地;圆的67

是竹林;竹林比草地多占地450平方米.问:水池占多少平方米?

【解析】正方形的34是草地,那如果水池占1份,草地的面积便是3份;圆的67

是竹林,水池占1份,竹林的面积是6份。从而竹林比草地多出的面积是(6-3=)3份。3份的面积是450平方米,可见1份面积是450÷3=150(平方米),即水池面积是150平方米。

b) 乙两个班共种树若干棵,已知甲班种的棵数的14等于乙班种的棵数的15

,且乙班比甲班多种树24棵,甲、乙两个班各种树多少棵?

【解析】甲、乙两班种树棵数之比为:11:4:554

=,甲班种树棵数为:()2454496÷-?=(棵),乙班种树棵数为:()24545120÷-?=(棵). c) 甲本月收入的钱数是乙收入的58,甲本月支出的钱数是乙支出的34,甲节余240元,乙节余480元.甲本月收入多少元?

【解析】甲、乙本月收入的比是5:8,分别节余240元和480元,支出的钱数之比是3:4.如

果乙节余480元,甲节余48085300÷?=元,那么两人支出的钱数之比也是5:8,现在甲只节余240元,多支出了60元,结果支出的钱数之比从5:8变成了6:8(即3:4),所以这60元就对应651-=份,那么甲支出了606360?=元,所以甲本月收入为360240600+=元.

d) 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时相向开出,甲车速度是50千米/小时,乙车速

度是40千米/小时,当甲车驶过A 、B 距离的13

多50千米时与乙车相遇,A 、B 两地相距千米.

【解析】在相同的时间内,两车行驶的路程比等于两车的速度之比,由于两车的速度之比等

于50:405:4=,那么A 、B 距离的13多50千米即是A 、B 距离的55459

=+,所以50千米的距离相当于全程的512939

??-= ???,全程的距离为2502259÷=(千米). 月测备选

【备选1】甲、乙、丙三个数,已知():4:3+=甲乙丙,:2:7=乙丙,求::甲乙丙。

【解析】由:2:7=乙丙可得到():2:9+=乙乙丙,():7:9+=丙乙丙,而():4:3

+=甲乙丙, 所以:427::::12:2:7399

==甲乙丙. 【备选2】有一堆糖果,其中奶糖占45%,再放人16块水果糖后,奶糖就只占25%那么,

这堆糖果中有奶糖多少块?

【解析】方法一:原来奶糖占45910020

=,后来占2511004=,因此后来的糖果数是奶糖的4倍,也比原来糖果多16粒,从而原来的糖果是16+(9420

?-1)=20块.其中奶糖有20×920

=9块. 方法二:原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是45%:(1-45%)=9:11,设奶糖有9份,其他糖(包含水果糖)有11份.现在奶糖与其他糖之比是25%:(1-25%)=1:3=9:27,奶糖的份数不变,其他糖的份数增加了27-11=16份,而其他糖也恰好增加了16块,所以,l 份即1块.奶糖占9份,就是9块奶糖.

【备选3】甲、乙两个工人上班,甲比乙多走15的路程,而乙比甲的时间少111

,甲、乙的速度比是.

【解析】甲走的路程是乙走的路程的65,甲用的时间是乙用的时间的1110

,所以甲的速度是乙的速度的6111251011

÷=,即甲、乙的速度比是12:11. 【备选4】一堆围棋子有黑白两种颜色,拿走15枚白棋子后,黑子与白子的个数之比为2:1;

再拿走45枚黑棋子后,黑子与白子的个数比为1:5,求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚?

【解析】第二次拿走45枚黑棋,黑子与白子的个数之比由()2:110:5=变为1:5,而其中白

棋的数目是不变的,所以黑棋由原来的10份变成现在的1份,减少了9份,这样原来黑棋的个数为4591050÷?=(枚),白棋的个数为45951540÷?+=(枚).

【备选5】加工某种零件,甲3分钟加工1个,乙3.5分钟加工1个,丙4分钟加工1个.现在

三人在同样的时间内一共加工3650个零件.问:甲、乙、丙三人各加工多少个零件?

【解析】根据题意可知,甲、乙、丙的工作效率之比为111::28:24:213 3.54

=,那么在相同的时间内,三人完成的工作量之比也是28:24:21,所以甲加工了

2836501400282421?=++个零件,乙加工了2436501200282421

?=++个零件,丙加工了2136501050282421

?=++个零件。

小学数学比和比例应用题 知识点全面

1.某班男生有8人,女生有10人,男生与女生人数之比是0.8。() 2.甲、乙二人同时走同一条路,甲走完需20分钟,乙走完需30分钟,甲和乙的速度比是2∶3。() 3.在比例尺是8∶1的图纸上,2厘米的线段表示零件的实际长16厘米。() 4.两个圆的周长比是2∶3,面积之比是4∶9。() 5、圆柱底面和圆柱的高成正比例关系() 二、选择题 1、固定电话先收座机费24元,以后按一定标准时间加收通话费,则每月应交电话费与通话时间() A.成正比例 B.成反比例 C. 不成比例 三、解答应用题。 1、在一幅地图上,5厘米的长度表示地面上150千米的距离,求这幅地图的比例尺。 2、在比例尺是1∶6000000的地图上,量得甲地到乙地的距离是25厘米,求两地间的实际距离。若一架飞机以每小时750千米的速度从北京飞往南京,大约需要多少小时? 3、混凝土的配料是水泥∶黄沙∶石子=1∶2∶3。现在要浇制混凝土楼板40块,每块重0.3吨,需要水泥、黄沙、石子各多少吨做原料? 4、一艘轮船,从甲港开往乙港,每小时航行25千米,8小时可以到达目的地.从乙港反回甲港,每小时航行20千米,几小时可以到达? 5、某工人要做504个零件,他5天做了120个,照这样的速度,余下的还要做多少天? 6、一间大厅,用边长6分米的方砖铺地,需用324块;若改铺边长4分米的方砖,需要多用几块? 7、一根皮带带动两个轮子,大轮直径30厘米,小轮直径10厘米;小轮每分钟转300转,大轮每分钟转几转? 8、一件工程,如果34人工作需20天完成,若要提前3天完工,现在需要增加几名工人? 9、一本文艺书,每天读6页,20天可以读完,要提前8天看完,每天要比原来多看几页? 10、羊毛衫厂共有工人538人,分三个车间,第一车间比第三车间少12人,已知第二车间与第三车间的人数比是3∶4。三个车间各有多少人? 11、学校把购进的图书的60%按2∶3∶4分配给四、五、六三个年级。已知六年级分得56本,学校共购进图书多少本? 12、小明居住的院内有4家,上月付水费39.2元,其中张叔叔家有2人,王奶奶家有4人,李阿姨家有3人,小明家有5人,若按人口计算,他们四家各应付水费多少元? 13、某生产队由15个队员收割一块双季稻,8小时能割完,但割了3小时以后,由于天气突然发生变化,增加了10个社员进行抢收,问还需多少小时才能割完这块双季稻?

