gongwuyuan数学
一）连续自然数求和及变式运用
1-1、五个人的体重之和是423斤,他们的体重都是整数,并且各不相同.则体重最轻的人,最重可能是( )斤
A.80 B.82 C.84 D.86
423/5=84 余数是3 中位数是84， 即 82，83，84，85，86 余数可以不管
1-2、例题：现有鲜花21朵分给5人，若每个人分得的鲜花数目各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。
A.7 B.8 C、9 D.10
21/5=4 中位数是4 则最大的是 4，5，6 即6 余数不管多少 都+1 即答案是7
1-3、电视台要播放一部30集电视连续剧，如果要求每天安排播出的集数互不相等，该电视剧最多可以播（ ）。
A．7天 B．8天 C．9天 D．10天
连续自然数求和： 不超过30天即最大n值 （1+n）*n/2《=30 即n=7最大。 余数归为最大的一个或几个数。
2-1、现有60根型号相同的圆钢管，把它堆放成正三角形垛，要使剩下的钢管尽可能少，则余下的钢管数是：
A.7 B.6 C.5 D.4
如上题：
N*（N+1）/2<=60 即n=10 即 10*11/2=55, 60-55=5 选C
2-2、一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果1997，则这个被加了两次的页码是( )。
N*(N+1)/2<=1997
N最大是62时，即1953 则被多加的页码是 1997-1953=44
3-1、将450拆分成若干连续自然数的和，有多少种分拆方法？
4-1、1-1/(1+2)-1/(1+2+3)-1/(1+2+3+4) - ......-1/(1+2+3+4+......+100)=?
分母是连续自然数求和
即 1/ [(1+n)*n/2]=2/n-2/(n+1) 这样大家就熟悉了
先把2提取出来
1-2*（1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+............+1/100-1/101）
=1-2*(1/2-1/101)
=2/101
&&&高手来了，我自己总结了一个公式，可以直接代入求秒杀，希望对这样的题目有帮助。
先看山羊称重的问题。
食堂买来5 只羊，每次取出两只合称重量，得到10 种不同重量（单位：千克）：47，50，，
51，52，53，54，55，57，58，59。最重一只是多少千克？A25 B28 C30 D32
公式如下：最轻的羊=【（羊数-1）次重量+（羊数-2）次重量-最重的重量】/2
最重的羊=【（羊数-1）次重量-（羊数-2）次重量+最重的重量】/2
于是最重的羊=【（5-1）次重量-（5-2）次重量+最重的重量59】/2
=【52-51+59】/2
=30
例：A,B,C,D,E是5个不同的整数，两两相加的和共有8个不同的数值，分别是17，25，28，31，34，39，42，45，则这5个数中能被6整除的有几个？
A.0 B.1 C.2 D.3
最小的数=【第四次数+第三次数-最大的数】/2
=【31+28-45】/2
=7
这5个数字分别为 7 10 18 21 24
例：一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少?
解一：除23余7
的19的倍数是76
除19余9的23的倍数是161
所以符合题意的最小的数是76+161=237
解二：19x+9=23b+7
19x+2=19b+4b
19x=19b+4b-2
4b-2可以整除19，得B最小是10，23B+7=237
（二）木桶效应
木桶效应原理，就是一组木板捆绑成一个木桶，木桶的存水容量取决于最短的一块木板。而非最长的。
1-1、某奶场有6个送奶工小组，各个小组单独完成一天的全部送奶工作的时间分别是6小时、10小时、7小时、12小时、8小时、 9小时，若分由6个小组各完成全部送奶工作量的六分之一，多长时间可完成一天的全部送奶工怍?
