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九年级数学培优学案8--解直角三角形

九年级数学培优学案8--解直角三角形
九年级数学培优学案8--解直角三角形

九年级数学培优学案8--解直角三角形

知识点一:锐角三角函数的定义: 一、 锐角三角函数定义:

在Rt △ABC 中,∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c , 则∠A 的正弦可表示为:sinA=, ∠A 的余弦可表示为cosA=

∠A 的正切:tanA= ,它们弦称为∠A 的锐角三角函数 2、取值范围 :

例1.如图所示,在Rt △ABC 中,∠C =90°.

①斜边)(sin =A =______, 斜边)(sin =B =

②斜边

)

(cos =A =______,

斜边)

(

cos =

B =;

③的邻边

A A ∠=

)

(tan =______,

)

(tan 的对边

B B ∠==______.

例2. 锐角三角函数求值:

在Rt △ABC 中,∠C =90°,若a =9,b =12,则c =______,

sin A =______,cos A =______,tan A =______, sin B =______,cos B =______,tan B =______.

例3.已知:如图,Rt △TNM 中,∠TMN =90°,MR ⊥TN 于R 点,TN =4,MN =3.

求:sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR .

类型一:直角三角形求值

1.已知Rt △ABC 中,,12,43

tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B .

2.已知A ∠是锐角,17

8

sin =A ,求A cos ,A tan 的值

练习:1.在Rt △ABC 中,∠C =90°,若BC =1,AB tan A 的值为

A B C .12

D .2

A D E

C

B

F

D

A

B

C

2.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5

3

,那么tan A 的值等于( ).

A .35

B . 45

C . 34

D . 43

类型二. 利用角度转化求值:

1.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°.D 是AC 边上一点,DE ⊥AB 于E 点.

DE ∶AE =1∶2.求:sin B 、cos B 、tan B .

2.如图,角的顶点为O ,它的一边在x 轴的正半轴上,另一边OA 上有一点P (3,4),则.

3.如图,菱形ABCD 的边长为10cm ,DE ⊥AB ,,则这个菱形的面积=cm 2.

第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4. 如图,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知8AB =,10BC =,AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( ) A.

34 B.43

C.

3

5

D.

45

5. 如图,在等腰直角三角形ABC ?中,90C ∠=?,6AC =,D 为AC 上一点,若1

tan 5

DBA ∠= ,

则AD 的长为( )

A .

2 C .1 D .6. 如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,∠A 的平分线 AD =

3

3

16求

∠B 的度数及边BC

、AB 的长.

α

sin α=3

sin 5

A =

类型三. 化斜三角形为直角三角形

例2.已知:如图,在△ABC 中,∠BAC =120°,AB =10,

AC =5.求:

sin ∠ABC 的值.

练习:1.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,点D 在BC 边上,且△ABD 是等边三角形.若AB=2,求△ABC 的周长.(结果保留根号)

2.已知:如图,△ABC 中,AB =9,BC =6,△ABC 的面积等于9,求sin B .

3. ABC 中,∠A =60°,AB =6 cm ,AC =4 cm ,则△ABC 的面积是

练习:1.如图,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______.

2.如图,A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处,若将ABC 绕着点A 逆时针

七年级数学培优练习汇总

七年级数学经典练习(1) 绝对值专题练习 1、同学们都知道,|5﹣(﹣2)|表示5与﹣2之差的绝对值,实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离。试探索: (1)求|5﹣(﹣2)|= _________ . (2)设x是数轴上一点对应的数,则|x+1|表示_______ 与_ __ 之差的绝对值。(3)若x为整数,且|x+5|+|x﹣2|=7,则所有满足条件的x为____ ___ __ 。 2、小刚在学习绝对值的时候发现:|3﹣1|可表示数轴上3和1这两点间的距离;而|3+1|即|3﹣(﹣1)|则表示3和﹣1这两点间的距离.根据上面的发现,小刚将|x﹣2|看成x 与2这两点在数轴上的距离;那么|x+3|可看成x与_________ 在数轴上的距离。请你借助数轴解决下列问题 (1)当|x﹣2|+|x+3|=5时,x可取整数_________ (写出一个符合条件的整数即可);(2)若A=|x+1|+|x﹣5|,那么A的最小值是_________ ; (3)若B=|x+2|+|x|+|x﹣1|,那么B的最小值是_________ ,此时x为_________ ;(4)写出|x+5|+|x+3|+|x+1|+|x﹣2|的最小值. 3、试求|x﹣1|+|x﹣3|+…+|x﹣2003|+|x﹣2005|的最小值. 4、若ab<0,试化简++.

