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北京市西城区2011届高三数学模拟理新人教A版

开始

是

否

i < 输出S

结束

S S =+ 1i i =+

①

1,1S i ==

北京市西城区2011年高三一模试卷数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项.

1. 已知集合{5}A x x =∈

（B ）[2,5)

（C ）{2,3,4}

（D ）{3,4,5}

2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（A ）2

y = （B ）2y x x =-

（C ）2y x = （D ）3y x =

3. 设3log 2=a ，3log 4

=b ，5.0=c ，则

（A ）a b c <<

（B ）b c a << （C ）c a b << （D ）b a c <<

4．设向量(1,sin )θ=a ，(3sin ,1)θ=b ，且//a b ，则cos 2θ等于（A ）3

（B ）3

（C ）

（D ）

5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（A ）4 （B ）5

（C ）6 （D ）7

6.已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（A ）两个函数的图象均关于点(,0)4

π-

成中心对称（B ）两个函数的图象均关于直线4

x π=-成中心对称

（C ）两个函数在区间(,)44

ππ

上都是单调递增函数（D ）两个函数的最小正周期相同

7．已知曲线1:(0)C y x x

>及两点11(,0)A x 和22(,0)A x ，其中210x x >>.过1A ，2A 分

别作x 轴的垂线，交曲线C 于1B ，2B 两点，直线12B B 与x 轴交于点33(,0)A x ，那么

（A ）312,

x x x 成等差数列（B ）312,

x x x 成等比数列

（C ）132,,x x x 成等差数列（D ）132,,x x x 成等比数列

8．如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.

①不存在点D ,使四面体A B C D 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体A B C D 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等

④存在无数个点D ,使点O 在四面体A B C D 的外接球面上其中真命题的序号是（A ）①②

（B ）②③

（C ）③ （D ）③④

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在复平面内，复数

2i 1i

-对应的点到原点的距离为_____.

10.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线P A 和割线PBC ，已知22PA =，4P C =，圆心O 到B C 的距离为3，则圆O 的半径为_____. 11.已知椭圆:C cos ,()2sin x y θθθ

=?∈?

=?R 经过点1(,

m ，则m =______，离心率e =______.

12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.

13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.

14.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于???=,3,2,1n ，有

正(主)视图俯视图

侧(左)视图

135,2

n n n n

n n k k a a a a

a a +++??

=???为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,

当111a =时，100a =______；

若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）

设ABC ?中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且5

4cos =B ,2=b .

（Ⅰ）当3

a 时，求角A 的度数；（Ⅱ）求ABC ?面积的最大值. 16．（本小题满分13分）

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为

11,,23p .且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14

. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求p 的值；

（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望E X .

17.（本小题满分13分）

如图, ABCD 是边长为3的正方形，D E ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，

BE 与平面ABCD 所成角为0

60.

(Ⅰ)求证：A C ⊥平面BD E ； (Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；

（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//A M 平面B E F ，并证明你的结论.

18. （本小题满分14分）

已知函数2

(1)()a x f x x

，其中0a >.

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（Ⅲ）设2

()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.

F E

（其中e 为自然对数的底数）

19. （本小题满分14分）

已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于,A B 两点，其中点A 在第一象限.

（Ⅰ）求证：以线段F A 为直径的圆与y 轴相切；

（Ⅱ）若1FA AP λ= ,2BF FA λ= ,1211

[,]42

λλ∈，求2λ的取值范围.

20.（本小题满分13分）

定义=),,,(21n a a a τ12231||||||n n a a a a a a --+-++- 为有限项数列{}n a 的波动强度.

（Ⅰ）当(1)n n a =-时，求12100(,,,)a a a τ ；

（Ⅱ）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，求证：(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤；（Ⅲ）设{}n a 各项均不相等，且交换数列{}n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}n a 一定是递增数列或递减数列.

北京市西城区2011年高三一模试卷

参考答案及评分标准

数学（理科） 2011.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 2 10. 2 11. 4

15±

，

12. 12 13. 60，48 14.62；1或5 注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为5

4cos =B ，所以5

3sin =

B . (2)

分

因为3

5=a ，2=b ，由正弦定理

b A

a sin sin =

可得2

1sin =

A . (4)

分

因为b a <，所以A 是锐角，所

以

30=A . ……………………6分

（Ⅱ）因为ABC ?的面积ac B ac S 10

3sin 2

1==， (7)

分

所以当ac 最大时，ABC ?的面积最大.

因为B ac c a b cos 22

22-+=，所以ac c a 5

842

+=. (9)

分

因为2

2a c ac +≥，所以8245

ac ac -≤， (11)

分

所以10≤ac ，（当10a c ==时等号成立） (12)

分

所

以

ABC

?面积的最大值为3.