A. 1.5小时 B．2小时 C．2(1/4)小时 D．2(3/4)小时
一份工作单位1， 被平均分成6份，每份是1/6 根据这6个小组的工作效率 最差的是单独做12小时完成的那个小组，它做1/6 需要12*1/6=2小时，他最后一个完成，所以整个项目取决于他的时间。答案是B
1-2、人工生产某种装饰用珠链，每条珠链需要珠子 25颗，丝线3条，搭扣1对，以及10分钟的单个人工劳动。现有珠子 4880颗，丝线586条，搭扣200对，4个工人。则8小时最多可以生产珠链( )。
A．200条 B．195条 C．193条 D．192条
同样的道理。我们只要找到最短的“木板”
珠子： 4880/25=195
丝线：586/3=195
搭扣 ：200
人工：4*8*60/10=192
这样就明显了 最短的木板是 人工只能满足192个珠链工序。 即选D
2-1、某单位的年终核算工作，甲会计单独做14天完成，乙会计单独做18天完成，丙会计和丁会计一起做8天完成，问四人一起做多少天完成
A．4 B．6 C．7 D．8
把丙丁看作整体。那么就好比3个人合作，效率当中 以乙的效率最低。我们可以把它看作“短板”
那么如果都是18天的效率，其最多也只要18/3=6天完成。即答案是小于6天的。选A
（三）消去法的运用（二元一次方程，整体求解代数表达式）
消去法的目的不需要逐一求出各个未知数。而是通过整体，组合（一般是加减）代入即可求出需要的结果。简易版本是鸡兔同笼。我们下一次练习将会提到。
1-1、如果按原价买2个书包，5支钢笔，4本书需要80元，如果书包五折，钢笔二五折，书按照原价的1/3出售，买一个书包一只钢笔一本书需要12元。请问原价买一个书包一只钢笔一本书共需多少钱？
略 变式相加
1-2、甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件需花3.15元，如果购买甲4件、乙10件、丙1件需花4.20元，那么购买甲、乙、丙各1件需花多少钱?
略 变式相减
1-3、小张、小李、小王三人到商场购买办公用品，小张购买1个计算器、3个订书机、7包打印纸共需要316元，小李购买1个计算器、4个订书机、10包打印纸共需要362元。小王购买1个计算
器、1个订书机、1包打印纸共需要元？
略 变式相减
（四）公倍数法
1-1、一个三位数能被9整除余数是7，被5整除余数是2， 被4整除余数是3，这样的三位数有多少个？
余数部分 7 也能满足被5整除余数是2， 被4整除余数是3
所以只要满足被9，5，4整除余数是7 就能满足 其他的余数需求
证明一下
例如 这个三位数是M， 上
M=9a+7
M=5b+2=5（b-1）+7 （从b个5里面拿出一个5和余数2构成余数7）
M=4c+3=4（c-1）+7 （从c个4里面拿出一个4和余数3构成余数7）
这样就可以看出M是 9，5，4的公倍数+7
1-2、一个三位数能被11整除余数是8，能被7整除余数是4， 能被5整除 余数是2， 这样的三位数有多少个？
此题跟上一题异曲同工
我们发现一个相同的特征：即 余数8和除数都是相差3
11-8=3
7-4=3
5-2=3
即这个数可以表示为
：11a+8=11（a+1）-3
：7b+4=7（b+1）-3
：5c+2=5（c+1）-3
所以这个三位数就是 11，7，5的公倍数-3
2-1、甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？
这个也是公倍数问题，只不过绕了一个弯子，
间隔的意思跟实际差值是不同的，例如 3，4，5，6，7 这3和7之间的间隔就是3而不是7-3=4， 所以实际的天数差值是，6，12，18和30
这四个数的最小公倍数是180
按照每月30天 应该是6个月。 实际上从5月份开始 6个月当中有 5，7，8，10 四个大月 多了1天 所以答案是 11月18减4天 即11月14日
3-1、老师问用多少个碗,他说用55个.老师又问他有多少人吃饭,他说一人一个饭碗,两人共一个菜碗,三人共一个汤碗,一共有多少同学?
