7.统计概率

第7讲 统计概率

1、

均值不等式是什么？有什么样的结构特征？

2、 均值不等式成立的条件是什么？如何验证均值不等式成立的条件？

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7.1统计

7.1.1随机抽样

一、

简单随机抽样

1. 总体、个体、样本、样本容量的概念以及统计的基本思想方法

总体：所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看作总体． 个体：构成总体的每一个元素作为个体．

样本：从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本． 样本容量：样本中个体的数目叫样本容量．

2. 简单随机抽样的概念

一般地，从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为n 样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．

3. 简单随机抽样的特点

（1）被抽取样本的总体的个数有限；

（2）从总体中逐个地进行抽取，使抽样便于在实践中操作； （3）它是不放回抽样，具有广泛的应用性； （4）它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n

N

，保证了抽样方法的公平性．

二、 系统抽样

1. 系统抽样的概念：

当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．（由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也被称作等距抽样）

2. 系统抽样的步骤：

① 编号，即将总体中的个体编号．为方便起见，也可直接利用个体所带有的号码，如准考证号、

门牌号等；

② 分段，即为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔k ．当

N n 是整数时，N k n ；当N

n

不是

整数时，则可用简单随机抽样的方法从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体个数'N 能被

概念辨析

n整除，这时

'

N

k

n =．

③确定起始个体编号，即从数字1~k中随机抽取一个数S．

④按照预先确定的规则抽取样本，即通常是将S依次加上间隔k的倍数，这样样本的编号依次是：

,,2,,(1).

S S k S k S n k

+++-

3.系统抽样的公平性

当N

n

是整数时，

N

k

n

=；当

N

n

不是整数时，则可用简单随机抽样的方法从总体中剔除一些个体，

使剩下的总体中个体个数'N能被n整除，这时

'

N

k

n

=，上述过程中，总体的每个个体被剔除的可

能性相同，也就是说每个个体不被剔除的可能性相同，所以在整个抽样过程中每个个体抽取的可能性仍然相同．

4.系统抽样的特点

①适用于总体容量较大的情况；

②剔除多余个体及第一段抽样都用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系；

③它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n

N

．

三、分层抽样

1.分层抽样的概念：

当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这样的抽样方法叫做分层抽样．

2.分层抽样的步骤：

①分层，即将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分；

②按比例确定每层抽取个体的个数；

③各层抽样，即各层中采用简单随机抽样或系统抽样抽取相应的个数；

④汇合成样本．

3.分层抽样的特点

①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；

②更充分的反映了总体的情况；

③它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n N

．

四、 三种抽样方法的比较

【例1】为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省市的2500名城镇居民，则该问题中的2500名城镇居民的寿命是（ ）

A ．总体

B ．个体

C ．样本

D ．样本容量 【解答】C 【例2】利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的可能是（ )

A ．21

B ．3

1 C ．61 D ．41

【解答】A

【解析】本抽样为简单随机抽样，在简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性相等均为

n

． 【例3】下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是（ ）

A ．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3:2:8:2，从中抽取200人入样

B ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样

C ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样

D ．从某厂生产的20个电子元件随机抽取5个入样

【解答】C

【解析】系统抽样适用总体中的个体数较多的情况。排除D 选项。A 选项中涉及的是分层抽样，总体是由差异明显的几部分组成的。B 选项中选择5个入样，样本数量过少。

【例4】某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类食品的种数是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【解答】C

【解析】20

10240103020

?

=+++

【例1】 某中学高中部有三个年级，其中高一有学生400人，采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，问高中部共有多少学生？ 【解答】900人

【解析】高一年级抽取的样本人数为：45151020--=人，高一年级共有400人，且分层抽样抽取的比例相同，设这所学校高中部有x 人，则有：400:20:45x =，解得900x =（人），故这所学校高中部共有900人．

7.1.2用样本估计总体

一、

用样本的频率分布估计总体的频率分布

1. 频率直方图

（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：

① 计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差； ② 决定组距与组数：取组距，用

极差

组距

决定组数；

③ 决定分点：决定起点，进行分组；

④ 列频率分布直方图：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各

小组的频率．

⑤ 绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以

频率

组距

的值为纵坐标绘制直方图． 概念辨析

（2）易知小长方形的面积＝组距×

频率

组距

＝频率；所有长方形的面积之和等于1； （3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折

线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．

（4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方

图可以用一条光滑曲线()y f x =来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．

2. 茎叶图

（1）制作茎叶图的步骤：

①将数据分为“茎”、“叶”两部分；

②将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线； ③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出． （2）茎叶图的优点：

①没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到； ②茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示

二、 用样本的数字特征估计总体的数字特征

1. 用样本的平均数估计总体平均数

（1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；

（2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，若样本

数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数．

（3）平均数：一般地，设样本的数据为12n x x x ，

，，,则样本的算术平均数为12n

x x x x n

++

+=；

（4）众数、中位数、平均数的异同：

①众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量；

②平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动； ③众数考察各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题；

④中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势；

⑤实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位． 2. 用样本的标准差估计总体的标准差

（1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述

（2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； （3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；

一般地，设样本的数据为12n x x x ，

，，，样本的平均数为x ， 定义样本方差为222

2

12()()()n x x x x x x s n

-+-+

+-=

简化公式：222

22121[()]n s x x x nx n

=++

+-

=2222121()n x x x x n

+++-（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方）

（4）样本的标准差是方差的算术平方根．

样本标准差s

【例2】

下表是某学校学生日睡眠时间的抽样频率分布表：

画出频率分布直方图，估计该校学生的日平均睡眠时间．

【解答】

例题精讲

计算日平均睡眠时间法一：

总睡眠时间约为6.255 6.75177.25337.75378.2568.752739?+?+?+?+?+?=（h ） 学校人数为5

1000.05

=（人）

，故平均睡眠时间约为7.39h ； 法二：

求组中值与对应频率之积的和：6.250.05 6.750.178.750.027.39?+?++?=（h ）

故平均睡眠时间约为7.39h ．

【例7】（2014江苏理6）设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有_______株树木的底部周长小于100cm ．