……………………13分

16.（本小题满分13分）

解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有

12311(),(),(),2

P A P A P A p =

=且321,,A A A 相互独立.

（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

121()P A A -?122

3=-

…………………3分

（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有

()P B =123()P A A A ??＝

121(1)2

p p -??-=

， (5)

分

所以113

p -=，14

p =

. (7)

分

（Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分

所以1(0)4

P X ==

，

(1)P X ==P 123()A A A ??+P 123()A A A ??+P 123()A A A ??

111312111423423424

=+??+??=，

(2)P X ==P 123()A A A ??+P 123()A A A ??+P 123()A A A ??

11312111112342342344

=??+??+??=，

(3)P X ==P 123()A A A ??＝

111123424??= . (11)

分

X 分布列为：

X 0 1 2 3 P

1124

124

(12)

分

所以，1111113()01234

E X =?+?

. (13)

分

17.（本小题满分13分）

C A E

z D

F x E

(Ⅰ)证明：因为D E ⊥平面A B C D ，

所以AC DE ⊥. ……………………2分因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，

从而A C ⊥平面BD E . ……………………4分 (Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，

所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示.

因为BE 与平面ABCD 所成角为060，即60DBE ∠= ， ………………5分

所以

ED .

由3=AD 可知36D E =，6AF =. (6)

分

则(3,0,0)A ，(3,0,6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，

所以(0,3,

6)B F =-

，(3,0,26)EF =-

， (7)

分

设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则00BF EF ??=???=??

n n ，即360

3260

y z x z ?-+=??-=??，令6z =，则=

n (4,2,6). (8)

分

因为A C ⊥平面BD E ，所以C A 为平面BD E 的法向量，(3,3,0)C A =-

，

所

以

o 13

3226C A C A C A

???==

n n n . …………………9分

因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为

13. ………………10分

(Ⅲ)解：点M 是线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t .

则(3,,0)A M t t =-

，

因为//A M 平面BEF ，

所以AM ?

n 0=， (11)

即4(3)20t t -+=，解得2=t . …………………12分

此时，点M 坐标为(2,2,0)，13

B M B D =，符合题意. (13)

分

18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）3

(2)()a x f x x

-'=，（0x ≠）， (3)

分

在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.

所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). ………4分

（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则00

000

0(1)10(2)

1a x y x x y a x x -?

=???

--=??-?=??

……………7分（1个方程1

分）

解得01x =，1a =. ……………8分

（Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，

则()ln 1g x x a '=+-， …………………9分

解()0g x '=，得1

e a x -=，

所以，在区间1

(0,e

)a -上，()g x 为递减函数，

在区间1

,)a -+∞上，()g x 为递增函数. (10)

分

当1

1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，

所以()g x 最大值为(e)e e g a a =+-. ………………

11分

当1

e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，

所以()g x 最大值为(1)0g =. ………………

当11

(e)(1)e e 0g g a a -=+->，解得e e 1

a <

-，

所以，e 1e 1

a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， (13)

分

e 2e 1

a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. (14)

分

综上所述，当e 0e 1

a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当e e 1

a ≥

-时，()

g x 的最大值为(1)0g =.

19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知(

,0)2p F ,设11(,)A x y ，则2

112y px =，圆心坐标为112(,)4

x p y +，圆心到y 轴的距离为

124

x p +， (2)

分

圆的半径为1121()2

FA x p p x +=

?--

， (4)

分

所以，以线段F A 为直径的圆与y 轴相切. …………………5分

（Ⅱ）解法一：设022(0,),(,)P y B x y ，由1FA AP λ= ,2BF FA λ=

,得

111101(,)(,)2

p x y x y y λ-

=--，22211(

,)(,)2

p p x y x y λ--=-

， (6)

分

所以1111101,()2

p x x y y y λλ-

=-=-，

221221(),2

p p x x y y λλ-=-

=-， (8)

分

由221y y λ=-，得222

221y y λ=. 又2112y px =，2

222y px =，

所以 2

221x x λ=. …………………

10分

代入

221()2

p p x x λ-=-

，得

2121()2

p p x x λλ-=-

，

2122(1)(1)2

p x λλλ+=+，

整理得12

2p x λ=， (12)

分

代入1112

p x x λ-

=-，得

p p λλλ-

，

所以12

1λλλ=-

， (13)

分

因为12

[

,]42

λλ∈，

所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分

解法二：设),(),,(2211y x B y x A ，:2

p A B x m y =+

，

将2

p x m y =+

代入22y px =，得2220y pm y p --=，

所以2

12y y p =-（*）， (6)

分

由1FA AP λ= ，2BF FA λ=

，得

111101(,)(,)2

p x y x y y λ-

=--，22211(

,)(,)2

p p x y x y λ--=-

， (7)

分

所以，1111101,()2

p x x y y y λλ-

=-=-，

221221(),2

p p x x y y λλ-=-

=-， (8)

