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2014年最新全国大学生高等数学竞赛试题及解答

2013年全国大学生数学专业竞赛试题及解答

一、计算题

（1）求极限 21

lim

(1)sin n

n k k k n n π→∞=+∑

解法1 直接化为黎曼和的形式有困难. 注意到 3sin ()x x O x =

3322611lim 1sin lim 1n

n n k k k k k k k O n n n n n ππ

π→∞→∞==????????+=++ ? ? ? ?????????

∑∑, 由于 333366

|1()|20,()n

k k k k k O C n n n n π

π==??+≤→→∞ ???∑∑，所以

2211lim 1sin lim 1n

n n k k k k k k n n n n ππ

→∞→∞==????+=+ ? ????

?∑∑

65)(1)(lim 102122πππ=

+=+=?∑=∞→dx x x n n k n

k n

k n .

解法2 利用3

1sin 6

x x x x -

<<，得 332622

1sin 6k k k k n n n n ππππ-<<，

33262

2111111(1)1sin 16n

n n n

k k k k k k k k k k k k n n n n n n n n ππππ

====??????+-+<+<+ ? ? ??????

?∑∑∑∑,

由于33336

611

|1|20,()n

k k k k k n n n n π

π==??+≤→→∞ ???∑∑， 21lim 1n

n k k k n n π

→∞=??+ ???∑65)(1)(lim 102122πππ=

+=+=?∑=∞→dx x x n n k n

k n k n ，

所以21

5lim

(1)sin 6n

n k k k n n ππ

→∞=+=∑ .

（2）计算()2

axdydz z a dxdy

x y z

∑

++=++??

，

其中∑为下半球222z

a x y =---的上侧，0a >.

解法一. 先以()

222

y z

a ++=代入被积函数，

()2

axdydz z a dxdy I a ∑

++=?? ()2

a x d y d z z

d x d y

a ∑=++??，补一块有向平面222

x y a S z -

?+≤?=?，其法向量与z 轴正向相反，

利用高斯公式，从而得到

()()-22

+S 1S I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a -∑??=++-++??????

????

()2D 12a z a dxdydz a dxdy a Ω

??=-+++????????

?????，

其中Ω为+S -

∑围成的空间区域，D 为0z

=上的平面区域222x y a +≤，

于是32212323I a a zdxdydz a a a ππΩ??=-?-+ ???

???

(

)

204

0012a a r a d dr zdz

ππθ--=

--???

a π

解法二. 直接分块积分

11I axdydz a ∑

?? ()222

2yz

D a x y dydz =--+??，其中yz D 为

yOz 平面上的半圆222y z a +≤，0z ≤.

利用极坐标，得

223

I d a r rdr a π

θπ=--=-??

，

()2

21I z a dxdy a ∑

+?? ()2

2221xy

D a a x y dxdy a ??=--+??????，其中xy D 为xOy 平面上的圆域，2

22x y a +≤，

用极坐标，得

()

2222220

0122a I d a a a r r rdr a π

θ=---??

a π=

，因此3122

I I a π

=+=-

（3）现要设计一个容积为V 的圆柱体的容积，已知上下两低的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计

方案：即高与上下底面的直径之比为何值时，所需费用最少？解：设圆柱体的高为h ，底面直径为d ，费用为

，

根据题意，可知2

2d h V

π??

= ???

，2

h π

22d f a b dh ππ??

=??+? ???

212a d b d h π??=+ ???

2111222ad bdh bdh π??=++ ???

231

32ad bdh bdh π≥??

()

ab d h π=?

233342V ab ππ??=? ???

，

当且仅当2

bdh =时，等号成立，

h a d b

=，故当

h a

d b

=时，所需要的费用最少. （4）已知

()f x 在11,42??

???

内满足()33

1sin cos f x x x '=+求()f x . 解：

()331

sin cos f x dx x x

'=+?

22211sin cos 3sin cos 2sin sin cos cos x x dx x x x x x x +??

+ ?+-+??

?，

111

sin cos 2sin 4dx dx x x x π=+??+ ?

???

14ln tan 22

x C π

+=+，

()222

sin cos sin cos 11sin sin cos cos sin cos 22

x x x x dx dx x x x x x x ++=-+-+??