比的意义教学设计(公开课)

比的意义教学设计 【教学目标】: 1.使学生在具体情境中理解比的意义,掌握比的读、写方法,知道比的各部分名称;会根据要求写出两个数量的比,会求比值;经历探索比与分数、除法关系的过程,初步理解比与分数、除法的关系。 2.使学生在探索并理解比的意义的过程中,进一步体会数学知识之间的内在联系,培养初步的观察、比较、分析、综合、抽象、概括等能力。 3.使学生在参与数学活动的过程中,进一步体会数学与生活的联系,感受数学的应用价值,获得学习成功的体验,增强学好数学的信心。 【学情分析】: 虽然学生在生活中也接触到了一些“比”,但并不了解数学的比和生活中的“比”的内在联系和区别。通过对这部分内容的教学,不仅可以使学生对已有的两个数相比的知识得以升华,同时也能够对学生进一步学习比的性质、比的应用和比例的相关知识打下坚实的基础。“比的意义”这部分知识内容繁杂,学生缺乏原有感知、经验、不易理解和掌握。针对知识内容特点和学生的认知规律,在教学过程中,我采用组织学生围绕“比”的问题,自主、探究、合作交流、分析、概括、比较、总结的教学方法,突出了传统的教学模式,实现学生自主学习。在教学过程中,培养了学生的创新精神。 【教学重难点】: 教学重点:理解比的意义及比与除法、分数的关系。 教学难点:理解比的意义。 【教学过程】: 一、创设情境,引入比 1、探究发现,认识比 (一)初步理解“比” 呈现例l主题图。 提问:题中出现了“2杯果汁”和“3杯牛奶”这两个数量,它们都表示饮料的杯数,你能提出有关的数学问题吗?(根据学生回答,板书) 生:…… 生:果汁杯数是牛奶的几分之几? 师:怎么列式?

生:2÷3= 师:还能提出什么问题? 生:牛奶的杯数是果汁的几分之几? 师:怎么列式? 生:3÷2=2 3(板书列式) 师:我们班的孩子不简单,不仅提了问题,还解决了问题。我们一起来看看2÷3这个算式,它表示的是果汁的杯数是牛奶的几分之几,我们可以用果汁的杯数除以牛奶的杯数。其实,表示两个数相除,我们可以用一种新的形式比来表示。2÷3我们可以用2:3来表示(板书2:3),同学们注意,中间的这两个小圆点,我们把它称为比号,它写在我们的两个数中间。那牛奶杯数除以果汁杯数3÷2,我们可以用什么比来表示,大家拿出你们的本子写写。老师请一位同学上来写写。 师:比的各部分名称是什么呢?怎么读?请同学们打开课本53页,自学比的各部分名称。 师:那比的各部分名称你们会读了吗?我们一起来看一下。谁愿意来读一读? 生:2 :3中,2是前项,“:”是比号,3是后项。(板书:前项、比号和后项) 师:那3:2中比的前项是?后项是? 师:看来同学们阅读的很仔细,我们一起回顾下这两个比?我们是根据那个算式说出果汁与牛奶杯数的比是2:3的? 生:2÷3 师:那3÷2又可以说出那个比? 生:3:2 师:谁与谁的比 生:牛奶与果汁杯数的比。 师:那老师有一个疑问,都是表示两个数的比,为什么会有2:3、3:2呢?它们有什么区别? 生:位置不同 生:意义不同 师:那你能具体说说吗?

(完整版)六年级数学比和比例应用题典型题(张)

一、判断。 1.某班男生有8人,女生有10人,男生与女生人数之比是0.8。() 2.甲、乙二人同时走同一条路,甲走完需20分钟,乙走完需30分钟, 甲和乙的速度比是2∶3。() 3.在比例尺是8∶1的图纸上,2厘米的线段表示零件的实际长16厘米。() 4.两个圆的周长比是2∶3,面积之比是4∶9。() 二、应用题。 1、在一幅地图上,5厘米的长度表示地面上150千米的距离,求这幅地图的比例尺。 2、在比例尺是1∶6000000的地图上,量得甲地到乙地的距离是25厘米,求两地间的实际距离。若一架飞机以每小时750千米的速度从北京飞往南京,大约需要多少小时? 3、混凝土的配料是水泥∶黄沙∶石子=1∶2∶3。现在要浇制混凝土楼板40块,每块重0.3吨,需要水泥、黄沙、石子各多少吨做原料? 4、一艘轮船,从甲港开往乙港,每小时航行25千米,8小时可以到达目的地.从乙港反回甲港,每小时航行20千米,几小时可以到达? 5、某工人要做504个零件,他5天做了120个,照这样的速度,余下的还要做多少天? 6、一间大厅,用边长6分米的方砖铺地,需用324块;若改铺边长4分米的方砖,需要多用几块? 7、一根皮带带动两个轮子,大轮直径30厘米,小轮直径10厘米;小轮每分钟转300转,大轮每分钟转几转? 小学数学比和比例应用题典型题库班级姓名

