高等数学上册练习题
高
数练习
题
一、选择题。 4、1
1lim
1
--→x x x （ ）。
a 、1-=
b 、1=
c 、=0
d 、不存在
5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。
a 、x 1sin
b 、
x x
sin c 、12--x d 、x ln
7、()=--→1
1sin lim 21x x x （ ）。 a 、1 b 、2 c 、0 d 、2
1
9、下列等式中成立的是（ ）。
a 、e n n
n =??? ??+∞→21lim b 、e n n n =?
??
??++∞
→2
11lim
c 、e n n n =??? ??+∞→211lim
d 、
e n n
n =?
?
?
??+∞
→211lim
10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。 a 、是低阶无穷小量 b 、是同阶无穷小量 c 、是等阶无穷小量 d 、是高阶无穷小量
11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。 a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件
12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) . （A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件
13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x (B) x
(C)1
ln(12)2x + (D) x
(x +2)
14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）.
（A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值
（B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值
（C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0
lim ()x x
f x →+与0
lim ()x x
f x →-存在，则（ ）.
（A ）0
lim ()x x
f x →存在且00
lim ()()x x
f x f x →=
（B ）0
lim ()x x
f x →存在但不一定有00
lim ()()x x
f x f x →=
（C ）0
lim ()x x
f x →不一定存在
（D ）0
lim ()x x
f x →一定不存在
16、下列变量中（ ）是无穷小量。 17、=∞→x
x
x 2sin lim
（ ）
2
18、下列极限计算正确的是（ ） 19、下列极限计算正确的是（ ）
A. f(x)在x=0处连续
B. f(x)在x=0处不连续，但有极限
C. f(x)在x=0处无极限
D. f(x)在x=0处连续，但无极限 23、1lim sin x x x
→∞
=（ ）.
（A ）∞ （B ）不存在 （C ）1 （D ）0
24、221sin (1)
lim (1)(2)
x x x x →-=++（ ）.
（A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23
25、设1sin 0()3
0x x f x x a
x ?≠?
=??=?，要使()f x 在(,)-∞+∞处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 （C ）1/3 （D ）3
)
( , 0
x 1 x 2 0
x 1 x ) x ( f . 20、 2 则下列结论正确的是 设
26、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -
==??->?
的（ ）.
（A ）连续点 （B ）第一类非可去间断点 （C ）可去间断点 （D ）第二类间断点
28
、0()0x f x x
k x ≠?
=??=?
，如果()f x 在0x =处连续，那么k =（ ）. （A ）0 （B ）2 （C ）1/2 （D ）1
30、设函数()?
??=x xe x f x
00≥?x x 在点x=0处（ ）不成立。
a 、可导
b 、连续
c 、可、连续，不可异
31、函数()x f 在点0x 处连续是在该点处可导的（ ）。 a 、必要但不充分条件 b 、充分但不必要条件 c 、充要条件 d 、无关条件
32、下列函数中（ ）的导数不等于x 2sin 2
1
。
a 、x 2sin 21
b 、x 2cos 4
1 c 、x 2cos 21- d 、x 2cos 41
1-
33、设)1ln(2
++=x x y ，则y ′= ( ).
①112++x x ②112
+x
③122++x x x
④12
+x x
34、已知4
4
1x y =
，则y ''=（ ）． A. 3x B. 23x C. x 6 D. 6
36、下列等式中，（ ）是正确的。 37、d(sin2x)=( )
A. cos2xdx
B. –cos2xdx
C. 2cos2xdx
D. –2cos2xdx 39、曲线y=e 2x 在x=2处切线的斜率是( ) A. e 4 B. e 2 C. 2e 2
40、曲线11=+=x x y 在处的切线方程是（ ）
41、曲线
2
2y x x =-上切线平行于x 轴的点是 ( ). A 、 (0, 0) B 、(1, -1) C 、 (–1, -1) D 、 (1,
1)
42、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理的有（ ）。 a 、x y = []2,1- b 、15423-+-=x x x y []1,0 c 、()21ln x y += []3,0 d 、2
12x
x
y +=
[]1,1- 43、函数23++=x x y 在其定义域内（ ）。
a 、单调减少
b 、单调增加
c 、图形下凹
d 、图形上凹 44、下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．sin x B ．
e x C ．x 2 D ．3 - x
45、下列结论中正确的有（ ）。
a 、如果点0x 是函数()x f 的极值点，则有()0x f '=0 ；
b 、如果()0x f '=0，则点0x 必是函数()x f 的极值点；
c 、如果点0x 是函数()x f 的极值点，且()0x f '存在， 则必有()0x f '=0 ；
d 、函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值。
46、函数()x f 在点0x 处连续但不可导，则该点一定（ ）。 a 、是极值点 b 、不是极值点 c 、不是拐点 d 、不是驻点
52、函数f(x)=x 3+x 在（ ）
53、函数f(x)=x 2+1在[0，2]上（ ）
A.单调增加
B. 单调减少
C.不增不减
D.有增有减 54、若函数f(x)在点x 0处取得极值,则( ) 55、函数f(x)=e x -x-1的驻点为（ ）。
A. x=0 =2 C. x=0，y=0 =1，e-2 56、若(),0='x f 则0x 是()x f 的（ ）
A.极大值点
B.最大值点
C.极小值点
D.驻点 57、若函数f (x )在点x 0处可导，则 58、若,)1(x x
f =则()='x f （ ）
59、函数x x y -=3
3
单调增加区间是（ ）
A.(-∞，-1)
B.( -1，1)
C.(1，+∞)
D.(-∞,-1)和(1，+∞) 60、=-?)d(e x x （ ）．
A ．c x x +-e
B ．c x x x ++--e e
C ．c x x +--e
D ．c x x x +---e e 61、下列等式成立的是( ) ． A ．x
x x 1
d d ln = B ．2
1d
d 1x
x x
-= C ．x x x sin d d cos = D ．x x x 1d d 12= 62、若)(x f 是)(x g 的原函数，则（ ）.