()2

sin cos 2sin cos 1

x x

dx x x +=-+?

()

()2

sin cos 2sin cos 1

d x x x x -=-+? ()22arctan sin cos x x C =-+

所以，

()()21

24ln tan arctan sin cos 323

x f x x x C π

+-+. 二、求下列极限.

（1）1lim 1n n n e n →∞??

??+- ? ?

?????；（2）111lim 3n

n a b c →∞?

?++ ? ? ??

，其中0a >，0b >，0c >.

解：（1）11lim 1lim 1n x n x n e x e n x →∞→+∞????

????+-=+- ? ? ? ? ? ?????????

1ln 1lim

1x x x e

+ ???

→+∞

211111ln 11lim

x x x x x x x →+∞????????+++- ?

? ???+?

???????=- 211ln 11lim 1

x x x e x

→+∞??

?+??=-

()2

311111lim 1

2x x x x e x →+∞-+

++=

()2

11lim

12x x e x →+∞

-+=

21lim 2211x e e

x →+∞=-=-??

+ ???

. （2）

1111

11lim lim 33n

x x x

n x a b c a b c →∞→+∞?

?++++ ? ?= ? ? ? ??

111

lim x x x

a b c x x e

++→+∞

111ln

3lim

1x x x

x a b c x

→+∞

++=，

111ln

3lim

1x x x

x a b c

→+∞

111

111221

1ln ln ln lim 1

x x x

x x x x a a b b c c x a b c x

→+∞????++- ? ?

????++=-

111

1111

lim ln ln ln x x x

x x x x a a b b c c a b c →+∞

??=++ ??

?++ ()1

ln ln ln 3

a b c =++3ln abc =，故1113lim 3n

n n n

n a b c abc →∞?

++ ?= ? ??

. 一般地，有1

12lim n

m n

k k m m n a a a a m =→∞?? ?

?= ? ??

∑ ，其中0k

a >，1,2,,k m = ，

120lim x x nx x

x e e e n →??+++ ???

2ln

0lim x x nx

e e e n x

x e +++→=

()

2ln ln 0

lim x x nx e e e n

x e

+++-→= ()

2201

2lim 1

x x nx x

x e e ne e e e e

→++++++=

()1

1122n n n

++++== .

三．设

()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导，()10f =，()12f '=，

求()22

sin cos lim

tan x f x x x x x →++.

解：()220

sin cos lim

tan x f x x x x x

→++

()()22220sin cos 1sin cos 1lim tan sin cos 1

x f x x f x x x x x x x →??

+-+- ?=? ?++-?? ()220sin cos 11lim tan x x x f x x x

→+-'=+ 22

sin 2sin 22lim

tan x x

x x x x

→-=+

22022sin cos 1222lim

sin 11cos x x x x x x x →??- ?

=??

+ ?

?? 2

200sin cos 122lim lim sin 1

1cos x x x x x x x x →→??- ?=? ? ?+??

211

1112

-=?

=+.

四、设

()f x 在[)0,∞上连续，无穷积分()0

f x dx ∞

收敛，求()0

1lim y

y xf x dx y →+∞?.

解：设()()0x

F x f t dt =?，由条件知，()()F x f x '=，

()()0

lim x F x f t dt A +∞→+∞==?

，

利用分部积分，得

()()0

xf x dx xF x dx '=?

?()()0

yF y F x dx =-?，

()()()00

11y y

xf x dx F y F x dx y y =-??， ()()0

lim lim y

y y F x dx F y A y

→+∞

==?，

于是

()()()00

11lim lim lim y y

y y y xf x dx F y F x dx y y →+∞→+∞→+∞=-?? 0A A =-=.

五．设函数

()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可微，且()()010f f ==，112f ??= ???

证明：（1）存在

1,12

ξ??∈ ?

??，使得()f ξξ=；

（2）对于每一λ，存在()0,ηξ∈，使得()()1f f ηληλη'=-+.

证明：（1）令()()F

x f x x =-，

由题设条件，可知1122

F ??=

???， ()11F =-；

利用连续函数的介值定理，得

存在

1,12

ξ??∈ ?

??，使得()0F ξ=，即()f ξξ=.