【解答】24

【解析】

0.0250.015106024+??=（）

【例8】如图为某样本数据的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ）

0.80.16频率组距

/cm

A ．[610)，

的频率为0.32 B ．若样本容量为100，则[1014)，

的频数为40 C ．若样本容量为100，则(10]-∞，

的频数为40 D ．由频率分布布直方图可得出结论：估计总体大约有10%分布在[1014)，

【解答】D ；

【解析】[1014)，

的频率为0.140.4?=，因此估计总体大约有40%分布在[1014)，．

【例9】某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下： 甲：512554528549536556534541522538 乙：515558521543532559536548527531 试用茎叶图表示两学生的成绩；

【解答】两学生成绩绩的茎叶图如右所示

【例10】在某次简单随机抽样中，获得容量为7的一组样本数据，分别为10，9，11，12，10，10，11. 求这组数据的众数，中位数和平均数。

14100.1频率组距89

64

55

3819261846172852乙甲54535251

【解答】众数为10，中位数是10，平均数是

737

.

【例11】甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示

设12,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ）

A ．12x x =，12s s <

B ．12x x =，12s s >

C ．12x x >，12s s >

D ．12x x =，12=s s

【解答】B ； 【解答】∵18787989692925x ++++=

=，28688939697

925

x ++++==∴12=x x ；

∵2222215564+2s =+++=106，2222226414+5s =+++=94∴12s s >

7

乙甲639

2

6886877n x ，，,则样本的算术平均数为n

x ++。

7.2概率

7.2.1 随机事件的概率

一、

随机现象

1. 必然现象：在一定条件下必然发生某种结果的现象叫做必然现象；

2. 随机现象：在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象叫做随机现象；

3. 试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验；把观察结果或实验

的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．

二、 事件与基本事件空间

1. 事件：

（1） 不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； （2） 必然事件：在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件； （3） 随机事件：在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．

通常用大写英文字母A B C ，

，，来表示随机事件，简称为事件． 2. 基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为

基本事件；它包含所有可能发生的基本结果．

3. 基本事件空间：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示．

三、 频率与概率

1. 频率：在相同的条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数m 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例

m

n

为事件A 出现的频率． 2. 概率的统计定义：一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率m

n

，当n 很大时，总

是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ．

（1） 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤． （2） 当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =． 3. 频率与概率的区别：

（1） 频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象． （2） 当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．

四、 概率的加法公式

1. 互斥事件与事件的并：

（1） 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．

（2） 事件的并：由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =．

2. 互斥事件的概率加法公式

（1） 若A 、B 是互斥事件，有()()()P A

B P A P B =+

概念辨析

（2） 若事件12n A A A ，

，，两两互斥，1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．

事件“1

2n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生

3. 对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件

记作A ．有()1()P A P A =-

五、 互斥事件概率的求法

1. 直接法

将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件，应用概率加法公式计算； 2. 间接法

先求此事件的对立事件的概率，再用公式()1()P A P A =-，即应用补集思想（正难则反），特别是“至多”、“至少”型的题目．

【例12】下列事件：

①同学甲竞选班长成功；

②两队球赛，强队胜利了；

③若集合A B C ，

，，满足A B B C ??，，则A C ?； ④古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；

⑤从1359，

，，中任选两数相加，其和为偶数； 其中属于随机事件的有（ ） A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【解析】B 。①②正确。剩余三个为必然事件

【例13】盒中装有4只相同的白球与6只相同的黄球．从中任取一只球．试指出下列事件分别属于什么事件？它们的概率是多少？

⑴A =“取出的球是白球”；

⑵B =“取出的球是蓝球”； ⑶C =“取出的球是黄球”； ⑷D =“取出的球是白球或黄球”．

【解析】

例题精讲

⑴A 是随机事件，概率是

4

0.410=； ⑵B 是不可能事件，概率是0； ⑶C 是随机事件，概率是

6

0.610

=； ⑷D 是必然事件，概率是1．

【例14】某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．

① A 与C ；②B 与E ；③B 与D ；④B 与C ；⑤C 与E

【解析】A=甲，B=甲+乙+甲乙，C=无+甲+乙，D=无+乙，E=无

①不是互斥事件；②是互斥事件，且为对立事件；③不是互斥事件；④不是互斥事件；⑤不是互斥事件

【例15】（2014江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_________．

【解答】13

【解析】

从4个数中抽取两个数有

=6种可能，其中两数乘积为6的只能是2和3，或1和6。则21

63

P =

=.

7.2.2古典概型

一、

古典概型的概念

如果一次实验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个事件出现的可能性相等，则这样的概率模型称为古典概型．

二、 古典概型的特征

1. 有限性，即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；

2. 等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型． 判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有上述两个特征：有限性和等可能性．

三、 古典概型计算公式及步骤

概念辨析

1. 如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基

本事件的概率都是1

n

；

2. 如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P （A ）=m n

． 3. 古典概型的计算步骤：

（1） 阅读题目，收集信息，理解题意：

（2） 判断是否为古典概型，并用字母表示所求事件：

（3） 计算基本事件的个数n 和所求事件中包含的基本事件个数： （4） 计算所求事件的概率m P n

=

．

【例16

】判断下列命题命题正确与否（ ）

（1）掷两枚硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”三种结果；

（2）某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；

（3）从4321012----，

，，，，，中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同； （4）分别从3名男同学、4名女同学中各选取一名代表，那么每个同学当选的可能性相同； （5）5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号签中奖的可能性肯定不同． 【解析】用古典概型的定义与性质加以分析，以上命题均不正确．

（1）应该有四种结果还有“一反一正”

