高中数学教程 双曲线训练
双曲线训练
1．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程
2．求a =2
5，经过点（2，-5）
，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 3．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线15152
2=-y x 的焦点相同
4．若方程1cos sin 2
2=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 5．设双曲线
19
162
2=-y
x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，
则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23
答案：1.
191622=-y x ; 2. 116
202
2=-x y ; 3. 2252592
2=+y x ?
)0,4(192522±?=+F y x , 15152
2=-y x ?
)0,4(11
1522±?=-F y x ; 4. D.1cos sin 2
2=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线
?Ⅳ∈???
?><ααα0
cos 0
sin ,所以选D. 5. D. =?==-d a d 82|15|7或23
6．判断方程
1392
2=---k y k x 所表示的曲线。 解：①当??
?
??-≠-<->-390309k k k k 时，即当3 ②当0)3)(9(>--k k 时，即当93< 7．求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A （-5，2）的双曲线的标准方程。 答案： 116 202 2=-y x 2036545552,62=-=?=-==b a c 8．求经过点)72,3(-P 和)7,26(--Q ，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程75 252 2=-x y 9．椭圆 134222=+n y x 和双曲线1162 22=-y n x 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 9 答案：B 10．已知21,F F 是双曲线 19 162 2=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________（答案： 4a ＝16） 11．设21,F F 是双曲线14 22 =-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( ) A 1 B 5 5 C 2 D 5 答案：B 21PF F Rt ?的面积为2 b ，从而有2||221b y c =??5 5||=?y 12．P 为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆 与圆2 22a y x =+的位置关系是（） A 内切 B 外切 C 外切或内切 D 无公共点或相交 答案：C 13 .方程mx 2＋ny 2 ＋mn=0(m (A)(0,±-m n ) (B)(0,±-n m ) (C)(±-m n ,0) (D)(±-n m ,0) 14 .下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 D (A) x 23 -y 2 =1和y 29 -x 23=1 (B)x 23-y 2 =1和y 2 -x 2 3 =1 (C)y 2 -x 23=1和x 2 -y 23=1 (D)x 23-y 2 =1和92x -3 2 y =1 15 .与双曲线 116 92 2=-y x 有共同的渐近线，且经过点A }32,3(-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 (C ) （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1 （A ）1322=-y x （B ）1322 =-y x （C ）13222-=-y x （D ）13 222=-y x 17 .双曲线kx 2 +4y 2 =4k 的离心率小于2，则k 的取值范围是 ( C ) （A ）（-∞,0） （B ）(-3,0) （C ）(-12,0) （D ）(-12,1) 18.已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 D (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5 19 .已知双曲线b 2x 2－a 2y 2 = a 2b 2 的两渐近线的夹角为2α，则离心率e 为(C ) (A)arcsin α (B) αcos b a (C)αsec (D)tg2α 20 .一条直线与双曲线两支交点个数最多为 ( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 21 .双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x －4y ＋c = 0，则准线方程为 ( D ) (A)5162± =x (B)5162±=y (C)592±=x (D)59 2±=y 22.与双曲线x m y n 22 +=1(mn<0)共轭的双曲线方程是 ( D ) (A)-+=x m y n 221 (B)x m y n 221-= (C)x m y n 221-=- (D)x m y n 22 1+=- 23．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是 12 )(1 2)(1 16 4)(1 4 16)(2 2 222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A 答案：A 24 .过点(3,0)的直线l 与双曲线4x 2 -9y 2 =36只有一个公共点,则直线l 共有 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 答案：C 25 .若方程a k 4y a k 3x 2 2-++=1表示双曲线，其中a 为负常数，则k 的取值范围是( ) (A)(3a ,-4a ) (B)(4a ,-3a ) (C)(-3a ,4a ) (D)(-∞,4a )∪(-3 a ,+∞) 答案：B 26 .中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是 (A)13811336 12 2 x y -= (B) 133********x y -= (C)536554122 x y -= (D)554536 12 2 x y -= 答案：A (A)x y 22144811-= (B)--=x y 22144811 (C)x y 221691-= (D)-+=x y 2227481 1(/) 答案：D 28 .一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(±5，0)、32，则它的共轭双曲线的焦点坐标、 离心率分别是 （ ） (A)(0，±5)， 3 5 (B)(0，±532)， (C)(0，±532)， (D)(0，±535 )， 答案：A 29 .双曲线2kx 2-ky 2 =1的一焦点是F(0，4)，则k 等于 ( ) (A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16 答案：A 30．双曲线16x 2―9y 2 =―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C ） （A ）4, 3, 4 17 （B ）8, 6, 4 17 （C ）8, 6, 4 5 （D ）4, 3, 4 5 31．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8， e =4 5的双曲线的标准方程为（A ） （A ） 221169x y -= （B ）2211625x y -= （C ）221916 x y -= （D ）22 12516x y -= 32．双曲线 22 134x y -=的两条准线间的距离等于（A ） （A ）767 （B ）737 （C ）185 （D ）165 33．若双曲线 22 16436 y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是（D ） （A ）10 （B （C ）2 7 （D ） 325 34．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D ） （A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 （D ）x 2―y 2 =8 35．