（2）令()()()x G

x e f x x λ-=-，

由题设条件和（1）中的结果，可知，

()00G =，()0G ξ=；

利用罗尔中值定理，得存在

()0,ηξ∈，使得()0G η'=，

由()()()()()1x x G x e f x e f x x λλλ--''=---，

即得()()1f f ηληλη'=-+.

六、试证：对每一个整数2n ≥，成立

11!!2

n n

n n e n +++> . 分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项. 证明：显然0n =时，不等式成立；

下设1n ≥.

由于()001!

n n n

t k n e n t e dt k n ==+-∑

?，这样问题等价于证明

()

0!2n

t n e

n t e dt ->-?，

即

()00

n t

t t e dt e

n t e dt +∞

-->-?

，

令u n t =-上式化为

02n

n t

n u t e dt u e du +∞

-->?

?，

从而等价于0n

n u

n u n

u e du u e du +∞

-->?

?，

只要证明20

n n u

n u n

u e du u e du -->?

?，

设

()n u f u u e -=，则只要证明

()()f n h f n h +≥-，()0h n ≤≤，

就有

()()0

n n

f n h dh f n h dh +≥-??，

()()20

f u du f u du >??，

则问题得证. 以下证明

()()f n h f n h +≥-，()0h n ≤≤，成立

上式等价于()()n

n h

h n n h e

n h e ---+≥-，即()()ln ln n n h h n n h h +-≥-+，

令()()()ln ln 2g h n n h n n h h =+---，

则()00g

=，并且对0h n <<，有

2dg n n

dh n h n h

=+-+- 22

222

2220n h n h n h

=-==>--，从而当0h n <

<时，()0g h >，

这样问题得证.

注：利用这一结论，我们可以证明如下结论.

六、设1n >为整数，()2011!2!

!n x t

t t t F x e dt n -??=++++ ???? ，证明方程()2n F x =，在,2n n ??

???上至少有一个根. 六、证明：存在1(,)2a n n ∈，使得001!

2k n a x

k x e dx n k -==∑?. 证明：令

()0

k x f y e dx k -==∑?

，

则有

220002!

2n n k n

x x x k n x n f e dx e e dx k --=??

=<= ???∑??，

()00!k n

k x f n e dx k -==∑?0

k n n n

k n e dx k -=>∑?

0122

n n n e e dx ->?=?，

由连续函数的介值定理，得

存在,2n a n ??

∈

???

，使得()2n f a =，

故问题得证.

这里是由于()0!

k n

k x g x e k -==∑， ()0!n x x g x e

n -'=-<， ()g x 在[)0,+∞上严格单调递减，

所以，当0x n <

<时，有()()g x g n >.

七、是否存在R 上的可微函数()f x ，使得2435(())1f f x x x x x =++--，若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。

证明如果这样的函数()f x 存在，

我们来求

(())f f x 的不动点，即满足(())f f x x =的x ，

24351x x x x x =++--， 42(1)(1)0x x x -++=，

由此得

1x =，这表明(())f f x 有唯一的不动点1x =，易知()

f x 也仅有唯一的不动点

1x =，(1)1f =，在等式

2435(())1f f x x x x x =++--，两边对x 求导，得

324(())()2435f f x f x x x x x ''=+--，

让1x

=，即得2((1))2f '=-，这是不可能的，故这样的函数不存在。

八、设函数

在

[0,)+∞上一致连续，且对任何[0,1]x ∈，有

()0

lim n f x n →∞

+=，

证明：

()0

lim x f x →+∞

=。

试举例说明，仅有f

在

[0,)+∞上的连续性推不出上述结论。

证明

由

在

[0,)+∞上一致连续，对0>?