8、一件工程,如果34人工作需20天完成,若要提前3天完工,现在需要增加几名工人? 9、一本文艺书,每天读6页,20天可以读完,要提前8天看完,每天要比原来多看几页? 10、羊毛衫厂共有工人538人,分三个车间,第一车间比第三车间少12人,已知第二车间与第三车间的人数比是3∶4。三个车间各有多少人? 11、学校把购进的图书的60%按2∶3∶4分配给四、五、六三个年级。已知六年级分得56本,学校共购进图书多少本? 12、小明居住的院内有4家,上月付水费39.2元,其中张叔叔家有2人,王奶奶家有4人,李阿姨家有3人,小明家有5人,若按人口计算,他们四家各应付水费多少元?三、判断下列各题中的两种量成什么比例,为什么?(因为···所以···) 1、买相同电脑,购买电脑的台数与总价。 2、每捆练习本的本数相同,练习本的本数与捆数。 3、总路程一定,已行路程与未行路程。 4、分数值一定,分数的分子与分母。 5、长方形的长一定,它的的面积与宽。 6、长方形的体积一定,底面积和高。 7、书的总页数一定,看的天数与平均每天看的页数。 8、圆的周长与直径。 9、订阅廊坊日报,订的份数与总价。 10、图上距离一定,实际距离与比例尺。 11、小麦的出粉率一定,小麦的质量与面粉的质量。 12、六(1)班同学做操,每排站的人数与排数。 13、汽车的速度一定,行驶的路程与时间。 14、3A=4B 15、房间的面积一定,正方形地砖的边长与块数。 16、工程总量一定,已完成的部分和未完成的部分。

《比和比例整理与复习》教案设计

《比和比例整理与复习》教案设计 教学内容:人教版小学数学六年级下册P89—90页内容。 教学目标: 1、情感目标:在复习活动中让学生体验数学与生活实际的密切联系,培养学生的数学应用意识,激发学生成功学习数学和自信心和创新意识,渗透事物间是相互联系的辩证唯物主义观点。 2、能力目标:通过小组合作整理知识框架,提高学习的系统性,培养学生归纳、总结等自我复习能力及团队合作精神,加强生与生之间的合作学习能力和综合运用数学知识解决实际生活问题的能力。 3、知识目标:使学生进一步掌握比和比例的意义、性质,能正确迅速地解比例、化简比和求比值。 教学重点:理解比和比例的意义、性质,掌握关于比和比例的一些实际运用和计算。 教学难点:能理清知识间的联系,建构起知识网络。 教学过程: 一、创设情景,导入复习: 同学们,你们喜欢玩游戏活动吗?今天我们一起举行一个比赛活动,你们愿意参加吗? 二、展开活动,自主复习 1、师:今天的活动我们有个主题,出示:比和比例。为了在这次活动中玩出水平,赛出成绩,我们各小组都进行了认真的复习,在提问和被提问方面都做好了充分的准备。你们有信心夺取冠军吗? 2、请各小组自我介绍。 3、师:希望各小组成员正如你们组的名字一样能赛出水平、赛出成绩、赛出风格。 4、老师宣布:比赛现在开始。多媒体出示比赛规则,请一位同学宣读。 第一回合的比赛: A、回收各小组的问题,再由各小组长抽签决定要回答的题目。 B 、小组讨论5分钟。 C、各组轮流答题。答对得5分,答错可以给本组其它成员一次补答的机会,如果补答正确可得5分,如果答错则由其它小组的成员补答,答对得5分。

5、学生活动开始。 (1)小组长抽签。 (2)小组讨论交流,做好答题的准备。(5分钟的准备时间) (3)开始答题。 A、抽到“比和比例的意义”的小组先作答,其他小组成员当裁判。 师用课件出示问题: 比和比例的意义 请答题: 1、说说比和比例的意义,并各举出一个例子。 2、举例说明:比和比例有什么区别? 3、举例说明:比和分数、除法有什么关系? (学生答题时,请一位同学充当记分员,每答对一道题就把笑脸帖到该小组的小旗上面,老师边板书,答题完毕由这位同学宣布成绩。) B、抽到“比和比例的基本性质”小组接着作答。 师用课件出示问题: 比和比例的基本性质 请答题: 1、什么叫做比的基本性质?请举例说明。 2、什么叫做比例的基本性质?请举例说明。 3、比的基本性质有什么应用?比例的基本性质呢? C、抽到“求比值和化简比”的小组接着作答。 师用课件出示问题: 恭喜,你们组抽到的研究主题是:求比值和化简比 求比值和化简比 请答题: 1、怎样求一个比的比值?请举例说明。 2、什么叫最简单的整数比?

人教版六年级数学上册比的意义教案

第4单元比 第1课时比的意义 【教学内容】 教材48、49页及练习十一的1-3题 【教学目标】 知识与技能: 1.理解并掌握比的意义,会正确读写比。 2.记住比各部分的名称,并会正确求比值。 3.理解并灵活掌握比与分数、除法之间的联系与区别。过程与方法: 培养比较、分析和抽象概括能力。 情感、态度与价值观 培养学生合作交流表达等能力。 【教学重难点】 重点:比的意义 难点:比和除法、分数的关系。 【导学过程】: 【自主预习】 1.分数和除法有什么联系? 2.除数能否为零?分数的分母能否为零? 3、自学教材43、44页的内容并回答问题。 (1)什么是比?比是什么?什么叫比?谁和谁比?

(2)长是宽的几倍,宽是长的几分之几? 15÷10求的是什么?是这面旗的什么和什么比较? 长是多少?宽是多少? 长和宽比也就是几和几比? 【新知探究】 小组讨论交流,说说自己的想法: 1、用除法可以来表示两个量之间的关系,我们也可以用“比”来表示。也就是说一个量是另一个量的几倍或几分之几也可以说成两个量的比。 2、一辆汽车2小时行90千米 这里已知哪两个数量?可以求出哪个数量?怎样求? 说明:90÷2=45(千米)用除法求出了这辆车的速度,它表示路程和时间之间的关系。我们还可以用()来表示路程和时间之间的关系,把它说成路程和时间的比是()比()。 90÷2表示什么?还可以怎么说? 3、讨论①除法中的运算符号是“除号”,表示比的符号是什么呢?写作什么? ②5比3写作什么?各部分的名知称是什么? ③试写3比5、90比2,并说出比的前项、后项。 ④比的前项和后项之间有什么关系?(相除的关系) ⑤什么是比值?如何求?比值可以是什么数? 4、我们在写比时,要注意谁和谁比,谁是比的前项,谁是比的