（A ）?+=C x g dx x f )()( （B ）?+=C x f dx x g )()( （C ）?+='C x g dx x g )()( （D ）?+='C x g dx x f )()( 64、若?+=c e x dx x f x 22)(，则=)(x f （ ）.
（A ）x xe 22 （B ）x e x 222 （C ）x xe 2 （D ）)1(22x xe x + 65、设x e -是)(x f 的一个原函数，则?=dx x xf )(（ ）.
（A ）c x e x +--)1( （B ）c x e x ++-)1( （C ）c x e x +--)1( （D ）c x e x ++--)1( 66、若?+=c x dx x f 2)(，则?=-dx x xf )1(2（ ）.
（A ） c x +-22)1(2 （B ） c x +--22)1(2 （C ） c x +-22)1(21 （D ） c x +--22)1(2
1 67、?=xdx 2sin （ ）.
（A ）c x +2cos 2
1 （B ）c x +2sin （C ）c x +-2cos （D ）c x +-2cos 2
1 68、下列积分值为零的是（ ）
71、若=+=?)(,2sin )(x f c x dx x f 则
B. 2sin2x
C. -2cos2x
D. -2sin2x 73、若()?=+1
02dx k x ，则k=（ ）
a 、0
b 、1
c 、1-
d 、2
3 75、?+-=+π
πdx x x e x )sin (2cos （ ） 76、?=-201dx x
77、无穷积分?
+∞
=1
2
1
dx x （ ） A.∞ 3
1.C
78、=?-])(arctan [0
2x
dt t dx d （ ）。
（A ）2arctant 2
11t
+ （B ）2)(arctan x - （C ） 2)(arctan x （D ）2
)(arctan t - 二、填空题
2、函数x
x x f --
+=21)5ln()(的定义域是 ．
3、若2
2
11()3f x x x x
+=++，则()f x =________. 4、=+∞→x
x
x x sin lim
．
5、如果0x →时，要无穷小量(1cos )x -与2
sin 2
x
a 等价，a 应等于________. 6、设2
0()()0
ax b
x f x a b x x x +≥?=?++
7、、函数)(x f =
1
1
-x 的间断点是_____________ 8、1
1
3--=x x y 的间断点是_______________．
9、曲线x y =在点（4, 2）处的切线方程是 ．
10、设)(x f 是可导函数且0)0(=f ，则x
x f x )
(lim
→＝________________； 11、曲线x x y arctan +=在0=x 处的切线方程是______________； 12、设由方程0y x e e xy -+=可确定y 是x 的隐函数，则
x dy dx
==
13、函数x y tan =在0=x 处的导数为 ；
14、设x e y 2=, 求 0=''x y ＝__________________． 15、若函数x y ln =，则y ''=
．
16、函数y x =-312()的驻点是 . 18.指出曲线2
5x x
y -=
的渐近线 ．
17、已知)(x f 的一个原函数为x -e ，则)(x f = ． 20、?
=-dx x
x 2
)1( .
23、设)(x f 连续，且?
=30
)(x x dt t f ，则=)8(f .
24、20
3
sin lim
x
x t dt x
→=?
25、
1
5xdx -=?
26、若函数3ln =y ，则y '=
．
27、若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) =
．
28、函数y x =-312()的单调增加区间是 .
29、过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程是y = ． 30、函数x xe y -= 的驻点是 ，拐点是 ，凸区间为 ，凹区间为 。
31、=+?dx x
x 1
2
2
1______________. =?)sin (2
1
2dx x dx d .
33.设?=x
tdt x F 1tan )(,则=')(x F ___________. 34. 设?=2
1tan )(x tdt x F ,则=')(x F ___________. 36、_______________)3(5
4
2
=-?x dx
。
39、?-=+-1
1
11ln
dx x
x
_______________________. 三、计算题 （一）求极限
（1）(
)
432lim 2
1+-→x x x （2）34lim 23--→x x x （3）1
2
3lim 221-+-→x x x x （4）321lim
3
--+→x x x （5）39lim 9--→x x x （6）22
011lim x
x x +-→
（8）??