ε，

δ?>，

当

12,[0,)

y y ∈+∞

且12||y y δ

-<时，

便有

12|()()|2

f y f y ε

；

取定充分大的正整数k ，使得1k

δ<。现把区间[0,1]k 等分，设其分点为,0,1,,i

x i k k

== ，每个小区间的长度

小于

。

对于任意

1x >，[][0,1)x x -∈；

从而必有

,{0,1,,}i x i k ∈ ，使得|[]|i x x x δ

--<；

由条件对每个

i x ，有

()0

lim i

n f x n →∞

+=；

于是存在N ，当n N >

时，

|()|2

i f x n ε

，对

0,1,,i k

= 都成立；

故当

x N ≥+时，便有

|()||([])||()([])|i i f x f x x f x f x x ≤++-+2

εεε<+=，

即得()0

lim x f x →+∞

=，结论得证。

设

在

[0,)+∞上的连续，且对任何[0,1]x ∈，有

()0

lim n f x n →∞

+=，

但推不出上述结论。例如函数

22sin ()1sin x x

f x x x

ππ=

+满足在

[0,

+∞上的连续，且对任何

[0,1]

x ∈，有

()0

l i m

n f x n

→∞

+=，

但不成立()0

lim x f x →+∞

= 。

2012年全国大学生数学专业竞赛试题及解答

（1）计算积分

,0,0.x x

e e dx x

αβαβ--+∞->>?

解方法一直接利用分部积分法得

x x e

e dx x αβ--+∞

()()x x e

dx x

αβ+∞

--'=--?

220

(22)()x x xe xe dx x

αβαβ+∞

--=--+-?

(22)x x e

dx αβαβ+∞

--=--?

(2π

βπ

α?

-=)(αβπ-=；

方法二不妨设0αβ<<，由于dy e x

e e yx x

x ?---=-β

βα2

，

而积分

0yx e dx +∞

关于y 在[,]αβ上一致收敛，故可交换积分次序

x x

e e dx x

αβ--+∞

yx dx e

dy β

+∞

-=?

yx dy e dx β

+∞

dy y

1)(αβπ-=；

方法三将0β

>固定，记2

(),0x x

e e I dx x αβαα--+∞-=>?

　，可证()I α在(0,)+∞上收敛．

设[,),0αδδ∈+∞>　，

因为2

x x e e

αδ--≤，而

x e dx δ∞

＋０

收敛，

所以由Weierstrass 判别法知道

x e

dx α∞

＋０

对[,)αδ∈+∞一致收敛．所以可以交换微分运算和积分运算的次序，

即

()()x x

e e I dx x αβαα--+∞

?-'=??

()x e dx α+∞

-=-?

α=-

．

由δ的任意性，上式在(0,)+∞上成立．

所以

()I C απα=-+，由于()0,,I C βπβ== 所以)()(αβπα-=I ，

即dx x e

x x ?

∞

+---0

βα)(αβπ-=．

(2)若关于x 的方程21

1kx x

+=，()0k >在区间()0,+∞内有唯一的实数解，求常数k .

解：设

()211f x kx x =+

-，则有()32f x k x

'=-，当1320,x k ???? ?∈ ? ?????时，()0f x '<；当1

32,x k ????

?∈+∞ ? ?????

时，()0f x '>.

由此

()f x 在1

2x k ??

= ?

处达到最小值，

又

()21

1f x kx x

=+-在()0,+∞内有唯一的零点，

必有

320f k ??

?? ?= ? ?????

，13322102k k k ????+-= ? ?????，

32123

31214k ???? ?+= ? ?????，22714k ?=，所以233

k =

（3）设函数()f x 在区间[],a b 上连续，由积分中值公式，有()()()x

f t dt x a f ξ=-?，()a x b ξ≤≤≤，若导数()f a +'存

在且非零，

求

lim x a

x a

ξ+

→--.

解：

()()()()()()()x a

f t f a dt x a f f a ξ-=--?，

()()()

()()()21

x a a

a f t f a dt x a f f a x a ξξξ--=?----?，由条件，可知

()()()

l i m x a

a f f a f a ξξ+

→+-='-，

()()()()

()()()

()2

1lim lim 22

x a x a f t f a dt f x f a f a x a x a +

→→--'==--?，

故有1

lim

x a a

x a ξ+→-=-.

二、设函数

()f x 在0x =附近可微，()00f =，()0f a '=,

定义数列22212n

n x f f f n n n ??????=+

++ ? ? ???????

. 证明：

{}n x 有极限并求其值.