1人 一饭碗
2人 一菜碗
3人 一汤碗
也就是说 最小公倍数6人 是 6个饭碗+3个菜碗+2个汤碗=11个碗
55个碗里面有 5个11个碗 就代表有5*6=30人
4-1、在一条公路的两遍植树，每隔3米种一棵树，从公路的东头种到西头还剩5棵树苗，如果改为2.5米种一棵，还缺树苗115棵，则这条公路长多少米？
2.5和3的最小公倍数（整数） 是15 15米内 2种栽树方式差1颗。
现在差了 115+5=120棵。 说明种树的距离是 120*15 因为是2条边的长度，则路上就是 120*15/2=900米
5-1、有一个四位数，能被12，10，15整除，三个商的和为1365，求这个四位数各个数字之和（）
1800+60n
1365=150+120+180+5n+6n+4n
n=61
1800+60*61=5460
5+4+6+0=15
（五）容斥原理的运用
1-1、如下图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z
、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36，问阴影部分的面积是多少?
（1）：A+B+T=290
（2）：A+2B+3T=64+180+160=404
（3）：B+3T=24+70+36=130
阴影部分就是三者覆盖的地方 T
（2）-（1）=B+2T=114
结合（3） 得到 T=130-114=16
1-2、甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多（ ）题?
（1）：A+B+T=20
（2）：A+2B+3T=12*3=36
（1）*2-（2）=A-T=4
A代表难题 B代表中等题， T代表容易题。
2-1、【特例】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛、电影和戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有（）。
这个也是可以画图和列举公式来做的 不过耗时。
这个“只喜欢”的问法 往往我们可以逆向思维。
（1）只喜欢看电影的人数＝总人数－喜欢看戏剧和球赛的总人数
（2）喜欢看戏剧＋喜欢看球赛的＝58＋38＝96人 这部分即喜欢看戏剧又喜欢看球赛的人数是18人
所以 喜欢看戏剧和球赛的人数＝96－18＝78人
则答案是 只喜欢看电影的人数＝100－78＝22人
六：淘汰赛
某次比赛共有32名选手参加，先被平均分成8组，以单循环的方式进行小组赛；每组前2名队员再进行淘汰赛，直到决出冠军。请问，共需安排几场比赛？（ ）
A. 48 B. 63 C. 64 D. 65
先分8组，每组4人，是循环赛，所以需要比赛：C42*8=48场
接着是剩下16人，进行淘汰赛，所以需要比赛：16-1=15场
因此需要比赛：48+15=63场
七：插板法
有10粒糖，如果每天至少吃一粒（多不限），吃完为止，求有多少种不同吃法？（ ）
A. 144 B. 217 C. 512 D. 640
排列组合问题，用插板法：
1、每天只吃1粒。即在10粒糖中9个空位插9个挡板，【·│·│·│·│·│·│·│·│·│·】C99=1
2、有1天吃2粒，其余吃1粒。C98=9
3、有两天吃2粒/有1天吃3粒，其余吃1粒。C97=36
…………所以，共C99+C98+C97……+C91＋C90=1+9+36+84+126+126+84+36+9+1=512种
例：将9个相同的小球放入A、B、C、D四个盒子中，允许有盒子空着，有多少种摆放结果？
八:找出相等关系
九：日期问题
1、平年过 1 年，星期过 1 天；闰年过 1 年，星期过 2 天。 这个很容易论证的，365/7=52……1；366/7=52……2。
所以有平年过 1 年，星期过 1 天，闰年过 1 年，星期过 2 天的说法。 例如，2006 年 8 月 1 号星期二，问 2008
年 8 月 1 号星期几？
解析：07 年平年加 1 08 年闰年加 2 就很容易地计算出是星期五。 注意：以“00”结尾的年份，能被 400 整除的才是闰年，其余能被 4 整除的是闰年；
星期：星期 7 天一循环，一年约 52 个星期（所以有 “幸运 52”），还要注意是平年的 2 月还 是闰年的 2 月，
若是闰年的，还要注意该 2 月是否包含在计算期间内。
2、紧邻的两日：多的在前，垫后；多的在后，垫前（看多，前后相反）。 解释：
例如某月有 5 个星期四， 4 个星期五。星期四多，且星期四在星期五之前，则星期四垫后， 该月月底必是星期四；
例如某月有 4 个星期四， 5 个星期五。星期五多，且星期五在星期四之后，则星期五垫前，
该月月初必是星期五。 分析：
第一种情况，星期五在星期四之后，为什么会少了一个呢？一定是被挤到下月初去了，可立
即推出该月月底是星期四。 第二种情况，星期四在星期五之前，为什么会少了一个呢？一定是被挤到上月底去了，可立 即推出该月月初是星期五。
如果不是求月初或者月底，而是求其他日的星期数，则通过加减 7 的倍数之后的余数来求解 要求解答的那一天是星期几。