5、化简:|3x+1|+|2x-1| 6、若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x满足的条件及此常数的值。 7、如果0<p<15,那么代数式|x-p|+|x-15|+|x-p-15|在p≤x≤15的最小值( ) A. 30 B. 0 C. 15 D.一个与p有关的代数式 8.已知(|x+l|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+l|)=36,求x+2y+3z的最大值和最小值. 9.电子跳蚤落在数轴上的某点k0,第一步从k0向左跳1个单位得k1,第二步由k1向右跳2个单位到k2,第三步由k2向左跳3个单位到k3,第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时,电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94,试求k0所表示的数.

【精华篇】初中数学九年级培优教程整理(全)

初中数学九年级培优目录 第1讲二次根式的性质和运算(P2----7) 第2讲二次根式的化简与求值(P7----12) 第3讲一元二次方程的解法(P13----16) 第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22)第5讲一元二次方程的应用(P23----26) 第6讲一元二次方程的整数根(P27----30) 第7讲旋转和旋转变换(一)(P30----38) 第8讲旋转和旋转变换(二)(P38----46) 第9讲圆的基本性质(P47----51) 第10讲圆心角和圆周角(P52----61) 第11讲直线与圆的位置关系(P62----69) 第12讲圆内等积证明及变换((P70----76) 第13讲弧长和扇形面积(P76----78) 第14讲概率初步(P78----85) 第15讲二次函数的图像和性质(P85----91) 第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98)第17讲二次函数的应用(P99----108) 第18讲相似三角形的性质(P109----117) 第19讲相似三角形的判定(P118-----124) 第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130)

每天进步一点点! 坚持就是胜利! 第1讲二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义,能准确进行辨析; 2.掌握二次根式有关性质,并能熟练运用性质进行化简; 3.会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件,求参数的值(或取值范围). 经典·考题·赏析 【例1】(荆州)下列根式中属最简二次根式的是() A. 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点:①被开方式中不能含分母;②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母,C、D含开方数4、9,故选A. 【变式题组】 1.⑴(中山)下列根式中不是最简二次根式的是() A.

七年级数学培优讲义word版

目录 第01讲与有理数有关的概念(2--8) 第02讲有理数的加减法(3--15) 第03讲有理数的乘除、乘方(16--22) 第04讲整式(23--30) 第05讲整式的加减(31--36) 第06讲一元一次方程概念和等式性质(37--43) 第07讲一元一次方程解法(44--51) 第08讲实际问题与一元一次方程(52--59) , 第09讲多姿多彩的图形(60--68) 第10讲直线、射线、线段(69--76) 第11讲角(77--82) 第12讲与相交有关概念及平行线的判定(83--90) 第13讲平行线的性质及其应用(91--100) 第14讲平面直角坐标系(一)(101--106) 第15讲平面直角坐标系(二)(107--112) 第16讲认识三角形(113--119) 第17讲认识多边形(120--126) 第18讲二元一次方程组及其解法(127--134) ( 第19讲实际问题与二元一次方程组(135--145) 第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155) 第21讲一元一次不等式(组)的应用(156--164) 第22讲一元一次不等式(组)与方程(组)的结合(165--174)第23讲数据的收集与整理(175--186) 模拟测试一 模拟测试二 模拟测试三 (

第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1.了解负数的产生过程,能够用正、负数表示具有相反意义的量. ` 2.会进行有理的分类,体会并运用数学中的分类思想. 3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小,会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前-7米⑵收人-50元⑶体重增加-3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量.而相反意义的量包合两个要素:一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两,如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解:⑴向前-7米表示向后7米⑵收入-50元表示支出50元⑶体重增加-3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01.如果+10%表示增加10%,那么减少8%可以记作( ) 《 A . -18% B . -8% C . +2% D . +8% 02.(金华)如果+3吨表示运入仓库的大米吨数,那么运出5吨大米表示为( ) A . -5吨 B . +5吨 C . -3吨 D . +3吨 03.(山西)北京与纽约的时差-13(负号表示同一时刻纽约时间比北京晚).如现在是北京 时间l 5:00,纽约时问是____ 【例2】在-22 7,π,0.033.3这四个数中有理数的个数( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 【解法指导】有理数的分类:⑴按正负性分类,有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数;按整数、 分数分类,有理数????????????????? 正整数 整数0负整数正分数分数负分数;其中分数包括有限小数和无限循环小数,因为π=…是无限不循环小数,它不能写成分数的形式,所以π不是有理数,-22 7是分数0.033.3是无 限循环小数可以化成分数形式,0是整数,所以都是有理数,故选C . 【变式题组】

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十讲锐角三角函数(含答案)