（2）摸到红球的概率为12，摸到黑球的概率为13

，摸到白球的概率为1

6；

（3）取到小于0的数的概率为47，取到不小于0的数的概率为3

7；

（4）男同学当选的概率为13

，女同学当选的概率为1

4

（5）抽到某号签得概率均为1

5

．

7.2.3几何概型

一、

几何概型

事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．

二、 几何概型具备以下两个特征：

1. 无限性，即每次试验的结果（基本事件）有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区

域来表示；

2. 等可能性，即每次试验的各种结果（基本事件）发生的概率都相等．

概念辨析

例题精讲

三、 几何概型的计算公式及步骤

1. 几何概型中，事件A 的概率定义为()A

P A μμΩ

=

，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，A μ表示区域A 的几何度量． 2. 几何概型的计算步骤

（1） 把样本空间和所求概率的事件用关系式表示出来，可分两类①样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的几何区域题目中已给出；②样本空间所求事件所对应的几何区域没直接给出，课根据题设引入适当变量，把题设的条件转换成变量所满足的代数条件；

（2） 在坐标系中把相应的几何图形画出来；

（3） 把样本空间和所求事件的概率所在的几何图形度量，然后代入公式()A

P A μμΩ

=

，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，A μ表示区域A 的几何度量．

【例17

】在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是______．

【解答】本题是几何概型类题目。所求概率为

1062

=1005

--．

【例18】在圆心角为150°的扇形AOB 中，过圆心O 作射线交弧AB ︵

于P ，则同时满足：45AOP ∠≥°且

75BOP ∠≥°的概率为．

【答案】1

5

．

【解答】本题为几何概型问题。P 点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为1504575--°°°，即30°，概率为301

1505

=°°．

【例19】在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为． 【解答】π4

【解析】当P 点在阴影内部时，满足到点A 的距离小于1，概率满足几何概型，故所求的概率为面积比21ππ144

?=．

例题精讲

基础演练

【练1】现从80件产品中随机抽出20件进行质量检验．下列说法正确的是（ ） A ．80件产品是总体 B ．20件产品是样本 C ．样本容量是20 D ．样本容量是80

【练2】对总数为N 的一批零件抽取一容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N 为（ ）

A ．150

B ．200

C ．100

D ．120

【练3】从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ）

A ．510152025，

，，， B ．313233343，，，， C ．12345，，，， D ．2461632，，，，

【练4】（2013全国新课标I ）为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是

（）

A ．简单随机抽样

B ．按性别分层抽样

C ．按学段分层抽样

D ．系统抽样

【练5】已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在[6,10)内的样本频数为____，样本数据落在[2,10)内的频率为____．

【练6】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的联系，要从这10000人中用分层抽样的方法抽出100人做进一步调查，则在[25003000]，

（元）月收入段应抽出_____人． 全能突破

【练7】每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择题正确的概率是1

4

，我每题都选择第一个选择，则一定有3题选择结果正确”．对该人的话进行判断，其结论是（ ）

A ．正确的

B ．错误的

C ．模棱两可的

D ．有歧义的

【练8】（2010北京一模）从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为_______．

【练9】两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为（ ）

A ．

12 B ．13

C ．

14

D ．

23

【练10】某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ） A ．113 B ．19

C ．14

D ．12

能力提升

【练11】某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是______．

【练12】（08全国）4张卡片上分别写有数字1234，

，，，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）

A ．1

3

B ．

1

2

C ．

2

3

D ．

34

【练13】某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A

给出的分数如茎叶图所示，

0.00050.00040.00030.00020.0001

频率组距月收入(元)

记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是．

【练14】两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：

如果你是质量检验员，在得到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？

【练15】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：

⑴在表中直接填写进球的频率；

⑵这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？

【练16】如图，在边长为25的正方形中挖去边长为23的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？

【练17】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即离去，求两人能会面的概率．

高考链接

【练18】（10文）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）由图中数据可知a=_____。若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为______。

【练19】（2014理）从某学校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理获得数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生课

外阅读时间少于12小时的概率；

（2）求频率分布直方图中的a，b的值；

（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组。（只需写结论）

【练20】（2011理）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

甲组

1 乙组

9 9 1 1

X 8 9 0

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。

统计与概率专题训练一 (学生用,无答案)

统计与概率专题训 1．下列说法正确的是( ) A．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查； B．为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查； C．射击运动员一次射击靶心命中，是随机事件； D．经过交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件. 2．某市七天的空气质量指数分别是：28，45，28，45，28，30，53，这组数据的众数是( ) A．28 B．30 C．45 D．53 3．某老师为了了解学生周末学习时间的情况，在所任班级中随机调查了10名学生，绘成如图所示的条形统计图，则这10名学生周末学习的平均时间是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 （第3题） 4．某小学校足球队22名队员年龄情况如下： 年龄(岁) 12 11 10 9 人数 4 10 6 2 则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( ) A．11，10 B．11，11 C．10，9 D.10，11 5．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随 机摸出一个，摸到红球的概率是1 5 ，则n的值为( ) A．3 B．5 C．8 D．10 6．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是( ) A.1 2 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 12 7．某学校小组5名同学的身高(单位：cm)分别为：147，159，156，151，152，则这组数据的中位数是 ____．

8．今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图①和图②是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是___． 9．一次数学考试中，九(1)和(2)班的学生数和平均分如表所示，则这两班平均成绩为___分． 班级人数平均分 (1)班52 85 (2)班48 80 10．如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被分面积相等的三部分，且分别标有1，2，3三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转 盘停止后，记录指针指向的数(当指针指向分割线时，重新转动)，则两次指 针指向的数都是奇数的概率为___． 11．某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录．甲、乙、丙三个小组各项得分如表： 小组研究报告小组展示答辩 甲91 80 78 乙81 74 85 丙79 83 90 (1)计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序； (2)如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？

统计与概率的综合问题

统计与概率的综合问题 1.某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：秒）如下： （1）请完成样本数据的茎叶图（在答题卷中）；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）； （2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率； （3）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间[]11,15（单位：秒）之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率． 2. 已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中 抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100之内）作为样本（样 本容量为n ）进行统计．按照[]50,60，[]60,70，[]70,80，[]80,90，[]90,100的分组作出频率分布直 方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[]50,60，[]90,100的数据）． （Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值； （Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础 知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率．

3.为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥，且75y ≥ 时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据： （1）求乙厂该天生产的产品数量； （2）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出取上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率． 4.某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)，……，第五组[17,18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. （1）求价格在[16,17)内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）； （2）设,m n 表示某两个地区的零售价格，且已知,[13,14)[17,18]m n ∈，求事件“1m n ->”的概 率.

