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高考小题对函数三个重要性质性质的考查举例及点评

高考小题对函数三个重要性质的考查举例及点评

建水县第二中学:贾雪光 论文摘要:函数是高中数学知识中最重要的内容之一,也是高考考查的重点之

一。纵观近年多个省市的高考题,我们不难发现:函数性质在选择题和填空题的考查中必定占有一席之地,由于社稷函数问题的题目出题方式灵活多样,有的题目出综合其他知识点而外还需要用到化归转化等数学思想,对学生的数学能力进行全方位多角度的考查。因此,是历年高考命题者关注的热点之一。本文就高考函数性质考查的方向作一个简单的总结与探讨。

关键词:函数性质;单调性;奇偶性;对称性;周期性;解析;点评。

正文:

函数是高中数学知识中最重要的内容之一,也是高考考查的重点之一。纵观近年多个省市的高考题,我们不难发现:函数性质在选择题和填空题的考查中必定占有一席之地,由于社稷函数问题的题目出题方式灵活多样,有的题目出综合其他知识点而外还需要用到化归转化等数学思想,对学生的数学能力进行全方位多角度的考查。因此,是历年高考命题者关注的热点之一。本文就高考函数性质考查的方向作一个简单的总结与探讨。如有不妥之处恳请各位同仁批评指正。 下面对高考中出现频率较高的常见函数性质进行简单归纳点评:

一、单调性:单调性是函数性质的核心,它研究函数的局部的变化趋势,在函数值的大小比较,函数值域的求解,解不等式方面都起着重要的作用。在高中阶段函数单调性研究分为两个层次,第一:通过必修一中所讲授的函数单调性定义研究,第二层次:通过导数工具来研究。

多数时候,涉及函数单调性的这类问题都没有解析式,也没有函数方程,而是给出常见的函数性质语言比如:单调递增,奇函数等等,往往是和不等式联立,对函数性质进行综合考查,处理这类问题的通法,主要是通过题设条件所给的性质画出函数的草图,然后根据图形来求解。

例1(2009·辽宁文理9)已知偶函数()f x 在区间∞[0,+)上单调增加,则

1(21)()3

f x f -<的x 取值范围是 12()(,)33A 12()[,)33B 12()(,)23C 12()[,)23

D 分析:此题是典型的由数学语言给出的问题,没有解析式,只需要弄清楚偶函数的作用以及函数单调性在解不等式中处理就可以了。 解:由已知有1|21|3x -<,即112133x -<-<,∴1233

x <<。 二、奇偶性(对称性):奇偶性主要研究函数的整体性质,奇偶性研究主要两种形式:一个是图形一个是方程的形式。

例2(2010年安徽理4)设)(x f 是定义在R 上周期为5的奇函数,且满足)1(f 的

图像关于直线2

1=

x 对称,则)1(f +)2(f +)3(f +)4(f +)5(f =_____________. 点评:这是一道典型的“奇偶性”及“对称性”的问题,此类问题,我们只要类比我们在学习中的几个常见函数即可求解。例如本例只要类比一下正弦函数就不难得出函数的周期为2。 解析:上的奇函数,是R )(x f )()(x f x f -=-∴,0)0(=f .又y=)(x f 的图像关于直线2

1=x 对称,)()1(x f x f -=+∴,且0)0()1(==f f ,0)-1()2(==f f . )()1(x f x f -=+∴,2=∴T 是)(x f 的一个周期. 故)1(f +)2(f +)3(f +)4(f +)5(f =0

点评:这类通过语言叙述的,只要根据语言特征作出相应图像,或者转化成相应的方程或不等式就可以得到顺利解决。一般奇偶性和周期性问题,可以转化成方程,而函数的单调性则转化成不等式问题处理。但是,在处理这类问题的时候,一定要注意函数的周期性与对称轴、对称中心的区别判断,通常情况下,许多同学会将对称性与周期性混淆在一起,最后导致题目求解出错。避免之类错误的主要方法是紧紧抓住函数周期、对称轴、对称中心的定义及实质。如周期性定义可以简单描述为:“函数的周期是使得函数值重复出现的自变量x 的增加量”。对称轴、对称中心可以类比奇偶函数图象关于原点、y 轴对称来理解。