第十讲锐角三角函数 趣题引路】 甲、乙两名运动员在陆地赛跑的速度以及在水中游泳的速度都相同,有一次他俩进行赛跑和游泳综合测试,比赛路线如图10-1所示,陆地跑道与河岸所成的角为30°,水路泳道与岸所成的角为60°,甲赛跑、游泳 的线路是折线AA扎,乙赛跑、游泳的线路是折线BB’B:,起跑点的连线与线路垂直,终点连线也与线路垂直,开始两人并肩跑,甲先到岸边跳入水中,接着乙再到岸边,在水中两人齐头并进同时到达终点:你知道 他们在陆地上的跑步速度V,与水中游泳的速度比之比是多少吗? 解析如图,作AiBs丄BB“ AA,垂足分别为凡、B,:因两人在陆地上赛跑的速度相同,故甲跑完AA’与乙跑完BB,所用时间相同。同样,甲游完A此所花时间与乙游完B品所花时间也相同。又因为两人从出发至到达终点所花的总时间相同,所以甲游完AA的时间恰好等于乙跑完Bb的时间, 设这个时间为t,贝I]:心丛=邑色..:冬=色如.……①, 岭v i 叫A A 在冲,COS60—篇……③. 知识延伸】 “锐角三角函数”中我们学列了锐角的正弦、余弦、正切,余切以及一些特殊角的三角函数值的有关讣算.在解与锐角三角函数有关的问题时,还要充分利用其余角或同角函数关系。我们知道,在RtAABC 中,sin A=cos (90° -A), cos A=sin (90° -A), tan A=cot (90° -A), cot A=tan (90: -A) ?这是互余两角的三角函数关系. 同时,同角三角函数间也存在着一些特殊的关系。如图10-2在RtAABC中, 在中cos30。=处,二B、B\

另外,锐角三角函数还有两个非常重要的性质:1?单调性?当◎为锐角时,sina 与sna 的值随a 的 增大而增大,cos a 与cot a 的值随◎增大而减小:2 ?有界性,当OW a W90 °时,OWsinaWl, OWcosa Wl ? 例 1 在 RtAABC 中,ZC=90° ,若 sinA=tanB.求 cosA 的值 解析在RtAABC 中, ?.? ZA+ZB 二90" ? /. tanB=cotA. ?/ sinA=tanB,.?? sinA=cotA ? ?/ 0 < A < 90°,.?.0 < cos A,故 cos A = 点评:本例也可以将sinA, tanB 用线段的比表示,如结合RtAABC, WsinA = - c lanB = -,再设法求纟,即得到cosA 的值 a c 例2已知关于x 的方程4x c -2 (m+1) x+m=0的两根正好是某直角三角形两个锐角的正弦,求m 的值。 解析依题意,可设方程4宀2 (m+1) x+m=0的两根为sin A 、sinB,其中ZA+ZB 二90° ,由根与系 数关系,得:sinA+sinB 二"‘一 [,sinA ? sinB= —? 2 4 由ZA+ZB 二90° ,知 sinB=sin (90° -A) =cosA. 将①.②代入③,W(—)2-2 - = 1解得:"=点阻=-点 2 4 ■ v0 /. 0 0

七年级下册数学培优训练题5

七年级数学训练题5 姓名: 一、选择题 1、若14+x 表示一个整数,则整数x 可取值共有( ). 个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2、若|a|=4,|b|=2,且|a+b|=a+b, 那么a-b 的值只能是( ). B. 2 C. 6 或6 3、下列说法正确的是 ( ) A.两点之间的距离是两点间的线段; B.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线平行; C.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; D.与同一条直线垂直的两条直线也垂直. 4、方程20082009 20083221=?++?+?x x x Λ的解是( ) 5、已知代数式2346x x -+的值为9-,那么2463 x x -+的值为( ) A.1- D.3- 6、下列属平移现象的是( ) A.山水倒映。 B.时钟的时针运转。 C.扩充照片的底片为不同尺寸的照片。 D .人乘电梯上楼。 7、对任意四个有理数a ,b ,c ,d 定义新运算:a b c d =ad-bc ,已知24 1x x -=18,则x=( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. -1 8.同时都含有字母a 、b 、c ,且系数为1的7次单项式共有( )个 (A )4 (B )12 (C )15 (D )25 9.若单项式x x b a 52-和x b a -3223的次数相同,则x 的整数值等于( ) (A )1 (B )-1 (C )1± (D )1±以外的数 10. 乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910 ----L 等于( ) A .125 B.21 2011.10 7 二、填空题 1.钟表上7点20分,时针与分针的夹角为 . 2.如右图,已知AB 、CD 相交于点O ,OE ⊥AB ,∠EOC=280,则∠AOD= °. 3.某商场经销一种商品,由于进货价格比原来预计的价格降低了%,使得销售利润增加了8个百分点,那么原来预计的利润率是 . 4.=++==c b b a b c a b 则若,3,2 . 5. 图中的□、△、○各代表一个数字,且满足以下三个等式:

人教版九年级上册数学培优体系讲义

第二十一章 一元二次方程 1.一元二次方程 预习归纳 1.等号两边都是整式,只含有一个 ,并且未知数的最高次数是 的方程,叫一元二次方程. 2.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 . 3.一元二次方程的一般形式是 . 例题讲解 【例】把方程(3x -2)(2x -3)=x 2-5化成一元二次方程的一般形式,并写出方程的二次项,一次项及常数项和二次项系数,一次项系数. 基础训练 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A .21 10x x =++ B .2110x x =++ C .210xy -= D .22 0x xy y =-+ 2.方程()45x x -=化为一般形式为( ) A .2450x x =-+ B .2450x x =++ C .2450x x =-- D .2 450x x =+- 3.方程23740x x =-+中二次项的系数,一次项的系数及常数项分别是( ) A .3、7、4 B .3、7、﹣4 C .3、﹣7、4 D .3、﹣7、﹣4 4.(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 +ax +b =0有一个非零根-b ,则a -b 的值为 ( ) A .1 B .-1 C .0 D .-2 5.(2014哈尔滨)若x =-1是关于x 的一元二次方程x 2+3x +m +1=0的一个解,则m 的值为 . 6.把一元二次方程2(x 2+7)=x +2化成一般形式是 . 7.下列数中-1,2,-3,-2,3是一元二次方程x 2-2x =3的根是 . 8.若方程x 2-2x +m =0的一个根是-1,求m 的值. 9.(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx +5=0(a ≠0)的解是x =1,求2013-a -b 的值.

学而思初一数学资料培优汇总精华

第一讲数系扩张--有理数(一) 一、【问题引入与归纳】 1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。 2、有理数的两种分类: 3、有理数的本质定义,能表成m n(0,, n m n ≠互质)。 4、性质:①顺序性(可比较大小); ②四则运算的封闭性(0不作除数); ③稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质: ① (0) || (0) a a a a a ≥ ? =? -≤ ?②非负性2 (||0,0) a a ≥≥ ③非负数的性质:i)非负数的和仍为非负数。ii)几个非负数的和为0,则他们都为0。 二、【典型例题解析】: 1、若 |||||| 0, a b ab ab a b ab +- 则 的值等于多少? 2.如果m是大于1的有理数,那么m一定小于它的() A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值是2,求 220062007 ()()() x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置,如下图所示,那 么|||| a b a b -++化简的结果等于( A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2 (3)|2|0 a b -+-=,求b a的值是() A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c,两两不等,那么 ,, a b b c c a b c c a a b --- ---中有几个负数? 7、设三个互不相等的有理数,既可表示为1, , a b a +的形式式,又可表示为0, b a,b 的形式,求 20062007 a b +。

数学尖子生的培优策略

数学尖子生的培优策略 无论在任何时代都需要出类拔萃的人才,没有这样的人才就谈不到文化科学的进步。这是时代的需要,更是国家建设的需要。当前社会正是知识、经济突飞猛进的年代,各行各业都呼唤着杰出的人才的出现。富有数学天赋的优等生并不能自发地出现。不管他们有多聪明、多好学,都不可能无师自通。他们需要培养,需要接受有针对性的指导和进行严格的训练。而教师也同样不能忽视在普遍提高的基础上去发现和培养数学尖子生的任务。作为一名为国家输送优秀栋梁的人民教师,对于优秀学生的重点培养有着义不容辞的责任。 培养数学尖子生,首先要善于发现和选择好的苗子。尖子生的苗子应该具备基础扎实,思想活跃,思维敏捷,学习上优较大的潜力和较强的分析问题和解决问题的能力,并且具有浓厚的数学兴趣和勇于创新的精神。主要从以下几个方面来考察: 1、注意学生各学科学习水平的全面、均衡发展。作为尖子生的苗子,既要有扎实的数理化实力,又要有良好的文科基础,从而具备较强的理解能力、表达能力和归纳总结能力。这正是尖子生成材必不可缺的前提。 2、重视学生的智力水平。有些学生学习勤奋,善于模仿,心细有耐性。他们在常规的考试中往往成绩优秀,但仅仅局限于书本,学习上缺乏潜力,这类学生不适合作为尖子生的苗子。另一些学生具有较强的思维能力,喜欢钻研,喜欢看课外书,喜欢超前自学,喜欢别