统计与概率专题复习

中考复习教案——概率与统计 第一讲统计 教学目标： 1．立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的 基本知识、基本方法和基本技能. 2．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．3．通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．教学重点与难点重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识． 【知识回顾】 、中考说明的解读

、知识结构图 三、考点分类、解读 1、考点①调查方式的选择收集数据的方式，即获得数据采取的方法一般为普查和抽样调查．很多考题结合生活中的实际问题，依据两种调查方式的特点，判断采用哪种方式进行调查．此类型问题近年出现频率较高，解题时一要彻底掌握两种方式的优缺点，二要考虑实际情况以选择既准确又快捷的调查方式． 【例1】下列调查方式中适合的是（） A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式C．环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式D．调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式思路分析：普查适合于调查范围小（或个体较少），要求比较准确（人口普查）调查对象较稳定这样事件的调查；抽样调查适合于调查范围大，个体数目庞大，流动数据或带有破坏性等事件的调查，A 项具有破坏性；B项调查对象较少；C项范围广；D 项数目较大． 答案：C 2、考点②平均数、中位数和众数平均数、中位数和众数作为数据的代表，是历年中考必考内容，重点是计算一组数据的平均数或加权平均数，找出一组数据的中位数或众数．难点是根据实际问题判断这三种数哪一个最能反映一组数据的平均水平．解答时，一定熟记平均数的计算公式，平均数、众数、中位数各自的意义，它们的优缺点 【例2】物理兴趣小组20 位同学在实验操作中的得分情况如下表：

初中统计与概率知识点

（一）统计篇 主要知识点（三种统计图，科学计数法，近似数，有效数字，平均数，众数， 中位数，普查，抽查，频数，频率，极差，方差，标准差） 一、生活中的数据（一）（七年级上册第六章）三种统计图略 二、生活中的数据（二）（七年级下册第三章） 1.科学计数法： ①一个绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示成的形式，其中，n是负整数。 ②技巧：n的绝对值等于这个数的左边第一个非零数字前面的零的个数。 ③一百万＝1×106一亿＝1×108 2.近似数和有效数字：目标：取近似数，能指出近似数的有效数字。 精确数是与实际完全符合的数，近似数是与实际非常接近的数。 有时我们根据具体情况，采用四舍五入法选择一个数的近似数。 注意：用四舍五入法取近似数时，很容易将小数点末尾的零去掉，一定要注意精确到的数位（及四舍五入到的数位）。如四舍五入到千分位是，注意不要去掉末尾的零。四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位(即四舍五入到的数位）止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 三、数据的代表（八年级上册第八章） 1.平均数：目标：会求一组数据的平均数与加权平均数 我们常用平均数（算术平均数）表示一组数据的“平均水平”。 在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”，这样的平均数叫做加权平均数。 例如；你的小测成绩是80分，期末考成绩是90分，老师要计算总的平均成绩，就按照小测40%、期末成绩60%的比例来算，所以你的平均成绩是：80×40%+90×60%=86 学校食堂吃饭，吃三碗的有χ人，吃两碗的有y人，吃一碗的z人。平均每人吃多少？

二轮复习专题 统计与概率

专题十二 统计与概率（2） 一、自主训练 1.某相关部门推出了环境执法的评价语环境质量的评价系统，每项评价只有满意和不满意两个选项，市民可以随意进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位市民的信息，发现对环境质量满意的占60％，对执法力度满意的占75％，其中对环境质量与执法力都满意的为80人. （1）是否可以在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为环境质量与执法力度有关？ （2）为了改进工作作风，从抽取的200位市民中对执法力度不满意的再抽取3位进行家访征求意见，用ξ表示3人中对环境质量与执法力度都不满意的人数，求ξ的分布列与期望. 附：()))()(()(2 2 d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ

2.某运动会为每场排球比赛提供6名球童，其中男孩4名，女孩2名，赛前从6名球童中确定2名正选球童和1名预备球童为发球队员递球，假设每名球童被选中是等可能的. （1）在一场排球比赛中，在已知预备球童是男孩的前提下，求2名正选球童也都是男孩的概率； （2）（i）求选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩的概率； （ii）某比赛场馆一天有3场比赛，若每场排球比赛都需要从提供的6名球童中进行选择，记球童选取情况为（i）中结果的场次为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

3.某竞赛的题库系统有60％的自然科学类题目，40％的文化生活类题目（假设题库中的题目总数非常大），参赛者需从题库中抽取3个题目作答，有两种抽取方法：方法一是直接从题库中随机抽取3个题目；方法二是先在题库中按照题目类型用分层抽样的方法抽取10个题目作为样本，再从这10个题目中任意抽取3个题目.两种方法抽取的3个题目中，恰好有1个自然科学类题目和2个文化生活类题目的概率是否相同？若相同说明理由，若不同，分别计算出两种抽取方法对应的概率.