证明：由导数的定义，

对于任意

0ε>,存在0δ>，当0||x δ<<时，有

()

f x a x

ε-<. 于是

()()()a x f x a x εε-<<+，()0x δ<<

从而，当1n

δ->时，有

k n n

δ<<， ()()222

k k k a f a n n n εε??

-<<+ ???

，其中1,2,,k

n = .

对于上式求和，得到

()()22

11n

n k k k k

a x a n n

εε==-<<+∑∑，

即

()

()11

22n n n a x a n n

εε++-<<+，令n →∞，有

()()11

lim lim 22

n n n n a x x a εε→∞→∞-≤≤≤+, 由

0ε>的任意性，得到 lim 2

n n a

x →∞

. 设

()f x 在()1,1-上有定义，在0x =处可导，且()00f =.

证明：()21

0lim

n k f k f n →∞

='??= ???

∑

三、设函数

在

[0,)+∞上一致连续，且对任何[0,1]x ∈，有

()0

lim n f x n →∞

+=，

证明：

()0

lim x f x →+∞

=。

试举例说明，仅有f

在

[0,)+∞上的连续性推不出上述结论。

证明证法一

由

在

[0,)+∞上一致连续，对0>?

ε，

δ?>，

当

12,[0,)

y y ∈+∞

且

12||y y δ

-<时，

便有

12|()()|2

f y f y ε

；

取定充分大的正整数k ，使得1k

δ<。现把区间[0,1]k 等分，设其分点为,0,1,,i

x i k k

== ，每个小区间的长度小

于

。

对于任意

1x >，[][0,1)x x -∈；

从而必有

,{0,1,,}i x i k ∈ ，使得|[]|i x x x δ

--<；

由条件对每个

i x ，有

()0

lim i

n f x n →∞

+=；

于是存在N ，当n N >

时，

|()|2

i f x n ε

，对

0,1,,i k

= 都成立；

故当

x N ≥+时，便有

|()||([])||()([])|i i f x f x x f x f x x ≤++-+2

εεε<+=，

即得

()0

lim x f x →+∞

=，结论得证。

证法二设

()()n f x f x n =+,由题设条件知

{()}n f x 在[0,1]上等度一致连续,对每一[0,1]x ∈,有()0lim n n f x →∞

利用Osgood 定理得,

{()}n f x 在[0,1]上一致收敛于0,

对0

>?ε,存在N ，当n N >

时,

有

|()||()|n f x n f x ε+=<,[0,1]x ∈,

从而当

x N ≥+时,有

|()|f x ε<,

即得()0

lim x f x →+∞

=，结论得证。

设

在

[0,)+∞上的连续，且对任何[0,1]x ∈，

有

()0

lim n f x n →∞

+=，但推不出

()0

lim x f x →+∞

=。

例如函数

sin ()1sin x x

f x x x

ππ=+满足在

[0,

+∞上的连续，且对任何

[0,1]

x ∈，有

()0

l i m

n f x n

→∞

+=，

但不成立()0

lim x f x →+∞

= 。

四、设(){}2

2,:1D x y x

y =+<，(),f x y 在D 内连续，(),g x y 在D 内连续有界，且满足条件：

当2

21x

y +→时，(),f x y →+∞；

在D 中f 与g 有二阶偏导数，

2222

f f e x y

??+=??，2222g g g e x y ??+≥??. 证明：

()(),,f x y g x y ≥在D 内处处成立.

证明：设()()(),,,u

x y f x y g x y =-，

则有

f g

u f g e e ?=?-?≤-()(

tf t g

+-'

()

110

tf t g

dt u +-=?? (),C x y u =?.

于是

(),0u C x y u -?+?≥，(),x y D ∈ ， (),0C x y >;

由已知条件，存在001r <<，当01r r <<时，

有

()()(),,,0u x y f x y g x y =->， 222x y r +=.

记()(){}222,:D

r x y x y r =+<，

设 ()(),()

min ,x y D r m u x y ∈=，我们断言，必有0m ≥，

假若0m <，则必有()()00,x y D r ∈，使得 ()00,u x y m =；

易知()00,0u x y -?≤， ()()0000,,0C x y u x y <.