出心裁,但比较粗心大意。其数学成绩不大稳定。这类学生学习潜力很大,只要引导得法,就是好苗子。 3、了解学生的非智力因素。数学尖子的好苗子往往都有强烈的学习欲望,有良好的自信和毅力,有独特的学习方法和科学的学习习惯。而这些非智力方面的因素恰恰能起到强化学习深度和提高学习效率的作用。 准确选拔数学尖子的苗子是很重要的,但这仅仅是第一步,更重要的还在于如何培养数学尖子生。这里必须解决好一个普及与提高的关系,解决好尖子与一般的矛盾。不解决好这些问题,就必然会顾此失彼。如何处理好这些问题,使数学尖子生得以充分发展,知识、技能水平更上一层楼呢?要结合这些尖子生的具体特点,采取有力的相应措施: 1、严格要求,打下坚实的基础。严师出高徒。培养数学尖子生,首先要严格要求,使学生打下坚实的基础。有了坚实的基础,才能深入钻研,进一步培养能力,发展智力。有些尖子生因为有了一些成绩就产生骄傲自满的情绪,在学习上好高骛远,不愿意扎扎实实打好基础,这是十分致命的弱点。对尖子生要肯定成绩,树立信心。但不能过分表扬,更要指出缺点,因势利导,稳扎稳打。学习数学必须加强练习巩固。特别是要勤动脑,多动手。 2、精选内容,注重培养思考钻研能力,提高自学能力。根据数学尖子生的学习水平,整理编选一些较有质量的学习内容,提供一些必要的课外学习资料,帮他们制定一定的学习计划。在学习方法上给

初中数学七年级上培优练习册全集(人教版)

初中数学七年级上培优 练习册全集(人教版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中数学练习册七年级(上)人教版 目录: 第一章有理数 1.1 有理数的概念 1.2 有理数的运算 1.3 近似数与科学计数法 1.4 单元测试 第二章整式加减 2.1 整式的加减 2.2 单元测试 第三章一元一次方程 3.1 解一元一次方程 3.2 列方程解应用题(一) 3.3 列方程解应用题(二) 3.4 单元测试 第四章图形认识初步 4.1 多姿多彩的图形 4.2 平面图形 4.3 单元测试 期末模拟试卷(一) 期末模拟试卷(二) 期末模拟试卷(三) 有理数 第一章有理数一、全章知识结构 2

3 二、回顾正数、负数的意义及表示方法 1、正数的表示方法:a>0, 2、负数的表示方法:a<0 三、有理数的分类 定义:整数和分数统称为有理数 有限小数和无限循环小数都是有理数而无限不循环小数却不是有理数 1、按整数分数分类 2、按数的正负性分类?????? ???????????????负分数负整数负数零 正分数正整数正数有理数. 3、在数轴上分类 数轴:规定了原点,正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的作用: (1)用数轴上的点表示有理数; (2)在数轴上比较有理数的大小; (3)可用数轴揭示一个数的绝对值和互为相反数的几何意义; (4)在数轴上可求任意两点间的距离:两点间的距离=|x -y|=|y -x| 四、有理数中具有特殊意义的数:相反数、倒数、绝对值、非负数 1、相反数: ?????????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数..

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲数学建模(含答案)

趣题引路】 某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元。因为在生产过程中,平均每生产 一件产品有0.5m )污水排出,为了净化环境,工厂设计两种方案对污水进行处理.方案1:工厂污水先净化 处理后再排出:每处理Inf 污水所有原材料费为2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;方案2:工 厂将污水排到污水厂统一处理,每处理lnr :污水需付14元排污费. 问题:(1)设工厂每月生产x 件产品,每月利润为y 元,分别求岀依方案1和方案2处理污水时y 与x 的函数关系式:(2)设工厂每月生产量为6000件产品时,你若作为厂长在不污染环境,又节约资金的前 提下,应选用哪种处理污水的方案?请通过计算加以说明. 解析(1)设选用方案1,每月利润为屮,元,选用方案2,每月利润为户,元,贝叽 yi=(5O-25) X -2X 0.5A -30000=24.1-30000,),2=(50~25) A -14x0.5.x-1 8A . 故 yj=24A —30000, >'2= 18x : (2)当 *6000 时,yi=24x6000-30000= 114000 (元),力=1 8A -= 18x6000= 108000 (元) 答:我若作为厂长,应选方案1. 点评本例是生产经营决策问题,英难点在于建立相应的数学模型,构建函数关系式,然后,通过问题 中所给的条件判断,若不能判断,就要进行分类讨论. 知识延伸】 例 某工厂有14m 长的旧墙一面,现在准备利用这而旧墙,建造平面图形为矩形,而积为126m?的厂 房,工程条件为:①建lm 新墙的费用为“元:②修lm 旧墙的费用为£元;③拆去Im 旧墙,用所得材料 4 建适lm 新墙的费用为£元,经过讨论有两种方案:(I )利用旧墙的一段兀m (A <14)为矩形厂房一面的边 2 长:(1【)矩形厂房利用旧墙的一面边长为x (x>14).问:如何利用旧墙,即x 为多少米时,建墙费用最省? (I )(II )两种方案哪个更好? 解析 设利用旧墙的一面矩形边长为xm,则矩形的另一边长为竺m ? x (I )利用旧墙的一段xm (x<14)为矩形一而边长,则修旧墙费用为元.将剩余的旧墙拆得材料建新 4 墙的费用为(14小£号元,其余建新墙的费用为("+艺竺"4)?“元. 2 x 故总费用为 y = 巴 + —_ + (2x + 兰? — 14 \^a = 7a\ 丄 4- —— 1)?(0