统计与概率考点专题

3．一组数据按从小到大排列为2，4，8，x，10，14．若这组数据的中位数为9，则这组数据的众数为（）A．6B．8C．9D．10 4．根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示： 用水量（吨）1520253035 户数36795 则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（） A．25，27B．25，25C．30，27D．30，25 三、统计图的分析(每年必考，重点是1和2) 1．扇形统计图能清楚表示各部分在整体中所占百分比． 总结：①各百分比之和等于1；②圆心角的度数＝百分比×360°. 2．条形统计图能清楚表示各个项目的具体数目． 总结：①各组数量之和等于样本容量；②未知组的频数＝样本容量－已知组频数之和＝样本容量×未知组样本所占百分比． 3．折线统计图能清楚反映数据的变化情况． 总结：各组数据之和等于样本容量． 4．频数分布直方图能清楚表示各频数分布的情况． 总结：①各组频数之和等于样本容量；②各组频率之和等于1；③未知组的频数＝样本容量－已知组频数之和＝样本容量×未知组样本所占百分比． 【典型例题】 1．某校为了了解学生到校的方式，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，则扇形统计图中“步行”对应的圆心角的度数为（） A．54°B．60°C．72°D．108°

2．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（） A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4 3．要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳定的是运动员．（填“甲”或“乙”） 4．某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）； （2）m＝，n＝； （3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？ 概率 一、事件的分类（近五年苏州没考） 类别定义概率 必然事件在一定条件下，必然会发生的事件①_________ 确定性事件 不可能事件在一定条件下，必然不会发生的事件②_________

七年级数学下册统计与概率试卷

一、填空题 1．口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是__ __． 2． 一个口袋中有4个白球，1个红球，7个黄球．搅匀后随机从袋中摸出1个是白球的概率是_________． 3．2006年5月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31、35、31、34、30、32、31，这组数据的中位数是__________. 4．为了缓解旱情，我市发射增雨火箭，实施增雨作业． 在一场降雨中，某县测得10个面积相等区域的降雨量如下表： 则该县这10个区域降雨量的众数为_______(mm)；平均降雨量为___________（mm ）． 5．一个骰子，六个面上的数字分别为1、2、3、3、4、5，投掷一次，向上的面出现数字3的概率是_____． 6．某校学生会在“暑假社会实践”活动中组织学生进行社会调查，并组织评委会对学生写出的调查报告进行了评比．学生会随机抽取了部分评比后的调查报告进行统计，绘制了统计图如下，请根据该图回答下列问题： （1）学生会共抽取了______份调查报告； （2）若等第A 为优秀，则优秀率为_____________ ； （3）学生会共收到调查报告1000 份，请估计该校有多少份调查报告的等第为E ?7．有100张已编号的卡片（从1号到100号）从中任取1张，计算卡片是奇数的概率是_______，卡片号是7的倍数的概率是________． 8 ．掷一枚正六面体的骰子，掷出的点数不大于3的概率是_________． 二、选择题 9．在样本方差的计算式S 2=10 1(x 1-20)2+(x 2-20)2+…+(x 10-20)2 ] 中，数字10与20分别表示样本的( ) A ．容量、方差 B ．平均数、容量 C ．容量、平均数 D ．标准差、平均数 10． 在旅游周，要使宾馆客房收入最大，客房标价应选( )． A ．160元 B ．140元 C ．120元 D ．100元 11．数学老师对小明在参加高考前的5次数学模拟考试进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，于是老师需要知道小明这5次数学成绩的（ ） A ．平均数或中位数 B ．方差或极差 C ．众数或频率 D ．频数或众数 12．国家实行一系列“三农”优惠政策后，农民收入大幅度增加．某乡所辖村庄去年年人均收入（单位：元）情 况如右表，该乡去年年人均收入的中位数是( ) A ．3700元 B ．3800元 C ．3850元 D ．3900元 13．在一所有1000名学生的学校中随机调查了100人，其中有85人上学之前吃早餐， 第6题图

专题十 概率与统计第三十讲 概率 (1)

专题十 概率与统计 第三十讲 概率 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都 是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3 2．(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 3．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ．8π C ．12 D ．4 π 4．（2017新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随 机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A ． 110 B ．15 C ．310 D ．25 5．（2017天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5 支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ． 45 B ．35 C ．25 D ．15 6．（2016年天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是3 1 ，则甲 不输的概率为 A ． 6 5 B ． 5 2 C ． 6 1 D ． 3 1 7．（2016全国I 卷）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个 花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ． 13 B ．12 C ．23 D ．5 6 8．（2016全国II 卷）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

【中考12】广东省广州市中考数学试题分类解析 专题7 统计与概率

广州市2001-2012年中考数学试题分类解析专题7：统计与概率 一、选择题 1. （2001年广东广州2分）从一组数据中取出a 个x 1，b 个x 2，c 个x 3，组成一个样本，那么这个样本的平均数是【 】． A ． 123x x x 3++ B ．3c b a ++ C ．123ax bx cx 3++ D ．123ax bx cx a b c ++++ 2. （2001年广东广州2分）有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10穴的分蘖数后，计算出样本方差分别为 S 甲2 ＝11，S 乙2 ＝3．4，由此可估计【 】． A ．甲种水稻分蘖比乙种水稻分蘖整齐 B ．乙种水稻分蘖比甲种水稻分蘖整齐 C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 3. （2002年广东广州3分）在一次向“希望工程”捐款的活动中，若已知小明的捐款数比他所在学习小组中13个人捐款的平均数多2元，则下列的判断中，正确的是【 】 （A ）小明在小组中捐款数不可能是最多的 （B ）小明在小组中捐款数可能排在第12位

（C）小明在小组中捐款数不可能比捐款数排在第七位的同学的少 （D）小明在小组中捐款数可能是最少的 【答案】B。 4. （2003年广东广州3分）为了调查某一路口某时段的汽车流量，记录了15天同一 时段通过该路口的 汽车辆数，其中有2天是142辆，2天是145辆，6天是156辆，5天是157辆．那么这15天在该时段通 过该路口的汽车平均辆数为【】 （A）146 （B）150 （C）153 （D）600 5. （2004年广东广州3分）广州市运动员在最近八届亚运会上获得金牌的运动项目种类及金牌数量如下表所示：