以y =± 3 2 x 为渐近线的双曲线的方程是（D ） （A ）3y 2 ―2x 2 =6 （B ）9y 2 ―8x 2 =1 （C ）3y 2 ―2x 2 =1 （D ）9y 2 ―4x 2 =36 36．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 （ 090,2） 37．从双曲线)0,0( 122 22>>=-b a b y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是 .(b) 38．与 2214924x y +=有公共焦点，且离心率e =45的双曲线方程是 (19 162 2=-y x ) 39．以5x 2 +8y 2 =40的焦点为顶点，且以5x 2 +8y 2 =40的顶点为焦点的双曲线的方程是 . (15 32 2=-y x ) 40．已知双曲线136 642 2=-x y 上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离（答案：596） 41．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（B ） （A ） 2 3 x ―y 2 =1与y 2― 2 3 x =1 （B ）23x ―y 2=1与 22 193x y -= （C ）y 2 ―23 x =1与x 2― 2 3y （D ）23x ―y 2 =1与 22 139 y x -= 42．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则必有（D ） （A ）e 1= e 2 （B ）e 1 e 2=1 （C ） 12 11e e +=1 （D ） 22 1211e e +=1 43．若双曲线经过点(6, 3)，且渐近线方程是y =± 3 1 x ，则这条双曲线的方程是（C ） （A ） 221369x y -= （B ）221819x y -= （C ）22 19x y -= （D ）221183 x y -= 44．双曲线的渐近线为y =±4 3 x ，则双曲线的离心率为（C ） （A ）45 （B ）2 （C ）45或35 （D ）215 或 3 45．如果双曲线 22 1169 x y -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为（C ） （A ） 245 （B ）6910 （C ）8 （D ）10 46．已知双曲线4222 =-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是（B ） （A ）32 （B ）―32 （C ）1 （D ）―1 47．双曲线 22 14x y k +=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 .)0,12(- 48．若双曲线 22 1169 x y -=上的点M 到左准线的距离为25，则M 到右焦点的距离是 .(8 89 ) 49．双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .(1:3) 50．在双曲线 22 11213 y x -=的一支上有不同的三点A (x 1 , y 1 ), B C (x 3 , y 3 )与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 .(12) 双曲线训练 1．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 2．求a =25，经过点（2，-5） ，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 3．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同 4．若方程1cos sin 2 2 =+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线， 则角α所在象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 5．设双曲线19 162 2=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23 6．判断方程13 92 2=---k y k x 所表示的曲线。 7-6，0）、（6，0），并且经过点A （-5，2）的双曲线的标准方程。 8．求经过点)72,3(-P 和)7,26(--Q ，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 9．椭圆13422 2=+n y x 和双曲线116222=-y n x 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 9 10．已知21,F F 是双曲线19 162 2=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600， 那么PQ QF PF -+22的值为________ 11．设21,F F 是双曲线14 22 =-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( ) A 1 B 5 5 C 2 D 5 12．P 为双曲线)0,0(12 2 22>>=-b a b y a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与 圆222 a y x =+的位置关系是（ ） A 内切 B 外切 C 外切或内切 D 无公共点或相交 13 .方程mx 2＋ny 2 ＋mn=0(m 14 .下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 (A)x 23 -y 2=1和y 29 -x 23 =1 (B)x 23 -y 2=1和y 2 -x 2 3 =1 (C)y 2 -x 2 3=1和x 2 -y 2 3=1 (D) x 23-y 2 =1和 9 2 x - 3 2y =1 15 .与双曲线 116 92 2=-y x 有共同的渐近线，且经过点A }32,3(-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ( ) （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1 16.以 x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为 ( ) （A ）1322=-y x （B ）1322 =-y x （C ）13222-=-y x （D ）13 222=-y x 17 .双曲线kx 2 +4y 2 =4k 的离心率小于2，则k 的取值范围是 ( ) （A ）（-∞,0） （B ）(-3,0) （C ）(-12,0) （D ）(-12,1) 18.已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5 19 .已知双曲线b 2x 2－a 2y 2 = a 2b 2 的两渐近线的夹角为2α，则离心率e 为(C ) (A)arcsin α (B) αcos b a (C)αsec (D)tg2α 20 .一条直线与双曲线两支交点个数最多为 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 21 .双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x －4y ＋c = 0，则准线方程为 ( ) (A)5162± =x (B)5162±=y (C)592±=x (D)592±=y 22.与双曲线x m y n 22 +=1(mn<0)共轭的双曲线方程是 ( ) (A)-+=x m y n 221 (B) x m y n 221-= (C)x m y n 221-=- (D)x m y n 221+=- 23．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是 12 )(1 2)(1 16 4)(1 416)(2 2 222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A 24 .过点(3,0)的直线l 与双曲线4x 2 -9y 2 =36只有一个公共点,则直线l 共有 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 25 .若方程a k 4y a k 3x 2 2-++=1表示双曲线，其中a 为负常数，则k 的取值范围是( ) (A)(3a ,-4a ) (B)(4a ,-3a ) (C)(-3a ,4a ) (D)(-∞,4a )∪(-3 a ,+∞) 26 .中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是 (A)13811336 12 2 x y -= (B) 133********x y -= (C)536554122x y -= (D)554536 122 x y -= 27 .