()()(

)

00,,0x y u C x y u -?+?<

这与(),0u C x y u -?+?≥矛盾，

所以

0m ≥

从而

(),0u x y ≥，()(),x y D r ∈；

由r 的任意性，得

(),0u x y ≥， (),x y D ∈.

故在D 内处处成立()(),,f x y g x y ≥.

五、设(){},:01,01R x y x y =≤≤≤≤(){},:01,01R x y x y εεε=≤≤-≤≤-.

考虑积分1R

dxdy

xy =-??

，1R dxdy I xy ε

ε=-??，定义0lim I I εε+→=，

(1)证明

n I n ∞

==∑

；

(2)利用变量替换：()()

1212

u x y v y x ?

=+????=-??，计算积分I 的值，并由此推出22116n n π∞==∑.

证明：（1）由

()

1n n xy xy

∞

-==-∑，在R ε上一致收敛，可以进行逐项积分

1111n n n R R dxdy I x y dxdy xy ε

εε∞--=??

== ?-??∑????

11110

n n n x y dxdy ε

∞

----==∑?

()

n n

ε∞

=-=∑

，

又

()22

211n

ε-≤，

所以

()

1n n n

ε∞

=-∑

关于

()0,1ε∈是一致收敛的，可以逐项求极限，

于是有

()

111

lim lim n

n n I n

εεεε++∞

∞

→→==-==∑

∑

故有

211n I n

∞

==∑

；

(2) x u v =-,y u v =+

()

,2,x y u v ?=?, 22xy u v =-

()()11,:0,0,:1,0122u v u v u u v u v u ????

Ω=≤≤≤≤≤≤≤≤-????????

()()11,:0,0,:1,1022u v u u v u v u u v ????

≤≤-≤≤≤≤-+≤≤????????

注意到区域Ω关于u 轴对称

()

11R

dxdy I dudv xy u v Ω==---????

111212222

0002112211u u dv du dv du u v u v -??????=?+?? ? ?-+-+?

?????????

()124I I =+;

212

1arctan

11v u

v v I du u

===--?

122

1arctan 11u du u

=--?

sin sin arctan cos 1sin 1sin t u t tdt t

π=--?

1126418

tdt π

ππ??

=== ????;

1arctan

11v u v v I du u u =-==--?

11arctan 11u du u

-=--?

1sin sin arctan cos cos 1sin t u t tdt t t

-=?-? 261sin arctan cos t dt t π

π-=? 261tan

2arctan 1tan

dt t π

π-=+?

arctan tan 42t dt π

π????=- ? ?????

2222611124242622436418t dt π

ππππππππ??????

=-=--?-=? ? ? ???

?????; 或者利用分部积分,得

1sin arctan cos t dt t

226

1sin 1

1sin arctan

cos cos 1sin 1cos t

t t t dt t

t t t ππ

ππ'--??

???-??+ ???

261662t dt π

πππ

??=-

-- ???

222

11123622436418

ππππ??=-+?-=? ???,

于是()22212121418186

I I I πππ=+=+=, 故

2116

n n

π∞

==∑

. 高等数学竞赛试题7答案

一、求由方程

032=-+xy y x 所确定的函数()x y y =在()+∞,0内的极值，并判断是极大值还是极小值.

解：对032=-+xy y x 两边求导得()2230x y y y xy ''+-+=，

223y x

y y x -'=

令

0y '=得2y x =，代入原方程解得11,84x y ==

. ()()()()

()

21111

2,,,084

232613x y x y y y y x y x yy y y x '=====''-----''

故当

18x =

时，y 取极大值1

二、设

xy y x u -+=1arctan

，求x u ??,

22x u ??.

解：

()()2

11111xy y

y x xy xy y x x

-++-???

? ??-++=??=2

22x u ??=()

12x

三、计算曲线积分

?+-=L

y x ydx

xdy I 224，其中L 是以点（1，0）为中心，R 为半径的圆周,0>R 1≠R ,取逆时针方向.

解：

()2

4,y x y

y x P +-=, ()2

4,y x x

y x Q +=, 当

()()0,0,≠y x 时,

()

x Q y x x y y P ??=+-=??22

22244，当

10<

()D ?0,0,由格林公式知,0=I .

当1>R 时,

()D ∈0,0,作足够小的椭圆曲线?????==θεθ

εsin cos 2

:y x C ,θ从0到π2.