人教版小学数学教材分析《统计与概率》部分

一下 第三单元分类与整理 1、初步感知分类的意义 2、学会选择不同的标准进行分类，掌握分类的方法，并能对分类的结果进行简单整理。 3、通过分一分，看一看，提高学生的操作能力，观察能力，判断能力，语言表达能力。 二下： 第八单元数据的搜集与整理 1．体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，了解统计的意义，会用简单的方法收集和整理数据。 2．会制作简单统计表，初步接触条形统计图（课后练习第七题） 3．通过对周围现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。 三上： 第八单元可能性 1．初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的。（可能、不可能、一定） 2．能够列出简单试验所有可能发生的结果。 3．知道事件发生的可能性是有大小的，能对一些简单事件发生的可能性作出描述，并和同伴交换想法。 三下 第三单元统计 1．向学生介绍两种新的条形统计图，使学生学会看这两种统计图，并能根据统计表中的数据完成统计图。（横式、纵式条形统计图）

2．初步学会简单的数据分析，进一步体会统计在现实生活中的作用，理解数学与生活的紧密联系。 3．理解平均数的含义，体会移多补少的思想。初步学会简单的求平均数的方法，理解平均数在统计学上的意义。 四上： 第六单元统计 1．认识两种复式条形统计图，能根据统计图提出并回答简单的问题，能发现信息并进行简单的数据分析。 2．进一步体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，进一步体会统计在现实生活中的作用，理解数学与生活的密切联系。 3．通过对现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生细心观察的良好学习习惯，培养学生的合作意识和实践能力。 四下： 第七单元统计 1．认识单式折线统计图，会看折线统计图，并能根据统计图回答简单的问题，从统计图中发现数学问题。 2．通过对数据的简单分析，进一步体会统计在生活中的意义和作用。 3．通过对现实生活中多方面信息的统计，激发学生学习数学的兴趣，引导学生关注生活中的数学问题，并运用已经掌握的知识解决生活中较简单的数学问题。

中考数学统计与概率专题复习题及答案

热点8 统计与概率 （时间：100分钟总分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．一组数据5，5，6，x，7，7，8，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（）A．7 B．6 C．5．5 D．5 2．检测1 000名学生的身高，从中抽出50名学生测量，在这个问题中，50名学生的身高是（） A．个体B．总体C．样本容量D．总体的样本 3．下列事件为必然事件的是（） A．买一张电影票，座位号是偶数；B．抛掷一枚普通的正方体骰子1点朝上 C．百米短跑比赛，一定产生第一名；D．明天会下雨 4．一次抽奖活动中，印发的奖券有10 000张，其中特等奖2张，一等奖20张，?二等奖98张，三等奖200张，鼓励奖680张，那么第一位抽奖者（仅买一张奖券）?中奖的概率为（） A． 1 10 B． 1 50 C． 1 500 D． 1 5000 5．某校把学生的笔试、实践能力、成长记录三项成绩分别按50%、20%、30%?的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀，甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的是（） 笔试实践能力成长记录 甲90 83 95 乙88 90 95 丙90 88 90 A．甲B．乙、丙C．甲、乙D．甲、丙 6．甲、乙两个样本的方差分别是s甲2=6.06，s乙2=14.31，由此可反映出（）A．样本甲的波动比样本乙的波动大； B．样本甲的波动比样本乙的波动小； C．样本甲的波动与样本乙的波动大小一样； D．样本甲和样本乙的波动大小关系不确定 7．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差为1 3 ，那么另一组数据3x1-2，3x2-2， 3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数和方差分别是（） A．2，1 3 B．2，1 C．4， 2 3 D．4，3 8．某班一次数学测验，其成绩统计如下表： 分数50 60 70 80 90 100 人数 1 6 12 11 15 5 则这个班此次测验的众数为（） A．90分B．15 C．100分D．50分 9．一组数据1，-1，0，-1，1的方差和标准差分别是（）

七年级北师大版第四章统计与概率单元测试

七年级北师大版第四章统计与概率单元测试 一、选择题:（每小题3分，共18分） 1．将100个数据分成8个组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数11 14 12 13 13 x 12 10 则第六组的频数为（） A．12 B．13 C．14 D．15 2．10位评委给一名歌手打分如下：9.73，9.66，9.83，9.89，9.76，9.86，9.79，9.85， 9.68，9.74，若去掉一个最高分和一个最低分，这名歌手的最后得分是（） A．9.79 B．9.78 C．9.77 D．9.76 3．某班50名学生期末考试数学成绩（单位：分）的频率分布条形图如图所示，其中数据不在分点上，对图中提供的信息作出如下的判定：（1）成绩在49.5分～59.5分段的人数与89.5分～100分段的人数相等；（2）成绩在79.5～89.5分段的人数占30%；（3）成绩在79.5分以上的学生有20人；（4）本次考试成绩的中位数落在69.5～79.5分段内，其中正确的判定有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 (第3题) (第4题) 4．如图是九年级（2）班同学的一次体检中每分钟心跳次数的频数分布条形图（次数均为整数）．已知该班只有5位同学的心跳每分钟75次，请观看图，指出下列说法中错误的是（） A．数据75落在第2小组 B．第4小组的频率为0.1

C．心跳为每分钟75次的人数占该班体检人数的 1 12 ; D．数据75一定是中位数 5．在转盘游戏的活动中，小颖依照试验数据绘制出如图所示的扇形统计图，则每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是（） A．22.5元B．42.5元C． 2 56 3 元D．以上都不对 (第5题) (第9题) 6．某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒．每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，不含辣椒的概率是（） A．7 8 B． 6 7 C． 1 7 D． 1 8 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．某鞋厂为了了解初中学生穿鞋的鞋号情形，对某中学九（1）班的20名男生所穿鞋号统计如下： 鞋号23.5 24 24.5 25 25.5 26 人数 3 4 4 7 1 1 那么这20名男生鞋号数据的平均数是，中位数是，在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感爱好的是． 8．某班50名学生在适应性考试中，分数段在90~100分的频率为0.1，则该班在那个分数段的学生有人． 9．某班联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为钢笔、图书和糖果,标于一个转盘的相应区域上（转盘被平均等分为四个区域，如图所示），转盘能够自由转动．参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一区域，就获得哪种奖品，则获得钢笔的概率为．