七年级数学下册培优强化训练及答案

数学培优强化训练(九) 1.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机,已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别是:甲种电视机每台1500元,乙种电视机每台2100元,丙种电视机每台2500元. (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案, (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元,销售一台乙种电视机可获利200元,销售一台丙种电视机可获利250元.在同时购进两种不同型号电视机的方案中,为使销售进获利最多,你会选择哪种进货方案? (3)若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台,请你设计进货方案. 2.防汛指挥部决定冒雨开水泵排水,假设每小时雨水增加量相同,每台水泵排水量也相同.若开一台水泵10小时可排完积水,开两台水泵3小时排完积水,问开三台水泵多少小时可排完积水?

3.某人沿公路匀速前进,每隔4min 就遇到迎面开来的一辆公共汽车,每隔6min 就有一辆公共汽车从背后超过他.假定汽车速度不变,而且迎面开来相邻两车的距离和从背后开来相邻两车的距离都是1200m ,求某人前进的速度和公共汽车的速度,汽车每隔几分钟开出一辆? 4.某出租汽车公司有出租车100辆,平均每天每车消耗的汽油费为80元.为了减少环境污染,市场推出一种叫“CNG ” 改烧汽油为天然气的装置,每辆车改装价格为4000元.公司第一次改装了部分车辆后核算:已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的20 3,公司第二次再改装同样多的车辆后,所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的5 2.问: (1)公司共改装了多少辆出租车?改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改 装前的燃料费下降了百分之多少? (2)若公司一次性全部出租车改装,多少天后就可以从节省的燃料费中收回成 本?

人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

九年级讲义目录

专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式,分母有理化等概念,常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点,也是难点,这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识,又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法,解题的基本思路是: 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论,同时变条件与结论,再代入求值. 数学思想: 数学中充满了矛盾,如正与负,加与减,乘与除,数与形,有理数与无理数,常量与变量、有理式与无理式,相等与不等,正面与反面、有限与无限,分解与合并,特殊与一般,存在与不存在等,数学就是在矛盾中产生,又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数) 例题与求解 【例1】 当x = 时,代数式32003 (420052001)x x --的值是( ) A 、0 B 、-1 C 、1 D 、2003 2- (绍兴市竞赛试题) 【例2】 化简 (1(b a b ab b -÷-- (黄冈市中考试题) (2 (五城市联赛试题)

(3 (北京市竞赛试题) (4 (陕西省竞赛试题) 解题思路:若一开始把分母有理化,则计算必定繁难,仔细观察每题中分子与分母的数字特点,通过分解、分析等方法寻找它们的联系,问题便迎刃而解. 思想精髓:因式分解是针对多项式而言的,在整式,分母中应用非常广泛,但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中,恰当地作类似于因式分解的变形,可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少? (西安交大少年班入学试题) 解题思路:直接展开,计算较繁,可引入有理化因式辅助解题,即设x y == 想一想:设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 的根式为复合二次根式,常用配方,引入参数等方法来化简复合二次根式.

三角函数的应用-方向角问题-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典(原卷版)

2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题1.5三角函数的应用-方向角问题 姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________ 注意事项: 本试卷满分100分,试题共24题,其中选择10道、填空8道、解答6道.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置. 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2020?深圳)如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置,T在P的正北方向,且T在Q的北偏西70°方向,则河宽(PT的长)可以表示为() A.200tan70°米B.200 tan70° 米 C.200sin 70°米D.200 sin70° 米 2.(2020?济宁)一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C 在海岛A的北偏西42°方向上,在海岛B的北偏西84°方向上.则海岛B到灯塔C的距离是()A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里 3.(2019?济南)某数学社团开展实践性研究,在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向,继续向北走105m后到达游船码头B,测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向.请计算一下南门A与历 下亭C之间的距离约为()(参考数据:tan37°≈3 4,tan53°≈ 4 3)

A.225m B.275m C.300m D.315m 4.(2020?岱岳区一模)如图,一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行,当它行驶到A处时,发现它的北偏东30°方向有一灯塔B.轮船继续向北航行2小时后到达C处,发现灯塔B在它的北偏东60°方向.若轮船继续向北航行,那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近?() A.1小时B.√3小时C.2小时D.2√3小时 5.(2020?开平区一模)如图,甲、乙两船同时从港口O出发,其中甲船沿北偏西30°方向航行,乙船沿南偏西70°方向航行,已知两船的航行速度相同,如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处,那么点B位于点A的() A.南偏西40°B.南偏西30°C.南偏西20°D.南偏西10° 6.(2019?泰安)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为()km.