例如：1 日、8 日（1+7）、 15 日（1+14）、 22 日（1+21）、 29 日（1+28）的星期数相同。 不信的拿出自己的手机日历好好试试。
十:时钟问题
1、重合问题
1、钟表指针重叠问题
中午 12 点，时针与分针完全重合，那么到下次 12 点时，时针与分针重合多少次？
A、10 B、11 C、12 D、13 答案 B
2、中午 12 点，秒针与分针完全重合，那么到下午 1 点时，两针重合多少次？
A、60 B、59 C、61 D、62 答案 B
讲讲第 2 题，如果第 2 题弄懂了第 1 题也就懂了！
给大家介绍我认为网友比较经典的解法：
考友 1.其实这个题目就是追击问题，我们现在以钟表上的每一刻度为一个单位，
这时秒针的速度就是是分针速度的 60 倍，秒针和分针一起从 12 点 的刻度开始走，多久分针追上时针呢？我们列个方程就可以了，设分针的速度为
1 格/秒，那么秒针的速度就是 60 格/秒，设追上的时候路程是 S，
时间是 t，方程为(1+60)t＝S 即 61t＝S，中午 12 点到下午 1 点，秒针一共走了
3600 格，即 S 的范围是 0
即 0
第 1 题跟这个思路是一样的，大家可以算算！
给大家一个公式吧 61T＝S （S 为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走 的格数，确定 S 后算出 T 的最大值就知道相遇多少次了）
如
第 1 题，题目中最小单位为分针，题目所要求的时间为 12 小时，也就是说分 针走了 720 格
T(max)=720/61.8，取整数就是 11。
1、钟表指针重叠问题
中午 12 点，时针与分针完全重合，那么到下次 12 点时，时针与分针重合多少次？ A、10 B、11 C、12 D、13
考友 2.这道题我是这么解,大家比较一下: 解:可以看做追及问题,时针的速度是:1/12 格/分 分针的速度是:1 格/分. 追上一次的时间=路程差/速度差=60/(1-1/12)=720/11 分
从 12 点到 12 点的总时间是 720 分钟,所以重合次数 n=总时间/追上一次的时间
=720/720/11 次
2、关于成角度的问题，我推荐个公式及变式给你：
设 X 时时，夹角为 30X ， Y 分时，分针追时针 5.5，设夹角为 A.（请大家掌握） 钟面分 12 大格 60 小格每一大格为 360 除以 12 等于 30 度，每过一分钟分针走 6 度，时针走 0.5 度，能追 5.5 度。
1.【30X－5.5Y】或是 360－【30X-5.5Y】 【】表示绝对值的意义（求角度公式 ） 变式与应用
2.【30X－5.5Y】=A 或是 360－【30X-5.5Y】=A （已知角度或时针或分针求其中
例题 3〔2000 年国家考题〕
某时刻钟表时间在 10 点到 11 点之间，此时刻再过 6 分钟后的分针和此时刻 3 分 钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为（）
A.10 点 15 分 B.10 点 19 分 C.10 点 20 分 D.10 点 25 分
思路 1.设时刻正好方向相反且在一条直线上的分针为 Y,用变式 2 解出
30×10－5.5Y=180 解出 Y=21 又 9/11 分 ，Y-6=15 又 9/11 分,本题最接近 A.(说明
此国考题不够严谨！）
胡伟东见解：上面解法不严紧
30*10-5.5y-9*0.5=180（不懂的慢慢理解）
思路 2.根据钟表的特点：首先看时针在 10 点到 11 点之间，那么根据“正好方向 相反且在一条直线上”分针必在 4 点到 5 点之间（相对时针而言），那么在 6 分 钟以前分针必在 3 点附近（相对时针而言），运用排除法选 A
(说明到这里基本规律 已完毕，在考题中已经可以应付了，后面 的讲解作为大家了解，我也 是从网络搜索的，只 是前面知识的运用而已！)
时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。 关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直
线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。
时钟盘面被等分为 12 个大格，那么每个大格之间的夹角为 360°÷12=30°。每个大格 又 被分成 5 个小格，每个小 格之间 的夹角 为 30°÷5=6°。在钟表上时针 与分针 是同时 运动的， 它们的关系是：时针走 1 小时转过 30°，分针转过 360°，恰为一个圆周。
重点
·难点
在时钟问题中求解两针重合、两针垂直、两针成直线等问题也都是对求两针夹角问题 的扩展和延伸。因此只要能够透彻地分析、解答了两针夹角问题，其他问题则有章可循。
学法指导 解这类问题时，通常分别考虑时针与分针的转动情况，再根据条件综合在一起，然后
求解，另外，还需要注意全面考虑多种可能的情况。
经典例题