六年级数学比和比例单元测试题

六年级数学比和比例单元测试题 一、填空题 1、路程与时间比的比值是 ,工作总量与工作效率比的比值是 2、把2吨:750千克化成最简整数比是 ,比值是 3、一件工程,甲做需要6天完成,乙做需要10天完成,甲与乙工作效率的比是 4、一个三角形三个内角的度数比是1:1:2,这个三角形是 三角形。 5、甲、乙、丙三个数的比是5:4:3,已知乙、丙两个数的平均数是56,则甲数是 。 6、如果4A=5B ,那么 A :B= . 7、如果x=6y ,那么x 和y 成 比例. 8、在一个比例中,两个外项互为倒数,其中一个内项是 ,则另一个内项是 。 9、男生人数比女生多,男生人数是女生人数的 ,女生人数与男生人数的比 是 : ,女生比男生少. 10、x 与y 成反比例关系,根据条件完成下表. x 15 20 30 40 y 400 240 200 100 二.选择题 11在盐水中,盐占盐水的,盐和水的比是( )。 12、两个正方体棱长的比是3:5,它们体积的比是( ) :125 :25 :5 13、与 14 ∶ 1 6 能组成比例的是( ) A 、 16 ∶ 14 B 、 13 ∶ 12 C 、 12 ∶ 1 3 14、甲数比乙数多21,甲、乙两数的比是4: 1,甲数是( )。 D. 35 15、 被减数一定,减数与差 ( ) 。 A 成反比例 B 成正比例 C 不成比例 16、如果甲数的 43等于乙数的3 2 ,则甲数与乙数的比是( )。 A. 8:9 B. 9:8 C. 1:2 D. 2:1 三、计算 17.求比值: 64:8 : 小时:30分. 18.化简比: :7 4 1平方米:2000平方厘米 吨:500千克 …………………………………密……………………………………………封………………………………………线……………………………

小学六年级数学:《比的意义》教学案例

新修订小学阶段原创精品配套教材《比的意义》教学案例教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Teaching Case of "The Significance of Bi" 教师:风老师 风顺第二小学 编订:FoonShion教育

《比的意义》教学案例 教学内容:人教版小学数学第十一册46页—47页。教学目标: 1、引导学生在参与、探索的过程中,发现并理解比的意义、比与分数、除法的关系,认识比的各部分的名称,学会求比值。 2、在引导学生知识的发现和探究实践中,培养学生观察、比较、分析事物的能力。发展学生自主探究的意识,并从中感受到数学与生活的密切联系性。 教学重点:比的意义。 教学难点:比和除法、分数之间的联系和区别。【背景陈述】《数学课程标准》强调:数学教学要紧密联系学生的生活实际,从学生的生活经验和已有知识出发,让学生在创设的生动有趣的情境中学习数学。注重“学生收集、整理素材”是课改的一个亮点,它使枯燥、抽象的数学知识更贴近生的社会生活,符合学生的认知经验,使学生在具体的情境中获得基本的数学知识和技能,体验学习数学的价值。我这里的是

一节随堂课,体现了新课标的理念,开发了学生的智力。下面是笔者结合自己的教学实践谈一些粗浅的体会。【案例描述】教学过程:一、回忆生活素材,导入新课。师;生活中经常有同学说谁比谁高点,谁比谁矮点。也就是说我们要经常比较数量。师:我们学习的数学知识有很多是来源于生活。请同学们根据自己的生活经验估算一下,教室前面的黑板长、宽各大约是多少米?生:长大约是4米,宽大约是3米。师:你们根据这两个数据,你能提出什么问题呢?生1:黑板的面积是多少? 生2:黑板的周长是多少? 生3:长是宽的几倍?板书:4÷1 生4:宽是长的几分之几?板书:1÷4 师:长是宽的几倍,宽是长的几分之几是我们以前学过的用除法对黑板的长和宽进行比较,今天,我们要在此基础上,来学习一种新的数学比较方法。(板书:比)[评析]:著名的教育家布鲁纳曾经说过:探索是数学的生命线。导入新课时,教师能紧密联系学生的生活实际,采用教室里的各种素材引入课题,不仅是学生感到数学知识的亲切自然,而且容易激发学生的学习兴趣和探索意识。 二、充分感知,建构意义1、整理生活素材 师:如长是宽的几倍,除了用4÷1来比较,还可以说成长和宽的比是4比1。(板书:4÷1=4:1) 宽是长的几分之几,除了用1÷4来比较,还可以说成什

人教版六年级数学下册《比和比例》教案

第1课时比和比例(1) 教学内容: 比和比例(1)。 教学目标: 1.使学生进一步理解比和比例的含义及性质,会化简比和求比值,会解比例。 2.经历比和比例的复习,体验对比、归纳的学习方法,培养学生归纳整理、灵活运用知识的能力。 教学重点难点: 理解比和比例、求比值及化简比等知识。 教学准备: 多媒体课件。 教学过程: 【复习导入】 教师:我们已经学习了比和比例,你知道比和比例的哪些知识? 学生逐一说出一些知识后,教师揭示课题。 【归纳整理】 1.复习比和比例的意义和性质 出示表格,通过提问进行填空。 引导提问:

什么叫作比?举例说明。各部分名称是什么? 什么叫作比的基本性质?举例说明。 什么叫作比例?举例说明。各部分名称是什么? 什么叫作比例的基本性质?举例说明。 (1)组织学生议一议,并相互交流。 (2)指名学生汇报,汇报时注意举例说明,并进行集体评议。(3)学生汇报后,教师板书表格。 比例的基本性质有什么用处? 指名学生回答。 练习:解比例: 一人板演,其余做在草稿本上。 2.复习比、分数、除法的关系。 提问:比和分数有什么关系? 比和除法有什么关系? 出示表格: 比、分数与除法的关系: 组织学生认真填写表格,并议一议,相互交流。 用投影仪汇报学生的完成情况,并进行集体评议。 3.复习求比值和化简比。 出示习题:化简下面各比并求比值。

请四名学生板演:其余学生做在练习本上。 做完后集体订正,请同学们说一说求比值与化简比的方法。 出示表格。 化简比与求比值的不同之处 (1)组织学生独立思考,认真填写表格。 (2)学生互相议一议,互相交流。 (3)指名说一说,并进行集体评议。 4.复习比例尺。 (1)什么叫作比例尺? (2)说出下面各比例尺的具体意义。 ①比例尺1:3000000表示 ②比例尺20:1表示 ③比例尺表示 组织学生先想一想,同桌相互交流。 教师指名说。(多点一些基础较差的人说) 【课堂小结】 通过这节课的学习,你对比和比例有了更深刻的认识了吧。你学到了哪些知识,同桌之间相互说一说。 【课后作业】 完成练习册中本课时的练习。