当0>ε

充分小时,C 取逆时针方向,使D C ?,于是由格林公式得

042

2=+-?-

L y x ydx

xdy ，

因此?+-L y x ydx xdy 224?+-=C y x ydx xdy 224 =

εεπ

d ?202

21 =π

四、设函数

()x f 在()+∞,0内具有连续的导数，且满足

()()

()

222t dxdy y x

y x t f D

+++=??，

高数上试题及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

(word完整版)高等数学习题集及答案

第一章函数一、选择题 1. 下列函数中，【】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【】 A. (0,)π B. (,) 22ππ- C. [,] 22ππ- D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中，【】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2 g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【】

高等数学试题及答案91398

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学试题及答案新编

《高等数学》一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）

大一高等数学试题及答案

期末总复习题一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为发散。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系（ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是（ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ）

A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是（ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为（ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为（ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的（ B ） A 、充要条件 B 、必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及其规范标准答案

? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222 -+=y x z 在) ,(00y x 处的法向量为 ) 1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在 )),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 22 22-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+ 因)(29ln y f y xe e =，故 y y y f x '=''+)(1 ，即))(1(1y f x y '-= '，因此 2 222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-' ''+'--=''= 3 22 232)] (1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因

高等数学试题及答案

高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos

高等数学上考试试题及答案

四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期）课程名称：高等数学(上)(A 卷) 命题教师：杨勇适用班级：理工科本科考试(考查)：考试 2008年 1 月 10日共 6 页注意事项： 1、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。 3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )

(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）

大连市高等数学竞赛试题B答案完整版

大连市高等数学竞赛试题B答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

大连市第二十三届高等数学竞赛试卷答案（B）

一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，计10分） 1. n ? ?∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x x x →- = 1/2 . 3. 0 lim x x x + →= 1 . 4. 2 cos lim x x t dt x →?= 1 . 5. 若221lim 2,2 x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设?????=≠=),0(1),0(1sin )(3 x x x x x f 求)(x f '. 解当0≠x 时，x x x f 1 sin )(3=为一初等函数，这时 ; 1 cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232x x x x x x x x x x f -=? ?? ??-??? ?? +='（6分）当0=x 时，由于 ),0(01 sin lim )(lim 300f x x x f x x ≠==→→（8分）所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。（10分）

解：0,1,1x x x ===-为间断点。（3分）当0x =时，由于00lim ()lim 1,1|| x x x f x x x ++→→==+ 而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。（5分）当1x =时，由于11lim ()lim 1,1|| x x x f x x x →→==+ 所以1x =是可去间断点。（7分）当1x =-时，而1 lim (),x f x →-=∞ 所以1x =-是无穷间断点。（8分）考生注意：考试时间 150 分钟试卷总分 100 分共四页第 1页

高等数学习题集[附答案及解析]

WORD 格式第一章函数与极限 §1 函数必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。二、证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。四、证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

WORD 格式 §2 初等函数必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题一、设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x

三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

(完整)高等数学练习题(附答案)

《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1. 收敛的数列必有界. （）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （）3. 闭区间上的间断函数必无界. （）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du .

5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .

高等数学试卷和答案新编

高等数学（下）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为（2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交（2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值得分阅卷人

高等数学竞赛试题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】第二十届高等数学竞赛试卷一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为：满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面，而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是：

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

江苏高等数学竞赛历年试题(本一)

2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级）一、填空（每题3分，共15分） 1.设( )f x = ，则()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定（F 为任意可微函数），则z z x y x y ??+=?? 二、选择题（每题3分，共15分） 1.对于函数11 2121 x x y -= +，点0x =是( ) A. 连续点； B. 第一类间断点； C. 第二类间断点；D 可去间断点 2.设()f x 可导，()()() 1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- （） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在，则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续； C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α 为常数，则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关

高等数学习题集[附答案及解析]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一章函数与极限 §1 函数必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。二、证明函数1 2+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

高等数学试题及答案(广东工业大学)

《高等数学-广东工业大学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2l n 2x x x dx C =+? B ）、s i n c o s t d t t C =-+ ? C ）、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日星期三考试时间：120 分钟一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

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