例 1 如 图 1，在时钟盘面上， 1 点 45 分时的时针与分针之间 的夹角是多少？
或用变式 2. 360-（30×1－5.5×45）＝142.5 °（思考为什么用 360 来减，当然在考题中选 择题答案是唯一的好办！）
对于求两针夹角的问题，我们都可以按照例 1 的思路求解。从此题的求解中，可以总结出如
下的规律性结论：在 1 点 45 分 时 ，两 针 夹 角 ：，那 么 在 a 点 b 分 时 ，两 针 夹 角 ：，为 了 避 免a
的 情 况（分 针 在 时 针 前 ），通 常 a 采用 24 时计时法；若 a>b÷5（分针在时针后），则 a 采用 12
时计时法。如果所求的角度是大于 180°的，那么需与 360°求差后求出的值为最后结果。
十一：工程问题
工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）．
这三个量之间有下述一些关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量，
工作总量÷工作时间＝工作效率，
工作总量÷工作效率＝工作时间．
为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效．
例1 一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？
答：甲、乙、丙三队合作需10天完成．
说明：我们通常把工量“一项工程”看成一个单位．这样，工效就用工
例2 师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5天 批零件各需几天？
工效和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天．
答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天．
例3 一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？
分析 解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题。
解：设甲做了x天．那么，
两边同乘3
6，得到：3x＋40－4x＝36，
x＝4．
答：甲做了4天．
例4 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？
分析 设一件工作为单位“1”．甲做6小时，乙再做12小时完成或者甲先做8小时，乙再做6小时都可完成，用图表示它们的关系如下：
由图不难看出甲2小时工作量＝乙6小时工作量，∴甲1小时工作量＝乙3小时工作量．可用代换方法求解问题．
解：若由乙单独做共需几小时：
6×3＋12＝30（小时）．
若由甲单独做需几小时：
8＋6÷3＝10（小时）．
甲先做3小时后乙接着做还需几小时：
（10－3）× 3＝21（小时）．
答：乙还需21小时完成．
例5 筑路队预计30天修一条公路．先由18人修12天只完成全部工程
之几（即一人的工效）．
解：①1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）：
②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：
＝36（人）．
③需增加几人：
36－18＝18（人）．
答：还要增加18人．
例6 蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小时．排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水…的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）
分析与解答 ①在解答“水管注水”问题时，会出现一个进水管，一个出水管的情况．若进水管、出水管同时开放，则积满水的时间＝1÷（进水管工效－出水管工效），
排空水的时间＝1÷（出水管工效－进水管工效）．
②这道应用题是分析推理与计算相结合的题目．根据已知条件推出水池好排完．
一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？
分析 这道题是工程问题与分数应用题的复合题．解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“1”（总工作量）的几分之几？
如果二人一起干，完成任务时乙比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？
分析 求这批树一共多少棵，必须找出与36棵所对应的甲、乙工效
＝4∶3，所以甲与乙的工效比是3∶4．这个间接条件一旦揭示出来，问题就得到解决了．
甲与乙的时间比是4∶3．
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是时间比的反比，为3∶4．
答：这批树一共252棵．