极坐标与参数方程及2014高考题

极坐标与参数方程一、基础知识点梳理

（一）极坐标

1、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

(0)

:

(0)

x x

y y

λλ

?

μμ

'=>

?

?'

=>

?

的作用下,点

P(x,y)对应到点(,)

P x y

''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2、极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM

∠叫做点M的极角,记为θ.有序数对(,)

ρθ叫做点M的极坐标,记作(,)

Mρθ.

一般地,不作特殊说明时,我们认为0,

ρ≥θ可取任意实数.

特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.

3、极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示

:

(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点M

直角坐标(,)x y

极坐标(,)ρθ

互化公式

cos sin x y ρθ

ρθ

=??

=? 222

tan (0)

x y y

x x

ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. （3）极坐标系与直角坐标系的不同

极坐标利用的极轴长度与偏离极轴的角度为坐标进行计算的，其优势在于处理圆形，旋转等问题，常见的就是关于极轴(直角坐标里的正半轴)对称的曲线图形，或者绕远点规则运动的图形。

直角坐标的优势在于处理直线问题，矩形等规则图形，如果动点是按直线运动，的用直角坐标比较好。也是最常用的坐标系，更为直观一些。

4、常见曲线的极坐标方程 曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点,半径为r 的圆

(02)r ρθπ=≤<

圆心为(,0)r ,半

径为r 的圆

2cos ()2

2

r π

π

ρθθ=-

≤<

圆心为(,)2r π

,半

径为r 的圆

2sin (0)r ρθθπ≤<

过极点,倾斜角

为α的直线

(1)

()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或

(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和

过点(,0)a ,与极

轴垂直的直线

cos ()2

2

a π

π

ρθθ=-

<<

过点(,)2a π

,与极

轴平行的直线

sin (0)a ρθθπ=<<

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,

只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ

可以表示为

5(,2)(,2),444444

ππππππ

ππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.

（二）、参数方程 1、参数方程的概念

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数

()

()

x f t y g t =??

=?①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2、参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一

个变数与参数的关系()y g t =,那么()

()x f t y g t =??=?就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互

化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.

注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3、圆的参数

如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆

周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θ

θθ=??=?

为参数。

这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。 圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，

它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θ

θθ=+??=+?为参数。

4、椭圆的参数方程

以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22

221(0),x y a b a b

+=>>其参数方程

为cos ()sin x a y b ???=??=?

为参数，其中参数?称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是

22221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ???=??=?为参数其中参数?仍为离心角，通常规定参数?的范围为?∈[0，2π）

。 注：椭圆的参数方程中，参数?的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02

π

α≤≤时，相应地也有02

π

?≤≤

，在其他象

限内类似。

5、双曲线的参数方程

以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22

221(0,0),x y a b a b

-=>>其参数方

程为sec ()tan x a y b ???=??=?

为参数，其中3[0,2),.22ππ?π??∈≠≠

且 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22

221(0,0),y x a b a b

-=>>其参数方程为

cot ((0,2).csc x b e y a ?

??π?π?

=?∈≠?

=?为参数，其中且 以上参数?都是双曲线上任意一点的离心角。 6、抛物线的参数方程

以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线2

2(0)y px p =>的参数方程为2

2().2x pt t y pt

?=?=?为参数

7、直线的参数方程

经过点000(,)M x y ，倾斜角为()2

π

αα≠

的直线l 的普通方程是00tan (),y y x x α-=-而过

000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α

α=+??

=+?

()t 为参数。 注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程

为00cos sin x x t y y t αα=+??=+?()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点(,)M x y 为终点的有向线段0M M 的数量，当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M 下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0。我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。

二、极坐标与参数方程2014各省高考题

1、[2014·天津卷] 在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．

答案：3

2、[2014·安徽卷] 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是???x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标

方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )

A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2 答案：D

3、[2014·北京卷] 曲线???x ＝－1＋cos θ，

y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )

A ．在直线y ＝2x 上

B ．在直线y ＝－2x 上

C ．在直线y ＝x －1上

D ．在直线y ＝x ＋1上 答案：B

4、 [2014·福建卷] (Ⅱ)选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线l 的参数方程为???x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为???x ＝4cos θ，

y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；

(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．

解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，

圆C 的普通方程为x2＋y2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，

故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝≤4，

解得－25≤a ≤2 5.