与双曲线x y 22916 -=λ有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（ ） (A)x y 22144811-= (B)--=x y 22144811 (C)x y 221691-= (D)-+=x y 2227481 1(/) 28 .一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(±5，0)、32 ，则它的共轭双曲线的焦点坐标、 离心率分别是 （ ） (A)(0，±5)， 3 5 (B)(0，±532)， (C)(0，±532)， (D)(0，±53 5 )， 29 .双曲线2kx 2 -ky 2 =1的一焦点是F(0，4)，则k 等于 ( ) (A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16 30．双曲线16x 2―9y 2 =―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（ ） （A ）4, 3, 4 17 （B ）8, 6, 4 17 （C ）8, 6, 4 5 （D ）4, 3, 4 5 31．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8， e =4 5的双曲线的标准方程为（ ） （A ）221169x y -= （B ）2211625x y -= （C ）221916x y -= （D ）22 12516 x y -= 32．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于（ ） （A ） 767 （B ）737 （C ）185 （D ）165 33．若双曲线22 16436 y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是 （A ）10 （B （C ）2 7 （D ）32 5 34．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（ ） （A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 （D ）x 2―y 2 =8 35．以y =± 3 2x 为渐近线的双曲线的方程是（ ） （A ）3y 2 ―2x 2 =6 （B ）9y 2 ―8x 2 =1 （C ）3y 2 ―2x 2 =1 （D ）9y 2 ―4x 2 =36 36．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 37．从双曲线)0,0( 12 2 22>>=-b a b y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是 38．与2214924 x y +=有公共焦点，且离心率e =45 的双曲线方程是 39．以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2 =40的顶点为焦点的双曲线的方程是 . 40．已知双曲线136 642 2=-x y 上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离 . 41．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（ ） （A ）23x ―y 2=1与y 2―23x =1 （B ）23 x ―y 2 =1与22 193x y -= （C ）y 2 ―23x =1与x 2 ―2 3 y （D ）23 x ―y 2 =1与 22139y x -= 42．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则必有（ ） （A ）e 1= e 2 （B ）e 1 e 2=1 （C ） 12 11e e +=1 （D ） 22 1211e e +=1 43．若双曲线经过点(6, 3)，且渐近线方程是y =± 3 1 x ，则这条双曲线的方程是（ ） （A ）221369x y -= （B ）22 1819 x y -= （C ）2219x y -= （D ）221183x y -= 44．双曲线的渐近线为y =±4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ） 4 5 （B ）2 （C ） 4 5或 35 （D ）2 15 45．如果双曲线221169 x y -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为（ ） （A ） 24 5 （B ）6910 （C ）8 （D ）10 46．已知双曲线4222 =-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是（ ） （A ）32 （B ）―3 2 （C ）1 （D ）―1 47．双曲线22 14x y k +=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 . 48．若双曲线 22 1169 x y -=上的点M 到左准线的距离为25，则M 到右焦点的距离是 . 49．双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 . 50．在双曲线 22 11213 y x -=的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), B C (x 3, y 3)与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 . 双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 54 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y 解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -Q 在双曲线上 ∴(2 2 33 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且 点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离12 2 d a b = +， 同理得到点（-1，0）到直线l 的距离22 2 d a b = +， 双曲线及其标准方程 【学习目标】 1．知识与技能： 从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程． 2．过程与方法： 学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图象和标准方程． 3．情感态度与价值观： 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用． 【要点梳理】 要点一：双曲线的定义 把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线． 定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释： 1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同： 若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支； 若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在； 若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 要点二：双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程 2．标准方程的推导 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简． （1）建系 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． （2）设点 设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)． （3）列式 设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a． 由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}． ∵2222 12 ||(),||(), MF x c y MF x c y ++=-+ ∴2222 ()()2 x c y x c y a ++-+=± (4)化简 将这个方程移项，得 当焦点在x轴上时， 22 22 1 x y a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+； 当焦点在y轴上时， 22 22 1 y x a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+ 高中数学-双曲线典型例题 一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例1 讨论19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当9 ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为：()16014162 2<<=+--λλ λy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。 