七年级数学上册培优强化训练7新人教版

七年级数学上册培优强化训练7新人教 版 1.一个角的余角是它的补角的52,这个角的补角是 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.一份数学试卷有20道选择题,规定答对一道得5分,不做或做错一题扣1分,结果某学生得分为76分,则他做对题数为 ( )道 A.16 B.17 C.18 D.19 3.∠1和∠2互余,∠2和∠3互补,∠1=63°,∠3=________. 4.已知轮船在逆水中前进的速度为m 千米/时,水流的速度为2千米/时,则这轮船在顺水中航行的速度是 千米/时 5.金佰客超市举办迎新春送大礼的促销活动,全场商品一律打8折,宋老师花了992元买了热水器,那么该商品的原售价为_ ___元. 6.假设有足够多的黑白围棋子,按照一定的规律排列成一行 请问第2007个棋子是黑的还是白的?答:_ ___. 7.若∠AOB=∠COD=6 1∠AO D ,已知∠COB=80°,求∠AOB﹨∠AOD 的度数. 3.已知关于x 的方程(m+3)x |m|-2+6m=0…①与nx -5=x(3-n) …②的解相同,其中方程① 是一元一次方程,求代数式(m+x )2000·(-m 2n +xn 2)+1的值. 4.某一家服装厂接受一批校服订货任务,按计划天数进行生产,如果每天平均生产20套,就比订货任务少生产100套,如果每天平均生产23套,就可超过订货任务20套,问这批服装订货任务是多少套?原计划多少天完成? ……

数学培优强化训练(七)(答案) 1.一个角的余角是它的补角的52,这个角的补角是 (D ) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.一份数学试卷有20道选择题,规定答对一道得5分,不做或做错一题扣1分,结果某学生得分为76分,则他做对题数为 ( A )道 A.16 B.17 C.18 D.19 3.∠1和∠2互余,∠2和∠3互补,∠1=63°,∠3=__153°______. 4.已知轮船在逆水中前进的速度为m 千米/时,水流的速度为2千米/时,则这轮船在顺水中航行的速度是_(m+4)千米/时______ 5.金佰客超市举办迎新春送大礼的促销活动,全场商品一律打8折,宋老师花了992元买了热水器,那么该商品的原售价为_1240___元. 6.假设有足够多的黑白围棋子,按照一定的规律排列成一行 请问第2007个棋子是黑的还是白的?答:_白____. 7.若∠AOB=∠COD=6 1∠AOD,已知∠COB=80°,求∠AOB﹨∠AOD 的度数. ∠AOB =20°,∠AOD =120° 3.已知关于x 的方程(m+3)x |m|-2+6m=0…①与nx -5=x(3-n) …②的解相同,其中方程① 是一元一次方程,求代数式(m+x )2000·(-m 2n +xn 2)+1的值. 1 4.某一家服装厂接受一批校服订货任务,按计划天数进行生产,如果每天平均生产20套,就比订货任务少生产100套,如果每天平均生产23套,就可超过订货任务20套,问这批服装订货任务是多少套?原计划多少天完成? 900套40天 ……

初三数学培优辅导专题

1、从正面观察下图所示的两个物体,看到的是( ) A . B. C. D. 2、已知:如图,AD ∥EF ,∠1=∠2.求证:AB ∥DG . 3、如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为x 米. (1)用含x 的式子表示横向甬道的面积; (2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时,求甬道的宽; (3)根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?

1、计算:0 060cos 160sin 30tan -+= 2、甲、乙两同学从A 地出发,骑自行车在同一条路上行驶到B 地,他们离出发地的距离s (千米)和行驶时间t (小时)之间的函数关系的图象如图所示,根据图中提供的信息,有下列说法:( ) (1) 他们都行驶了18千米; (2) 甲在途中停留了0.5小时; (3) 乙比甲晚出发了0.5小时; (4) 相遇后,甲的速度小于乙的速度; (5) 甲、乙两人同时到达目的地。 其中,符合图象描述的说法有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3、正方形ABCD 中,P 为AB 上一点,连接CP ,过B 作BE ⊥CP 于E 。 (1)如图1,连接DE ,过E 作EF ⊥DE 交BC 于F ,求证:BP=BF 。 (2)如图2,连接AE ,分别以AE 、BE 为直角边作等腰直角三角形AEG 、BEF ,连接DF ,求证:AG ⊥DF 图1 图2 P

初一数学资料培优汇总(精华)