5、[2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________．

答案：(1，1)

6、[2014·湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程) 已知曲线C 1的参数方程是???x ＝t ，

y ＝3t 3

(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建

立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．

答案：()3，1

7、[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，倾斜角为π

4的直线l 与曲线C ：?

??x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α

为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．

答案：ρcos θ－ρsin θ＝1

8、[2014·江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )

A ．ρ＝1

cos θ＋sin θ

，0≤θ≤π2

B ．ρ＝

1

cos θ＋sin θ

，0≤θ≤π4

C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

4 答案：A

9、[2014·辽宁卷] 选修4-4：坐标系与参数方程

将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；

(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．

解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y)，依题意，得???x ＝x1，

y ＝2y1，由

x21＋y21＝1得x2＋? ??

??y 22

＝1，即曲线C 的方程为x2＋y24＝1.

故C 的参数方程为???x ＝cos t ，

y ＝2sin t (t 为参数)．

(2)由?????x2＋y24＝1，2x ＋y －2＝0，

解得???x ＝1，y ＝0或???x ＝0，y ＝2.

不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为? ????

12，1，所求直线的斜率k ＝12，于

是所求直线方程为y －1＝12? ?

?

??x －12，

化为极坐标方程，并整理得

2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝3

4sin θ－2cos θ

.

10、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C ：x 24＋y 2

9＝1，直线l ：???x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．

(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值． 解：(1)曲线C 的参数方程为???x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，

直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.

(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l 的距离 d ＝5

5|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA|＝

d sin 30°

＝25

5|5sin(θ＋α)－6|，

其中α为锐角，且tan α＝4

3.

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为225

5. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为25

5.

11、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐

标方程为ρ＝2cos θ，θ∈?

?????0，π2.

(1)求C 的参数方程；

(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方

程，确定D 的坐标．

解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为

???x ＝1＋cos t ，y ＝sin t ，

(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D(1＋cos t ，sin t)．由(1)知C 是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π

3.

故D 的直角坐标为? ????1＋cos π3，sin π3，即? ????

32，32.

12、[2014·陕西卷] C ．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点? ?

???2，π6到直线

ρsin ?

?

???θ－π6＝1的距离是________．

答案：1

13、自选模块2．[2014·浙江卷] (1)在极坐标系Ox 中，设集合A ＝{(ρ，θ)|0≤θ≤π4，0≤ρ≤cos θ}，求集合A 所表示区域的面积； (2)在直角坐标系xOy 中，

直线l ：?????x ＝－4＋t cos π

4，

y ＝t sin π4

(t 为参数)，

曲线C ：?

??x ＝a cos θ，

y ＝2sin θ(θ为参数)，其中a ＞0.

若曲线C 上所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围． 解：(1)在ρ＝cos θ两边同乘ρ，得 ρ2＝ρcos θ.

化成直角坐标方程，得x2＋y2＝x ， 即? ?

?

??x －122＋y2＝14.

所以集合A 所表示的区域为：由射线y ＝x(x ≥0)，y ＝0(x ≥0)，圆? ?

???x －122＋y2＝14所围成的

区域，如图所示的阴影部分，所求面积为π16＋1

8.

错误！未找到引用源。

(2)由题意知，直线l 的普通方程为x －y ＋4＝0.

因为曲线C 上所有点均在直线l 的右下方，故对θ∈R ，有acos θ－2sin θ＋4＞0恒成立， 即a2＋4cos(θ＋φ)＞－4? ?

???其中tan φ＝2a 恒成立，

所以a2＋4＜4.又a ＞0，得0＜a ＜2 3.

14、[2014·重庆卷] 已知直线l 的参数方程为???x ＝2＋t ，

y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．

答案：5