小学数学六年下比和比例教案

一、图形的放大和缩小 1、把长方形的每条边都放大到原来的2倍,放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是2:1,就是把原来的长方形按2:1的比放大。 2、把图形按1:2的比缩小,指的是缩小后的长方形与原来长方形对应边长的比是1:2. 3、计算图形放大、缩小后的边长,明确对应边长度的关系。 放大或缩小后的图形,大小变了,形状没变。 把一副画按1:2的比缩小,长和宽都应是原来的 10:5=2:1像这样表示两个比相等的式子叫做比例。用比例的意义能判断两个比是否能组成比例。 小练习:写出比值是3的两个比。并组成比例写下来。 判断两个比能否组成比例的方法是看两个比的比值是否相等。 小练习:下面哪几组中的两个比可以组成比例? 1)6:10和9:15 2)20:5和1:4 3)0.6:0.2和0.75:0.25 一辆汽车第一次加油35升,付168元,第二次加油40升,付192元。 1)第一次加油的费用和数量的比是( ) 2)第二次加油的费用和数量的比是( ) 3)这两个比能组成比例吗?为什么,如果能组成比例,请写出比例式。 18:2=9是不是比例? 分析:根据比例的意义,组成比例必须是两个相等的比。9是一个数而不是一个比,它不能与18:2组成比例。 比例中等号的两侧必须都是比。 二、比例的基本性质 1、认识比例的各部分名称 外项和内项:在比例中,两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。 组成比例的四个数,叫做比例的项。 3:6=2:4 2:4=3:6 3:2=6:4 2:3=4:6 通过观察我们发现: 1)6和2可以同时作比例的内项,也可以同时做比例的外项。 2)同样3和4可以同时作比例的内项,也可以同时作比例的外项。 3)两外项的积等于两内项的积。即3×4=6×2 4)如果用字母表示比例的四个项,a:b=c:d,那么这个规律可以表示成a ×d=b ×c 5)比例的性质:两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 小练习:一个比例的各项都是整数,两个比的比值都是0.6,且第一项比第二项 小10,第四项是第二项的51 ,写出这个比例。 在一个比例中,两个内项分别是41和51 ,等号两边的比值都是2,这个比例式可能是( )或( )。 若5x=6y,则x:y=多少? 三、比例尺

最新人教版小学六年级上册数学《比的意义》教学设计

第1课时比的意义 学习目标: 1、理解比的意义,掌握比的各部分名称。理解分数、除法和比三者之间的联系和区别。掌握求比值和比的未知项的方法。 2、通过独立思考、小组合作、展示质疑,培养迁移、体会数学知识之间的普遍联系。 3、激情投入,阳光战示,全力以赴,做最好的自己。 重点: 分数、除法、比三者之间的联系和区别。 难点: 理解求比值和比的未知项的方法。 使用说明与学法指导: 先由学生自学课本P48-P49页,独立完成自主学习部分,通过独立思考及小组合作,能够理解比的意义,掌握比的各部分名称。理解分数、除法和比三者之间的联系和区别。掌握求比值和比的未知项的方法。并独立完成导学案,带★的题可选做。 一、自主学习:自学课本P48-P49页,独立完成下面的练习。 1、比的定义:两个数()又叫做两个数的()。 2、10比15写作()或()。

3、35:21读作()。 4、自学后标出比的各部分名称。 15 :10 =15 ÷10 =3 2 ︱︱︱︱ ()()()() 5、在两个数的比中,()叫做比的前项。()叫做比的后项。 6、()叫做比值。 二、合作探究: 例1、求下面各比的比值。 10:5 0.8 :4 0.3:0.5 小结:1)、求两个数比的比值的方法就是: 2)、比值可以用()、()或()表示。 例2、讨论比和比值的区别和联系。(请举出具体的实例说明) 例3、讨论: ①比和分数、除法之间有什么联系和区别呢? ②比的后项可以是“0”吗?为什么? 例4、求比中未知项的方法。(在组织内说一说解决此题的依据是什么,再总结方法)

():8=2 15:()= 1 3 小结:求比中未知项的方法 三、学以致用,过关检测: 1、读一读,写一写。 5:3 读作:35比36写作: 2、想一想,填一填。 1)、7比4记作(),7是比的(),4是比的(),写成分数形式是()。 2)、比和分数相比,()相当于分数的分子,()相当于分数的分母,()相当于分数值。 3)、0.3= = ():() 4)、甲是乙的5倍,甲和乙的比值是(),乙和甲的比值是()。 5)、爸爸今年36岁,小红7岁,今年爸爸与小红年龄的比是():(), 比值是();今年小红与爸爸年龄的比是():()比值是()。 6)、汽车每小时行驶60千米,猎豹的速度是每小时96千米,猎豹与汽车速度的比是():(),比值是()。 7)、修一条公路,甲队18天修了1620米,乙队10天修了1000米,甲队与乙队所修路程的比是():(),比值是();

人教版数学六年级下册比和比例总复习教案

比和比例总复习教案 教学目标: 1.进一步巩固比和比例的意义、性质,能正确地进行解比例、化简比和求比值,明确化简比和求比值、比和比例这些概念之间的联系与区别。 2、进一步理解、掌握正比例与反比例的意义及应用,明确正比例的图像是一条直线,并能利用表格、关系式或图像进行判断。 3、通过整理知识框架,提高归纳、概括知识的能力,加强对该部分知识有个系统性的认识。 4.在复习活动中,培养数学应用意识,渗透事物间是相互联系的辩证唯物主义观点。 教学重点:理解比和比例之间的联系和区别,能正确感知正比例的图像。 教学难点:能理清知识间的联系,主动建构、完善知识网络,学会整理知识的方法。 教学过程: 一、创设情境,导入复习 追问:那么男生提问:我们班有多少男生呢?女生呢? 人数与女生人数的比是多少?女生人数与男生人数的比呢? 提问:谁能在说出一个比和这个比组成比例吗?