福建省各市2019年中考数学分类解析专题7：统计与概率

福建9市2019年中考数学试题分类解析汇编 专题7：统计与概率 一、选择题 1. （2018福建龙岩4分）一组数据6、8、7、8、10、9的中位数和众数分别是【 】 A ．7和8 B ．8和7 C ．8和8 D ．8和9 【答案】C 。 【考点】中位数，众数。 【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此将这组数据重新排序为6，7，8，8，9，10，∴中位数是按从小到大排列后第3，4个数的平均数，为（8＋8）÷2=8。 众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的 是8，∴这组数据的众数为。 故选C 。 2. （2018福建龙岩4分）一个不透明的布袋里有30个球，每次摸一个，摸一次就一定摸到红球，则红球有【 】 A ．15个 B ．20个 C ．29个 D ． 30个 【答案】D 。 【考点】必然事件。 【分析】一个不透明的布袋里有30个球，每次摸一个，摸一次就一定摸到红球，也就是摸到红球是必然事件。因此，布袋里30个球都是红球。故选D 。 3. （2018福建龙岩4分）某农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种大豆，收成后对两种大豆产 量（单位：吨/亩）的数据统计如下：0.54x ≈甲，0.5x ≈乙，20.01s ≈甲，20.002s ≈乙，则 由上述数据推断 乙品种大豆产量比较稳定的依据是【 】 A ．x x 乙甲＞ B ．2s 2 乙 甲＞s C ．2 x s 甲甲＞ D ．2 x s 乙甲＞ 【答案】B 。 【考点】平均数和方差的意义。 【分析】根据平均数和方差的意义，方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 。故选B 。 4. （2018福建南平4分）若要对一射击运动运员最近5次训练成绩进行统计分析，判断他的训练成绩是否稳定，则需要知道他这5次训练成绩的【 】

统计和概率知识点总结

数据的收集、整理与描述 1、全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2、抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3、总体：要考察的全体对象称为总体。 4、个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 5、样本：被抽取的所有个体组成一个样本。 6、样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 7、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 8、总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。 9、频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 10、频率：频数与数据总数的比为频率。 11、组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。 数据的分析 1、平均数：一般地，如果有n 个数 ,,,,21n x x x 那么，)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。 2、加权平均数：如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次 （这里n f f f k =++ 21）。那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++=2211，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21 叫做权。 3、中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 4、众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode ）。 5、极差：组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 6、在一组数据,,,,21n x x x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，

广东省东莞市小学数学小学奥数系列8-7-1统计与概率(一)

广东省东莞市小学数学小学奥数系列8-7-1统计与概率（一） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！ 一、小学奥数系列8-7-1统计与概率（一） (共32题；共159分) 1. （1分）在一个不透明的口袋里，有同样大小的红球、白球、蓝球、绿球、黄球、紫球、黑球、粉球各1个．那么在口袋中摸出红球的可能性是________ 2. （1分）(2014·天河) 把同样大小的红球10个、黄球8个、蓝球2个放到一个袋子里，从中任意摸出一个球． ①摸出________球的可能性最大； ②摸出蓝球的可能性是________（用分数表示） 3. （5分） (2020四上·尖草坪期末) 四年级一班的女生1分钟仰卧起坐成绩如下（单位：个）。 （1）填写下面的统计表，成绩20-29个为不合格，成绩30-39个为合格，成绩40-49个为良好，成绩50-59个为优秀。 四年级一班女生1分钟仰卧起坐统计表 年月 成绩合计不合格合格良好优秀 人数________________________________________ （2）将统计表中的数据制成条形统计图。

（3）根据统计结果填空。 ①成绩为________的人最多，成绩为________的人最少。 ②从表中你还能知道什么信息？________ 4. （5分）有10张卡片，分别写有1-10，从中随机抽出一张，则抽到5的可能性有多大？抽到偶数的可能性有多大？ 5. （5分）有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任意取出2张。请问：这2张扑克牌花色相同的概率是多少？ 6. （5分）小悦从1、2、3、4、5这5个自然数中任选一个数，冬冬从2、3、4、5、6、7这6个自然数中任选一个数。选出的两个数中，恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少 7. （5分）妈妈去家乐福购物，正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价。于是她决定从这4中水果中任选一种买回家。爸爸下班时路过集贸市场，发现有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售。他也决定任选一种买回家。请问：他们买了不同的水果的概率是多少？ 8. （5分）在标准英文字典中，由2个不同字母组成的单词一共有55个.如果从26个字母中任取2个不同的排列起来，那么恰好能拍成一个单词的概率是多少？ 9. （25分）口袋里装有100张卡片，分别写着1，2，3，……，100.从中任意抽出一张。请问： （1）抽出的卡片上的数正好是37的概率是多少？ （2）抽出的卡片上的数是偶数的概率是多少？ （3）抽出的卡片上的数是质数的概率是多少？

中考数学试题分类解析专题7：统计与概率

中考数学试题分类解析 专题7：统计与概率 一、选择题 1. （2006年福建福州大纲卷3分）小红记录了连续5天最低气温，并整理如下表： 日期五平均气温 最低气温（℃）16 18 19 18 18.2 由于不小心被墨迹污染了一个数据，请你算一算这个数据是【】 A．21 B．18.2 C．19 D．20 【答案】D。 【考点】一元一次方程的应用，平均数。 【分析】设第五天的最低气温为x℃，则根据平均气温为18.2℃得 16+18+19+18+x =18.2 ，解得x=20℃。故选D。 5 2. （2006年福建福州课标卷3分）两岸关系缓和，今年5?18海交会上，台湾水果成为一大亮点，如图是其中四种水果成交金额的统计图，从中可以看出成交金额比菠萝多的水果是【】 A．芒果B．香蕉C．菠萝D．弥猴桃 【答案】B。 【考点】扇形统计图。 【分析】从扇形统计图可知，成交金额比菠萝多的水果是香蕉。故选B。 3. （2006年福建福州课标卷3分）如图，一个小球从A点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均相等的结果，那么，小球最终到达H点的概率是【】