? ??---→1112
lim 21x x x （10）4332lim 22++-∞→x x x x （11）x x x x x 7153lim 23+++∞→ （12）336lim 2+++∞→x x x x （14）??? ?
?---→x x x 1113
lim 31 （16）x x x 5sin 3sin lim
0→ （17）x x x x x sin sin 2lim 0+-→ （18）1
)
1sin(lim 21--→x x x
（19）20cos 1lim x x x -→ （20） x x x x sin cos 1lim 0-→（22）x
x x 311lim ??
? ??+∞→ （23）x
x x -∞→???
??+21lim （24）x
x x ??
? ??-∞→21lim （25）()x x x 1031lim +→ （26）()x x x 1021lim -→ （29） ()x x x +→1ln lim 0
（30）30sin lim x x x x -→ （31）x e e x x x -→-0lim （32）x x e x 2lim +∞→ （33）2ln lim x x
x +∞→ （34）??? ?
?--→x x x ln 111
lim 1 （35）)111(lim 0--→x x e x 1cos )1(lim 0--→x e x x x （二）求导数或微分
（1）．求下列函数的导数．
1. x xe y 2=,
2. ,
3. 102)12(+-=x x y ,
4. x y 4sin =, 6.3
x e y =,7. )2sin ln(2++=x x y , 8. 5
sin
cos 712π
++=
x x
y ,9.)32arcsin(+=x y ,
10. )ln(sin x y =, 11. 3)(ln x y =, 12. x x y 2ln 12+=, 13. 2cos 3sin x x y +=,
15.已知?????==-t
t
te
y e
x 2, 求 dx dy , 16. 求由方程F （x,y ）=0所确定的隐函数y=f(x)的导数（1）y x y ln = （2）y xe y +=1 （3）y x y ln += （4）122=-+xy y x (2)．求下列函数的微分．
１. x x x y ln sin =, 2. x y 2sin =, 3. x x y 2sin =, 4. )1ln(x e y +=, 5. x xe y cos =, （三）求下列函数的单调区间和极值
（1）159323+--=x x x y （2）1--=x e x y （3）2224+-=x x y （4）x x y -+=1 （四）积分．
１. ?dx e x
2,2. ?
+dx x 1
31,3. ?xdx 2
cos , 4. ?-dx x x 12, 5. ?dx xe x 2, 6. ?xdx x cos sin 3
,
7. ?
+dx x x 1ln 12?+dx x
x 21 13. ?-dx e x x x
x )2(, 15. ?dx e x , 16. ?xdx x 2cos , 17.?xdx x sin 2
,21. ?+1
02
3dx x x ,, 24. dx e
x ?-2
11
2,25 20cos x xdx π
??
26. 1
0x xe dx ?, 27. ?10arccos xdx , 28. dx x ?π
20sin ,29.设??
?≤<≤≤=-3
1,10,)(x e x x x f x
, 求
dx x f ?
3
)(, 30. dx x
?
4
1
1,31. dx x ?
-1
29
41, 32. dx e x ?
+∞
-0
，33.?
+∞
∞-+2
1x dx
。
（五）、定积分的应用
1利用定积分求曲线所围成区域的面积
（1 ） 求曲线x y 2=，直线x=0,x=3和x 轴所围成的曲边梯形的面积； （3）求由曲线2x y =，直线x=0,x=1和x 轴所围成的图形的面积；
2利用定积分求旋转体的体积
（1） 求由连续曲线x y cos =和直线2
,0π==x x 和x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所成
旋转体的体积；
（3）求由曲线轴绕x y x x y ,0,2,3===旋转所得旋转体的体积； （4）求由曲线轴绕y y x x x y ,0,4,1,====旋转所得旋转体的体积。 四、证明。
（1）证明方程0107324=-+-x x x 在1与2之间至少有一个实根； （2）证明方程12=?x x 至少有一个小于1的正根。
（3）证明方程135=-x x 在（1，2）内至少存在一个实根；
（4）方程sin x a x b =+，其中0,0a b >>，至少有一个正根，并且它不超过a b +.
（5）证明当0>x 时，
x x x
x
<+<+)1ln(1。 （6）证明当1>x 时，x
x 1
32->。
(7)已知函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且1)1(,0)0(==f f 证明:(1)存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f ；
(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得1)()(=''ζηf f ． 五、应用题
（1）一个圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆柱的底半径及高应是多少
（2）某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大
（3）某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆。截面的面积为5平方米，问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小
(4). 某厂每批生产A商品x台的费用为()5200
=+(万元),得到的收入为
C x x
2
x
x
R-
=(万元), 问每批生产多少台才能使企业获得最大利润.
10
01
.0
)
(x