例3 已知双曲线116 92 2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF ∴362212221=-+PF PF PF PF ∴10022 21=+PF PF ∵()100441222221=+==b a c F F ∴ο9021=∠PF F （2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索． 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 例 4 已知1F 、2F 是双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ，求21PF F ?的面积． 分析：利用双曲线的定义及21PF F ?中的勾股定理可求21PF F ?的面积． 解：∵P 为双曲线14 22 =-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点． ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ο9021=∠PF F ∴在21F PF Rt ?中，202 2122 21==+F F PF PF 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（） A．x=0 B． C．D． 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为． 3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是 4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程． 5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为． 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为． 2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为． 3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0） 和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（） A． B．C．D． 3、焦点三角形 1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为． 2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积． 3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求： （1）双曲线的渐近线方程； （2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积． 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k= ＿＿＿＿ 5、综合题型 福建省邵武第一中学高中数学 双曲线及其性质变式练习 文 （学生 版） 新人教A 版选修11 一、选择题： ( )1.在△ABC 中，若2=a ,b =060B = ,则角A 的大小为 A ． 30或 150 B ．60或 120 C ．30 D ． 60 ( )2.在ABC ?中“ 30=A ”是“21=SinA ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 ( )3.下列关系式中，正确的是 A. c b c a b a -<-?> B. 22b a b a >?> C. 22bc ac b a >?> D. b a b a 1 10> ( )4.不等式2 1x x --≥0的解集是 A.［2, +∞） B. (],1-∞∪ (2, +∞） C. (－∞,1) D. (－∞,1)∪［2,+∞) ( )5.若不等式220ax bx ++>的解集是11 23x x ?? - <5 ； C. k<2或k>5； D. 以上答案均不对 ( )7.已知双曲线2 2 22x y 1a b -=和椭圆2 2 22x y 1m b += (a>0,m>b>0)的离心率互为倒数， 那么以a 、b 、m 为边长的三角形是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．锐角或钝角三角形 ( )8.已知双曲线22 22x y 1a b - = (a>0,b>0)的一条渐近线方程是 它的一个焦点在 抛物线y2=24x 的准线上，则双曲线的方程为 A.22 x y 136108-= B.2 2 x y 1927-= C.2 2 x y 110836-= D.2 2 x y 1 279-= ( )9.抛物线y2=2px(p>0)上有一点M ，它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线方程为 圆锥曲线习题——双曲线 1. 如果双曲线2 42 2y x - ＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A) 3 64 (B) 3 6 2 (C)62 (D)32 2. 已知双曲线C ∶22 221(x y a a b -=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的 圆的半径是 （A ）a (B)b (C)ab (D)22b a + 3. 以双曲线 221916 x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．2 2 1090x y x +-+= B ．22 10160x y x +-+= C ．2 2 10160x y x +++= D ．2 2 1090x y x +++= 4. 以双曲线2 2 2x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ） Ａ．2 2 430x y x +--= Ｂ．22 430x y x +-+= Ｃ．2 2 450x y x ++-= Ｄ．2 2 450x y x +++= 5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它到左准 线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 6. 若双曲线122 22=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心 率是（ ） （A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 7. 过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的 两条渐近线的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC = ，则双曲线的离心率是 ( ) 一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习 课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴） 的直线为渐近线的双曲线． 首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示 的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇 函数，它的图象应该关于原点成中心对称． 由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论． 例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲 线的定义． 分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3 233+）满足3421=-PF PF 即可； 《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制： 审阅： 第二讲 双曲线（2课时） 班级 姓名 【考试说明】1.了双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、）2. 理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的简单应用. 