分

将122y y λ-=代入（*）式，得2

y λ=， …………………

10分

所以2

px λ=，12

2p x λ=

. …………………

12分

代入1112

p x x λ-

=-，得

1λλλ=-

. (13)

分

因为

[

,]42

λλ∈，

所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：12100122399100(,,,)||||||a a a a a a a a a τ=-+-++- ………………1分

222299198=+++=?= . ………………

3分

（Ⅱ）证明：因为(,,,)||||||a b c d a b b c c d τ=-+-+-，

(,,,)||||||a c b d a c c b b d τ=-+-+-，

所以(,,,)(,,,)||||||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+-----. ……………

4分

因为()()0a b b c -->，所以a b c >>，或a b c <<.

若a b c >>，则

(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+--+--||||c b c d b d =-+---

当b c d >>时，上式()2()0c b c d b d c b =-+---=-<，

当b d c ≥≥时，上式()2()0c b d c b d d b =-+---=-≤，当d b c >>时，上式()0c b d c d b =-+---=，

即当a b c >>时，(,,,)(,,,)0a b c d a c b d ττ-≤. (6)

分

若a b c <<，

则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d b a c d c a b d ττ-=-+--+--，

||||0b c c d b d =-+---≤.（同前）

所以，当()()0a b b c -->时，(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤成立. …………………7分

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）

下面来证明当12a a >时，{}n a 为递减数列.

（ⅰ）证明23a a >.

若231a a a >>，则由引理知交换32,a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾. 若2a a a >>３１，则

1212212121(,,)||||||||(,,)a a a a a a a a a a a a a a ττ=-+->-+-=３３３３，与已知矛盾.

所以，321a a a >>. ………………………9分

（ⅱ）设12(32)i a a a i n >>>≤≤- ，证明1i i a a +>.

若i i i a a a >>+-11，则由引理知交换1,+i i a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.

若i i i a a a >>-+11，则211211(,,,)(,,,)i i i i i i i i a a a a a a a a ττ--+--+=，与已知矛盾.

所以，

1+>i i a a . …………………11分

（ⅲ）设121n a a a ->>> ，证明1n n a a ->. 若1n n a a ->，考查数列121,,,,n n a a a a - ，

则由前面推理可得122n n n a a a a -->>>> ，与121n a a a ->>> 矛盾.

所以，1n n a a ->. …………………12分

综上，得证.

同理可证：当12a a <时，有{}n a 为递增数列. ……………………13分

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黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

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高三数学高考模拟题(一)

高三数学高考模拟题 (一) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三数学高考模拟题（一）一. 选择题（12小题，共60分，每题5分） 1. 已知集合{}{} M N x x x x Z P M N ==-<∈=?13302，，，，又|，那么集合 P 的子集共有( ) A. 3个 B. 7个 C. 8个 D. 16个 2. 函数y x =-的反函数的图象大致是( ) A B C D 3. 已知直线l 与平面αβγ、、，下面给出四个命题： ()//(),()()////12314若，，则若，若，，则若，，则l l l l l ααββαββγαγγγββ αβαβ⊥⊥⊥⊥⊥?⊥⊥? 其中正确命题是( ) A. (4) B. (1)(4) C. (2)(4) D. (2)(3) 4. 设cos ()31233 x x x =-∈-，且，，则ππ 等于( ) A B C D ....±±±± ππππ 18929518 5. 设a b c a b c =+=-=sin cos cos 1313221426 2 2 ，，，则、、之间的大小关系是( )

A b c a B c a b C a c b D c b a ....>>>>>>>> 6. ()15+x n 展开式的系数和为a x n n ，()572+展开式的系数和为 b a b a b n n n n n n ，则lim →∞-+234等于( ) A B C D ....- --12131 71 7.椭圆 x y M 22 4924 1+=上有一点，椭圆的两个焦点为F F MF MF MF F 121212、，若，则⊥?的面积是( ) A. 96 B. 48 C. 24 D. 12 8. 已知椭圆x y t 22 1221 1+-=()的一条准线的方程为y =8，则实数t 的值为( ) A. 7和－7 B. 4和12 C. 1和15 D. 0 9. 函数y x x x =+2sin (sin cos )的单调递减区间是( ) A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z .[].[].[].[]28278 27821588 58 3878 ππππ ππππππ ππ ππππ-+∈++∈-+ ∈+ +∈，，，， 10. 如图在正方体ABCD －A B C D 1111中，M 是棱DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A B 11上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角( ) A. 是π4 B. 是π 3 C. 是π 2 D. 与P 点位置有关 1 A 11. 在平面直角坐标系中，由六个点O(0，0)、A(1，2)、B(－1，－2)、C(2，4)、D(－2，－1)、E(2，1)可以确定不同的三角形共有( )

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<