今天我们一起来复习“比和比例”。 二、回顾整理,建构网络 1.关于比和比例,我们都学过哪些知识呢?学生自由发言。 2.刚才同学们讲了很多有关比和比例的知识,但是如果我们把这些的知识像刚才这样你一句我一句的讲会有什么感觉?所以接下来我们就对这些知识进行有序的整理,对这些知识有更完整的认识。那么,请同学们以小组为单位,对这部分知识用自己喜欢的方法进行整理。 3.小组汇报。 4.引导学生练习。 (1)求比值0.36:0.48 40:28 (2)化简比120:72 360千克:0.45吨 (3)解比例 (4)判断下面各题中的两种量成什么比例 a.收入一定,支出和结余。 圆柱的侧面积一定,它的底面周长和高。b. c.如果y=8x,x和y。 d.出米率一定,稻谷的质量和大米的质量。 (5)用比例解决问题 a王师傅加工一批机器零件,4分钟加工60个。照这样计算,8分钟加工多少个? b王师傅加工一批机器零件,每小时加工60个,8小时完

小学数学比和比例

第1章比的认识 一、课前检测 1、小汽车2小时行驶180千米,大客车3小时行驶210千米,写出下列各比。 (1)大客车行驶的路程与时间比 (2)小汽车行驶的路程与时间比 (3)小汽车与大客车的速度比 2、学校举行数学竞赛,男女生参赛人数分别是160人和140人 (1)写出参赛的男生人数和女生人数的比 (2)写出参赛的男生人数和总人数的比 (3)写出参赛的女生人数和总人数的比 (4)写出参赛的女生人数和男生人数的比 二、知识要点 1、比的含义 两个数相除,又叫做这两个数的比。例如长方形的长是7,宽是5,长和宽的比是7比5,宽和长的比是5比7. 2、比的各部分名称及读、法。 7÷5写作7:5,“:”是比号,读作“比”。比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。7这个比的前项,4是这个比的后项。 3、求比值的方法: 用比的前项除以比的后项得到一个数,这个数就是比值。比值可以用分数表示,也可以用小数或整数表示。 4、比与除法、分数的关系 比跟除法、分数的比较,比的前项相当于被除数、分子,比的后项相当于除数、分母,比值相当于商、分数值,比号相当于除号、分数线。因为除数和分母不能为“0”,所以比的后项也不能为“0”。 用字母表示为a:b=a÷b=a b (b≠0) 5、求比值时单位要一致 三、典型例题 例1、(1)如果甲数与乙数的比是1:2 5 ,那么乙数:甲数=5:2 () (2)一杯盐水,盐占盐水的 1 10 ,盐和水的比是1:9 ( )

(3)7与5的比可以记作7 5 () (4)3与4的比可以记作4:3。() (5)比号就是冒号() 配套练习:甲正方体棱长为4厘米,乙正方体棱长为5厘米。 (1)甲正方体与乙正方体棱长总和的比是():(),比值为(); (2)甲正方体与乙正方体表面积的比是():(),比值为(): (3)甲正方体与乙正方体体积的比是():(),比值为() 例2、一个三角形的底是3厘米,高是4厘米,另一个三角形的底是8厘米,高是6厘米,它们的面积的比是多少? 配套练习:有两块花布,一块是正方形,边长是8分米,另一块是长方形,长是10分米,宽是6分米。分别写出正方形和长方形周长的比、面积的比。 例3、说出下面每个比的前项和后项,并求出比值 5:1.2 9.3:6 8:2 3 3 :4 8 1 4: 1 5 2.1: 14 21 14 21 :2.1 1 4 千米: 1 5 千米 5米:80厘米 4.5时:15分 0.6千克:60克

六年级下册数学比和比例的练习题及答案

六年级下册数学比和比例的练习题及答案经典题型 一、填空: 1. 甲乙两数的比是11:9,甲数占甲、乙两数和的 ,乙数占甲、乙两数和的。甲、 。 乙两数的比是3:2,甲数是乙数的倍,乙数是甲数的2. 在3:5里,如果前项加上6,要使比值不变,后项应加。 91 吨大豆可榨油吨,1吨大豆可榨油吨,要榨1吨油需大豆吨。3 22 4. 甲数的等于乙数的,甲数与乙数的比是。 35 3. 5. 把甲数的 1 给乙,甲、乙两数相等,甲数是乙数的,甲数比乙数多。 1

,甲数与乙数比是。乙数比甲数少。 6. 甲数比乙数多 7. 车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车,车的辆数与车的轮子数的比是2:5.问:摩 托车的辆数与小卧车的辆数的比是。 8. 一种盐水是由盐和水按1 :30 的重量配制而成的。其中,盐的重量占盐水的, 水的重量占盐水的。 9. 光明小学有三个年级,一年级学生占全校学生人数的25%,二年级与三年级学生人数的 比是3:4,已知一年级比三年级学生少40人,一年级有学生人。 10. 加工零件的总个数一定,每小时加工的零件个数的加工的时间比例;订数学 书的本数与所需要的钱数比例;加工零件的总个数一定,已经加工的零件和没有加工的零件个数比例。 11. 如果x÷y = 1×2,那么x和y成比例;如果x:4=5:y,那么x和y成 比例。 12. 甲、乙两人步行的速度比是13:11.如果甲、乙分别由A、B两地同时出发相向而行,0.5 小时后相遇,如果它们同向而行,那么甲追上乙需要小时二、选择

1 / 1. 图上6厘米表示表示实际距离240千米,这幅图的比例尺是。 A、1:40000 B、1:400000 C、1:4000000 2. 小正方形和大正方形边长的比是2:7小正方形和大正方形面积的比是 A、2: B、6:21 C、4:14. 三角形的高一定,它的面积和底 A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 4. 与 15:1 6 能组成比例的是。 A、16:1 B、1 6 : C、:D、6:5 5. 在盐水中,盐占盐水的1 10 ,盐和水的比是。 A、1: B、1:9 C、 1:10 D、1:11 6. 如果X= 3 4Y,那么Y:X=。 A 、1:3B、3

《比和比例》教案

《比和比例的整理与复习》教学设计 教学内容:人教版六年制小学数学第十二册P89-90页内容。 教学目标: 1.通过学生小组合作交流、对比,培养学生整理、归纳知识的方法与能力。 2. 能综合运用比和比例知识解决一些实际问题.。 教学重点:培养学生整理、归纳知识的方法与能力。 教学难点:能综合运用比和比例知识解决一些实际问题.。 教学准备:课件 教学过程 一、谈话引入,揭示课题: 昨天老师布置同学们整理了比和比例的有关知识,这节课我们就来对这些知识进行复习。板书:比和比例的整理与复习 二、归纳整理 师:你整理了哪些有关比和比例的知识,请与同桌交流。 1.学生交流。 2.学生汇报。(展示三个不同层次的同学的整理单,同时每个同学说说自己整理的情况。注意让全体同学明白既要整理得有条理,又要尽量完整,不遗漏。) 师:谁来说说你整理了有关比和比例的哪些知识?(要求学生说出内容的框架)师:还有谁要补充的?(把知识点补充完整)师:你能告诉我们你用的这种方法叫做什么方法吗?(学生可能答不出)师:我们来看他先把比的有关知识一条一条地罗列出来,接着,又把有关比例的知识一条一条地列出来,其实他是在把有关比和比例的知识进行分类,这样既有条理,又不容易遗漏知识,这样的整理方法我们把它叫做列举法,这种方法很好。还有谁也用了这种方法?请举手示意。(生举手)