三、周期性:周期性主要是在研究函数值有规律出现的问题,以及解决三角函数问题时体现的更明显。

例3、定义在R 上的函数()f x 为奇函数,且函数f(2x+1)的周期是2,若f(1)=2008,则f(2007)+f(2008)的值为 。

点评:本题在求解过程中学生根本不能求出函数f(x)的周期是4这一条件,所以整个题目根本无从下手,实际上,如果教师在教学中强调清楚了周期的实质(函数的周期是使得函数值重复出现的自变量x 的增加量)的话,由定义有f[2(x+2)+1]=f(2x+1),将2x+1看做一个整体,则有f[2(x+2)+1]=f[(2x+1)+4]=f(2x+1),令2x+1=y ,则有f(y+4)=f(y),于是函数f(x)的周期是4,这一结论就显而易见了,因此就有f(2007)=f(3)=f(-1)=-2008,f(2008)=f(0)=0,于是f(2007)+f(2008)的值为0+(-2008)=-2008。

这类问题通常是考查的抽象函数有关问题,抽象函数因其没有解析式,其性质以方程(或不等式)给出而成为解题依据。所以在解题时要搞清楚常见方程和不等式所告诉的含义是什么,常见的方程表述有:

①?-=+)()(x a f x a f ?=-)()2(x f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称. ② ?--=+)()(x a f x a f ?-=-)()2(x f x a f )(x f 的图象关于点)0,(a P 对称. ③?≠≠+-=+)0,)(()(c b a b cx f a cx f )(2b a T -=是函数)(x f 的一个周期 ④?≠≠+=+)0,()

(1)(c b a b cx f a cx f )(2b a T -=是函数)(x f 的一个周期

⑤?≠≠+-=+)0,()(1

)(c b a b cx f a cx f )(2b a T -=是函数)(x f 的一个周期

⑥指数函数满足f ( x+y) = f (x)·f ( y)对数函数满足f (x ·y) = f (x) f ( y),f ( x y ) = y f (x);

⑦正弦函数满足f (x ±y) = f (x) g ( y) ±f (y) g (x);

⑧余弦函数满足f ( x ±y)= f ( x) f ( y) g( x) g( y);

⑨正切函数满足f (x ±y) =)()(1)

()(y f x f y f x f ±。

点评:函数的周期性在抽象函数中的考查通常是以题目条件给出“奇偶性”+“关于直线x=k ”对称,在这些条件下,再根据函数的草图及相关结论,求出函数的周期后最终求解。因此,在平时的学习和教学过程中,注意对一些常用结论的收集、整理、归纳和理解就显得尤为重要。

例4、定义在R 上的函数)(x f 的图象关于点)0,43

(-对称,且满足

)23

()(+-=x f x f ,1)-1(=f .-2)0(=f ,则)1(f +)2(f +)3(f +--------+)2008(f 的

值为 。 分析:由方程)23

()(+-=x f x f 知周期,又因为关于)0,43

(-对称,通过联系

三角函数知此函数还是偶函数,这样问题就简单了。 解:)23

()(+-=x f x f ,3=∴T 是)(x f 的一个周期,又)(x f 的图象关于点

)0,43

(-对称,)23

()(---=∴x f x f ,)23

()3(--=+∴x f x f ,故 )()(x f x f =-,

即)(x f 是偶函数,1)-1()1(==∴f f ,1)-1()2(==f f ,-2)0()3(==f f , )1(f ∴+)2(f +)3(f =0,故)1(f +)2(f +)3(f +--------+)2008(f =)2008(f =1. 例5、( 2009·山东文理16)已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=

点评:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

解析:因为定义在R 上的奇函数,满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以, 由)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那

y

么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<由

对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=

-+=- 答案:-8

点评:函数的解析式与函数的方程式在解题上比优劣,前者最大的优势是求自变量对应的函数值,而在研究函数的性质方面,有时还不如方程式简便.所以有关抽象函数的“方程题型”,往往是函数的“性质题型”.所以在解决一个问题时当看到方程就考虑函数的奇偶性或周期性,当出现不等式就考虑单调性。

以上就是我对函数性质在高考小题中的考查的简单归纳和探究,如有不妥之处,恳请各位同仁批评指正。

参考文献:《高中数学课程标准解读》 人民教育出版社

《抽象函数性质寻根》 万尔遐 中学数学月刊

《高考中函数图象问题考查的三个层次》 安徽省枞阳县会宫中学 朱贤良

姓 名:贾雪光 单 位: 云南省建水县第二中学

联系电话:138******** 通讯地址:云南省红河州建水县第二中学 邮 编:654311 邮 箱:1259642187@https://www.wendangku.net/doc/5b1583744.html,

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