A．1 2 B． 1 4 C． 1 6 D． 1 8 4. （2007年福建福州3分）随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是【】 A．1B．1 2 C． 1 3 D． 1 4 【答案】D。 【考点】概率。 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。因此， ∵抛掷两枚硬币有如下4种可能：正正，正反，反正，反反， ∴落地后全部正面朝上的概率是1 4 。故选D。 5. （2008年福建福州4分）下列调查中，适合用全面调查方式的是【】 A．了解某班学生“50米跑”的成绩B．了解一批灯泡的使用寿命 C．了解一批炮弹的杀伤半径D．了解一批袋装食品是否含有防腐剂 【答案】A。 【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查。因此， A、了解某班学生“50米跑”的成绩，是精确度要求高的调查，适于全面调查；

高中统计与概率知识点

高中统计与概率知识点(文科) （一）统计 一、简单随机抽样 1．总体和样本 在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体． 把每个研究对象叫做个体． 把总体中个体的总数叫做总体容量． 为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，， 研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量． 2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。 3．简单随机抽样常用的方法： （1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。4．抽签法: （1）给调查对象群体中的每一个对象编号； （2）准备抽签的工具，实施抽签 （3）对样本中的每一个个体进行测量或调查 例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5．随机数表法： 例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。 二、系统抽样 1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）： 把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模） 前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。

可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布成某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。 系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。 三、分层抽样 1．分层抽样（类型抽样）： 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法： （1）先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 （2）先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。 2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。 分层标准： （1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 （2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 （3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3．分层的比例问题： （1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 （2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 四、用样本的频率分布估计总体分布 1.频率分布直方图 ①组距与分组：样本容量越大，分组越多，当样本容量不超过100时，一般可分成5~12组，组距力求“取整”。 ②直方图中小长方形的面积表示相应各组的频率，小长方形的面积之和为1。 ③频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。

初一数学七年级3.1统计与概率(一)教案及练习题

6.6.3.1 统计与概率（一）

学生回答，教师总结完善。 ①确定调查的主题及需要调查的数据。 ②根据调查的主题和数据设计调查表（用于问卷调查）或统计表（用于收集现成数据）。 ③确定调查的方法。是实地调查、测量，还是问卷调查，或是收集各种媒体上的信息。 ④进行调查，确定数据记录的方法。明确把数据记录在调查表上还是记录在统计表上。 ⑤整理和描述数据，对数据进行分类，选择适当的统计图表表示数据。 ⑥根据统计图表分析数据，做出判断和决策。 四、自主检测，评价完善 自主检测 ⒈填空。 （1）绘制统计图时，要能清楚地表示出数量增减变化的情况，可选用（）统计图。 （2）要制出能反映三个或三个以上项目以及关系的统计表，应制成（）统计表。 （3）为了给病人描绘体温变化情况应选择（）统计图。 2.完成下面统计图。 3.做一做 板书设计 统计与概率（一） 统计表直观、清晰。 条形统计图直观比较各部分的多少。 折线统计图直观地表示出数据的变化情况。 扇形统计图直观地反映各部分占总体的百分比。

基础： 1．在我们学过的统计知识中，最能清楚地表示出数量增减变化情况的是（）。 A、平均值 B、统计表 C、折线统计图 D、条形统计图 2．要统计某一地区气温变化情况，应选用（）统计图。 A、条形 B、折线 C、扇形 D、任意选用 3．某省统计近期禽流感疫情，既要知道每天患病动物数量的多少，又能反映疫情变化的情况和趋势，最好选用（）。ww w.x kb1.co m A、条形统计图 B、折线统计图 C、扇形统计图 D、统计表 4.下面的信息资料中，适合用统计图表示的是（）。 A、学校各年级的人数 B、五年级各班做好事的件数 C、6月份气温变化情况 D、学校教师的人数 综合： 教学反思：

7.第七讲 概率与统计——古典概型与概率可乘

第七讲概率与统计——古典概型与概率可乘 知识点汇总： 例题练习： 1、一枚硬币连抛4次，求恰有2次正面的概率。 【举一反三】 一枚硬币连抛3次，至少有一次正面向上的概率______。 2、某列车有4节车厢，现有6个人准备乘坐。设每一位乘客进入每节车厢的可能性是相等的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0、1、2、3的概率为多少 3、某小学六年级有6个班，每个班各有40名学生。现要在6个班中随机选出2个班参加电视台的现场娱乐活动，活动中有1次抽奖活动，抽取4名幸运观众。那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为________。 【举一反三】 学校门口经常有小贩搞摸奖活动。某小贩在一只黑色口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球。搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的情况标注在球上(如图)。如果花4元钱，同时摸2个球，那么获10元奖品的概率为______。 4、A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表，公正人一共制作了六枚外表一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人照字母顺序先后抽签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被选为代表。那么这六人被抽中的概率分别为多少？

5、甲、乙、丙三人投篮，投进的概率分别是： ⑴现三人各投篮一次，求三人都没进的概率； ⑵现三人各投篮一次，求至少两人投进的概率； 小试牛刀 1．阿奇一次掷出了6枚硬币，结果恰有3枚硬币正面朝上的概率是多少？ 2．三个人乘同一辆火车，火车有十节车厢，则至少有两个人上同一节车厢的概率是多少？ 3．中关村小学五年级有6个班，每个班各有30名学生。现要在6个班中随机选出2个班参加植树活动，活动中发现树苗不够，抽取4名去取树苗。那么五年级学生中小李被抽中的概率为多少？ 4．有编号为1、2、3、4的四个人准备抽签决定谁参加公益活动，公证人制作了外表一样的四枚签，其中一枚刻着“去”，四人照字母顺序先后抽签，抽完不放回，谁抽到“去” 字，即可以参加。那么这四人谁被抽中的概率最大？