师:有和他不一样的整理方法吗?(生:有)请你上来把你整理的知识说以下。(生:……)师:你是用了什么方法整理?(生:……)师:用一个表格的形式来整理,因此,我们称它为列表法。好,说一下你都整理了比和比例的哪些知识?(生说) 师:还有什么要补充的吗?(生:……)师:用这种列表法来进行整理,有什么好处呢?(生:……)师:对,用列表法整理知识,易于比较:你们看比和比例的意义、各部分的名称、基本性质等,可以作很好的对比,看起来一目了然,简洁明了。同样用表格的方法进行整理的同学请举手。 师:还有别的整理方法吗?(生:有)请你带着你的整理单上来吧。 师:你是用了什么什么方法整理?(生:……) 师小结:同学们真了不起!能用不同的方法进行整理,那么,今后,我们进行整理复习的时候,可以选用你自己喜欢的整理方法,但在整理时,我们要注意知识的有序性和完整性。 师:好,刚才我们已经用不同的方法整理出比和比例的有关知识,下面我们就来看这些知识又包含了哪些具体的内容。 师(出示课件空表格)好,谁来说比意义是什么?(生:……)(生边说师边出示相应的内容)当学生说道比的各部分的名称时,师:你能用咱们班的男生数和女生数说一个比吗?(生写:后说出各部分名称)当学生说道比的基本性质可一化简比时,师指着:这个比需要化简吗?怎么化简? 师:那比例的意义又是什么呢?谁来说?(生:……)(生边说师边出示相应的内容)当学生说道比的各部分的名称时,师:你能再写出一个比来这个比组成一个比例吗?(生写:)师:你是怎么想的?(生:因为这两比的比值相等。之后说出各部分名称)当学生说道的基本性质时,师指着:这个比例,说:()×()=()×()。 师:老师用的是什么整理方法呀?(生:列表法)

小学数学应用题比和比例

比和比例 本讲主要内容: 一.比例的基本性质 比是表示两个数相除,有两项。 比例是一个等式,表示两个比相等,有四项 性质1.若a:b=c:d,则(a+c):(b+d)=a:b=c:d 性质2.若a:b=c:d,则(a-c):(b-d)=a:b=c:d 性质3.若a:b=c:d,则a×d=b×c(即外项积等于内项积) 正比例:如果a÷b=k(k为常数)则称a、b成正比 反比例:如果a×b=k(k为常数)则称a、b成正比 二.按比分配 根据所给条件的例外,有的给单比或连比,有的给两个比要化为连比。之后找到总份数,求出一份的量,进而得到每个量的详尽值。 三.比和比例的基本应用 四.抓住比例里的“不变量” 五.“和不变”的应用 六.“差不变”的应用 七.用比例解行程问题 一比例的基本性质

【例1】某单位买甲、乙两种钢笔共100支,已知甲钢笔每支3元,乙钢笔每支2元,且甲、乙两种钢笔所用钱数一样多,求甲、乙两种钢笔各买了多少支? 二按比分配 【例2】某种产品由A、B、C三个部件组成,一个工人每天可生产5个A,或者生产3个B,或者生产6个C,要使工厂每天生产的产品尽量多,该厂的210名工人应如何分工?该厂一天最多可生产多少个这种产品? 三比和比例的基本应用 【例3】某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是:大客车30元,小客车15元,小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5:6,小客车与小轿车之比是4:11,收取小轿车的通行费比大客车多210元,求这天这三种车辆通过的数量。 四抓住比例里的“不变量” 【例4】六(一)班图书角原来科技书与文艺书本数的比是5:6,现在借出10本科技书后,科技书与文艺书本数之比是2:3。科技书原有多少本? 五“和不变”的应用 【例5】小芳读一本故事书,读了几天后,已读的页数与未读的页数之比是3:5,后来又读27页,这时已读页数与未读页数之比是9:7。这本书共有多少页? 六“差不变”的应用 【例6】A和B两个数的比是8:5,每个数都减少34后,A是B的2倍,试求这两个数。 七用比例解行程问题

人教版小学数学教案《比的意义》

比的意义 教学内容:比的意义 教学目标: 1. 让学生在经历从现实生活抽象出简单的数量关系的过程中,理解比的意义,经历建构比的意义的过程,形成初步的探究意识。 2. 知道比的各部分名称,能正确地读、写比,会求比值,理解比、分数和除法之间的关系,同时懂得事物之间是相互联系的。 3、能利用比的知识解释一些简单的生活问题,感受比在生活中的广泛存在。 4、培养学生发现问题,研究问题,并利用所学知识解决问题的能力,沟通数学与生活的联系,培养的应用意识。 教学重点:经历建构比的意义的过程,理解比的意义和求比值。 教学难点:理解比、分数和除法之间的关系。 教学准备:多媒体课件。 教学过程: 一、创设情景,激活旧知 1、情境激趣 师:今天老师将和大家一起来研究一个新问题。星期天小明想帮妈妈做一锅粥,可是他不知道该怎么做?同学们你们认为要做一锅可口的粥,最重要的是要考虑什么呢? 出示说明书:用电饭锅做大米粥,米和水的最适当比是1:4。这个1:4是什么意思。同学们会读它吗?一起读一遍。 2、引出旧知:大家都会读这个式子,你能根据1:4知道米水到底应放多少呢? 二、展示新知,建构意义 (一)教学同类量的比 1、用除法算式表示米和水的倍数关系 (1)师:大家刚才说的非常好,能从1:4看懂应放1份的米和4份的水,那么你能用已学过的知识来表示这1份和4份的倍比关系吗?(学生回答教师列式子)(2)情景模拟,得出不同算式 师:我们利用两个除法算式表示出了这米和水的倍数关系,知道了米是水的1/4,水是米的4倍,那么现在我们用杯子来帮小明模拟一下到底该怎样配米和水。(电脑出示杯子)老师来放米,请同学们帮他来放水。 师生边模仿倒1杯、2杯、5杯、10杯米边列出下面算式: 8÷2=4 2÷8=1 4 20÷5=4 5÷20= 1 4 10÷40= 1 4 40÷10=4