【知识聚焦】（必须清楚、必须牢记） 1．双曲线定义 平面内与两个定点F 1，F 2的____________等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做_____________，两焦点间的距离叫做_______________.集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.(1)当______________时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当_____________时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当_____________时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 3实轴和_________相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率e ＝2是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条渐近线互相垂直.一般可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0). 4.巧设双曲线方程 (1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2 b 2＝t (t ≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2 n ＝1 (mn <0)． 【链接教材】（打好基础，奠基成长） 1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 2．(2015·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2 －y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2 －y 2 2 ＝1 D.x 22 －y 2 ＝1 高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制： 审阅： 3．(2014·广东)若实数k 满足0 双曲线基础练习题 1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ） A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 19 16.2 2=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ） A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116 92 2=-y x 3．双曲线19 162 2=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4．双曲线19 162 2=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5．方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得： A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 19 162 2=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ） A ． 116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和19 162 2=+-y x C. 191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和125 162 2=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ） A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 122 2=+-y x 8．P 为双曲线19 162 2=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 36 9．双曲线19 162 2=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0） 10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ） 高 中 数 学 公 式 （苏教版） 使用说明：本资料需要有经验老师讲解每一个公式，然后根据公式出一个题来运用、理解公式，天天坚持直到高考。这样效果极佳；另外术业教育每天出一份高考数学挑战题卡（上传到学优高考网），保证你的学生数学成绩能够从20分迅速提高到100分，这项成果经过我们十几年的教学实践总结，效果绝对好。 一、集合 1. 集合的运算符号：交集“I ”，并集“Y ”补集“C ”子集“?” 2. 非空集合的子集个数：n 2（n 是指该集合元素的个数） 3. 空集的符号为? 二、函数 1. 定义域（整式型：R x ∈；分式型：分母0≠；零次幂型：底数0≠；对数型：真数0>；根式型：被开方数0≥） 2. 偶函数：)()(x f x f -= 奇函数：0)()(=-+x f x f 在计算时：偶函数常用：)1()1(-=f f 奇函数常用：0)0(=f 或0)1()1(=-+f f 3. 单调增函数：当在x 递增，y 也递增；当x 在递减，y 也递减 单调减函数：与增函数相反 4. 指数函数计算：n m n m a a a +=?；n m n m a a a -=÷；n m n m a a ?=)(；m n m n a a =；10=a 指数函数的性质：x a y =；当1>a 时，x a y =为增函数； 当10<a 时，x a y log =为增函数 双曲线 平面到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 22 2 21x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 54 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y 解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425 y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 233 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且 点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值围。 解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离12 2 d a b = +， 同理得到点（-1，0）到直线l 的距离22 2 d a b = +， 专题九 解析几何 第二十七讲 双曲线 2019年 1.（2019全国III 理10）双曲线C ：22 42 x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线 上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 A B C ． D ．2.（2019江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2 2 21(0)y x b b -=>经过点（3，4)， 则该双曲线的渐近线方程是 . 3.（2019全国I 理16）已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1， F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ?=uuu r uuu r ，则 C 的离心率为____________． 4.（2019年全国II 理11）设F 为双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标 原点，以OF 为直径的圆与圆222 x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率 为 A B C ．2 D 5．（2019浙江2）渐近线方程为±y =0的双曲线的离心率是 A B ．1 C D ．2 6.（2019天津理5）已知抛物线2 4y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线 22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 C.2 2010-2018年 一、选择题 1．(2018浙江)双曲线2 213 x y -=的焦点坐标是 A ．(， B ．(2,0)-，(2,0) C ．(0,， D ．(0,2)-，(0,2) 2．