第一讲 数系扩张--有理数(一) 一、【问题引入与归纳】 1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。 2、有理数的两种分类: 3、有理数的本质定义,能表成 m n (0,,n m n ≠互质)。 4、性质:① 顺序性(可比较大小); ② 四则运算的封闭性(0不作除数); ③ 稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质: ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质: i )非负数的和仍为非负数。 ii )几个非负数的和为0,则他们都为0。 二、【典型例题解析】: 1、若||||||0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2. 如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的( ) A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于( A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ,两两不等,那么 ,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数? 7、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1,,a b a +的形式式,又可表示为 0,b a ,b 的形式,求20062007a b +。

人教版七年级数学上册培优资料

七年级数学 上册 培优训练

第一讲 有理数(一) 一、【问题引入与归纳】 1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。 2、有理数的两种分类: 3、有理数的本质定义,能表成 m n (0,,n m n ≠互质)。 4、性质:① 顺序性(可比较大小); ② 四则运算的封闭性(0不作除数); ③ 稠密性:任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质: ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质: i )非负数的和仍为非负数。 ii )几个非负数的和为0,则他们都为0。 二、【典型例题解析】: 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2. 如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的( ) A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于( ) A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c ,两两不等,那么,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数?

7、设三个互不相等的有理数,既可表示为1,,a b a +的形式式,又可表示为0, b a , b 的形式,求20062007a b +。 8三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少? 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算:1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算:5917336512913248163264 +++++- 4、已知,a b 为非负整数,且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。 5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=,求||abc abc 的值。

初三数学中考培优试题

初三数学中考培优试题 一.解答题: 1.如图,矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上,且OD=10,OB=8,将矩形的边BC绕点B逆时针旋转,使点C恰好与x轴上的点A重合 (1)直接写出点A、B的坐标:A(_________,_________)、B(_________,_________); (2)若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,则这条抛物线的解析式是_________; (3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点,作MN⊥x轴于点N,问是否存在点M,使△AMN与△ACD相似?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,说明理由; (4)当≤x≤7时,在抛物线上存在点P,使△ABP得面积最大,求△ABP面积的最大值. 2.如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),动点A以每秒1个单位长的速度,从点O出发沿x轴的正方向运动,M是线段AC的中点.将线段AM以点A为中心,沿顺时针方向旋转90°,得到线段AB.过点B作x轴的垂线,垂足为E,过点C作y轴的垂线,交直线BE于点D.运动时间为t秒. (1)当点B与点D重合时,求t的值; (2)设△BCD的面积为S,当t为何值时,S=? (3)连接MB,当MB∥OA时,如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部(不包括边),求a的取值范围.

3.如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”. (1)“抛物线三角形”一定是_________三角形; (2)若抛物线y=﹣x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,求b的值;(3)如图,△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”,是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD?若存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由. 4.如图,抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C,直线l为抛物线的对称轴,点P在第三象限 且为抛物线的顶点.P到x轴的距离为,到y轴的距离为1.点C关于直线l的对称点为 A,连接AC交直线l于B. (1)求抛物线的表达式; (2)直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D,与y轴交于点F,连接BD交y轴于 点E,且DE:BE=4:1.求直线y=x+m的表达式; (3)若N为平面直角坐标系内的点,在直线y=x+m上是否存在点M,使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第八讲 二次函数综合问题(含答案)

第八讲 二次函数综合问题 趣题引路】 今有网球从斜坡O 点处抛去,网球的抛物路线方程是2 142y x x ,斜坡的方程是1 2 y x ,其中y 是垂直高度(m ),x 是与O 点的水平距离(m ),如图8-1. (1)网球落地时撞击斜坡的落点为A ,写出A 点的垂直高度,以及A 点与O 点的水平距离: (2)在图象中,求标志网球所能达到的最高点B 的坐标,并求0B 与水平线Ox 之间夹角的正切. 解析:(1)由方程组 214212 y x x y x 解得A 点坐标为(7,3.5),即可求得A 点的垂直高度为3.5m ,A 点与O 点水平距离为7m. (2)由2 211 44822 y x x x 知,最高点B 的坐标为(4,8),且8tan 24 (记 α=∠BOx ). 点评:本题是香港考题,在日常情境中,本题运用了许多数学知识,如方程组,一元二次方程,二次函数的画图及求二次函数的极值. 知识延伸】 例1 设a 、b 、c 、d 是任意实数,且满足2 222 24a b c a b c d ,求证:不等式 d ca bc ab 3≥++. 证明:将已知不等式化简整理,得 2 22 2240c a b c a b ab d ,① 设2 22 224y f x x a b x a b ab d ,则①式表明()0≤c f ,故抛物线(开口向上) 与x 轴有交点,则 2 22 44240a b a b ab d , 即2 22 240a b a b ab d 化简,得ab≥d ,② 由于此题关于a 、b 、c 是对称的,故用同样的方法可证得bc d ,③ d ca ≥,④ ②、③、④相加得证.

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