六年级数学比和比例教学案例

六年级数学《正比例和反比例》教学案例 贾玲利 清海希望小学

《正比例和反比例》的教学案例 一、教材分析: 教学内容为人教版数学第十二册P97。这部分内容是在学生对比各比例的意义和性质、比例尺等相关内容充分复习的基础上进行的,其中正比例和反比例的概念和判断是学生应用比例知识解答应用题的基础,也是为以后学习正(反)比例函数做准备。正、反比例关系是一种数量关系,对于学生来说,数量关系并不陌生,在以前应用题学习中反复强调过的。但要让学生明确,这两种比例关系在数量发生变化时,有什么变化规律,什么是不变的。 二、教学目标确立分析 教学目标是具体化的教学目的、教学要求和教学任务。根据教学大纲、人教版教材内容结合本班学生的实际情况从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面进一步的阐述。 (一)知识与技能: 1、进一步理解正、反比例的意义。 2、进一步弄清正、反比例诺曼底的相同点和不同点。 3、能正确判断两种相关联量成不成比例、成什么比例。 (二)过程与方法: 1、通过小组合作,归纳正、反比例的相同点和不同点。 2、体会正、反比例在数量发生变化时,有什么变化规律,什么什么是不变的。(三)情感态度与价值观 1、进一步提高学生综合运用有关知识解决珠能力。 2、激发学生的参与热情,让他们喜爱数学这门学科。 三、教学个案: 片断一:(复习了成正比、反比例的量后) 师:你能举出一个正比例和反比例的例子吗?为什么?同桌互相说一说。

生:同桌互相说。 师:谁愿意把你们小组的例子和大家交流一下? 生:1、家里铺地板砖时,每块砖的面积与需要的块数成正比例。因为总面积(一定)=每块砖的面积x需要的块数。 2、家里用同一种小麦磨面时,面粉和小麦重量成正比例,因为出粉率(一定)= (通过开放性问题的提出,放飞了学生的思维。学生的生活发现还真不少,如:通过常见的家庭装修铺地板砖和家庭磨面时出粉率等问题准确判断正、反比例关系,充分挖掘生活这一课程资源。) 师:你能表示出正、反比例的关系吗?生:能。 师:看来,同学们对正反比例的了解还真不少,为了更系统地滓,请同学们用自己喜欢的方式来表示出正、反比例的联系和区别。 生、小组讨论,合作完成。 展示学生作品: 两种相关联的变量中,相对应的两个数的 ①比值(商)一定 ②积一定 这两种量叫做 ①成比例的量 ②成反例的量 1、表格 正比例和反比例相同点: 都有一个不变量,两个变量。 正比例和反比例不同点: (1)、比值(商)一定 (2)、积一定x×y=k(一定) (用自己喜欢的方式表示正、反比例的联系和区别,把主动权真正还给了学

西师大版-数学-六年级上册-《比的意义》名师教案

《比的意义》名师教案 【教学内容】 教科书第68页例1及相关练习。 【教学目标】 知识与技能 1.在具体情境中理解比的意义,知道比的各部分名称, 2.掌握比的读、写方法,会求比值。 过程与方法 创设情境引入新知,通过对比分析完成。 情感态度与价值 培养学生的合作意识,让学生在小组活动中初步理解比与分数,比与除法之间的关系。【教学重点】理解比的意义。 【教学难点】比、分数、除法的联系。 【教学过程】 一、导入新课 1.出示例1图表: 姓名从家到学校的路程(m) 从家到学校的时间(分) 张丽 240 5 李兰 200 4 教师引导学生观察表格后提问:你从表格中了解到什么信息?每两个数量之间有怎样的关系?你都会用哪些方法表示它们之间的关系? 学生可能找到每两个数量之间各种各样的关系,针对学生所答,及时做出引导评价。 2.小结:我们会用加法表示两个量之间的合并关系。会用减法表示两个量之间的相差关系,也会用分数或除法表示两个量之间的倍数关系。今天,我们再来学习一种新的表示两个量间数量关系的方法。 二、学习新知 1.初步认识比及比的读、写方法。 (1)找出板书中学生用分数或除法表示两个量之间倍数关系的实例,用彩色粉笔标注出来,指出:像这样两个数相除又叫做两个数的比。

教师举例:比如张丽用的时间是李兰的几倍? 5÷4= ?,我们就说,张丽和李兰所用时间的比是“5比4”,可以写成 5:4 或,读作:5比4。 (2)学生带着问题自读教科书例1内容。 问题:①比的各部分名称是什么? ②你都知道了关于比的哪些知识? ③5比4是哪个数量与哪个数量的比?那4比5呢? 学生自学后根据问题谈自己的收获。 (3)教学例1之后的“试一试”。 ①提问:你能用刚才所学的知识解决“试一试”中的问题吗?组织学生独立思考,解决问题,然后集体订正,评价。 教师追问:为什么张丽与李兰所用时间的比中5是比的前项,而在李兰与张丽所用时间的比中5又是比的后项呢?学生回答后,教师指出:两个数的比是有顺序的。因此,在用比表示两个数量的关系时,一定要按照叙述的顺序,正确表达是一个数量与另一个数量的比,不能颠倒两个数的位置。 ②教师提问:5分钟、4分钟都表示什么?(时间) 教师小结:5分钟、4分钟都表示时间,它们是同一种量,我们就说这两个数量的比是同类量的比。 观察“试一试”中的最后一个问题。 教师提问:求的是什么?(速度)谁和谁进行比较?(路程和时间)谁除以谁? 教师:我们也可以用比来表示路程和时间的关系。路程除以时间可以说成什么?(可以说成路程和时间的比)路程和时间是同一类量吗?(不是)不同类量比的结果是什么?(产生一个新的量:速度) 师生共同小结:两个数量的比可以是同类量的比,也可以是不同类量的比。 2.求比值。 思考:5∶4表示什么?4∶5表示什么? 说明:比的前项除以比的后项得到的商就是比值。你知道怎么求比值吗? 课堂内完成课堂活动第1题。 3.比与除法、分数之间的关系。 分组讨论,议一议:比、分数和除法之间有什么关系? 学生讨论后汇报,根据汇报情况师生共同完成下表。

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