(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：2 213 -=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若?OMN 为直角三角形，则||MN = A ． 3 2 B ．3 C ． D ．4 3．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22 221(0,0)-=>>x y a b a b A ．=y B ．=y C ．2=± y x D ．2 =±y x 4．(2018全国卷Ⅲ)设1F ，2F 是双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 是 坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为 A B ．2 C D 5．(2018天津)已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴 的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和 2d ， 且126d d +=，则双曲线的方程为 A ． 221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22 193 x y -= 双曲线 平面内到两个定点, 的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为22 22(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 2222 1x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 54 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -。 解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425 y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= ( 3,A -在双曲线上 ∴(2 2 3 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且 点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离 1d = ， 同理得到点（-1，0）到直线l 的距离 2d = 高中数学-双曲线选择题练习 1、双曲线=1左支上一点P到左焦点的距离为14，则P到右准线的距离是 ( ) (A) (B) (C)12 (D) 2、a、b、c、p分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距、焦准距（焦点到相应准线的距离），则p= (A) 3、方程mx2＋ny2＋mn=0(m 6、双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为 ( ) (A) (B) (C) (D) 7、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 ( ) (A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1 (C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=1 8、与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ( ) （A）8 （B）4 （C）2 （D）1 9、以为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为 ( ) （A）（B） （C）（D） 10、双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2，则k的取值范围是 ( ) （A）（-∞,0）（B）(-3,0) （C）(-12,0) （D）(-12,1) 11、已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5 12、已知双曲线b2x2－a2y2 = a2b2的两渐近线的夹角为2，则离心率e为( ) (A)arcsin(B)(C)(D)tg2 13、一条直线与双曲线两支交点个数最多为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 14、双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x－4y＋c = 0，则准线方程为 (A) (B) (C) (D) 15、与双曲线=1(mn<0)共轭的双曲线方程是 ( ) (A) (B) (C) (D) 16、下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是 (A) 17、过点(3,0)的直线l与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点,则直线l共有 双曲线 Ⅰ、定义与推论： 1．定义1的认知 设M为双曲线上任意一点，分别为双曲线两焦点，分别为双曲线实轴端点，则有： (1)明朗的等量关系： (解决双焦点半径问题的首选公式) (2)隐蔽的不等关系：，(寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据) 2．定义2的推论 设为双曲线上任意上点，分别为双曲线左、右焦点，则有 ，其中，为焦点到相应准线l i的距离 推论：焦点半径公式当点M在双曲线右支上时，； 当点M在双曲线左支上时，。 Ⅱ、标准方程与几何性质 3．双曲线的标准方程 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程为① 中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程为② (1)标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系： (2)标准方程①、②的统一形式：或 (3)椭圆与双曲线标准方程的统一形式： 4．双曲线的几何性质 (1)范围： (2)对称性：关于x轴、y轴及原点对称(两轴一中心) (3)顶点与轴长：顶点 (由此赋予a,b名称与几何意义) (4)离心率： (5)准线：左焦点对应的左准线；右焦点对应的右准线 (6)双曲线共性：准线垂直于实轴；两准线间距离为； 中心到准线的距离为；焦点到相应准线的距离为 (7)渐近线：双曲线的渐近线方程： Ⅲ、挖掘与延伸 1．具有特殊联系的双曲线的方程 对于双曲线 (a) (1)当λ+μ为定值时，(a)为共焦点的双曲线(系)方程：c 2 =λ+μ; (2)当 为定值时，(※)为共离心率亦为共淅近线的双曲线(系)方程： ； (3)以直线 为渐近线的双曲线(系)方程为： 特别：与双曲线 共渐近线的双曲线的方程为： (左边相同，区别仅在于右边的常数) 2．弦长公式 设斜率为k 的直线l 与双曲线交于不同两点 则 1、双曲线标准方程的两种形式是：12222=-b y a x 和122 22=-b x a y )00(>>b a ，。 2、双曲线12222=-b y a x 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2± =，离心率是a c e =，通径的长是a b 22，渐近线方程是02222=-b y a x 。其中2 22b a c +=。 3、与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ，即共渐近线为x a b y ±=； 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 。 4、双曲线焦半径公式：设P(x 0,y 0)为双曲线22 221-=x y a b (a>0,b>0)上任一点，焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),则: (1)当P 点在右支上时，1020,=+=-+PF a ex PF a ex ； (2)当P 点在左支上时，1020,=--=-PF a ex PF a ex ；(e 为离心率)； 另：双曲线12222=-b y a x (a>0,b>0)的渐进线方程为02222 =-b y a x ； 5、双曲线1222 2=-b y a x 的通径(最短弦)为a b 2 2，焦准距为2=b p c ，焦点到渐进线的距离为b; 6、处理双曲线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)为双曲线1222 2 =-b y a x (a>0，b>0)上不同的两点，M(x 0,y 0)是AB 的中点，则K AB .K OM =22a b 。高中数学双曲线抛物线知识点总结
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